量纲分析法来构造模型

量纲分析法来构造模型
一、基本概念：
在表达一个物理量时，总是用数和量这两个概念在一起来度量该物理量的某种属性，因此，许多物理量都是有量纲的，例如：
质量的量纲是：克（g ）；千克（kg ） 速度的量纲是：厘米/秒；公里/时 热量的量纲是：卡
def ：量纲：在对物理对象进行分析时用来表示物理特性的量称之为量纲，例如：长度、密度、速度等。

用数学公式描述一个规律时，等号两端都必须保持量纲的一致。

def ：量纲分析：在量纲一致的原则下，分析物理量之间关系的一种方法称为量纲分析。

例如：用数学公式描述一个物理规律时等式两边必须保持量纲的一致，同时也保持单位的一致。

def ：量纲分析法：用量纲分析法来建立数学模型的一种方法。

def ：基本量纲：在物理学或力学中有一些物理量的量纲是基本的，其他物理量的量纲可以由这些基本量纲推导出来，这些基本的量纲叫基本量纲，例如：
力学中基本量纲为：m （质量），l （长度），t （时间），分别记成：[]M ，[]L ，[]T ，其他量纲可由此推出来。

例如：速度 1
[][]V LT -=；加速度 2
[][]a LT -=，力
22[][][][][][]f M a M LT MLT --===.
有些物理常数也有量纲，例如：万有引力定律 12
2m m f K r
= 中的引力常数K 的量纲也可推出来：
22213
2
1
3
2
[][][]
[][][][][]
MLT K m L K M L T M L T ------=⇒==
def ：无量纲常数α，记为000[]1, ( [])L M T αα==
二、量纲分析法建模的例子：
先从实例讨论出发，再给出一般方法。

例1：单摆运动模型：
已知：质量为m 的小球，系在长为l 的线
的一端，重力F mg =作用下作简谐运动，
求：单摆运动关于周期t 的模型。

解： 1：将可能与t 有关的物理量, , m l g 用关系式
(, , )t l m g ϕ= （1）
表示出来。

2．用量纲分析法来确定ϕ
假定（1）的形式表示为
312t l m g αααλ= （2）
其中λ：无量纲比例系数， (1,2,3)i i α=为待定常数。

则（2）的量纲表达式为：→都用基本量纲表示：
3
1213
3
222[][][][][]
[][]
T L M LT L M T ααααααα-+-==
由等式两边量纲一致的原则可知：
13230021
αααα+=⎧⎪
=⎨⎪-=⎩
有唯一解： 12311
, 0, 22
ααα=
==- （3） 将（3）代入（2）有：
t =此与力学定律得到结果是一致的。

说明：1）为什么（1）式要以（2）特殊形式出现，而不出现三角函数、指数函数、对数函数
，这是因为：如果某些物理量如12, ,
x x 出现如下形式的函数关系：
12
12
1
2
12sin(), , x x x x e αααα，则1212x x αα
必须是无量纲的。

（因为是三角函数角度数），因而12
12
12
12sin(), ,
x x x x e
αααα都是无量纲的，则不能用量纲分析方法得到模型形式（或者说：这
些无量纲的量都包括在无量纲比例系数λ中去了）（因而量纲分析法无法得到无量纲量的具
体形式）。

2）一般说来，单摆作简谐摆动应考虑小球偏离平衡位置的初始角度θ，但因他是无量纲量，所以它的影响可反映在系数λ内，即为()λθ，用更精确方法知道，()λθ是以θ为参量的第一类椭圆积分，当θ很小时，其值近似等于2π。

例2： 利用量纲分析法：从万有引力定律中推出开普勒第三定律，即，行星运行周期T 的平方与其椭圆轨道长半轴的三次方成正比，即：2
3
T kl =，或3
2l T ∝
已知：设行星运动周期t ，椭圆轨道长半轴为l ，太阳行量的质量为m ，万有引力常数K .
求：运行周期t 的关系式（模型）。

