新人教a版-高中数学-选修2-1-第二章2.3.1_双曲线及其标准方程-练习与答案

第二章 圆锥曲线与方程 2.3 双 曲 线 2.3.1.双曲线及其标准方程
知识点：双曲线的定义
1.动点P 到点M(1,0),N(-1,0)的距离之差的绝对值为2,则点P 的轨迹是( ) A.双曲线
B.双曲线的一支
C.两条射线
D.一条射线
2.双曲线13
2
2
=-y x 的右焦点坐标为( ) A.(2,0) B.(2,0) C.(3,0) D.(1,0)
3．已知平面上定点F 1、F 2及动点M ，命题甲：||MF 1|－|MF 2||＝2a(a 为常数)，命题乙：M 点轨迹是以F 1、F 2为焦点的双曲线，则甲是乙的( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件 4．若ax 2＋by 2＝b(ab<0)，则这个曲线是( )
A ．双曲线，焦点在x 轴上
B ．双曲线，焦点在y 轴上
C ．椭圆，焦点在x 轴上
D ．椭圆，焦点在y 轴上
5．双曲线x 2m －y 2
3＋m ＝1的一个焦点为(2,0)，则m 的值为( )
A .12
B ．1或3
C .
1＋22 D .2－1
2
6．一动圆与两圆：x 2＋y 2＝1和x 2＋y 2－8x ＋12＝0都外切，则动圆圆心的轨迹为( )
A ．抛物线
B ．圆
C ．双曲线的一支
D ．椭圆
7．若方程1cos sin 22=+ααy x 表示焦点在y 轴上的双曲线，则角α所在象限是（ ）
A 、第一象限
B 、第二象限
C 、第三象限
D 、第四象限
8．椭圆
134222=+n y x 和双曲线1162
22=-y n
x 有相同的焦点，则实数n 的值是 （ ） A 5± B 3± C 5 D 9
9.P 为双曲线)0,0(122
22>>=-b a b y a x 上一点，若F 是一个焦点，以PF 为直径的圆与圆
222a y x =+的位置关系是（ ）
A 内切
B 外切
C 外切或内切
D 无公共点或相交
10．证明：椭圆的焦点相同。

