2020北师大版高中数学选修1-2:第三章 综合法
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(3)数列的通项an与数列的前n项和Sn之间的关系:
an=
������1,������ = 1, ������������ -������������-1,������ ≥ 2;
(4)递推公式与通项公式的关系.
典例透析
题型一
题型二
题型三
题型四
【变式训练2】 在数列{an}中,a1=1,an+1=2an+2n.
典例透析
题型一
题型二
题型三
题型四
易错辨析
易错点 用特殊代替一般,使证明错误
【例 4】 设 f(x)=ax2+bx+c(a≠0),若函数 f(x+1)与 f(x)的图像关
于 y 轴对称,求证:������
������
+
1 2
为偶函数.
错解:由函数 f(x+1)与 f(x)的图像关于 y 轴对称,可知 f(x+1)=f(-x),
������ ������
又
a+b=1,∴
1 ������
+
1 ������
≥4.
题型一
题型二
题型三
题型四
典例透析
证法三∵a,b
为正数,∴
1 ������
+
1 ������
=
������+������ ������
+
������ +������ ������
=1+
������ ������
+
������ ������
再进行下一步证明.
典例透析
题型一
题型二
题型三
题型四
证法一∵x+y=1,
1 ∴ 1 + ������
������ = 2 + ������
1
������ + ������
������ + ������
1 + ������ = 1 + ������ 1 + ������
������
������ ������
所以平面ABE⊥平面B1BCC1. (2)取AB的中点G,连接EG,FG.
因为E,F分别是A1C1,BC的中点,
所以FG∥AC,且FG=
1 2
������������.
因为AC∥A1C1,且AC=A1C1,
所以FG∥EC1,且FG=EC1,
所以四边形FGEC1为平行四边形.所以C1F∥EG.
又因为EG⫋平面ABE,C1F⊈平面ABE,所以C1F∥平面ABE.
2
则有 1 + 1
������
1+1
������
≥5+2×2=9 成立.
典例透析
题型一
题型二
题型三
题型四
证法二∵x>0,y>0,1=x+y≥2 ������������,
当且仅当
x=y=
1 2
时取等号,
∴xy≤14.
则有 1 + 1 1 + 1 = 1 + 1 + 1 + 1 = 1 + ������+������ + 1
知识梳理
【做一做】
已知
p=a+
1 ������-2
(������
> 2), ������
= 2-������2+4������-2(������
> 2), 则
()
A.p>q B.p<q
C.p≥q D.p≤q
解析:∵a>2,∴p=a+
1 ������-2
=a-2+
1 ������-2
+
2≥2+2=4,
令 x=1,得 f(2)=f(-1),即������
3 2
+
1 2
= ������
-
3 2
+
1 2
,
所以������
������
+
1 2
为偶函数.
错因分析:在证明������
������
+
1 2
为偶函数时,以特殊值������
3 2
+
1 2
=
������
-
3 2
+
1 2
成立就断定������
������
两式相减,得Sn=n·2n-1×20-1×21-…-1×2n-1=n·2n-2n+1=2n(n-1)+1.
典例透析
题型一
题型二
题型三
题型四
用综合法证明立体几何问题 【例3】 如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,AB⊥AD, AC⊥CD,∠ABC=60°,PA=AB=BC,E是PC的中点.
题型一
题型二
题型三
题型四
典例透析
反思立体几何中线面之间垂直关系的证明是高考考查的重点,利 用垂直的判定定理和性质定理可以进行线线、线面以及面面之间 垂直关系的转化,另外,利用一些常见的结论还可以将线面间的垂 直与平行进行转化.比如,两条平行线中的一条垂直于平面α,则另外 一条也垂直于平面α;垂直于同一条直线的两个平面互相平行等.
当且仅当
a-2=
1 ������-2
,
即a=3
时取等号.
题型一
题型二
题型三
题型四
典例透析
用综合法证明不等式问题
【例1】 已知x>0,y>0,x+y=1,求证:
1
+
1 ������
1
+
1 ������
≥9.
分析:证明不等式时,可先从条件入手,将x+y=1代入要证明的不
等式,再用基本不等式进行下一步证明;也可先从基本不等式入手,
(2)若数列{an}的公比为q=f(m),数列{bn}满足b1=a1,
bn=
3 2
������(������������
−
1)(������∈N+,n≥2),求证:数列
1 ������������
为等差数列.
分析:(1)类比题目所给等式得到Sn+1与an+1之间的关系式,两式相
减,说明{an}是等比数列.
������
������
������ ������ ������������
������������ ������������
=
1
+
2 ������������
≥1+8=9
成立.
反思用综合法证明不等式时,可以从条件出发,也可以从基本不
等式出发,通过换元、拼凑等方法构造定值.若连续两次或两次以
上利用基本不等式,则需要注意几次利用基本不等式时等号成立的
而AE⫋平面PAC,
∴CD⊥AE.
典例透析
题型一
题型二
题型三
题型四
(2)由PA=AB=BC,∠ABC=60°,可得AC=AB=BC=PA.
∵E是PC的中点,∴AE⊥PC.
由(1),知AE⊥CD.又PC∩CD=C,
∴AE⊥平面PCD. 而PD⫋平面PCD,∴AE⊥PD. ∵PA⊥底面ABCD, ∴PA⊥AB. 又AB⊥AD,AD∩PA=A,∴AB⊥平面PAD, 又PD⫋平面PAD,∴AB⊥PD. 又∵AB∩AE=A,∴PD⊥平面ABE.
+
1 ������
=
������ +������ ������������
=
1 ������������
≥4.