解：
1．设周期t ，长半轴l ，太阳行星质量m ，万有引力常数K 之间关系为：
(, , , )0l t m k ϕ= （1）
2．为使用量纲分析方法将（1）写成
3124l t m K ααααπ= （无量纲常数，不是圆周率） （2）
3．对（2）式量纲分析得量纲表达式为：
3124132000[][][][][][][]L T M M L T L M T αααα--= （3）
4．据等式两边量纲一致的原则有：
143424[]: 30[]: 0[]: 20L M T αααααα+=⎫
⎪
-=⎬⎪-=⎭
对对对 （4） 对（4）式的秩3Rank =，变量个数为4，所以基本解组为431-=个 不妨取为：
1 ,1 ,
2 ,34321-=-=-==αααα （5）
(其中, 任取4α为自由变量并令4α=1) 5．将（5）代入（2）得到模型为：
3211l t m k π---= （6）
即：2
3
t l ∝，即开普勒第三定律，而历史上由开普勒第三定律的观测数据出发，推出万有引力定律。

说明：（6）式中比例系数中仍有质量m ，并没有推出开普勒第三定律中比例系数是绝对常数的结论：即：2
3
T kl =，但已得到比例关系：2
3
t l ∝
三、π定理
由例2可知利用量纲分析把4个有量纲的量表示为1个无量纲的量，得出量纲分析法的一般步骤：先给出两个定理。

Th1：（π定理）设有n 个物理量12, , , n x x x 之间存在一个函数关系（与量纲单位选
取无关的物理定律）
12(, ,
, )0n x x x ϕ= （1）
其中：12, ,
, ()m x x x m n ≤是有基本量纲的物理量，12, ,
, m m n x x x ++可由这些基
本量纲表示，则（1）式可以表示为n m -个无量纲量：12, , , n m πππ-的关系，
12(, ,
, )0n m ϕπππ-=
(因为由量纲的齐次原则,物理量12, ,
, ()m x x x m n ≤可以用m n -线性无关的向量
表示出来)。

Th2：（Th1的推广） 设有
12(, ,
, )0n x x x ϕ= （1）
其中有m 是有基本量纲12[], [],
, []m x x x ，且 (1,2,
)i x i n =的量纲可表示为：
m
j=1
[]=[] (1,2,
,)ij i j x x i n β
=∏
若矩阵 ()ij n m B β⨯=的秩为r （()Rank B r =），则（1）可表示为：
12(, , , )0n r ψπππ-=
其中s π（s =1，2,..., r n -）是无量纲量，且可表示为：
()1
(1, 2,
, )i
n
s s i i x s n r απ===-∏ (即为模型)
()i s α是方程组 0T B α= 的基本解：12()()()()i n s s s s αααα⎛⎫
⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭
Remark :1, 2Th Th 统称π定理，按照π定理，量纲分析方法的一般步骤：
四、量纲分析法建立数学模型的基本步骤：
1．将与问题有关的有量纲的物理量（变量和常数）记做12, , , n x x x ，按照物理定
义确定此问题的基本量纲并记成
12[], [],
, []m X X X
2．将所有物理量用基本量纲表示，即令：
1
i
n
i i x α
π==∏ （1）
i α待定，π为无量纲量，将i x 的量纲用基本量纲表示为：
) ,,2,1 ;,21( ][][1m j n ,,i X x m
j j i ij ===∏=β
（2）
ij β已知（利用已有的物理知识确定）
3．利用（2）得到（1）式的量纲表达式
][) ][ (1
1
παβ
=∏∏==n i m
j j i ij X
即： 1
1
[]0n
ij i
i m j j x βα==∑=∏ （3） 4．解线性方程组：
1
0 (1,2,,)n
ij i
i j m βα
===∑ （4）
111212112122221122000
n n n n m m nm n βαβαβαβαβαβαβαβαβα++
+=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪++
+=
⎩
()ij i m n βα⨯
若方程组（4）：R
a n k (4)r =，则有向量 1n ααα⎛⎫
⎪
= ⎪ ⎪⎝⎭
有n r -个基本解，并记上述α的
n r -解为：
()1()2()
()() 1, 2, , s s s s r s n s n r ααααα⎛⎫
⎪ ⎪
⎪==- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
则得到12, , , n x x x 之间n r -个关系式：
()
1
i n
s i s i x α
π==∏ (1, 2, , s n r =-
（5） 其中s π为无量纲量。

