马尾区高中2018-2019学年高二上学期第一次月考试卷数学

马尾区高中2018-2019学年高二上学期第一次月考试卷数学 班级__________ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 下列函数中，定义域是R 且为增函数的是（ ）
A.x
y e -= B.3y x = C.ln y x = D.y x =
2． 已知函数，，若，则（ ）
A1 B2 C3 D-1
3． 已知α，β为锐角△ABC 的两个内角，x ∈R ，f （x ）=（）|x ﹣2|
+（）
|x ﹣2|
，则关于
x 的不等
式f （2x ﹣1）﹣f （x+1）＞0的解集为（ ）
A ．（﹣∞，）∪（2，+∞）
B ．（，2）
C ．（﹣∞，﹣）∪（2，+∞）
D ．（﹣，2）
4． 数列{a n }满足a 1=， =﹣1（n ∈N *
），则a 10=（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
5． 若a ＞b ，则下列不等式正确的是（ ）
A ．
B ．a 3＞b 3
C ．a 2＞b 2
D ．a ＞|b|
6． 在
中，角、
、
所对应的边分别为、、，若角
、
、
依次成等差数列，且
，
,则
等于（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．2
7． 下列函数中，既是偶函数又在(0,)+∞单调递增的函数是（ ）
A ．3
y x =
B ． 2
1y x =-+ C ．||1y x =+ D ．2x
y -=
8． 已知复数z 满足z •i=2﹣i ，i 为虚数单位，则z=（ ） A ．﹣1﹣2i B ．﹣1+2i
C ．1﹣2i
D ．1+2i
9． 三个实数a 、b 、c 成等比数列，且a+b+c=6，则b 的取值范围是（ ） A ．[﹣6，2] B ．[﹣6，0）∪（ 0，2] C ．[﹣2，0）∪（ 0，6] D ．（0，2]
10．常用以下方法求函数y=[f （x ）]g （x ）的导数：先两边同取以e 为底的对数（e ≈2.71828…，为自然对数的底
数）得lny=g （x ）lnf （x ），再两边同时求导，得•y ′=g ′（x ）lnf （x ）+g （x ）•[lnf （x ）]′，即y ′=[f （x ）]g （x
）
{g ′（x ）lnf （x ）+g （x ）•[lnf （x ）]′}．运用此方法可以求函数h （x ）=x x （x ＞0）的导函数．据此可以判断下列各函数值中最小的是（ ）
A ．h （）
B ．h （）
C ．h （）
D ．h （）
11．若复数（2+ai ）2（a ∈R ）是实数（i 是虚数单位），则实数a 的值为（ ） A ．﹣2 B ．±2 C ．0 D ．2
12．若a=ln2，b=5
，c=
xdx ，则a ，b ，c 的大小关系（ ）
A ．a ＜b ＜c
B B ．b ＜a ＜c
C C ．b ＜c ＜a
D ．c ＜b ＜a
二、填空题
13．椭圆
+
=1上的点到直线l ：x ﹣2y ﹣12=0的最大距离为 ．
14．某校为了了解学生的课外阅读情况，随机调查了50名学生，得到他们在某一天各自课外阅读所用时间的数据，结果用下面的条形图表示．根据条形图可得这50名学生这一天平均的课外阅读时间为 小时．
15．求函数在区间[]上的最大值 ．
16．已知三棱锥ABC D -的四个顶点均在球O 的球面上，ABC ∆和DBC ∆所在的平面互相垂直，3=AB ，
3=AC ，32===BD CD BC ，则球O 的表面积为 .
