工程力学电子教案5

念所决定的。事实上，对于所研究的问题来说只要能从(c)
式求出与临界力相关的未知常数k就可以了。
w A sin kx B cos kx
(c)
将边界条件x=0，w=0代入式(c)得
B=0。于是根据(c)式并利用边界条件 x=l，w=0得到
A sin kl 0
注意到已有B=0，故上式中的A不可能等于 零，否则(c)式将成为w≡ 0而压杆不能保持 微弯状态，也就是杆并未达到临界状态。由
(1)当杆端约束情况在各个纵向平面内相同时(例如球形铰)，欧
拉公式中的 I 应是杆的横截面的最小形心主惯性矩 Imin。
(2)当杆端约束在各个纵向平面内不同时，欧拉公式中所取用的
I应与失稳(或可能失稳)时的弯曲平面相对应。例如杆的两端
均为如图所示柱形铰的情况下： z y 轴销
x
对应于杆在xy平面内失稳，杆端约束接近于两端固定，
（2）计算最小刚度平面内的临界压力 （即绕 z 轴失稳）
z
200
中性轴为z轴：
2001203 Iz 28.8 106 m m4 28.8 106 m 4 12
120
y
木柱两端固定，，则得：
p 2 EI z 3.142 10103 28.8 106 P 178KN lj 2 2 l 0.5 8000
第九章 压杆稳定 §9–1 压杆稳定的概念
压杆稳定—压杆保持其原有直线平衡状态的能力，称其 稳定性。（指受压杆件其平衡状态的稳定性） 细长压杆在压力逐渐增大至某一数值时，突然变弯直至 弯断的现象称为丧失稳定或失稳。
临界力—压杆在临界平衡状态时所受的轴向压力。
实际的受压杆件 实际的受压杆件由于: 1. 其轴线并非理想的直线而存在初弯曲， 2. 作用于杆上的轴向压力有“偶然”偏心， 3. 材料性质并非绝对均匀， 因此在轴向压力作用下会发生弯曲变形，且由此引起的侧 向位移随轴向压力的增大而更快地增大。
w A sin kx B cos kx
(b)
(c)
此式中有未知量A和B以及隐含有Fcr的k，但现在能够利用的 边界条件只有两个，即x=0，w=0 和 x=l，w=0，显然这不 可能求出全部三个未知量。这种不确定性是由F = Fcr时杆可 在任意微弯状态下(d可为任意微小值)保持平衡这个抽象概
π 2 EI Fcr l 2
式中， 称为压杆的长度因数，它与杆端约束情况有关； l 称为压杆的相当长度，它表示某种杆端约束情况下几何长度为 l的压杆，其临界力相当于长度为 l 的两端铰支压杆的临界力。 表9-1的图中从几何意义上标出了各种杆端约束情况下的相当 长度 l。
运用欧拉公式计算临界力时需要注意：
由上可知：木柱的临界压力为Plj=123kN。
例 图示支架中圆形截面压杆AB的直径为28mm,材料为A3钢， P E=200GPa。试求荷载P的最大值。 0.6m
w d 1 coskx
(a)
至此仍未得到可以确定隐含Fcr的未知量k的条件。为此，利 用 x = l 时 w = d 这一关系，从而得出
d d 1 cos kl
亦即
d coskl 0
从式(a)可知d不可能等于零，否则w将恒等于零，故上式中 只能coskl = 0。满足此条件的kl的最小值为kl = p/2，亦即
y
120
z
200
z 200
y
120
（图a）
（图b）
解：（1）计算最大刚度平面内的临界压力
120 200 80106 m m4 中性轴为y轴：I y 12
3
y
120
z 200
木柱两端铰
3.142 10103 80106 123kN 2 1 8000
亦即对应于Fcr=p2EI/l 2，挠曲线方程为
w d sin πx l
可见此时的挠曲线为半波正弦曲线。
需要指出的是，尽管上面得到了A=d，但因
