最新北师大版选修1-1高中数学2.3.1《双曲线及其标准方程》ppt课件1
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[解析] (1)由已知可设所求双曲线方程为ay22－bx22＝1(a>0，
2．对比是学习数学中常用的有效的学习方法，应用对比 的学习方法常能起到巩固旧知识，深化对新知识的理解的作
用，也能有效的避免知识的混淆．在学习双曲线知识时，要时
时留意与椭圆进行对比．
ห้องสมุดไป่ตู้
椭圆、双曲线的标准方程的区别和联系.
椭圆
双曲线
定义|MF1|＋|MF2|＝2a 因为 a>c>0，
所以令 a2－c2＝b2(b>0) ax22＋by22＝1 或ay22＋bx22＝1
课堂典例探究
待定系数法求双曲线的标准方程
(1)已知双曲线的焦点在 y 轴上，并且双曲线经 过点(3，－4 2)和(49，5)，求双曲线的标准方程；
(2)求与双曲线1x62 －y42＝1 有公共焦点，且过点(3 2，2)的双 曲线方程．
[分析] 可先设出双曲线的标准方程，再构造关于a、b的 方程组，求得a、b，从而求得双曲线的标准方程．注意对平方 关系c2＝a2＋b2的运用．
(a>b>0)
定义|MF1|－|MF2|＝±2a 因为 0<a<c，
所以令 c2－a2＝b2(b>0) ax22－by22＝1 或ay22－bx22＝1 (a>0，b>0，a 不一定大于 b)
3.通过比较两种不同类型的双曲线方程ax22－by22＝1 和ay22－bx22 ＝1(a>0，b>0)，可以看出，如果 x2 项的系数是正的，那么焦点 在 x 轴上；如果 y2 项的系数是正的，那么焦点在 y 轴上．对于 双曲线，a 不一定大于 b，因此不能像椭圆那样通过比较分母的 大小来判定焦点在哪一条坐标轴上.
双曲线的标准方程
1.焦点在x轴上的双曲线的标准方程为_ax_22－__by_22_＝__1_(_a_>_0_，__b_>，0) 焦点在y轴上的双曲线的标准方程为_ay_22_－__bx_22＝__1_(_a_>_0_，__b_>_0_)．
2．在双曲线的标准方程中a、b、c的关系为_a_2_＋__b_2＝ __c_2_.
(2)若2a>|F1F2|，即||PF1|－|PF2||>|F1F2|，则与“三角形两边 之差小于第三边”相矛盾，故动点轨迹不存在；
(3)特别地当2a＝0时，|PF1|＝|PF2|，根据线段垂直平分线 的性质，动点P的轨迹是线段F1F2的垂直平分线．
2．双曲线2x52 －y92＝1 上的点到一个焦点的距离为 12，则到
[答案] A
[方法规律总结] 注意双曲线定义中的“小于|F1F2|”这一 限制条件，其依据是“三角形两边之差小于第三边”．实际
上，
(1)若2a＝|F1F1|，即||PF1|－|PF2||＝|F1F2|，根据平面几何知 识，当|PF1|－|PF2|＝|F1F2|时，动点轨迹是以F2为端点的一条射 线；当|PF2|－|PF1|＝|F1F2|时，动点轨迹是以F1为端点的一条射 线；
()
A．焦点在x轴上的椭圆 B．焦点在x轴上的双曲线
C．焦点在y轴上的椭圆 D．焦点在y轴上的双曲线
[答案] [解析]
D 方程 mx2－my2＝n 可化为：－y2mn －－x2mn ＝1，∵
mn<0，∴－mn >0，
∴方程的曲线是焦点在 y 轴上的双曲线．
4．(2014·山师大附中高二期中)双曲线的焦点为(6,0)，(－
1.定义中为何强调“绝对值”和“0<2a<|F1F2|”． (1)在双曲线的定义中，条件0<2a<|F1F2|不应忽视，若2a＝ |F1F2|，则动点的轨迹是两条射线；若2a>|F1F2|，则动点的轨迹 是不存在．
(2)双曲线定义中应注意关键词“绝对值”，若去掉定义中 “绝对值”三个字，动点轨迹只能是双曲线的一支．
B中，∵||PF1|－|PF2||＝6＝|F1F2|，∴动点P的轨迹是以F1或 F2为端点的射线(含端点)；
C中，∵||PF1|－|PF2||＝7>|F1F2|，∴动点P的轨迹不存在； D中，∵||PF1|－|PF2||＝0，即|PF1|＝|PF2|，根据线段垂直 平分线的性质，动点P的轨迹是线段F1F2的垂直平分线，故选 A.
