江阴市江阴二中数学高一下期中经典习题(含解析)

一、选择题
1．(0分)[ID ：12421]设l 为直线，,αβ是两个不同的平面，下列命题中正确的是( ) A ．若//l α，//l β，则//αβ
B ．若l α⊥，l β⊥，则//αβ
C ．若l α⊥，//l β，则//αβ
D ．若αβ⊥，//l α，则l β⊥ 2．(0分)[ID ：12420]若四棱锥的三视图如图，则此四棱锥的四个侧面的面积中最大值为
（ ）
A ．3
B 13
C ．32
D ．333．(0分)[ID ：12405]三棱锥P -ABC 中，P A ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，P A =2，AB =BC =1，则其外接球的表面积为（ ）
A ．6π
B ．5π
C ．4π
D ．3π
4．(0分)[ID ：12398]已知定义在R 上的函数()21()x m f x m -=-为实数为偶函数,记0.5(log 3),a f 2b (log 5),c (2)f f m ,则,,a b c ,的大小关系为（ ）
A ．a b c <<
B ．c a b <<
C ．a c b <<
D ．c b a << 5．(0分)[ID ：12379]已知点(),P x y 是直线()400kx y k ++=>上一动点，,PA PB 是圆22
:20C x y y +-=的两条切线，切点分别为,A B ，若四边形PACB 的面积最小值为2，则k 的值为（ ）
A ．3
B ．212
C ．22
D ．2 6．(0分)[ID ：12353]已知圆()()22:341C x y -+-=和两点(),A m m -，
(),B m m -()0m >，若圆C 上存在点P ，使得90APB ∠=︒，则m 的最大值为（ ） A ．2B ．32C 322D ．227．(0分)[ID ：12344]用一个平面去截正方体，则截面不可能是（ ）
A ．直角三角形
B ．等边三角形
C ．正方形
D ．正六边形
8．(0分)[ID ：12341]正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为（ ）
A ．814π
B ．16π
C ．9π
D ．274
π
9．(0分)[ID ：12394]如图，在下列四个正方体中，A ，B 为正方体的两个顶点，M ，N ，Q 为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB 与平面MNQ 不平行的是( )
A ．
B ．
C ．
D ．
10．(0分)[ID ：12391]已知点()1,2-和3,03⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭
在直线():100l ax y a --=≠的两侧，则直线l 的倾斜角的取值范围是 ( )
A ．,43ππ⎛⎫
⎪⎝⎭ B ．2,33ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．25,36ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．30,,34πππ⎛⎫⎛⎫⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
11．(0分)[ID ：12387]α，β为两个不同的平面，m ，n 为两条不同的直线，下列命题中正确的是（ ）
①若α//β，m ⊂α，则m//β； ②若m//α，n ⊂α，则m//n ；
③若α⊥β，α∩β=n ，m ⊥n ，则m ⊥β ④若n ⊥α，n ⊥β，m ⊥α，则m ⊥β. A ．①③ B ．①④ C ．②③ D ．②④
12．(0分)[ID ：12367]如图所示，在棱长为a 的正方体1111ABCD A B C D -中，E 是棱1DD 的中点，F 是侧面11CDD C 上的动点，且1//B F 面1A BE ，则F 在侧面11CDD C 上的轨迹的长度是( )
A ．a
B ．2a
C 2a
D ．22
a 13．(0分)[ID ：12418]如图，正四面体ABCD 中，,E F 分别是线段AC 的三等分点，P 是线段AB 的中点，G 是线段BD 的动点，则( )
A ．存在点G ，使PG EF ⊥成立
B ．存在点G ，使FG EP ⊥成立
C ．不存在点G ，使平面EFG ⊥平面AC
D 成立
D ．不存在点G ，使平面EFG ⊥平面ABD 成立 14．(0分)[ID ：12339]某几何体的三视图如图所示，图中的四边形都是边长为4的正方形，两条虚线互相垂直且相等，则该几何体的体积是（ ）
A ．1763
B ．1603
C ．1283
D ．32
15．(0分)[ID ：12363]若圆锥的高等于底面直径，则它的底面积与侧面积之比为 A ．1∶2
B ．13
C ．15
D 32
二、填空题 16．(0分)[ID ：12518]若过点(8,1)P 的直线与双曲线2244x y -=相交于A ，B 两点，
且P 是线段AB 的中点，则直线AB 的方程为________．
17．(0分)[ID ：12509]已知三棱锥D ABC -的体积为2，ABC ∆是边长为2的等边三角形，且三棱锥D ABC -的外接球的球心O 恰好是CD 的中点，则球O 的表面积为_______.
18．(0分)[ID ：12470]已知平面α，β，γ是空间中三个不同的平面，直线l ，m 是空间中两条不同的直线，若α⊥γ，γ∩α＝m ，γ∩β＝l ，l⊥m，则
①m⊥β；②l⊥α；③β⊥γ；④α⊥β.