为杆在任意微弯状态下保持平衡时d为不确 定的值，故不能说未知量A已确定。 事实上，在推导任何杆端约束情况的细长中 心压杆欧拉临界力时，挠曲线近似微分方程 的通解中，凡与杆的弯曲程度相关的未知量 总是不确定的。
由边界条件x=0，w =0 得 A=Fy /(kFcr)。
又由边界条件x=0，w=0 得 B=-Fy l /Fcr。 将以上A和B的表达式代入式(a)有
Fy 1 w sin kx l cos kx l x Fcr k
再利用边界条件x=l，w=0，由上式得
§9–2 细长压杆的临界力
以两端球形铰支(简称两端铰支)的细 长中心受压杆件(图a)为例，按照对于理
想中心压杆来说临界力就是杆能保持微
弯状态时的轴向压力这一概念，来导出 求临界力的欧拉(L.Euler)公式。
(a)
在图a所示微弯状态下，两端铰
支压杆任意x截面的挠度(侧向位移)
为w，该截面上的弯矩为M(x)=Fcrw （图b）。杆的挠曲线近似微分方程 为
π 2 EI z Fcr 2 0.5l
对应于杆在xz平面内的失稳，杆端约束相当于两端铰支，
Fcr
π 2 EI y l2
y x
而取用的临界力值应是上列两种计算值中的较小者。 z
轴销
例：截面为200×120mm2的轴向受压
木柱，L=8m，柱的支承情况是: 在最 大刚度平面内压弯时为两端铰支（图 a）；在最小刚度平面内压弯时为两端 固定（图b）。木材的弹性模量 E=10GPa，试求木柱的临界压力。 （即绕y轴失稳）
EIw Fcr d w
这里，等号右边取正号是因为对应于正值的(d -w)， d d y w 亦为正。将上式改写为 dxdx
Fcr Fcr w w d EI EI
Fcr 并令 k 有 EI
2
w k 2 w k 2d
EIw M x Fcr w
(a)
上式中负号是由于在图示坐标中， 对应于正值的挠度w，挠曲线切线 d d y 斜率的变化率 w 为负 dxdx 的缘故。
(a)
(b)
令k2=Fcr /EI，将挠曲线近似微分方程(a)改写成
w k 2 w 0
该二阶常系数线性微分方程(b)的通解为
对于细长的压杆(大柔度压杆)，最终会因为弹性的侧向位
移过大而丧失承载能力；
对于中等细长的压杆(中等柔度压杆)则当侧向位移增大到 一定程度时会在弯－压组合变形下发生强度破坏(压溃)。
对于实际细长压杆的上述力学行为， 如果把初弯曲和材质不均匀的影响都归
入偶然偏心的影响，则可利用大柔度弹
性直杆受偏心压力作用这一力学模型来 研究。
2 4.49 EI
Fcr
l2
π 2 EI 0.7l 2
3. 将 kl = 4.49，亦即 k = 4.49/l 代入式(c)即得此压杆对
应于上列临界力的挠曲线方程：
Fy l sin kx x w cos kx 1 Fcr 4.49 l
图a为下端固定，上端自由的实际压杆 的力学模型；为列出用来寻求F－d 关系所
需挠曲线近似微分方程而计算横截面上的弯
矩时,需把侧向位移考虑在内，即 M(x)=F(e+d-w)， 这样得到的挠曲线近似微分方程 EIz w"=F(e+d -w) 和积分后得到的挠曲线方程便反映了大柔度 (a) 杆偏心受压时侧向位移的影响。
从而有挠曲线近似微分方程：
EIw [Fcr w Fy l x]
上式等号右边的负号是因为对应于正
d y 为负而加的。 值的w， w d dxdx
(b)
令 k2=Fcr /EI，将上式改写为 Fy 2 l x w k w EI 亦即
(a)
此可知，欲使(c)成立，则必须sinkl=0
满足此条件的kl为
kl 0，π , 2π ，
或即
Fcr l 0，π ， 2π ， EI
Fcr l 0意味着临界力Fcr ＝0，也就是杆根本未受 由于 EI 轴向压力，所以这不是真实情况。在kl≠0的解中，最小解 kl
