数字信号处理ch4_3脉冲响应不变法
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[numd,dend] = impinvar(num,den,Fs) num,den：AF分子、分母多项式的系数向量
Fs=1/T：抽样频率
numd,dend：DF分子、分母多项式的系数向量
脉冲响应不变法
例：利用AF-BW filter及脉冲响应不变法设计一DF，满足
p=0.2, s=0.6, p2dB, s15dB
利用脉冲响应不变法求H(z)，并分别画出AF与DF的幅度响应。
解：
利用单极点H(s) 与H(z)的映射关系，可得
cT H ( z) 1 ecT z 1
AF与DF的频率响应分别为
c H ( j) j c
cT H (e ) 1 ecTHz的幅度响应如下
IIR数字滤波器设计的基本思想
模拟低通滤波器设计
模拟域频率变换
脉冲响应不变法
双线性变换法
利用MATLAB设计IIR DF
脉冲响应不变法 (Impulse Invariance)
问题的提出
脉冲响应不变法的基本原理 脉冲响应不变法设计DF的步骤
脉冲响应不变法
一、问题的提出
频率 变换 设计模拟 滤波器 AF到DF 的转换
1 z e cos 1T 1 1T 2 21T 1 2z e cos 1T z e
z e sin 1T 1 1T 2 21T 1 2z e cos 1T z e
脉冲响应不变法
1 1T
二、脉冲响应不变法的基本原理
z平面与s平面之间的映射关系
ˆ (s) H ( z ) H a
例: 设一阶模拟低通滤波器的系统函数为
c H (s) s c
利用脉冲响应不变法求H(z)，并分别画出AF与DF的幅度响应。
解：
1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0 5 10 Hz 15 20 25
DF AF
fsam=50 Hz
例: 设一阶模拟低通滤波器的系统函数为
c H (s) s c
脉冲响应不变法
例： 设计满足下列条件的模拟BW型高通滤波器 fp=5kHz, fs=1kHz, p1dB, s 40dB
解：(1) 将高通指标转换为原型低通滤波器技术指标
, p1dB, s 40dB p 1/(2 π 5000), s 1/(2 π 1000)
z e sT
r e T
T
0, r 1 0, r 1 0, r 1
对转换提出的两点要求：
z e e
定的。
j
2 jT ( M ) sT ( j ) T T j ( T 2 M T 1、因果稳定的模拟滤波器转换成数字滤波器，仍是因果稳 T
p,s
p,s
H(s)
H(z)
对转换提出的两点要求： 如何将模拟滤波器转变为数字滤波器?
1、因果稳定的模拟滤波器转换成数字滤波器，仍是因果稳 定的。
1. 脉冲响应不变法 2. 双线性变换法
脉冲响应不变法
2、数字滤波器的频响应模仿模拟滤波器的频响，S平面的
虚轴对应Z平面的单位圆，相应的频率之间呈线性关系。
e e
)e e
1 2、数字滤波器的频响应模仿模拟滤波器的频响， S平面的 H数字频率 (e ) z e H a ( 的关系为 j jk s )s j 与模拟频率 T j T k 虚轴对应Z平面的单位圆，相应的频率之间呈线性关系。
脉冲响应不变法
二、脉冲响应不变法的基本原理
2. 由模拟滤波器的指标设计模拟滤波器的H(s)。
3. 利用脉冲响应不变法，将H(s)转换H(z)。
p,s
=/T
p,s
设计模拟
滤波器
H(s)
脉冲响应不变
H(z)
脉冲响应不变法
例：利用AF-BW filter及脉冲响应不变法设计一DLF，满足
p=0.2, s=0.6, p2dB, s15dB
脉冲响应不变法的优缺点 优点： 1、数字滤波器和模拟滤波器的频率关系为线性 T 2、数字滤波器的单位脉冲响应完全模仿模拟滤波器 的单位脉冲响应，时域特性逼近好。 缺点：存在频谱混叠，故不能用脉冲响应不变法设
计高通、带阻等滤波器。
脉冲响应不变法
例: 设一阶模拟低通滤波器的系统函数为
c H (s) s c
s j
二、脉冲响应不变法的基本原理
脉冲响应不变法由H(s)获得H(z) —— 单极点情况
N
H a (s)
i 1
Ai s si
H ( z)
i 1
1 1T
N
TAi siT 1 1 e z
脉冲响应不变法由H(s)获得H(z) —— 共轭极点
s 1 2 2 (s 1 ) 1 1 2 2 (s 1 ) 1
脉冲响应不变法
四、思 考 题
• 用脉冲响应不变换法设计无限脉冲响应