与双曲线151519
25222
2=-=+y x y x
知识点：双曲线的标准方程
11．已知双曲线的两个焦点分别为F 1(-,0),F 2(
,0),P 是双曲线上的一点,且PF 1⊥
PF 2,|PF 1|·|PF 2|=2,则双曲线的标准方程是( ) A.
-=1
B.
-=1 C.x 2-=1
D.
-y 2=1
12．焦点分别为(－2,0)，(2,0)且经过点(2,3)的双曲线的标准方程为( )
A ．x 2－y 23＝1
B .x 23－y 2＝1
C ．y 2
－x 23＝1 D .x 22－y 22
＝1
13．已知方程x 2
2－k ＋y 2
2k －1
＝1表示焦点在y 轴上的双曲线，则实数k 的取值范围是( )
A. )2,21( B ．(2，＋∞) C ．(1,2) D. )1,2
1(
14.已知双曲线中心在坐标原点且一个焦点为F 1(－5，0)，点P 位于该双曲线上，线段PF 1的中点坐标为(0,2)，则该双曲线的方程是( )
A .x 24－y 2＝1
B ．x 2
－y 24＝1 C .x 22－y 23＝1 D .x 23－y 22
＝1 15．若点O 和点F(-2,0)分别为双曲线
2
2
2
1x
y
a
-=(a>0)的中心和左焦点,点P 为双曲线右支上
的任意一点,则OP →·FP →的取值范围为( )
A ．[3－23，＋∞)
B ．[3＋23，＋∞)
C ．[－74，＋∞)
D ．[7
4
，＋∞)
16.设F 1、F 2是双曲线x 24
－y 2＝1的两个焦点，点P 在双曲线上，且PF 1→·PF 2→＝0，则|PF 1|·|PF 2
|
＝______.
17．已知方程x 21＋k －y 2
1－k
＝1表示双曲线，则k 的取值范围是________．
18．设双曲线与椭圆x 227＋y 2
36
＝1有相同的焦点，且与椭圆相交，一个交点A 的纵坐标为4，求
此双曲线的标准方程．
19.在△ABC 中，B(4,0)、C(－4,0)，动点A 满足sin B －sin C ＝1
2
sin A ，求动点A 的轨迹方
程．
20.根据下列条件,求双曲线的标准方程. (1)过点P ,Q
且焦点在坐标轴上.
(2)c=,经过点(-5,2),焦点在x 轴上.
21.已知双曲线的一个焦点为F(7，0)，直线y ＝x －1与其相交于M ，N 两点，MN 中点的横坐
标为－2
3，求双曲线的标准方程．
知识点：双曲线标准方程的应用
22、若椭圆15
4116252222=-=+y x y x 和双曲线的共同焦点为F 1，F 2，P 是两曲线的一个交点，则|PF 1|·|PF 2|的值为（ ）A.
2
21
B.84
C.3
D.21 23、已知点F 1(0,-13)、F 2(0,13),动点P 到F 1与F 2的距离之差的绝对值为26,则动点P 的轨迹方程为( )
A.y=0
B.y=0(x ≤-13或x ≥13)
C.x=0(|y |≥13)
D.以上都不对
24、已知双曲线2
2
12
y x -=的焦点为F 1、F 2，点M 在双曲线上且120,MF MF ⋅=则点M 到x 轴的距离为（ ） （A ）
43 （B ）53 （C ）23
3
（D ）3
25.F 1,F 2是双曲线
-=1的两个焦点,P 在双曲线上且满足|PF 1|·|PF 2|=32,则
∠F 1PF 2= .
26.如图所示，在△ABC 中，已知AB ＝42，且内角A ，B ，C
满足2sin A ＋sin C ＝2sin B ，建立适当的平面直角坐标系， 求顶点C 的轨迹方程．
27．设点P 到点M (－1,0)，N (1,0)的距离之差为2|m |，到x 轴、y 轴的距离之比为2，求m 的取值范围．
【参考答案】
1 C 【解析】因为||PM|-|PN||=2,而|MN|=2,故P点轨迹为以M,N为端点向外的射线.
2 B 【解析】由方程得c2=1+3=4,所以c=2
3 B 【解析】根据双曲线的定义，乙⇒甲，但甲⇒乙，只有当2a<|F1F2|且a≠0时，
其轨迹才是双曲线．
4 B 【解析】原方程可化为
x2
b
a
＋y2＝1，因为ab<0，所以
b
a
<0，所以曲线是焦点在y轴上的双曲线，故选B.
5 A【解析】∵双曲线的焦点为(2,0)，在x轴上且c＝2，∴m＋3＋m＝c2＝4.∴m＝1
2
.
6 C【解析】由题意两定圆的圆心坐标为O1(0,0)，O2(4,0)，设动圆圆心为O，动圆半径为r，则|OO
1
|＝r＋1，|OO
2
|＝r＋2，∴|OO
2
|－|OO
1
|＝1<|O
1
O
2
|＝4，故动圆圆心的轨迹为双曲线的一支．
7 D 【解析】方程1
cos
sin2
2=
+α
αy
x表示焦点在y轴上的双曲线，可将方程变形为
1
sin
cos
2
2
=
-
-
α
α
x
y
，是第四象限角
α
α
α∴
>
-
>
∴,0
sin
,0
cos。

8 Ｂ【解析】,0)
n
-
34
(
焦点坐标
∴
x
34
c
1
y
34
x
椭圆2
2
1
2
2
2
±
-
=
=
+轴，
且焦点在
得
由n
n
.
在双曲线1
16
2
2
2
=
-
y
n
x
中，有c2=轴上
且焦点在x
n16
2+,）
焦点坐标为（0,
16
2+
±
∴n
16
342
2+
=
-
∴n
n,3±
=
∴n.
9 C 【解析】如图所示，由双曲线定义，即
，所以，以PF为直径的圆与圆的位置关系是外切；同理，若P在左支上，以PF为直径的圆与圆的位置关系是内切，故选C.
10 【证明】在椭圆;
16
9
25
,9
,
25
1
9
25
2
2
2
2
2
2
2
=
-
=
-
=
∴
=
=
=
+b
a
c
x
b
a
y
x
轴；
焦点在
中，
４，０）
焦点坐标为（±
=
∴,4
c。

方程标准化为
双曲线1
15
15
152
2
2
2=
-
=
-y
x
y
x其中a2=15,b2=1,焦点在x轴；∴c2=a2+b2=15+1=16，４，０）
焦点坐标为（±
=
∴,4
c。