由上述条件可推出的结论有________(请将你认为正确的结论的序号都填上)．
19．(0分)[ID ：12465]将正方形ABCD 沿对角线BD 折成直二面角A BD C --，
①AB 与平面BCD 所成角的大小为60
②ACD ∆是等边三角形
③AB 与CD 所成的角为60
④AC BD ⊥
⑤二面角B AC D --为120︒
则上面结论正确的为_______．
20．(0分)[ID ：12445]正四棱锥P ABCD -底面的四个顶点,,,A B C D 在球O 的同一个大圆上，点P 在球面上.若163
P ABCD V ，则球O 的体积是______． 21．(0分)[ID ：12503]在平面直角坐标系xoy 中，ABC ∆的坐标分别为()1,1A --，()2,0B ，()1,5C ，则BAC ∠的平分线所在直线的方程为_______
22．(0分)[ID ：12499]若圆C ：22
2430x y x y ++-+=，关于直线260ax by ++=对称，则由点(),a b 向圆所作的切线长的最小值为______．
23．(0分)[ID ：12482]已知圆225x y +=和点()1,2A ，则过点A 的圆的切线方程为______
24．(0分)[ID ：12494]已知双曲线x 2
a 2−y 2
b 2=1(a >0,b >0)的半焦距为
c ，过右焦点且斜
率为1的直线与双曲线的右支交于两点，若抛物线y 2=4cx 的准线被双曲线截得的弦长是2√2
3be 2（e 为双曲线的离心率），则e 的值为__________．
25．(0分)[ID ：12438]已知PA 垂直于平行四边形ABCD 所在平面，若PC BD ⊥，则平行四边形ABCD 一定是___________.
三、解答题
26．(0分)[ID ：12592]如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，AD ⊥平面1A BC ，其垂足D 落在直线1A B 上．
（Ⅰ）求证：1BC A B ⊥；
（Ⅱ）若P 是线段AC 上一点，3,2AD AB BC ===，三棱锥1A PBC -的体积为
33
，求AP PC 的值. 27．(0分)[ID ：12566]如图，在四棱锥P ABCD -中，侧面PAD ⊥底面ABCD ，侧棱PA PD ⊥，底面ABCD 是直角梯形，其中//BC AD ，90BAD ∠=︒，3AD BC =，2AO OD =.
（1）求证：平面PAB ⊥平面PCD .
（2）试问在棱PA 上是否存在点E ，使得面//BOE 面PCD ，若存在，试指出点E 的位置并证明；若不存在，请说明理由.
28．(0分)[ID ：12622]已知圆22
C (4)4x y +-=：，直线:(31)(1)40l m x m y ++--=.
（1）求直线l 所过定点A 的坐标；
（2）求直线l 被圆C 所截得的弦长最短时直线l 的方程及最短弦长；
（3）已知点M (-3,4)，在直线MC 上(C 为圆心)，存在定点N (异于点M )，满足：对于圆C
上任一点P ，都有||||
PM PN 为一常数， 试求所有满足条件的点N 的坐标及该常数. 29．(0分)[ID ：12610]（1）用符号表示下来语句，并画出同时满足这四个语句的一个几何图形：
①直线l 在平面α内；
②直线m 不在平面α内；
③直线m 与平面α交于点A ； ④直线l 不经过点A .