(IIR)数字低通滤波器，要求通带截止频
率 p 0.2 rad，通带衰减不大于3dB，阻
带截止频率 s 0.5 rad，阻带衰减不 小于20dB。以巴特沃斯(Butterworth)模 拟低通滤波器为原型，采样间隔T=2s。
解： (2) 设计BW型原型低通滤波器 N=4，c=5.033105
BW型原型低通滤波器的系统函数为
1 Ga ( s) [( s / c )2 0.7654s / c 1][( s / c ) 2 1.8478s / c 1]
6.4166 1018 4 s 1.3152 104 s3 8.6485 109 s2 3.3315 1013 s 6.4166 1018
%Design DF BW low-pass filter using impulse invariance %DF BW LP specfication Wp=0.2*pi; Ws=0.6*pi; Ap=2; As=15; Fs=1; %Sampling frequency(Hz) %Analog Butterworth specfication wp=Wp*Fs; ws=Ws*Fs; %determine the order of AF filter N=buttord(wp,ws,Ap,As,'s'); %determine the 3-db cutoff frequency of BW filter from pass-band specfication wc=wp/(10^(0.1*Ap)-1)^(1/N/2); %determine the AF-BW filter [numa,dena]=butter(N,wc,'s');
例：利用AF-BW filter及脉冲响应不变法设计一DF，满足
p=0.2, s=0.6, p2dB, s15dB
0 -2 -4 -6 Gain,dB -8 -10
p = 1.72dB
s = 14.2dB
-12
-14 -16 -18
0
0.1
0.2
0.3
0.4 0.5 Normalized frequency
二、脉冲响应不变法的基本原理
脉冲响应不变法由H(s)获得H(z)步骤:
拉氏反变换
H(s)
h ( t)
抽样t=nT
h(n)
Z变换
H(z)
1 H (e ) z e j H a ( j jk s ) T k
j
脉冲响应不变法
1 1 T siT 1 s si 1 e z
(2) 设计BW型原型低通滤波器
100.1s 1 log10 ( 0.1 p ) 10 1 3.28 N 2 log10 (s / p )
取N=4
5 s c 5.033 10 0.1s 1/ 2 N (10 1)
脉冲响应不变法
例： 设计满足下列条件的模拟BW型高通滤波器 fp=5kHz, fs=1kHz, p1dB, s 40dB
例：利用AF-BW filter及脉冲响应不变法设计一DF，满足
p=0.2, s=0.6, p2dB, s15dB
%determine the DF filter [numd,dend]=impinvar(numa,dena,Fs); %plot the frequency response w=linspace(0,pi,1024); h=freqz(numd,dend,w); norm=max(abs(h)); numd=numd/norm; plot(w/pi,20*log10(abs(h/norm))); xlabel('Normalized frequency'); ylabel('Gain,dB'); %computer Ap As of the designed filter w=[Wp Ws]; h=freqz(numd,dend,w); fprintf('Ap= %.4f\n',-20*log10( abs(h(1)))); fprintf('As= %.4f\n',-20*log10( abs(h(2))));
0.1 s
例：利用AF-BW filter及脉冲响应不变法设计一DLF，满足
p=0.2, s=0.6, p2dB, s15dB
解：(3) 将模拟低通滤波器转换成数字低通滤波器
0.5678j 0.5678j H a ( s) s s1 s s2
1 T s si 1 e siT z 1
(3) 由变换HHP(s)=GL (1/s)获得高通滤波器
s4 H HP ( s) 4 s 5.192 10 4 s 3 1.3478 10 9 s 2 2.0497 1013 s 1.5585 1017