17．已知向量、
满足
，则|+|= ．
18．已知实数x ，y 满足约束条，则z=
的最小值为 ．
三、解答题
19．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1=10，a 2为整数，且S n ≤S 4。

（1）求{a n }的通项公式；
（2）设b n =
，求数列{b n }的前n 项和T n 。

20．已知函数f （x ）=x 3﹣x 2+cx+d 有极值．
（Ⅰ）求c 的取值范围；
（Ⅱ）若f （x ）在x=2处取得极值，且当x ＜0时，f （x ）＜d 2
+2d 恒成立，求d 的取值范围．
21．【2017-2018学年度第一学期如皋市高三年级第一次联考】设函数()1
ln 1f x a x x
=+-． （1）当2a =时，求函数()f x 在点()()
11f ，处的切线方程； （2）讨论函数()f x 的单调性；
（3）当102a <<时，求证：对任意1+2x ⎛⎫∈∞ ⎪⎝⎭，
，都有1e x a
a x +⎛⎫
+< ⎪⎝⎭
．
22．已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左，右焦点分别为F1，F2，该椭圆的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线y=x+相切．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）如图，若斜率为k（k≠0）的直线l与x轴，椭圆C顺次交于P，Q，R（P点在椭圆左顶点的左侧）且∠RF1F2=∠PF1Q，求证：直线l过定点，并求出斜率k的取值范围．
23．已知数列{a n}是等比数列，S n为数列{a n}的前n项和，且a3=3，S3=9
（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；
（Ⅱ）设b n=log2，且{b n}为递增数列，若c n=，求证：c1+c2+c3+…+c n＜1．
24．已知函数f（x）=|x﹣10|+|x﹣20|，且满足f（x）＜10a+10（a∈R）的解集不是空集．（Ⅰ）求实数a的取值集合A
（Ⅱ）若b∈A，a≠b，求证a a b b＞a b b a．
马尾区高中2018-2019学年高二上学期第一次月考试卷数学（参考答案）
一、选择题
1． 【答案】B
【解析】
试题分析：对于A ，x
y e =为增函数，y x =-为减函数，故x
y e -=为减函数，对于B ，2
'30y x =>，故3
y x =为增函数，对于C ，函数定义域为0x >，不为R ，对于D ，函数y x =为偶函数，在(),0-∞上单调递减，在()0,∞上单调递增，故选B. 考点：1、函数的定义域；2、函数的单调性.
2． 【答案】A
【解析】g （1）=a ﹣1， 若f[g （1）]=1， 则f （a ﹣1）=1， 即5|a ﹣1|=1，则|a ﹣1|=0， 解得a=1
3． 【答案】B
【解析】解：∵α，β为锐角△ABC 的两个内角，可得α+β＞90°，cos β=sin （90°﹣β）＜sin α，同理cos α＜sin β，
∴f （x ）=（
）
|x ﹣2|
+（
）
|x ﹣2|
，在（2，+∞）上单调递减，在（﹣∞，2）单调递增，
由关于x 的不等式f （2x ﹣1）﹣f （x+1）＞0得到关于x 的不等式f （2x ﹣1）＞f （x+1），
∴|2x ﹣1﹣2|＜|x+1﹣2|即|2x ﹣3|＜|x ﹣1|，化简为3x 2
﹣1x+8＜0，解得x ∈（，2）；
故选：B ．
4． 【答案】C
【解析】解：∵ =﹣1（n ∈N *
），
∴﹣
=﹣1，
∴数列是等差数列，首项为
=﹣2，公差为﹣1．
∴=﹣2﹣（n ﹣1）=﹣n ﹣1，
∴a n =1﹣
=
．
∴a10=．
故选：C．
