【志鸿优化设计】(湖北专用)2014届高考数学一轮复习 第七章不等式7.4基本不等式及其应用教学案

7.4 基本不等式及其应用
考纲要求
1．了解基本不等式的证明过程．
2．会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题． 3．会用柯西不等式解决最值问题，理解它们的几何意义．
1．基本不等式ab ≤
a ＋b
2
(1)基本不等式成立的条件：__________.
(2)等号成立的条件：当且仅当__________时取等号． (3)其中
a ＋b
2
称为正数a ，b 的__________，ab 称为正数a ，b 的__________．
2．利用基本不等式求最值问题 已知x ＞0，y ＞0，则
(1)如果积xy 是定值P ，那么当且仅当__________时，x ＋y 有__________是__________(简记：积定和最小)．
(2)如果和x ＋y 是定值S ，那么当且仅当__________时，xy 有__________值是__________(简记：和定积最大)．
3．几个常用的不等式
(1)a 2
＋b 2
__________2ab (a ，b ∈R )． (2)ab __________⎝
⎛⎭
⎪⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )．
(3)⎝ ⎛⎭
⎪⎫a ＋b 22__________a 2
＋b 2
2(a ，b ∈R )． (4)
a 2＋
b 22
≥
a ＋b
2
≥ab ≥
2
1a ＋
1b
(a ，b ＞0)．
(5)b a ＋a b
≥2(a ，b 同号且不为0)；
b a ＋a
b
≤－2(a ，b 异号且不为0)． 4．柯西不等式
设a 1，a 2，a 3，…，a n ，b 1，b 2，b 3，…，b n 是实数，则(a 2
1＋a 2
2＋…＋a 2
n )(b 2
1＋b 2
2＋…＋b 2
n )≥(a 1b 1
＋a 2b 2＋…＋a n b n )2
，当且仅当b i ＝0(i ＝1,2，…，n )或存在一个数k ，使得a i ＝kb i (i ＝1,2，…，
n )时，等号成立．
1．若x ＋2y ＝4，则2x
＋4y
的最小值是( )．
A ．4
B ．8
C ．2 2
D ．4 2
2．(2012湖北武昌高三调研)“a ＝14”是“对任意正数x ，均有x ＋a
x ≥1”的( )．
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
3．设x ＞0，y ＞0，且x ＋4y ＝40，则lg x ＋lg y 的最大值是( )． A ．40
B ．10
C ．4
D ．2
4．当x ＞2时，不等式x ＋1
x －2≥a 恒成立，则实数a 的取值范围是( )． A ．(－∞，2] B ．(－∞，4] C ．[0，＋∞)
D ．[2,4]
5．建造一个容积为8 m 3
，深为2 m 的长方体无盖水池，如果池底和池壁1 m 2
的造价分别为120元和80元，那么水池表面积的最低造价为__________元．
一、利用基本不等式证明不等式
【例1】设a ，b 均为正实数，求证：1a 2＋1
b
2＋ab ≥2 2.
方法提炼
利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，综合法是指从已证不等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后转化为所求问题，其特征是以“已知”看“可知”，逐步推向“未知”．
请做演练巩固提升5 二、利用基本不等式求最值
【例2－1】 (2012浙江高考)若正数x ，y 满足x ＋3y ＝5xy ，则3x ＋4y 的最小值是( )．
A.24
5
B.28
5
C ．5
D ．6
【例2－2】 (1)设0＜x ＜2，求函数y ＝x 4－2x 的最大值；
(2)求
4
a －2
＋a 的取值范围； (3)已知x ＞0，y ＞0，且x ＋y ＝1，求3x ＋4
y
的最小值．
方法提炼
1．在应用基本不等式求最值时，要把握三个方面，即“一正——各项都是正数；二定——和或积为定值；三相等——等号能取得”，这三个方面缺一不可．
2．对于求分式型的函数最值题，常采用拆项使分式的分子为常数，有些分式函数可以拆项分成一个整式和一个分式(该分式的分子为常数)的形式，这种方法叫分离常数法．
3．为了创造条件使用基本不等式，就需要对式子进行恒等变形，运用基本不等式求最值的焦点在于凑配“和”与“积”，并且在凑配过程中就应考虑到等号成立的条件，另外，可利用二次函数的配方法求最值．
请做演练巩固提升3,4 三、柯西不等式
【例3】设x ，y ，z ∈R ，x 2
＋y 2
＋z 2
＝25，试求x －2y ＋2z 的最大值与最小值． 请做演练巩固提升6 四、基本不等式的实际应用