（2）如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱1BB 的中点，F 为棱1CC 的三等分点，画出由1,,D E F 三点所确定的平面β与平面ABCD 的交线.(保留作图痕迹)
30．(0分)[ID ：12533]如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是菱形．
（1）求证：BD PC ⊥；
（2）若平面PBC 与平面PAD 的交线为l ，求证：//BC l ．
【参考答案】
2016-2017年度第*次考试试卷 参考答案
**科目模拟测试
一、选择题
1．B
2．C
3．A
4．B
5．D
6．B
7．A
8．A
9．A
10．D
11．B
12．D
13．C
14．B
15．C
二、填空题
16．【解析】【分析】设出的坐标代入双曲线方程两式相减根据中点的坐标可知和的值进而求得直线的斜率根据点斜式求得直线的方程【详解】设则直线的方程为即故答案为【点睛】本题主要考查双曲线的方程直线的斜率公式直线
17．【解析】【分析】如图所示根据外接球的球心O恰好是的中点将棱锥的高转化为点到面的距离再利用勾股定理求解【详解】如图所示：设球O的半径为R球心O到平面的距离为d由O是的中点得解得作平面ABC垂足为的外心
18．②④【解析】【分析】对每一个选项分析判断得解【详解】根据已知可得面β和面γ可成任意角度和面α必垂直所以直线m可以和面β成任意角度①不正确；l⊂γl⊥m所以
l⊥α②正确；③显然不对；④因为l⊂βl⊥α
19．②③④【解析】【分析】作出此直二面角的图象由图形中所给的位置关系对命题逐一判断即可得出正确结论【详解】作出如图的图象E是BD的中点易得∠AED＝90°即为此直二面角的平面角对于命题①AB与平面BCD
20．【解析】【分析】正四棱锥底面的四个顶点在球的同一个大圆上则棱锥的高等于球的半径由此可由棱锥体积求得球的半径从而得球体积【详解】∵正四棱锥底面的四个顶点在球的同一个大圆上∴球心是正方形对角线交点是棱锥
21．【解析】【分析】设的平分线与交于根据角平分线与面积关系求出利用共线向量坐标关系求出点坐标即可求解【详解】设的角平分线与交于解得所以的平分线方程为故答案为:【点睛】本题考查角平分线方程向量共线坐标应用
22．4【解析】因为圆=关于直线=对称所以圆心在直线=上所以即又圆的半径为当点(ab)与圆心的距离最小时切线长取得最小值又点(ab)与圆心的距离为=所以切线长的最小值为=故答案为4点睛：本题主要考查直线与
23．【解析】【分析】先由题得到点A在圆上再设出切线方程为利用直线和圆相切得到k 的值即得过点A的圆的切线方程【详解】因为所以点在圆上设切线方程为即kx-y-k+2=0因为直线和圆相切所以所以切线方程为所以
24．62【解析】试题分析：由题意得抛物线的准线为x=-c它正好经过双曲线的左焦点所以准线被双曲线截得的弦长为2b2a所以2b2a=223be2即ba=23e2所以整理得2e4-9e2+1=0解得e=62
25．菱形【解析】【分析】【详解】根据题意画出图形如图∵PA垂直平行四边形ABCD所在平面∴PA⊥BD又∵PC⊥BDPA⊂平面PACPC⊂平面PACPA∩PC=P∴BD⊥平面PAC又∵AC⊂平面PAC∴A
三、解答题
26．
27．
28．
29．
30．
2016-2017年度第*次考试试卷参考解析
【参考解析】
**科目模拟测试
一、选择题
1．B
解析：B
【解析】
A 中，,αβ也可能相交；
B 中，垂直与同一条直线的两个平面平行，故正确；
C 中，,αβ也可能相交；
D 中，l 也可能在平面β内.
【考点定位】点线面的位置关系
2．C
解析：C
【解析】
【分析】
由四棱锥的三视图，还原几何体如图，可证得,CD PD ⊥CB PB ⊥，分别计算四个侧面三角形的面积，比较即得解.
【详解】
由四棱锥的三视图，还原几何体如图，其中底面ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD
由于,,CD AD CD PA AD
PA A CD ⊥⊥=∴⊥平面PAD ，CD PD ∴⊥
同理可证：CB PB ⊥ 1111222,2332222PAB PAD S PA AB S PA AD ∆∆∴=
⨯=⨯⨯==⨯=⨯⨯= 111122332,213132222
PBC PCD S PB BC S CD PD ∆∆=⨯=⨯==⨯=⨯= 故四棱锥的四个侧面的面积中最大值为32故选：C
【点睛】
本题考查了利用三视图还原几何体，侧面三角形面积的计算，考查了学生空间想象，逻辑推理，数学运算的能力，属于中档题.
3．A
解析：A
【解析】
分析：将三棱锥的外接球转化为以,,AP AB BC 为长宽高的长方体的外接球，从而可得球半径，进而可得结果.
详解：因为PA ⊥平面AB ，,AB BC ⊂平面ABC ，
PA BC ∴⊥，,PA AB AB BC ⊥⊥，
所以三棱锥的外接球，就是以,,AP AB BC 为长宽高的长方体的外接球，
外接球的直径等于长方体的对角线，
即2R ==
246R ππ=，故选A.
点睛：本题主要考查三棱锥外接球表面积的求法，属于难题.要求外接球的表面积和体积，关键是求出求的半径，求外接球半径的常见方法有：
①若三条棱两垂直则用22224R a b c =++（,,a b c 为三棱的长）；
②若SA ⊥面ABC （SA a =），则22244R r a =+（r 为ABC ∆外接圆半径） ③可以转化为长方体的外接球；
④特殊几何体可以直接找出球心和半径.
4．B
解析：B
【解析】
由()f x 为偶函数得0m =,所以
0,52log 3log 32121312,a =-=-=-=2log 521514b =-=-=,0210c =-=,所以c a b <<,故选B.
考点：本题主要考查函数奇偶性及对数运算.
5．D
解析：D
【解析】
【分析】
当且仅当PC 垂直于()400kx y k ++=>时，四边形PACB 的面积最小，求出PC 后可得最小面积，从而可求k 的值.