【点评】本题考查了等差数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
5．【答案】B
【解析】解：∵a＞b，令a=﹣1，b=﹣2，代入各个选项检验可得：
=﹣1，=﹣，显然A不正确．
a3=﹣1，b3=﹣6，显然B正确．
a2 =1，b2=4，显然C不正确．
a=﹣1，|b|=2，显然D 不正确．
故选B．
【点评】通过给变量取特殊值，举反例来说明某个命题不正确，是一种简单有效的方法．
6．【答案】C
【解析】
因为角、、依次成等差数列，所以
由余弦定理知，即，解得
所以，故选C
答案：C
7．【答案】C
【解析】
试题分析：函数3
y x
=-+是偶函数，但是在区间()
=为奇函数，不合题意；函数21
y x
0,+∞上单调递减，不合题意；函数2x
=为非奇非偶函数。

故选C。

y-
考点：1.函数的单调性；2.函数的奇偶性。

8．【答案】A
【解析】解：由z•i=2﹣i得，，
故选A
【解析】解：设此等比数列的公比为q，
∵a+b+c=6，
∴=6，
∴b=．
当q＞0时，=2，当且仅当q=1时取等号，此时b∈（0，2]；
当q＜0时，b=﹣6，当且仅当q=﹣1时取等号，此时b∈[﹣6，0）．
∴b的取值范围是[﹣6，0）∪（0，2]．
故选：B．
【点评】本题考查了等比数列的通项公式、基本不等式的性质、分类讨论思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
10．【答案】B
【解析】解：（h（x））′=x x[x′lnx+x（lnx）′]
=x x（lnx+1），
令h（x）′＞0，解得：x＞，令h（x）′＜0，解得：0＜x＜，
∴h（x）在（0，）递减，在（，+∞）递增，
∴h（）最小，
故选：B．
【点评】本题考查函数的导数的应用，极值的求法，基本知识的考查．
11．【答案】C
【解析】解：∵复数（2+ai）2=4﹣a2+4ai是实数，
∴4a=0，
解得a=0．
故选：C．
【点评】本题考查了复数的运算法则、复数为实数的充要条件，属于基础题．
【解析】解：∵a=ln2＜lne即，
b=5=，
c=xdx=，
∴a，b，c的大小关系为：b＜c＜a．
故选：C．
【点评】本题考查了不等式大小的比较，关键是求出它们的取值范围，是基础题．二、填空题
13．【答案】4．
【解析】解：由题意，设P（4cosθ，2sinθ）
则P到直线的距离为d==，
当sin（θ﹣）=1时，d取得最大值为4，
故答案为：4．
14．【答案】0.9
【解析】解：由题意，=0.9，
故答案为：0.9
15．【答案】．
【解析】解：∵f（x）=sin2
x+sinxcosx
=+sin2x
=sin（2x﹣）+．
又x∈[，]，
∴2x
﹣∈
[
，]，
∴sin （2x
﹣）∈
[，1]， ∴sin （2x
﹣
）
+∈[1
，]．
即f （x ）∈[1
，]． 故f （x ）在区间
[
，
]
上的最大值为．
故答案为：．
【点评】本题考查二倍角的正弦与余弦，考查辅助角公式，着重考查正弦函数的单调性与最值，属于中档题．
16．【答案】
16π
【解析】如图所示，∵222AB AC BC +=，∴CAB ∠为直角，即过△ABC 的小圆面的圆心为BC 的中点O '，ABC △和DBC △所在的平面互相垂直，则球心O 在过DBC △的圆面上，即DBC △的外接圆为球大圆，由等边三角形的重心和外心重合易得球半径为2R =，球的表面积为24π16πS R ==
17．【答案】 5 ．
【解析】解：
∵ =（1，0）+（2，4）=（3，4）．
∴
=
=5．
故答案为：5．
【点评】本题考查了向量的运算法则和模的计算公式，属于基础题．
18．【答案】
．
【解析】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）． 由
z=
=32x+y ，
设t=2x+y，
则y=﹣2x+t，
平移直线y=﹣2x+t，