【例4－1】 某单位用2 160万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少10层、每层2 000平方米的楼房．经测算，如果将楼房建为x (x ≥10)层，则每平方米的平均建筑费用为560＋48x (单位：元)．为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？(注：平均综合费用＝平均建筑费用＋平均购地费用，平均购地费用＝购地总费用建筑总面积
)
【例4－2】 要设计如图的一张矩形广告，该广告含有大小相等的左中右三个矩形栏目，这三栏的面积之和为60 000 cm 2
，四周空白的宽度为10 cm ，栏与栏之间的中缝空白的宽度为5 cm ，怎样确定广告的高与宽的尺寸(单位：cm)，使整个矩形广告面积最小．
方法提炼
基本不等式实际应用题的特点：
(1)问题的背景是人们关心的社会热点问题，如“物价、销售、税收、原材料”等，题
目往往较长，解题时需认真阅读，从中提炼出有用信息，建立数学模型，转化为数学问题求解．
(2)当运用基本不等式求最值时，若等号成立的自变量不在定义域内时，就不能使用基本不等式求解，此时可根据变量的范围用对应函数的单调性求解．
请做演练巩固提升2
忽视题目的隐含条件致误
【典例】 在平面直角坐标系xOy 中，过坐标原点的一条直线与函数f (x )＝2
x
的图象交
于P 、Q 两点，则线段PQ 长的最小值是________．
分析：由已知条件可知两交点必关于原点对称，从而设出交点代入两点间距离公式，整理后应用均值不等式求解即可．
解析：由题意可知f (x )＝2
x
的图象关于原点对称，而与过原点的直线相交，则两交点必
关于原点对称，故可设两交点分别为P ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ，2x 与Q ⎝ ⎛⎭
⎪⎫－x ，－2x ，
由两点间距离公式可得 |PQ |＝
x ＋x
2
＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫2x ＋2x 2
＝2x
2
＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫4x 2
≥4， 等号当且仅当x 2
＝2，即x ＝±2时取得． 答案：4 答题指导：
1．在解答本题时主要有两点误区：
(1)对于题目自身的含义理解不透，无法掌握交点关系，造成不会解．
(2)有些同学设出直线方程与f (x )＝2
x
联立得出两交点关系，再应用两点间距离公式求
解，出现运算繁琐情况，导致错解．
2．解决此类问题时还有以下几点在备考时要注意： (1)理解函数的图象、性质，明确其表达的含义； (2)熟记要掌握的公式，如本例中的两点间距离公式； (3)思考要周密，运算要准确、快速．
另外，由于此类题目往往以小题形式出现，因而能用简便方法的尽量使用简便方法．
1．(2013届湖北华师附中高三期中检测)已知M 是△ABC 内的一点，且AB →·AC →
＝23，
∠BAC ＝30°，若△MBC ，△MCA ，△MAB 的面积分别为12，x ，y ，则1x ＋4
y
的最小值为( )．
A ．20
B ．18
C ．16
D ．14
2．某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元．若每批生产x 件，则平均仓储时间为x
8天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均到每件产品的生产准备费
用与仓储费用之和最小，每批应生产产品( )．
A ．60件
B ．80件
C ．100件
D ．120件
3．函数y ＝log a (x ＋3)－1(a ＞0，且a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx ＋ny ＋1＝0上(其中m ，n ＞0)，则1m ＋2
n
的最小值等于( )．
A ．16
B ．12
C ．9
D ．8
4．已知向量a ＝(x ，－1)，b ＝(y －1,1)，x ，y ∈R ＋
，若a ∥b ，则t ＝x ＋1x ＋y ＋1y
的最
小值是( )．
A ．4
B ．5
C ．6
D ．8
5．已知a ，b ，c 都是实数，求证：a 2＋b 2＋c 2≥13(a ＋b ＋c )2
≥ab ＋bc ＋ac .
6．设x ，y ，z ∈R ，且x －1
2
16
＋
y ＋2
2
5
＋
z －3
2
4
＝1，求x ＋y ＋z 的最大值和最
小值．
参考答案
基础梳理自测 知识梳理
1．(1)a ＞0，b ＞0 (2)a ＝b (3)算术平均数 几何平均数 2．(1)x ＝y 最小值 2P (2)x ＝y 最大 S 2
4
3．(1)≥ (2)≤ (3)≤ 基础自测
1．B 解析：∵2x ＋4y ≥2·2x ·22y ＝2·2
x ＋2y
＝2·24
＝8，
当且仅当2x
＝22y
，即x ＝2y ＝2时取等号，∴2x
＋4y
的最小值为8. 2．A 解析：当a ＝14时，x ＋1
4x
≥2
1
4
＝1； 当x ＝14x ，即x ＝1
2时取“＝”；反之，不一定成立，故选A.