【详解】
圆C 方程为()2
211x y +-=，圆心()0,1C ，半径为1． 因为PA ，PB 为切线，
221PC PA ∴=+且1=2122
PACB S PA PA ⨯⨯⨯==四边形． ∴当PA 最小时，PACB S 四边形最小， 此时PC 最小且PC 垂直于()400kx y k ++=>．
又min 251PC k =+，222
2521+1k ⎛⎫∴= ⎪+⎝⎭，2k ∴=，故选D. 【点睛】 圆中的最值问题，往往可以转化圆心到几何对象的距离的最值来处理，这类问题属于中档题.
6．B
解析：B
【解析】
【分析】
根据使得90APB ∠=︒的点P 在以AB 为直径的圆上,再分析轨迹圆与圆C 的关系即可.
【详解】
由题, 使得90APB ∠=︒的点P 在以AB 为直径的圆上,又两点(),A m m -,(),B m m -, 所以圆心为()0,0.半径为()222m m m +-=.故P 的轨迹方程为2222x y m +=. 又由题意知,当圆()()22:341C x y -+-=内切于222x y m +=时m 取最大值. 此时2223416m
,故32m =.
故选：B
【点睛】
本题主要考查了圆与圆的位置关系,重点是根据90APB ∠=︒求出点P 的轨迹.属于中等题型. 7．A
解析：A
【解析】
【分析】
【详解】
画出截面图形如图
显然A 正三角形C 正方形：
D 正六边形
可以画出三角形但不是直角三角形；
故选A ．
用一个平面去截正方体，则截面的情况为：
①截面为三角形时，可以是锐角三角形、等腰三角形、等边三角形，但不可能是钝角三角形、直角三角形；
②截面为四边形时，可以是梯形（等腰梯形）、平行四边形、菱形、矩形，但不可能是直角梯形；
③截面为五边形时，不可能是正五边形；
④截面为六边形时，可以是正六边形．
故可选A ．
8．A
解析：A
【解析】
【分析】
【详解】
正四棱锥P-ABCD 的外接球的球心在它的高1PO 上，
记为O ，PO=AO=R ，14PO =，1OO =4-R ，
在Rt △1AOO 中，12AO =
由勾股定理()2224R R =+-得94R =
， ∴球的表面积814
S π=，故选A.
考点：球的体积和表面积
9．A
解析：A
【解析】
【分析】
利用线面平行判定定理可知B 、C 、D 均不满足题意，从而可得答案．
【详解】
对于B 项，如图所示，连接CD ，因为AB ∥CD ，M ，Q 分别是所在棱的中点，所以MQ ∥CD ，所以AB ∥MQ ，又AB ⊄平面MNQ ，MQ ⊂平面MNQ ，所以AB ∥平面MNQ ， 同理可证，C ，D 项中均有AB ∥平面MNQ .
故选：A.
【点睛】
本题考查空间中线面平行的判定定理，利用三角形中位线定理是解决本题的关键，属于中档题．
10．D
解析：D
【解析】
设直线l 的倾斜角为θ∈[0,π).点A (1,−2),B 3 直线l :ax −y −1=0(a ≠0)经过定点P (0,−1). ()
121, 3.0130PA PB k k ---==-==-- ∵点(1,−2)和3在直线l :ax −y −1=0(a ≠0)的两侧，
∴k P A <a <k PB ,∴−1<tanθtanθ≠0. 解得30,34
ππ
θθπ<<<<.
本题选择D 选项. 11．B
解析：B
【解析】
【分析】
在①中，由面面平行的性质定理得m ∥β；在②中，m 与n 平行或异面；在③中，m 与β相交、平行或m ⊂β；在④中，由n ⊥α，m ⊥α，得m ∥n ，由n ⊥β，得m ⊥β．
【详解】
由α，β为两个不同的平面，m ，n 为两条不同的直线，知：
在①中，若α∥β，m ⊂α，则由面面平行的性质定理得m ∥β，故①正确；
在②中，若m ∥α，n ⊂α，则m 与n 平行或异面，故②错误；
在③中，若α⊥β，α∩β＝n ，m ⊥n ，则m 与β相交、平行或m ⊂β，故③错误； 在④中，若n ⊥α，m ⊥α，则m ∥n ，
由n ⊥β，得m ⊥β，故④正确．
故选：B ．
【点睛】
本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力，考查化归与转化思想，是中档题．
12．D
解析：D
【解析】
【分析】
设H ，I 分别为1CC 、11C D 边上的中点，由面面平行的性质可得F 落在线段HI 上，再求HI 的长度即可.
【详解】
解：设G ，H ，I 分别为CD 、1CC 、11C D 边上的中点，
则ABEG 四点共面，
且平面1//A BGE 平面1B HI ，
又1//B F 面1A BE ，
F ∴落在线段HI 上，
正方体1111ABCD A B C D -中的棱长为a ，
1122
HI CD a ∴==，
即F 在侧面11CDD C 上的轨迹的长度是2
a ．
【点睛】
本题考查了面面平行的性质及动点的轨迹问题，属中档题.