两者相同。

11
D 【解析】设|PF1|=m,|PF2|=n(m>0,n>0),在Rt△PF1F2中,m2+n2=(2c)2=20,m·n=2.
由双曲线的定义,知|m-n|2=m2+n2-2mn=16=4a2.所以a2=4,所以b2=c2-a2=1.
所以双曲线的标准方程为-y 2=1.
12 A 【解析】∵双曲线的焦点在x 轴上，∴设双曲线方程为x 2a 2－y 2
b 2＝1 (a>0，b>0)．
由题知c ＝2，∴a 2＋b 2＝4.①又点(2,3)在双曲线上，∴22a 2－32b
2＝1.② 由①②解得a 2＝1，b 2＝3，∴所求双曲线的标准方程为x 2
－y 23
＝1.
13 B 【解析】 ⎩
⎨
⎧<->-020
12k k ∴k>2. 14 B 【解析】设双曲线方程为x 2a 2－y 2
b
2＝1，因为c ＝5，c 2＝a 2＋b 2，所以b 2＝5－a 2，所以
x 2a 2－y 25－a 2
＝1.由于线段PF 1的中点坐标为(0,2)，则P 点的坐标为(5，4)．代入双曲线方程得5a 2－165－a 2＝1，解得a 2＝1或a 2＝25(舍去)，所以双曲线方程为x 2
－y 24＝1.故选B .
15
B 【解析】
由c ＝2得a 2＋1＝4，∴a 2＝3，
∴双曲线方程为x 23－y 2
＝1.
设P(x ，y)(x ≥3)，OP →·FP →＝(x ，y)·(x ＋2，y)＝x 2＋2x ＋y 2＝x 2
＋2x ＋x 23－1＝43
x 2＋2x －1(x ≥3)．
令g(x)＝4
3x 2＋2x －1(x ≥3)，则g(x)在[3，＋∞)上单调递增．g(x)min ＝g(3)＝3＋2 3.
∴OP →·FP →的取值范围为[3＋23，＋∞)．
16
2 【解析】 ∵||PF 1|－|PF 2||＝4，又PF 1⊥PF 2，|F 1F 2|＝25，∴|PF 1|2＋|PF 2|2＝20，∴(|PF 1|－|PF 2|)2
＝20－2|PF 1||PF 2|＝16，∴|PF 1|·|PF 2|＝2.
17
－1<k<1 【解析】 因为方程x 21＋k －y 2
1－k ＝1表示双曲线，所以(1＋k)(1－k)>0.所以(k ＋1)(k －1)<0.
所以－1<k<1.
18
y 24－x 2
5
＝1. 【解析】方法一 设双曲线的标准方程为y 2a 2－x 2
b 2＝1 (a>0，b>0)，由题意知
c 2＝36－27＝9，c ＝3.又点A 的纵坐标为4，则横坐标为±15，于是有
⎩⎪⎨⎪⎧
42
a 2－(±15)2
b 2＝1，a 2＋b 2＝9，
解得⎩⎪⎨⎪⎧
a 2＝4，
b 2＝5.所以双曲线的标准方程为y 24－x 2
5＝1.
方法二 将点A 的纵坐标代入椭圆方程得A(±15，4)，又两焦点分别为F 1(0,3)，F 2(0，－3)． 所以2a ＝|(±15－0)2＋(4＋3)2－(±15－0)2＋(4－3)2|＝4， 即a ＝2，b 2＝c 2－a 2
＝9－4＝5，所以双曲线的标准方程为y 24－x 25
＝1.
19
x2
4
－
y2
12
＝1 (x>2)．
【解析】设A点的坐标为(x，y)，在△ABC中，由正弦定理，得
a
sin A
＝
b
sin B
＝
c
sin C
＝2R，代入sin B－sin C＝
1
2
sin A，得
|AC|
2R
－
|AB|
2R
＝
1
2
·
|BC|
2R
，又|BC|＝8，所以|AC|－|AB|＝4.因此A 点的轨迹是以B、C为焦点的双曲线的右支(除去右顶点)且2a＝4,2c＝8，所以a＝2，c＝4，b2＝12.所以A点的轨迹方程为
x2
4
－
y2
12
＝1 (x>2)．
20 【解析】(1)设双曲线方程为-=1,因为P,Q两点在双曲线上,
所以解得
所以所求双曲线方程为+=1,即-=1.
(2)因为焦点在x轴上,c=,所以设所求双曲线方程为-=1(其中0<λ<6). 因为双曲线经过点(-5,2),所以-=1,所以λ=5或λ=30(舍去),
所以所求双曲线的方程是-y2=1.
21 x2
2－
y2
5＝1.
【解析】设双曲线的标准方程为
x2
a2
－
y2
b2
＝1，且c＝7，则a2＋b2＝7.①由MN中点的横坐标为－
2
3
知，中点坐标为
⎝
⎛
⎭
⎪
⎫
－
2
3
，－
5
3
.设M(x
1
，y
1
)，N(x
2
，y
2
)，则由⎩⎪
⎨
⎪⎧x
2
1
a2
－
y2
1
b2
＝1，
x2
2
a2
－
y2
2
b2
＝1，
得b2(x
1
＋x
2
)(x
1
－x
2
)－a2(y
1
＋y
2
)(y
1
－y
2
)＝0.
∵
⎩⎪
⎨
⎪⎧x1＋x2＝－43
y
1
＋y
2
＝－
10
3
，且
y
1
－y
2
x
1
－x
2
＝1，∴2b2＝5a2.②
由①，②求得a2＝2，b2＝5.
∴所求双曲线的标准方程为
x2
2
－
y2
5
＝1.
22 D
【解析】由椭圆和双曲线定义，不妨设|PF 1|＞|PF 2|，则|PF 1|+|PF 2|=10，|PF 1|-|PF 2|=4 所以|PF 1|=7，|PF 2|=3∴|pF 1|•|pF 2|=21故选D ． 23
C 【解析】x=0(|y|≥13)
∵||PF 1|-|PF 2||=|F 1F 2|,∴P 点的轨迹为分别以F 1、F 2为端点向外的两条射线. 24
C 【解析】 点M 在双曲线上，322,222121====-∴c F F a MF MF 又4,12,0212
2122212121=∙∴==+∴∆∴=∙MF MF F F MF MF F MF MF MF 为直角三角形。