由图象可知当直线y=﹣2x+t经过点B时，直线y=﹣2x+t的截距最小，
此时t最小．
由，解得，即B（﹣3，3），
代入t=2x+y得t=2×（﹣3）+3=﹣3．
∴t最小为﹣3，z有最小值为z==3﹣3=．
故答案为：．
【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．
三、解答题
19．【答案】
【解析】（1）由a1=10，a2为整数，且S n≤S4得
a4≥0，a5≤0，即10+3d≥0，10+4d≤0，解得﹣≤d≤﹣，
∴d=﹣3，
∴{a n}的通项公式为a n=13﹣3n。

（2）∵b n==，
∴T n =b 1+b 2+…+b n =（﹣+﹣+…+﹣）=（﹣）
=。

20．【答案】
【解析】解（Ⅰ）∵f （x ）=x 3﹣x 2
+cx+d ，
∴f ′（x ）=x 2﹣x+c ，要使f （x ）有极值，则方程f ′（x ）=x 2
﹣x+c=0有两个实数解，
从而△=1﹣4c ＞0，
∴c ＜．
（Ⅱ）∵f （x ）在x=2处取得极值，
∴f ′（2）=4﹣2+c=0， ∴c=﹣2．
∴f （x ）=x 3﹣x 2
﹣2x+d ，
∵f ′（x ）=x 2
﹣x ﹣2=（x ﹣2）（x+1），
∴当x ∈（﹣∞，﹣1]时，f ′（x ）＞0，函数单调递增，当x ∈（﹣1，2]时，f ′（x ）＜0，函数单调递减．
∴x ＜0时，f （x ）在x=﹣1处取得最大值，
∵x ＜0时，f （x ）＜恒成立，
∴
＜
，即（d+7）（d ﹣1）＞0，
∴d ＜﹣7或d ＞1，
即d 的取值范围是（﹣∞，﹣7）∪（1，+∞）．
【点评】本题考查的知识点是函数在某点取得极值的条件，导数在最大值，最小值问题中的应用，其中根据已知中函数的解析式，求出函数的导函数的解析式，是解答本题的关键．
21．【答案】（1）10x y --=；（2）见解析；（3）见解析. 【解析】试题分析：（1）当2a =时，求出导数易得()'11f =，即1k =，利用点斜式可得其切线方程；（2）
求得可得()2
1'ax f x x -=
，分为0a ≤和0a >两种情形判断其单调性；（3）当1
02
a <<时，根据（2）可 得函数()f x 在()12，上单调递减，故()11a f f x ⎛⎫+< ⎪⎝⎭，即ln 1a a a x x a ⎛⎫
+<
⎪+⎝
⎭，化简可得所证结论.
试题解析：（1）当2a =时，
()12ln 1f x x x =+
-，()112ln1101f =+-=，()221'f x x x =-，()221
'1111
f =-=，所以函数()f x 在点()10，处的切线方程为()011y x -=⨯-，即10x y --=． （2）()1ln 1f x a x x =+
-，定义域为()0+∞，，()2211
'a ax f x x x x
-=-=． ①当0a ≤时，()'0f x <，故函数()f x 在()0+∞，上单调递减；
②当0a >时，令()'0f x =，得1
x
= 综上所述，当0a ≤时，()f x 在()0+∞，上单调递减；当0a >时，函数()f x 在10a ⎛
⎫ ⎪⎝⎭
，上单调递减，在
1a ⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭
，上单调递增． （3）当102a <<时，由（2）可知，函数()f x 在10a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，上单调递减，显然，12a >，故()1120a ⎛⎫
⊆ ⎪⎝⎭
，
，，所以函数()f x 在()12，上单调递减，对任意1+2x ⎛⎫
∈∞ ⎪⎝⎭
，
，都有01a x <<，所以112a x <+<．所以()11a f f x ⎛⎫+< ⎪⎝⎭，即1ln 1101a a a x x ⎛⎫++-< ⎪⎝⎭+，所以ln 1a