13．C
解析：C
【解析】
【分析】
利用空间中线线、线面、面面间的位置关系对选项进行一一验证，即可得答案．
【详解】
正四面体ABCD中，,E F分别是线段AC的三等分点，
P是线段AB的中点，G是直线BD的动点，
⊥成立，故A错误；
在A中，不存在点G，使PG EF
⊥成立，故B错误；
在B中，不存在点G，使FG EP
在C中，不存在点G，使平面EFG⊥平面ACD成立，故C正确；
在D中，存在点G，使平面EFG⊥平面ABD成立，故D错误.
故选：C.
【点睛】
本题考查命题真假的判断、考查空间中线线、线面、面面间的位置关系，考查转化与化归思想，考查空间想象能力．
14．B
解析：B
该几何体为一个正方体去掉一个倒四棱锥，其中正方体棱长为4，倒四棱锥顶点为正方体中心，底面为正方体上底面，因此体积是32116042433
-⨯⨯=，选B. 点睛： 1.解答此类题目的关键是由多面体的三视图想象出空间几何体的形状并画出其直观图．2．三视图中“正侧一样高、正俯一样长、俯侧一样宽”，因此，可以根据三视图的形状及相关数据推断出原几何图形中的点、线、面之间的位置关系及相关数据．
15．C
解析：C
【解析】
【分析】
由已知，求出圆锥的母线长，进而求出圆锥的底面面积和侧面积，可得答案
【详解】
设圆锥底面半径为r ，则高h ＝2r ，∴其母线长l ＝
r ．∴S 侧＝πrl ＝πr 2，S 底＝πr 故选
C ．
【点睛】
本题考查的知识点是旋转体，圆锥的表面积公式，属于基础题．
二、填空题
16．【解析】【分析】设出的坐标代入双曲线方程两式相减根据中点的坐标可知和的值进而求得直线的斜率根据点斜式求得直线的方程【详解】设则直线的方程为即故答案为【点睛】本题主要考查双曲线的方程直线的斜率公式直线 解析：2150x y --=
【解析】
【分析】
设出,A B 的坐标，代入双曲线方程，两式相减,根据中点的坐标可知12x x +和12y y +的值,进而求得直线AB 的斜率，根据点斜式求得直线的方程.
【详解】
设()()1122,,,A x y B x y ，则1216x x +=，122y y +=，
2222112244,44x y x y -=-=，
()()()()121212120x x x x y y y y ∴+--+-=
()()12121680x x y y ∴---=，
12121628
y y x x -==- 2AB k ∴=，
∴直线的方程为()128y x -=-，即2150x y --=，故答案为2150x y --=.
本题主要考查双曲线的方程、直线的斜率公式、直线点斜式方程的应用，意在考查灵活运用所学知识解答问题的能力，属于中档题. 涉及弦长的中点问题，常用“点差法”设而不求，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来，相互转化.
17．【解析】【分析】如图所示根据外接球的球心O 恰好是的中点将棱锥的高转化为点到面的距离再利用勾股定理求解【详解】如图所示：设球O 的半径为R 球心O 到平面的距离为d 由O 是的中点得解得作平面ABC 垂足为的外心 解析：523
π 【解析】
【分析】 如图所示，根据外接球的球心O 恰好是CD 的中点，将棱锥的高，转化为点到面的距离，再利用勾股定理求解.
【详解】
如图所示：
设球O 的半径为R ，球心O 到平面ABC 的距离为d ，
由O 是CD 的中点得221322232D ABC O ABC V V --==
⨯⨯=， 解得3d =
作1OO ⊥平面ABC ，垂足1O 为ABC ∆的外心， 所以123CO =， 所以22223133)3R =+=⎝⎭
，
所以球O 的表面积为25243R ππ=
. 故答案为：
523
π 【点睛】 本题主要考查三棱锥的外接球的体积，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题.
18．②④【解析】【分析】对每一个选项分析判断得解【详解】根据已知可得面β和面γ可成任意角度和面α必垂直所以直线m 可以和面β成任意角度①不正确；l ⊂γl ⊥m 所以l ⊥α②正确；③显然不对；④因为l ⊂βl ⊥α
解析：②④
【解析】
【分析】
对每一个选项分析判断得解.
【详解】
根据已知可得面β和面γ可成任意角度，和面α必垂直．所以直线m 可以和面β成任意角度，①不正确；l ⊂γ，l⊥m，所以l⊥α，②正确；③显然不对；④因为l ⊂β，l⊥α，所以α⊥β，④正确．
故答案为②④
【点睛】
本题主要考查空间线面垂直和面面垂直的证明，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.