另一个焦点的距离为( )
A．22 或 2
B．7
C．22
D．2
[答案] A
[解析] ∵a2＝25，∴a＝5，由双曲线定义可得||PF1|－|PF2||
＝10，由题意知|PF1|＝12，∴|PF1|－|PF2|＝±10，∴|PF2|＝22
或 2.
3．在方程mx2－my2＝n中，若mn<0，则方程的曲线是
第二章 圆锥曲线与方程
第二章 §3 双曲线
3.1 双曲线及其标准方程
1 课前自主预习 2 课堂典例探究 3 课时作业
课前自主预习
1.了解双曲线的定义，会推导双曲线的标准方程． 2．会用待定系数法求双曲线的标准方程.
双曲线的定义
类比椭圆的定义我们可以给出双曲线的定义 在平面内到两个定点F1、F2距离之__差___的绝对值等于定 值2a(大于0且小于|F1F2|)的点的轨迹叫作双曲线．这两个定点 叫作双曲线的_焦__点__，两焦点之间的距离叫作双曲线的_焦__距__.
1.已知两定点F1(－3,0)、F2(3,0)，在满足下列条件的平面 内动点P的轨迹中，是双曲线的是( )
A．||PF1|－|PF2||＝5 C．||PF1|－|PF2||＝7
B．||PF1|－|PF2||＝6 D．||PF1|－|PF2||＝0
[解析] A中，∵|F1F2|＝6，∴||PF1|－|PF2||＝5<|F1F2|，故 运点P的轨迹是双曲线；
6,0)，且经过点 A(6，－5)，则其标准方程为( )
A.1x62 －2y02 ＝1 C.2y02 －1x62 ＝1
B．1y62 －2x02 ＝1 D．4y52 －x92＝1
[答案] A
[解析] 由条件知 c＝6，焦点在 x 轴上，排除 B、C、D；
又双曲线经过点 A(6，－5)，故选 A.
5．满足下列条件的点 P(x，y)的轨迹是什么图形？ (1)| x＋52＋y2－ x－52＋y2|＝6； (2) x＋42＋y2－ x－42＋y2＝6. [答案] (1)以(－5,0)，(5,0)为焦点的双曲线； (2)以(－4,0)，(4,0)为焦点的双曲线的右支．
2．对比是学习数学中常用的有效的学习方法，应用对比 的学习方法常能起到巩固旧知识，深化对新知识的理解的作
用，也能有效的避免知识的混淆．在学习双曲线知识时，要时
时留意与椭圆进行对比．
ห้องสมุดไป่ตู้
椭圆、双曲线的标准方程的区别和联系.
椭圆
双曲线
定义|MF1|＋|MF2|＝2a 因为 a>c>0，
所以令 a2－c2＝b2(b>0) ax22＋by22＝1 或ay22＋bx22＝1
课堂典例探究
待定系数法求双曲线的标准方程
(1)已知双曲线的焦点在 y 轴上，并且双曲线经 过点(3，－4 2)和(49，5)，求双曲线的标准方程；
(2)求与双曲线1x62 －y42＝1 有公共焦点，且过点(3 2，2)的双 曲线方程．
[分析] 可先设出双曲线的标准方程，再构造关于a、b的 方程组，求得a、b，从而求得双曲线的标准方程．注意对平方 关系c2＝a2＋b2的运用．
(a>b>0)
定义|MF1|－|MF2|＝±2a 因为 0<a<c，
所以令 c2－a2＝b2(b>0) ax22－by22＝1 或ay22－bx22＝1 (a>0，b>0，a 不一定大于 b)
3.通过比较两种不同类型的双曲线方程ax22－by22＝1 和ay22－bx22 ＝1(a>0，b>0)，可以看出，如果 x2 项的系数是正的，那么焦点 在 x 轴上；如果 y2 项的系数是正的，那么焦点在 y 轴上．对于 双曲线，a 不一定大于 b，因此不能像椭圆那样通过比较分母的 大小来判定焦点在哪一条坐标轴上.
双曲线的标准方程
1.焦点在x轴上的双曲线的标准方程为_ax_22－__by_22_＝__1_(_a_>_0_，__b_>，0) 焦点在y轴上的双曲线的标准方程为_ay_22_－__bx_22＝__1_(_a_>_0_，__b_>_0_)．
2．在双曲线的标准方程中a、b、c的关系为_a_2_＋__b_2＝ __c_2_.