0.6
0.7
0.8
0.9
1
四、思 考 题
• 用脉冲响应不变法设计一个低通数字滤波器， 已知模拟归一化低通滤波器的传递函数为
1 H ( p) ( p 2)( p 1) 模拟截止频率fc为1kHz，采样频率fs为4kHz。
• （1）试求数字低通滤波器的系统函数？ • （2）画出其级联型网络结构图。
利用脉冲响应不变法求H(z)，并分别画出AF与DF的幅度响应。
解：
1 0.8 0.6 0.4
DF AF
0.2
0 0 20 40 Hz 60 80 100
fsam=200 Hz
三、脉冲响应不变法设计DF的步骤
1. 将数字滤波器的频率指标{k}转换为 模拟滤波器的频率指标{k}
k k / T
脉冲响应不变法
作
业
1、 设计满足下列条件的模拟BW型高通滤波器 fp=5kHz, fs=1kHz, p1dB, s 40dB 2、 试设计一个满足下列指标的BW型带通滤波器 l=6 rad/s, u=8 rad/s, s1=4 rad/s, s2=11 rad/s, p1 dB, s 32dB。 3、试设计一个满足下列指标的BW型带阻滤波器 p=1dB;s=20dB;l=10;u=30;s1=19;s2=21。
极点为s1=(0.5678 + 0.5654j)/T, s2=(0.5678 0.5654j)/T 利用
可得DF的系统函数为
0.3448 z 1T H ( z) 1 0.9571z 1 0.3212 z 2
三、脉冲响应不变法设计DF的步骤
脉冲响应不变法的MATLAB实现
解：
(1) 将数字低通指标转换成模拟低通指标= / T.
p=0.2/T, s=0.6/T, p2dB, s15dB
(2) 设计模拟低通滤波器 （BW型）
10 1 log10 ( 0.1 p ) s 10 1 =2 c =0.8013 /T 0.1 s 1/ 2 N N (10 1) 2 log10 (s / p ) 0.6421 1 H a ( s) ( sT ) 2 1.1356 ( sT ) 0.6421 s 2 s ( ) 2 1 c c
Fs=1/T：抽样频率
numd,dend：DF分子、分母多项式的系数向量
脉冲响应不变法
例：利用AF-BW filter及脉冲响应不变法设计一DF，满足
p=0.2, s=0.6, p2dB, s15dB
利用脉冲响应不变法求H(z)，并分别画出AF与DF的幅度响应。
解：
利用单极点H(s) 与H(z)的映射关系，可得
cT H ( z) 1 ecT z 1
AF与DF的频率响应分别为
c H ( j) j c
cT H (e ) 1 ecTHz的幅度响应如下
IIR数字滤波器设计的基本思想
模拟低通滤波器设计
模拟域频率变换
脉冲响应不变法
双线性变换法
利用MATLAB设计IIR DF
脉冲响应不变法 (Impulse Invariance)
问题的提出
脉冲响应不变法的基本原理 脉冲响应不变法设计DF的步骤
脉冲响应不变法
一、问题的提出
频率 变换 设计模拟 滤波器 AF到DF 的转换
1 z e cos 1T 1 1T 2 21T 1 2z e cos 1T z e
z e sin 1T 1 1T 2 21T 1 2z e cos 1T z e
脉冲响应不变法
1 1T
二、脉冲响应不变法的基本原理
z平面与s平面之间的映射关系
ˆ (s) H ( z ) H a
例: 设一阶模拟低通滤波器的系统函数为
c H (s) s c
利用脉冲响应不变法求H(z)，并分别画出AF与DF的幅度响应。
解：
1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0 5 10 Hz 15 20 25
DF AF
fsam=50 Hz
例: 设一阶模拟低通滤波器的系统函数为
c H (s) s c
脉冲响应不变法
例： 设计满足下列条件的模拟BW型高通滤波器 fp=5kHz, fs=1kHz, p1dB, s 40dB
解：(1) 将高通指标转换为原型低通滤波器技术指标
, p1dB, s 40dB p 1/(2 π 5000), s 1/(2 π 1000)
z e sT
r e T
T
0, r 1 0, r 1 0, r 1
对转换提出的两点要求：
z e e
定的。
j
2 jT ( M ) sT ( j ) T T j ( T 2 M T 1、因果稳定的模拟滤波器转换成数字滤波器，仍是因果稳 T
p,s
p,s
H(s)
H(z)
对转换提出的两点要求： 如何将模拟滤波器转变为数字滤波器?