3．D 解析：∵x ＋4y ＝40，且x ＞0，y ＞0，
∴x ＋4y ≥2·x ·4y ＝4·xy .(当且仅当x ＝4y 时取“＝”) ∴4xy ≤40.∴xy ≤100.
∴lg x ＋lg y ＝lg xy ≤lg 100＝2. ∴lg x ＋lg y 的最大值为2. 4．B 解析：∵x ＋
1
x －2
≥a 恒成立， ∴a 必须小于或等于x ＋1
x －2
的最小值． ∵x ＞2，∴x －2＞0. ∴x ＋
1x －2＝(x －2)＋1x －2
＋2≥4， 当且仅当x ＝3时取最小值4. 故选择B.
5．1 760 解析：设水池底面的长度、宽度分别为a m ，b m ，则ab ＝4， 令水池表面的总造价为y ， 则y ＝ab ×120＋2(2a ＋2b )×80
＝480＋320(a ＋b )≥480＋320×2ab ＝480＋320×4＝1 760，
当且仅当a ＝b ＝2时取“＝”． 考点探究突破
【例1】 证明：由于a ，b 均为正实数， 所以1a 2＋1b 2≥2
1
a
2
·1b 2＝2ab
.
当且仅当1a 2＝1
b
2，即a ＝b 时等号成立．
又因为2
ab ＋ab ≥2
2
ab
·ab ＝2 2.
当且仅当2
ab
＝ab 时等号成立．
所以1a 2＋1b 2＋ab ≥2
ab
＋ab ≥22，
当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧
1a 2
＝1b 2
，
2
ab ＝ab ，
即a ＝b ＝4
2时取等号．
【例2－1】 C 解析：∵x ＋3y ＝5xy ， ∴
15y ＋3
5x
＝1. ∴3x ＋4y ＝(3x ＋4y )×1 ＝(3x ＋4y )⎝
⎛⎭
⎪⎫15y ＋35x
＝3x 5y ＋95＋45＋12y 5x ≥135
＋23x 5y ·12y
5x
＝5， 当且仅当3x 5y ＝12y 5x ，即x ＝1，y ＝1
2时等号成立．
【例2－2】解：(1)∵0＜x ＜2， ∴2－x ＞0.
∴y ＝x (4－2x )＝2·x (2－x )≤2·x ＋2－x
2
＝2，
当且仅当x ＝2－x ，即x ＝1时取等号，
∴当x ＝1时，函数y ＝x (4－2x )的最大值是 2. (2)显然a ≠2，当a ＞2时，a －2＞0，
∴
4a －2＋a ＝4a －2＋(a －2)＋2≥24
a －2
·(a －2)＋2＝6， 当且仅当
4
a －2
＝a －2，即a ＝4时取等号； 当a ＜2时，a －2＜0， ∴
4a －2＋a ＝4a －2
＋(a －2)＋2 ＝－⎣⎢
⎡⎦
⎥
⎤42－a ＋(2－a )＋2≤－2
4
2－a
·(2－a )＋2＝－2， 当且仅当4
2－a ＝2－a ，
即a ＝0时取等号， ∴
4
a －2
＋a 的取值范围是(－∞，－2]∪[6，＋∞)． (3)∵x ＞0，y ＞0，且x ＋y ＝1， ∴3x ＋4y ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫
3x ＋4y (x ＋y )
＝7＋3y x
＋4x
y
≥7＋23y x ·4x y
＝7＋43，
当且仅当3y x ＝4x
y
，即2x ＝3y 时等号成立，
∴3x ＋4
y
的最小值为7＋4 3.
【例3】 解：根据柯西不等式
(1·x －2·y ＋2·z )2
≤[12
＋(－2)2
＋22
](x 2
＋y 2
＋z 2
)， 即(x －2y ＋2z )2
≤9×25. 从而有－15≤x －2y ＋2z ≤15，
故x －2y ＋2z 的最大值为15，最小值为－15.
【例4－1】 解：设将楼房建为x 层，则每平方米的平均购地费用为2 160×10
4
2 000x ＝
10 800
x
.