5．写成模型的统一形式
12(, , , )0s ψπππ=
举例说明上述步骤：
例3 不可压缩粘性流体在管道内的稳定流动模型。

解：已知此问题涉及的物理量有：
管长：l 流速：V ， 流体密度：ρ， 管道两端压强：p ，流体粘性系数μ，重力加速度g 。

① 基本量纲仍为 [], [], []L M T ，求各物理量之间的关系式。

解：①确定基本量纲
②将各物理量用基本量纲表示出来；
[][]l L =
1[][]V LT -=
流体密度： 3[][]ML ρ-= 重力加速度：2[][]g LT -= 压强： 1
2
[][]p ML T --= 粘性系数： 11[][]ML T μ--= 并设： 3
5
6
12
4
l V
p g αααα
ααρμπ= （*）
③由量纲一致的原则，将上式求上式的量纲表达式。

3561241312112[][][][][][]0L LT ML ML T ML T LT αααααα-------=
即：
1234563452456322[][][]0L M T ααααααααααααα+---+++----=
得方程组：
12345634524630
0 2 20
αααααααααααα+---+=⎧⎪
++=⎨⎪---=⎩
④ 解上述方程组得：
秩3R =，∴ 有 633-= 个基本解就构成了基本解组。

上述方程组有基本解组如下：
令 456100ααα⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭ 得基本解为： 123(1)
456021100ααααααα⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭
令 456010ααα⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭ 得基本解为： 123(2)
456111010ααααααα-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
令 456001ααα⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭ 得基本解为： 123(3)
456120001ααααααα⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭
5．得到633n r -=-=个关于各 关系的数学模型：将(1)
α代入（*）式得：
0211001LV p g ρμπ--=
即 2111V p ρπ--+= 或 12
p V πρ
= 即：模型Ⅰ
将 (2)
α
代入（*）式得：
1210102L V p g ρμπ---=
即：1112l V ρμπ---= 或 2lV ρ
πμ
= 模型Ⅱ，2π为Re ynold 数
将(3)
α
代入（*），得
20003lV p g ρμπ-=
即 2
3lV g π-= 或 3
3g
V l π= 模型Ⅲ，3π为Froude 数。

上述三个模型均为液体力学的基本关系。

故得到 123(, , )0ψπππ=
即： 2
2(,,)0g
p
lVp V V l ψρμ=
或 2
23(,)p V
f ρππ=
或 2
2
(,)g
lVp V p V f l ρμ=
五、建模技巧与思考
1．根据物理量量纲一致的原则，用量纲分析法来建立模型，是设计实验、做模型模拟的基础。

2．量纲分析法建模的步骤：
1°找出与解与关的物理量，并确定基本量纲 2°将所有物理量用基本量纲表示
3°由π定理，令
1
i
n
i i x α
π==∏ （*）
并将上式量纲表示为基本量纲表达式：1
1
[]0n
ij i
i m j j x βα==∑=∏ 4°解线性方程组：
1
0n
ij i
i βα
==∏
若()
Rank ij r β=，则求出n r -个基本解。

(2)1(1)
()1
1(2)2(0)()(1)
(2)()
(2), , 100111010n r n r n r r r r αααααααααα---⎛⎫
⎛⎫⎛⎫ ⎪
⎪ ⎪ ⎪
⎪ ⎪ ⎪
⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎪ ⎪ ⎪
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭ ⎪
⎝⎭
5°由上面()
s α
代入（*）式就得到n r -个模型
()
()1
s i n
i
s i x
απ==∏
问题（缺点）：有时得到的模型s π可
习题：原子弹爆炸时（0t =）巨大的能量 一点以冲击波的形式向四周传播，据分析，冲击波半径R 可能与时间t 、能量E ，大气密度ρ，大气压强p 有关，用量纲分析方法建立这些量之间的关系式。

答案：
23
2 2
,
R R
pt E
ρρ
ππ
==。