(2)若2a>|F1F2|，即||PF1|－|PF2||>|F1F2|，则与“三角形两边 之差小于第三边”相矛盾，故动点轨迹不存在；
(3)特别地当2a＝0时，|PF1|＝|PF2|，根据线段垂直平分线 的性质，动点P的轨迹是线段F1F2的垂直平分线．
2．双曲线2x52 －y92＝1 上的点到一个焦点的距离为 12，则到
[答案] A
[方法规律总结] 注意双曲线定义中的“小于|F1F2|”这一 限制条件，其依据是“三角形两边之差小于第三边”．实际
上，
(1)若2a＝|F1F1|，即||PF1|－|PF2||＝|F1F2|，根据平面几何知 识，当|PF1|－|PF2|＝|F1F2|时，动点轨迹是以F2为端点的一条射 线；当|PF2|－|PF1|＝|F1F2|时，动点轨迹是以F1为端点的一条射 线；
()
A．焦点在x轴上的椭圆 B．焦点在x轴上的双曲线
C．焦点在y轴上的椭圆 D．焦点在y轴上的双曲线
[答案] [解析]
D 方程 mx2－my2＝n 可化为：－y2mn －－x2mn ＝1，∵
mn<0，∴－mn >0，
∴方程的曲线是焦点在 y 轴上的双曲线．
4．(2014·山师大附中高二期中)双曲线的焦点为(6,0)，(－
1.定义中为何强调“绝对值”和“0<2a<|F1F2|”． (1)在双曲线的定义中，条件0<2a<|F1F2|不应忽视，若2a＝ |F1F2|，则动点的轨迹是两条射线；若2a>|F1F2|，则动点的轨迹 是不存在．
(2)双曲线定义中应注意关键词“绝对值”，若去掉定义中 “绝对值”三个字，动点轨迹只能是双曲线的一支．
B中，∵||PF1|－|PF2||＝6＝|F1F2|，∴动点P的轨迹是以F1或 F2为端点的射线(含端点)；
C中，∵||PF1|－|PF2||＝7>|F1F2|，∴动点P的轨迹不存在； D中，∵||PF1|－|PF2||＝0，即|PF1|＝|PF2|，根据线段垂直 平分线的性质，动点P的轨迹是线段F1F2的垂直平分线，故选 A.
另一个焦点的距离为( )
A．22 或 2
B．7
C．22
D．2
[答案] A
[解析] ∵a2＝25，∴a＝5，由双曲线定义可得||PF1|－|PF2||
＝10，由题意知|PF1|＝12，∴|PF1|－|PF2|＝±10，∴|PF2|＝22
或 2.
3．在方程mx2－my2＝n中，若mn<0，则方程的曲线是
第二章 圆锥曲线与方程
第二章 §3 双曲线
3.1 双曲线及其标准方程
1 课前自主预习 2 课堂典例探究 3 课时作业
课前自主预习
1.了解双曲线的定义，会推导双曲线的标准方程． 2．会用待定系数法求双曲线的标准方程.
双曲线的定义
类比椭圆的定义我们可以给出双曲线的定义 在平面内到两个定点F1、F2距离之__差___的绝对值等于定 值2a(大于0且小于|F1F2|)的点的轨迹叫作双曲线．这两个定点 叫作双曲线的_焦__点__，两焦点之间的距离叫作双曲线的_焦__距__.
1.已知两定点F1(－3,0)、F2(3,0)，在满足下列条件的平面 内动点P的轨迹中，是双曲线的是( )
A．||PF1|－|PF2||＝5 C．||PF1|－|PF2||＝7
B．||PF1|－|PF2||＝6 D．||PF1|－|PF2||＝0
[解析] A中，∵|F1F2|＝6，∴||PF1|－|PF2||＝5<|F1F2|，故 运点P的轨迹是双曲线；
6,0)，且经过点 A(6，－5)，则其标准方程为( )
A.1x62 －2y02 ＝1 C.2y02 －1x62 ＝1
B．1y62 －2x02 ＝1 D．4y52 －x92＝1
[答案] A
[解析] 由条件知 c＝6，焦点在 x 轴上，排除 B、C、D；
又双曲线经过点 A(6，－5)，故选 A.
5．满足下列条件的点 P(x，y)的轨迹是什么图形？ (1)| x＋52＋y2－ x－52＋y2|＝6； (2) x＋42＋y2－ x－42＋y2＝6. [答案] (1)以(－5,0)，(5,0)为焦点的双曲线； (2)以(－4,0)，(4,0)为焦点的双曲线的右支．