1、因果稳定的模拟滤波器转换成数字滤波器，仍是因果稳 定的。
1. 脉冲响应不变法 2. 双线性变换法
脉冲响应不变法
2、数字滤波器的频响应模仿模拟滤波器的频响，S平面的
虚轴对应Z平面的单位圆，相应的频率之间呈线性关系。
e e
)e e
1 2、数字滤波器的频响应模仿模拟滤波器的频响， S平面的 H数字频率 (e ) z e H a ( 的关系为 j jk s )s j 与模拟频率 T j T k 虚轴对应Z平面的单位圆，相应的频率之间呈线性关系。
脉冲响应不变法
二、脉冲响应不变法的基本原理
2. 由模拟滤波器的指标设计模拟滤波器的H(s)。
3. 利用脉冲响应不变法，将H(s)转换H(z)。
p,s
=/T
p,s
设计模拟
滤波器
H(s)
脉冲响应不变
H(z)
脉冲响应不变法
例：利用AF-BW filter及脉冲响应不变法设计一DLF，满足
p=0.2, s=0.6, p2dB, s15dB
脉冲响应不变法的优缺点 优点： 1、数字滤波器和模拟滤波器的频率关系为线性 T 2、数字滤波器的单位脉冲响应完全模仿模拟滤波器 的单位脉冲响应，时域特性逼近好。 缺点：存在频谱混叠，故不能用脉冲响应不变法设
计高通、带阻等滤波器。
脉冲响应不变法
例: 设一阶模拟低通滤波器的系统函数为
c H (s) s c
s j
二、脉冲响应不变法的基本原理
脉冲响应不变法由H(s)获得H(z) —— 单极点情况
N
H a (s)
i 1
Ai s si
H ( z)
i 1
1 1T
N
TAi siT 1 1 e z
脉冲响应不变法由H(s)获得H(z) —— 共轭极点
s 1 2 2 (s 1 ) 1 1 2 2 (s 1 ) 1
脉冲响应不变法
四、思 考 题
• 用脉冲响应不变换法设计无限脉冲响应
(IIR)数字低通滤波器，要求通带截止频
率 p 0.2 rad，通带衰减不大于3dB，阻
带截止频率 s 0.5 rad，阻带衰减不 小于20dB。以巴特沃斯(Butterworth)模 拟低通滤波器为原型，采样间隔T=2s。
解： (2) 设计BW型原型低通滤波器 N=4，c=5.033105
BW型原型低通滤波器的系统函数为
1 Ga ( s) [( s / c )2 0.7654s / c 1][( s / c ) 2 1.8478s / c 1]
6.4166 1018 4 s 1.3152 104 s3 8.6485 109 s2 3.3315 1013 s 6.4166 1018
%Design DF BW low-pass filter using impulse invariance %DF BW LP specfication Wp=0.2*pi; Ws=0.6*pi; Ap=2; As=15; Fs=1; %Sampling frequency(Hz) %Analog Butterworth specfication wp=Wp*Fs; ws=Ws*Fs; %determine the order of AF filter N=buttord(wp,ws,Ap,As,'s'); %determine the 3-db cutoff frequency of BW filter from pass-band specfication wc=wp/(10^(0.1*Ap)-1)^(1/N/2); %determine the AF-BW filter [numa,dena]=butter(N,wc,'s');
例：利用AF-BW filter及脉冲响应不变法设计一DF，满足
p=0.2, s=0.6, p2dB, s15dB
0 -2 -4 -6 Gain,dB -8 -10
p = 1.72dB
s = 14.2dB
-12
-14 -16 -18
0
0.1
0.2
0.3
0.4 0.5 Normalized frequency
二、脉冲响应不变法的基本原理
脉冲响应不变法由H(s)获得H(z)步骤:
拉氏反变换
H(s)
h ( t)
抽样t=nT
h(n)
Z变换
H(z)
1 H (e ) z e j H a ( j jk s ) T k
j
脉冲响应不变法
1 1 T siT 1 s si 1 e z