a a x
x a
⎛⎫+
< ⎪+
⎝⎭，即1ln 1a x x a ⎛⎫
+<
⎪+⎝⎭，所以(
)ln 11a x a x ⎛⎫++< ⎪⎝⎭，即ln 11x a
a x +⎛⎫+< ⎪⎝⎭
，所以1e x a
a x +⎛⎫
+< ⎪
⎝⎭
．
22．【答案】
【解析】（Ⅰ）解：椭圆的左，右焦点分别为F 1（﹣c ，0），F 2（c ，0）， 椭圆的离心率为
，即有=
，即a=
c ，b=
=c ，
以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆方程为x 2+y 2=b 2
，
直线y=x+与圆相切，则有=1=b ，
即有a=
，
则椭圆C的方程为+y2=1；
（Ⅱ）证明：设Q（x1，y1），R（x2，y2），F1（﹣1，0），
由∠RF1F2=∠PF1Q，可得直线QF1和RF1关于x轴对称，
即有+=0，即+=0，
即有x1y2+y2+x2y1+y1=0，①
设直线PQ：y=kx+t，代入椭圆方程，可得
（1+2k2）x2+4ktx+2t2﹣2=0，
判别式△=16k2t2﹣4（1+2k2）（2t2﹣2）＞0，
即为t2﹣2k2＜1②
x1+x2=，x1x2=，③
y1=kx1+t，y2=kx2+t，
代入①可得，（k+t）（x1+x2）+2t+2kx1x2=0，
将③代入，化简可得t=2k，
则直线l的方程为y=kx+2k，即y=k（x+2）．
即有直线l恒过定点（﹣2，0）．
将t=2k代入②，可得2k2＜1，
解得﹣＜k＜0或0＜k＜．
则直线l的斜率k的取值范围是（﹣，0）∪（0，）．
【点评】本题考查椭圆的方程和性质，主要是离心率的运用，注意运用直线和圆相切的条件，联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理，考查化简整理的运算能力，属于中档题和易错题．
23．【答案】已知数列{a n}是等比数列，S n为数列{a n}的前n项和，且a3=3，S3=9
（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；
（Ⅱ）设b n=log2，且{b n}为递增数列，若c n=，求证：c1+c2+c3+…+c n＜1．
【考点】数列的求和；等比数列的通项公式．
【专题】计算题；证明题；方程思想；综合法；等差数列与等比数列．
【分析】（Ⅰ）设数列{a n}的公比为q，从而可得3（1++）=9，从而解得；
（Ⅱ）讨论可知a2n+3=3•（﹣）2n=3•（）2n，从而可得b n=log2=2n，利用裂项求和法求和．
【解析】解：（Ⅰ）设数列{a n}的公比为q，
则3（1++）=9，
解得，q=1或q=﹣；
故a n=3，或a n=3•（﹣）n﹣3；
（Ⅱ）证明：若a n=3，则b n=0，与题意不符；
故a2n+3=3•（﹣）2n=3•（）2n，
故b n=log2=2n，
故c n==﹣，
故c1+c2+c3+…+c n=1﹣+﹣+…+﹣
=1﹣＜1．
【点评】本题考查了数列的性质的判断与应用，同时考查了方程的思想应用及裂项求和法的应用．
24．【答案】
【解析】解（1）要使不等式|x﹣10|+|x﹣20|＜10a+10的解集不是空集，
则（|x﹣10|+|x﹣20|）min＜10a+10，
根据绝对值三角不等式得：|x﹣10|+|x﹣20|≥|（x﹣10）﹣（x﹣20）|=10，
即（|x﹣10|+|x﹣20|）min=10，
所以，10＜10a+10，解得a＞0，
所以，实数a的取值集合为A=（0，+∞）；
（2）∵a，b∈（0，+∞）且a≠b，
∴不妨设a＞b＞0，则a﹣b＞0且＞1，
则＞1恒成立，即＞1，
所以，a a﹣b＞b a﹣b，
将该不等式两边同时乘以a b b b得，
a a
b b＞a b b a，即证．
【点评】本题主要考查了绝对值三角不等式的应用和不等式的证明，涉及指数函数的性质，属于中档题．。