19．②③④【解析】【分析】作出此直二面角的图象由图形中所给的位置关系对命题逐一判断即可得出正确结论【详解】作出如图的图象E 是BD 的中点易得∠AED ＝90°即为此直二面角的平面角对于命题①AB 与平面BCD
解析：②③④
【解析】
【分析】
作出此直二面角的图象，由图形中所给的位置关系对命题逐一判断，即可得出正确结论．
【详解】
作出如图的图象，E 是BD 的中点，易得∠AED ＝90°即为此直二面角的平面角
对于命题①AB 与平面BCD 所成的线面角的平面角是∠ABE ＝45°，故AB 与平面BCD 成60°的角不正确；
对于命题②，在等腰直角三角形AEC 中AC 等于正方形的边长，故△ACD 是等边三角形，此命题正确；
对于命题③可取AD 中点F ，AC 的中点H ，连接EF ，EH ，FH ，则EF ，FH 是中位线，故∠EFH 或其补角为异面直线AB 与CD 所成角，又EF,FH 其长度为正方形边长的一半，而EH 是直角三角形AEC 的中线，其长度是AC 的一半即正方形边长的一半，故△EFH 是等边三角形，由此AB 与CD 所成的角为60°，此命题正确；
对于命题④，BD ⊥面AEC ，故AC ⊥BD ，此命题正确；
对于命题⑤，连接BH ，HD,则BH ⊥AC, DH ⊥AC,则∠BHD 为二面角B AC D --的平面角，又BH=DH=32AC,BD=2,AC cos ∠BHD=-1,3故二面角B AC D --不是120︒
综上知②③④是正确的
故答案为②③④
【点睛】
本题考查与二面角有关立体几何中线线之间的角的求法，线面之间的角的求法，以及线线之间位置关系的证明方法．综合性较强，对空间立体感要求较高．
20．【解析】【分析】正四棱锥底面的四个顶点在球的同一个大圆上则棱锥的高等于球的半径由此可由棱锥体积求得球的半径从而得球体积【详解】∵正四棱锥底面的四个顶点在球的同一个大圆上∴球心是正方形对角线交点是棱锥 解析：323
π 【解析】
【分析】
正四棱锥P ABCD -底面的四个顶点,,,A B C D 在球O 的同一个大圆上，则棱锥的高等于球的半径，由此可由棱锥体积求得球的半径，从而得球体积．
【详解】
∵正四棱锥P ABCD -底面的四个顶点,,,A B C D 在球O 的同一个大圆上，∴球心O 是正
方形ABCD对角线交点，PO是棱锥的高，设球半径为R
，则AB=
，
22
)2
ABCD
S R
==，2
1116
2
333
P ABCD ABCD
V S PO R R
-
==⨯⨯=，2
R=，
∴33
4432
2
333
V R
πππ
==⨯=
球
．
故答案为：
32
3
π
．
【点睛】
本题考查球的体积，考查正四棱锥与半球的截接问题．解题关键是确定球半径与正四棱锥中的线段长之间的关系．
21．【解析】【分析】设的平分线与交于根据角平分线与面积关系求出利用共线向量坐标关系求出点坐标即可求解【详解】设的角平分线与交于解得所以的平分线方程为故答案为:【点睛】本题考查角平分线方程向量共线坐标应用
解析：0
x y
-=
【解析】
【分析】
设BAC
∠的平分线与BC交于D，根据角平分线与面积关系求出
||
||
CD
DB
，利用共线向量坐标关系，求出D点坐标，即可求解.
【详解】
设BAC
∠的角平分线与BC交于(,)
D a b，
1
||||sin||||
22
1||||
||||sin
2
ACD
ABD
AC AD CAD
S AC CD
S AB DB
AB AD BAD
⋅⋅∠
∴=====
⋅⋅∠
，
2,(1,5)2(2,)
CD DB a b a b
∴=--=--，解得
55
,
33
a b
==，
55
(,)
33
D
∴，所以BAC
∠的平分线AD方程为0
x y
-=.
故答案为:0
x y
-=.
【点睛】
本题考查角平分线方程、向量共线坐标，应用角平分线性质是解题的关键，属于中档题.
22．4【解析】因为圆=关于直线=对称所以圆心在直线=上所以即又圆的半径为当点(ab)与圆心的距离最小时切线长取得最小值又点(ab)与圆心的距离为=所以切线长的最小值为=故答案为4点睛：本题主要考查直线与
解析：4 【解析】
因为圆2
2
:243C x y x y ++-+=0关于直线26ax by ++=0对称,所以圆心()1,2C -在直
线26ax by ++=0上,所以2260a b -++=,即3a b -=,2, 当点(a,b )与圆心的距离最小时,切线长取得最小值,又点(a,b )与圆心的距离为
()()
22
12a b ++-()2
221832a -+≥所以切线长的最小值为
()
2
2
(32)2-
=4.