∴每平方米的平均综合费用
y ＝560＋48x ＋
10 800
x
＝560＋48⎝
⎛⎭
⎪⎫x ＋225x (x ≥10)，
当x ＋225
x
取最小时，y 有最小值．
∵x ＞0，∴x ＋225
x
≥2
x ·
225
x
＝30，
当且仅当x ＝225
x
，即x ＝15时，上式等号成立．
∴当x ＝15时，y 有最小值2 000元．
因此该楼房建为15层时，每平方米的平均综合费用最少． 【例4－2】解：设矩形栏目的高为a cm ，宽为b cm ， 则ab ＝20 000， ∴b ＝20 000a
.
广告的高为a ＋20，宽为3b ＋30(其中a ＞0，b ＞0)， 广告的面积S ＝(a ＋20)(3b ＋30) ＝30(a ＋2b )＋60 600
＝30⎝
⎛⎭
⎪
⎫a ＋40 000a
＋60 600 ≥30×2a ×
40 000
a
＋60 600
＝12 000＋60 600＝72 600，
当且仅当a ＝40 000
a
，即a ＝200时，取等号，此时b ＝100.
故当广告的高为220 cm ，宽为330 cm 时，可使整个矩形广告的面积最小． 演练巩固提升
1．B 解析：由已知得AB ·AC ＝bc cos∠BAC ＝23，∴bc ＝4. 故S △ABC ＝x ＋y ＋12＝1
2bc ·sin A ＝1，
∴x ＋y ＝1
2
.
∴1x ＋4y
＝(x ＋y )⎝ ⎛⎭
⎪⎫1x ＋4y ×2
＝2⎝ ⎛⎭
⎪⎫5＋y x
＋4x y ≥2⎝
⎛⎭
⎪⎫
5＋2
y x ·4x y ＝18. 2．B 解析：由题意得平均每件产品生产准备费用为
800
x
元，
仓储费用为x 8元，从而费用和为800x ＋x
8
≥2
800x ·x
8
＝20. 当800x ＝x
8
，即x ＝80时等号成立． 3．D 解析：函数y ＝log a (x ＋3)－1的图象恒过定点A (－2，－1)， ∴－2m －n ＋1＝0，即2m ＋n ＝1. ∴1m ＋2n ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫
1m ＋2n (2m ＋n )
＝2＋2＋n m
＋4m
n
≥4＋2
n m ·4m
n
＝8， 当n m
＝4m n
，即n 2＝4m 2
，即n ＝2m ， 即n ＝12，m ＝14时，1m ＋2
n 取得最小值8.
4．B 解析：由a ∥b ，得x ＋y ＝1，
t ＝t (x ＋y )＝⎝ ⎛
⎭
⎪⎫
1＋1x ＋1y (x ＋y )
＝1＋2＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫y x ＋x y
≥3＋2
y x ·x
y
＝5， 当x ＝y ＝1
2时，t 取得最小值5.
5．证明：∵a 2
＋b 2
≥2ab ，b 2
＋c 2
≥2bc ，
a 2＋c 2≥2ac ，
∴2a 2
＋2b 2
＋2c 2
≥2ab ＋2bc ＋2ac ， ∴3(a 2
＋b 2
＋c 2
)≥(a ＋b ＋c )2
， 即a 2＋b 2＋c 2≥13
(a ＋b ＋c )2
.
由a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ac ，
∴a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2bc ＋2ac ≥3ab ＋3bc ＋3ac ，
∴(a ＋b ＋c )2≥3(ab ＋bc ＋ac )．
∴13
(a ＋b ＋c )2≥ab ＋bc ＋ac . 综上所述，a 2＋b 2＋c 2≥13
(a ＋b ＋c )2≥ab ＋bc ＋ac ，命题得证． 6．解：∵(x －1)
216＋(y ＋2)25＋(z －3)
24＝1，
由柯西不等式知[42＋(5)2＋
22]⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫x －142＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋252＋⎝ ⎛⎭⎪⎫z －322≥⎣⎢⎡⎦⎥⎤4·⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1
4＋5·⎝ ⎛⎭⎪⎫
y ＋25＋2·⎝ ⎛⎭⎪⎫z －3
22
⇒25×1≥(x ＋y ＋z －2)2
⇒5≥|x ＋y ＋z －2|
⇒－5≤x ＋y ＋z －2≤5，
∴－3≤x ＋y ＋z ≤7.
故x ＋y ＋z 的最大值为7，最小值为－3.。