证法二∵a,b 为正数,
∴a+b≥2
������������ > 0, 1 + 1 ≥ 2
������ ������
1 ������������
>
0,
当且仅当a=b
时取等号.
∴(a+b) 1 + 1 ≥4.
条件是否相同.
典例透析
题型一
题型二
题型三
题型四
【变式训练 1】
已知
a,b
是正数,且
a+b=1,求证:
1 ������
+
1������≥4.
证法一∵a,b 为正数,;b≥2 ������������,
∴
������������
≤
1 2
,
当且仅当a=b=
1 2
时取等号.
∴
1 ������
−
1 ������������ -1
=
1.
3
∴数列
1 ������������
是首项为1,公差为
1 3
的等差数列.
题型一
题型二
题型三
题型四
典例透析
反思综合法证明数列问题时的证明依据主要来源于以下的相关
知识:
(1)数列的概念,特别是等差数列,等比数列的定义;
(2)等差数列与等比数列的基本性质以及数列前n项和的性质;
+
1≥2+2
������ ������
·������������
=
4,
当且仅当
a=b=
1 2
时,取等号.
典例透析
题型一
题型二
题型三
题型四
用综合法证明数列问题
【例2】 设数列{an}的前n项和为Sn,且(3-m)Sn
+2man=m+3(n∈N+),其中m为常数,且m≠-3.
(1)求证:数列{an}是等比数列;
由(1),可得 q=f(m)= 2������ (������≠-3).
������ +3
∴当
n∈N+,且
n≥2
时,bn=
3 2
������(������������
−
1)
=
3 2
· 2������������ -1 .
������������ -1+3
∴bnbn-1+3bn=3bn-1,∴
1 ������������
+
1 2
为偶函数是错误的,函数的奇偶性
是对定义域中任意的 x 定义的.特殊值的检验不能代替一般性的证
明.
题型一
题型二
题型三
题型四
典例透析
正解:由函数 f(x+1)与 f(x)的图像关于 y 轴对称,可知 f(x+1)=f(-x),
将
x
换成
x−
1 2
代入上式,可得������
������- 1 + 1
(2)利用(1)中的公比q得到f(m),
化简式子
bn=
3 2
������(������������
−
1), 说明数列
1 ������������
是等差数列.
题型一
题型二
题型三
题型四
典例透析
证明:(1)由(3-m)Sn+2man=m+3,
得(3-m)Sn+1+2man+1=m+3.
两式相减,得(3+m)an+1=2man(m≠-3),
求证:(1)CD⊥AE; (2)PD⊥平面ABE. 分析:解答本题可先明确线线、线面垂直的判定定理及性质定理, 再用定理进行证明.
题型一
题型二
题型三
题型四
典例透析
证明:(1)在四棱锥P-ABCD中,
∵PA⊥底面ABCD,CD⫋平面ABCD, ∴PA⊥CD. ∵AC⊥CD,PA∩AC=A, ∴CD⊥平面PAC.
∴
������������ +1 ������������
=
2������ ������ + 3.
又m为常数,且m≠-3,
∴数列{an}是等比数列.
题型一
题型二
题型三
题型四
典例透析
(2)∵(3-m)Sn+2man=m+3,∴(3-m)a1+2ma1=m+3.
又m≠-3,∴a1=1.∴b1=a1=1.
(1)设
bn=
������������ 2������ -1
,
求证:
数列{������������}是等差数列;
(2)求数列{an}的前 n 项和 Sn.
(1)证明:因为
an+1=2an+2n,所以
������������ +1 2������
=
������������ 2������ -1
+
1.
因为
§3 综合法与分析法
-1-
3.1 综合法
-2-
目标导航
1.了解直接证明的一种基本方法:综合法. 2.理解综合法的思考过程及特点. 3.学会用综合法证明问题.
知识梳理
1.综合法的定义 从命题的条件出发,利用定义、公理、定理及运算法则,通过 演绎推理,一步一步地接近要证明的结论,直到完成命题的证明.我 们把这样的思维方法称为综合法. 2.综合法的基本思路 用综合法求解问题的基本思路是“由因导果”.由已知走向求证,即 从数学题的已知条件出发,经过逐步的逻辑推理,最后达到待证结 论或需求的问题. 3.综合法的思维模式 若P表示已知条件(已有的定义、定理、公理等),Q表示所要证明 的结论,则综合法可以用下面的框图表示. P⇒Q1→Q1⇒Q2→Q2⇒Q3→…→Qn⇒Q
证明:由题意得
2 ������
=
1 ������
+
1 ������
=
���������+���������������,
则 b(a+c)=2ac.
∵a+c>b,∴b(a+c)=2ac>b2.
∴cos
B=
������2+������2-������2 2������������
2
= ������ -
������- 1
2
,
即������ ������ + 1 = ������ -������ + 1 , 由偶函数的定义可知������ ������ + 1 为偶函数.
2
2
2
题型一
题型二
题型三
题型四
典例透析
【变式训练4】 已知△ABC的三边长a,b,c的倒数成等差数列,求
证:B为锐角.
2 + ������ = 5 + 2 ������ + ������ .
∵x>0,y>0,
∴
������ ������
>
0,
������ ������
>
0.
∴
������ ������
+
������ ������
≥2,
当且仅当 ������ = ������ , 即x=y= 1 时取等号.
������ ������
题型一
题型二
题型三
题型四
典例透析
【变式训练3】 如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱垂直于底 面,AB⊥BC,E,F分别是A1C1,BC的中点.
求证:(1)平面ABE⊥平面B1BCC1; (2)C1F∥平面ABE.