故答案为4
点睛：本题主要考查直线与圆的位置关系,考查了转化思想.利用勾股关系，切线长取得最小值时即为当点(a,b )与圆心的距离最小时.
23．【解析】【分析】先由题得到点A 在圆上再设出切线方程为利用直线和圆相切得到k 的值即得过点A 的圆的切线方程【详解】因为所以点在圆上设切线方程为即kx-y-k+2=0因为直线和圆相切所以所以切线方程为所以 解析：25x y +=
【解析】 【分析】
先由题得到点A 在圆上，再设出切线方程为2(1),y k x -=-利用直线和圆相切得到k 的值，即得过点A 的圆的切线方程. 【详解】
因为22125+=，所以点()1,2A 在圆上，设切线方程为2(1),y k x -=-即kx-y-k+2=0,
因为直线和圆相切，所以22
2
1
5,2(1)k k k -+=
∴=-+-，
所以切线方程为11
2022
x y --++=， 所以切线方程为25x y +=，
故答案为：25x y += 【点睛】
（1）本题主要考查圆的切线方程的求法，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 点00(,)P x y 到直线:0l Ax By C ++=的距离002
2
Ax By C d A B
++=
+.
24．62【解析】试题分析：由题意得抛物线的准线为x=-c 它正好经过双曲线的左焦点所以准线被双曲线截得的弦长为2b2a 所以2b2a=223be2即ba=23e2所以整理得2e4-9e2+1=0解得e=62 解析：
√6
2
【解析】
试题分析：由题意，得抛物线的准线为x =−c ，它正好经过双曲线的左焦点，所以准线被双曲线截得的弦长为
2b 2a
，所以2b 2a
=
2√23
be 2，即b
a
=
√23
e 2
，所以
，整理，得2e 4−9e 2+1=0，解得e =
√6
2
或e =√3．又
过焦点且斜率为1的直线与双曲线的右支交于两点，所以e =
√62
． 考点：1、抛物线与双曲线的几何性质；2、直线与双曲线的位置关系．
【方法点睛】关于双曲线的离心率问题，主要是有两类试题：一类是求解离心率的值，一类是求解离心率的范围．基本的解题思路是建立椭圆和双曲线中a,b,c 的关系式，求值问题就是建立关于a,b,c 的等式，求取值范围问题就是建立关于a,b,c 的不等式．
25．菱形【解析】【分析】【详解】根据题意画出图形如图∵PA 垂直平行四边形ABCD 所在平面∴PA ⊥BD 又∵PC ⊥BDPA ⊂平面PACPC ⊂平面PACPA∩PC=P ∴BD ⊥平面PAC 又∵AC ⊂平面PAC ∴A
解析：菱形 【解析】 【分析】 【详解】
根据题意，画出图形如图，∵PA 垂直平行四边形ABCD 所在平面，∴PA ⊥BD ， 又∵PC ⊥BD ，PA ⊂平面PAC ，PC ⊂平面PAC ，PA∩PC=P ．
∴BD ⊥平面PAC 又∵AC ⊂平面PAC ∴AC ⊥BD 又ABCD 是平行四边形 ∴平行四边形ABCD 一定是 菱形．故答案为菱形
三、解答题 26．
（1）证明见解析；（2）3． 【解析】 【分析】 【详解】 试题分析：
（1）要证线线垂直，一般先证线面垂直，考虑直线BC ，由已知AD 与平面1A BC 垂直可得AD BC ⊥，再由直三棱柱中侧棱1AA 与底面ABC 垂直，又得1AA BC ⊥，从而可得
BC 与平面1AA B 垂直，于是得证线线垂直；（2）由（1）知ABC ∆是等腰直角三角形，
可得其面积，由1AD A B ⊥可通过解直角三角形得1AA ，从而可求得三棱锥1A ABC -的体积．由三棱锥1A PBC -与三棱锥1A ABC -的关系可求得PC ，从而得
AP
PC
．（也可设PC x =，求得三棱锥1A PBC -（用x 表示），再由已知列方程解得x ）．
试题解析：
（1）∵AD ⊥平面1A BC ，BC ⊂平面1A BC ，
∴AD BC ⊥，在直三棱柱111ABC A B C -中易知1AA ⊥平面ABC ， ∴1AA BC ⊥，∵1
AA AD A =，∴BC ⊥平面11AA B B ，
∵1A B ⊂平面11AA B B ， ∴1BC A B ⊥.
（2）设PC x =，过点B 作BE AC ⊥于点E ，由（1）知BC ⊥平面11AA B B ，∴BC AB ⊥.