(2) 设计BW型原型低通滤波器
100.1s 1 log10 ( 0.1 p ) 10 1 3.28 N 2 log10 (s / p )
取N=4
5 s c 5.033 10 0.1s 1/ 2 N (10 1)
脉冲响应不变法
例： 设计满足下列条件的模拟BW型高通滤波器 fp=5kHz, fs=1kHz, p1dB, s 40dB
例：利用AF-BW filter及脉冲响应不变法设计一DF，满足
p=0.2, s=0.6, p2dB, s15dB
%determine the DF filter [numd,dend]=impinvar(numa,dena,Fs); %plot the frequency response w=linspace(0,pi,1024); h=freqz(numd,dend,w); norm=max(abs(h)); numd=numd/norm; plot(w/pi,20*log10(abs(h/norm))); xlabel('Normalized frequency'); ylabel('Gain,dB'); %computer Ap As of the designed filter w=[Wp Ws]; h=freqz(numd,dend,w); fprintf('Ap= %.4f\n',-20*log10( abs(h(1)))); fprintf('As= %.4f\n',-20*log10( abs(h(2))));
0.1 s
例：利用AF-BW filter及脉冲响应不变法设计一DLF，满足
p=0.2, s=0.6, p2dB, s15dB
解：(3) 将模拟低通滤波器转换成数字低通滤波器
0.5678j 0.5678j H a ( s) s s1 s s2
1 T s si 1 e siT z 1
(3) 由变换HHP(s)=GL (1/s)获得高通滤波器
s4 H HP ( s) 4 s 5.192 10 4 s 3 1.3478 10 9 s 2 2.0497 1013 s 1.5585 1017
0.6
0.7
0.8
0.9
1
四、思 考 题
• 用脉冲响应不变法设计一个低通数字滤波器， 已知模拟归一化低通滤波器的传递函数为
1 H ( p) ( p 2)( p 1) 模拟截止频率fc为1kHz，采样频率fs为4kHz。
• （1）试求数字低通滤波器的系统函数？ • （2）画出其级联型网络结构图。
利用脉冲响应不变法求H(z)，并分别画出AF与DF的幅度响应。
解：
1 0.8 0.6 0.4
DF AF
0.2
0 0 20 40 Hz 60 80 100
fsam=200 Hz
三、脉冲响应不变法设计DF的步骤
1. 将数字滤波器的频率指标{k}转换为 模拟滤波器的频率指标{k}
k k / T
脉冲响应不变法
作
业
1、 设计满足下列条件的模拟BW型高通滤波器 fp=5kHz, fs=1kHz, p1dB, s 40dB 2、 试设计一个满足下列指标的BW型带通滤波器 l=6 rad/s, u=8 rad/s, s1=4 rad/s, s2=11 rad/s, p1 dB, s 32dB。 3、试设计一个满足下列指标的BW型带阻滤波器 p=1dB;s=20dB;l=10;u=30;s1=19;s2=21。
极点为s1=(0.5678 + 0.5654j)/T, s2=(0.5678 0.5654j)/T 利用
可得DF的系统函数为
0.3448 z 1T H ( z) 1 0.9571z 1 0.3212 z 2
三、脉冲响应不变法设计DF的步骤
脉冲响应不变法的MATLAB实现
解：
(1) 将数字低通指标转换成模拟低通指标= / T.
p=0.2/T, s=0.6/T, p2dB, s15dB
(2) 设计模拟低通滤波器 （BW型）
10 1 log10 ( 0.1 p ) s 10 1 =2 c =0.8013 /T 0.1 s 1/ 2 N N (10 1) 2 log10 (s / p ) 0.6421 1 H a ( s) ( sT ) 2 1.1356 ( sT ) 0.6421 s 2 s ( ) 2 1 c c