d F F MF MF S MF MF MF MF F MF ∙=∙=
∴⊥∴=∙∆212121212
1
21,,0d,轴的距离为x 到M 设点22 33
2
3
242
12
1=
=
∙=∴F F MF MF d ,故答案为332
25
90°【解析】 设∠F 1PF 2=α,|PF 1|=r 1,|PF 2|=r 2(r 1>0,r 2>0).所以r 1r 2=32,|r 1-r 2|=2a=6.
在△F 1PF 2中,由余弦定理,得(2c)2
=+-2r 1r 2cos α,所以cos α=
=
==0.所以α=90°.
26
x 22
－y 2
6
＝1(x >2) 【解析】如图所示，以边AB 所在的直线为x 轴，线段AB
的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系，则A (－22，0)，B (22，0)． 设△ABC 三内角A ，B ，C 所对边长分别为a ′，b ′，c ′.
由正弦定理a ′sin A ＝b ′sin B ＝c ′
sin C
＝2R 及2sin A ＋sin C ＝2sin B 得
2a ′＋c ′＝2b ′，即b ′－a ′＝c ′2.∴CA －CB ＝1
2
AB ＝22<AB .由双曲线的定义知点C 的轨迹为
双曲线的右支．∵a ＝2，c ＝22，∴b 2
＝c 2
－a 2
＝6.∴顶点C 的轨迹方程为x 22－y 2
6
＝1(x >2)．
27
⎝ ⎛
⎭⎪⎫－55，0∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0，55. 【解析】设点P 的坐标为(x ，y )，依题意，得|y ||x |＝2，即y ＝±2x (x ≠0)
①.因此，点P (x ，y )，M (－1,0)，N (1,0)三点不共线且PM ≠PN ，则|PM －PN |<MN ＝2.因为|PM －PN |＝
2|m |>0，所以0<|m |<1.因此，点P 在以M ，N 为焦点的双曲线上(除去与x 轴的两个交点)，故x 2m 2－
y 2
1－m 2＝1(y ≠0) ②.将①代入②，得x 2
(1－m 2
)－4m 2x 2
＝m 2
(1－m 2
)，解得x 2
＝m 21－m 21－5m
2
.因为1－m 2
>0，所
5 5，即m的取值范围为
⎝
⎛
⎭
⎪
⎫
－
5
5
，0∪
⎝
⎛
⎭
⎪
⎫
0，
5
5
.
以1－5m2>0，解得0<|m|<。