∵2AB BC ==，∴2,2AC BE ==
∴122
PBC S BE CP x ∆=
⋅=. ∵AD ⊥平面1A BC ，其垂足D 落在直线1A B 上， ∴1AD A B ⊥
∵1,2AA BA AD AB ⊥=，
在Rt ABD ∆中，1BD ==，又2
1AD BD A D =⋅，∴13A D =，
在1Rt ADA ∆中，1AA ===
∴1
1133
A PBC PBC V S AA x -∆=⋅=.
又三棱锥1A PBC -的体积为2，∴32x =
，解得x =
∴AP =
53AP PC =. 27．
（1）见解析；（2）在棱PA 上存在点E 且E 满足2AE
EP
=时能使得面//BOE 面PCD ，证明见解析. 【解析】 【分析】
（1）可证PD ⊥平面PAB ，从而得到要证明的面面垂直. （2）在棱PA 上存在点E 且E 满足2AE
EP
=时能使得面//BOE 面PCD ， 利用面面平行的判断定理可证明该结论. 【详解】
（1）因为90BAD ∠=︒，故BA AD ⊥ 又因为侧面PAD ⊥底面ABCD ，侧面PAD 底面ABCD AD =，BA ⊂平面ABCD ，
所以BA ⊥平面PAD .
因为PD ⊂平面PAD ，故BA PD ⊥， 又因为PA PD ⊥，PA
AB A =，PA ⊂平面PAB ，AB 平面PAB ，
所以PD ⊥平面PAB ，而PD ⊂平面PCD ，故平面PAB ⊥平面PCD . （2）在棱PA 上存在点E ，使得面//BOE 面PCD ，E 满足2AE
EP
=，证明如下： 因为
2AE
EP =，2AO OD =，所以D
AE EP AO O =，故//OE PD . 因为OE ⊄平面PCD ，PD ⊂平面PCD ，故//OE 平面PCD . 因为//BC AD ，1
3
OD AD BC =
=，故//,OD BC OD BC =，
所以四边形BCDO 为平行四边形，故//BO CD ，
因为BO ⊄平面PCD ，CD ⊂平面PCD ，故//BO 平面PCD . 因为BO ⊂平面EOB ，EO ⊂平面EOB ，BO EO O ⋂=， 故面//BOE 面PCD .
【点睛】
本题考查面面垂直的证明和面面平行的探索，前者注意空间中三种垂直关系的转化，后者应根据题设条件得到动点满足的位置特征，然后再根据判定定理来证明，本题属于中档题.
28．
（1）A （1，3）；（2）直线l 方程为20x y -+=，最短弦长为223）在直线MC 上存在定点4,43N ⎛⎫
- ⎪⎝⎭
，使得||||PM PN 为常数32．
【解析】 【分析】
（1）利用直线系方程的特征，直接求解直线l 过定点A 的坐标； （2）当AC ⊥l 时，所截得弦长最短，由题知C （0，4），2r ，求出AC 的斜率，利用
点到直线的距离，转化求解即可；
（3）由题知，直线MC 的方程为4y =，假设存在定点N （t ，4）满足题意，则设
(),P x y ，
||
||
PM PN λ=，得222||||(0)PM PN λλ=>，且()2244y x -=-，求出λ，然后求解比值. 【详解】
解：（1）依题意得，(3)(4)0m x y x y -++-=， 令30x y -=且40x y +-=，得1,3x y ==， ∴直线l 过定点A （1，3）；
（2）当AC ⊥l 时，所截得弦长最短，由题知C （0，4），2r
，
43101AC k -∴=
=--，得1111l AC
k k --===-，
∴由
31
11
m m +=-得1m =-， 此时直线l 方程为20x y -+=，
∴圆心到直线的距离为||2d AC ==
，
∴最短弦长为22224222r d -=-=；
（3）由题知，直线MC 的方程为4y =，假设存在定点N （t ，4）满足题意，
则设(),P x y ，
||
||
PM PN λ=，得222||||(0)PM PN λλ=>，且()2244y x -=-， 222222(3)(4)()(4)x y x t y λλ∴++-=-+-，
()
222222(3)4()4x x x t x λλ∴++-=-+-，
整理得，(
)()
2
22
2624130t x t
λ
λλ+-+-=，
∵上式对任意[2,2]x ∈-恒成立，
2620t λ∴+=且2224130t λλ+-=，
解得 43
,32
t λ=-
=或3,1t λ=-=（舍去，与M 重合）， 综上可知，在直线MC 上存在定点4,43N ⎛⎫
- ⎪⎝⎭
，使得||||PM PN 为常数32.
【点睛】
本题考查直线与圆的方程的综合应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题.
29．
（1）①l α⊂；②m α⊄；③m A α=；④A l ∉，示意图答案见解析（2）答案见解析 【解析】 【分析】
（1）根据题意，作出示意图即可； （2）根据题意，作出示意图即可. 【详解】
（1）l α⊂；m α⊄；m A α=；A l ∉；示意图如下：
（2）如图，直线IL 即为所求.。