＝p 相应于最小的临界力，这是工程上最关心的临界力。 由kl＝p有
Fcr lπ EI
亦即
Fcr 2 l π2 EI
从而得到求两端铰支细长中心压杆临界力的欧拉公式：
π 2 EI Fcr 2 l 此时杆的挠曲线方程可如下导出。前已求得B=0，且取
kl＝p，以此代入式(c)得
π w A sin x l 注意到当x= l /2 时 w=d，故有 A=d。从而知，对应于kl＝p，
Fcr π l EI 2 从而得到求此压杆临界力的欧拉公式：
π 2 EI π 2 EI Fcr 2 4l 2l 2
(b)
以 kl = p/2 亦即 k = p/(2l)代入式(a)
便得到此压杆对应于式(b)所示临界力的 挠曲线方程：
πx w d 1 cos 2l
例 试推导下端固定、上端铰 支的等直细长中心压杆临界力的 欧拉公式，并求该压杆相应的挠
曲线方程。图(a)中的xy平面为杆
的最小弯曲刚度平面。
(a)
解：1. 在推导临界力公式时需要注意， 在符合杆端约束条件的微弯状态下，支座处 除轴向约束力外还有无横向约束力和约束力 偶矩。 图b示出了该压杆可能的微弯状态，与
此微分方程的通解为
w A sin kx B cos kx d
从而亦有
w Ak cos kx Bk sin kx
根据边界条件x=0，w =0得Ak=0；注意到 k Fcr 不 EI 会等于零，故知A＝0，从而有w＝Bcoskx+d。再利用边界
条件x=0，w=0得B=-d。于是此压杆的挠曲线方程成为
w k w k
2
2
Fy Fcr
l x
Fy Fcr
此微分方程的通解为
w A sin kx B coskx
从而亦有
l x
(a)
(b)
w Ak coskx Bk sin kx
Fy Fcr
式中共有四个未知量：A，B，k，Fy。
对于此杆共有三个边界条件。
此相对应，B处应有逆时针转向的约束力偶
矩MB，并且根据整个杆的平衡条件ΣMB ＝0 可知，杆的上端必有向右的水平约束力Fy；
(b)
从而亦知杆的下端有向左的水平约束力Fy 。
在推导临界力公式时这是很重要的一步，如果在这一步中 发生错误，那么得到的结果将必定是错误的。
2. 杆的任意x截面上的弯矩为
M x Fcr w Fy l x
(a)
例 试推导下端固定、上端自 由的等直细长中心压杆临界力的
欧拉公式，并求压杆相应的挠曲
线方程。图中xy平面为杆的弯曲 刚度最小的平面，亦即杆最容易 发生弯曲的平面。
解：根据该压杆失稳后符合杆端约束条件的挠曲线的 大致形状可知，任意x横截面上的弯矩为
M x Fcr d w
杆的挠曲线近似微分方程则为
(c)
(a)
Fy 1 sin kl l cos kl 0 Fcr k
由于杆在微弯状态下保持平衡时，Fy不可能等于零，故由上 式得
1 sin kl l cos kl 0 k
亦即
tan kl kl
Fcr l 4.49 ， 满足此条件的最小非零解为kl=4.49，亦即 EI 从而得到此压杆求临界力的欧拉公式：
由此引出了关于压杆失稳(buckling)这一抽象的概念：当
细长中心压杆上的轴向压力F小于Fcr时，杆的直线状态的平衡
是稳定的； 当F＝Fcr时杆既可在直线状态下保持平衡(d＝0)，也可以在微 弯状态下保持平衡，也就是说F＝Fcr时理想中心压杆的直线平 衡状态是不稳定的，压杆在轴向压力Fcr作用下会丧失原有的直 线平衡状态，即发生失稳。 Fcr则是压杆直线状态的平衡由稳定变为不稳定的临界力。
利用此方程还可以进一步求得该
压杆在上列临界力作用下挠曲线 上的拐点在 x = 0.3l 处(图b)。
(b)
压杆的长度因数和相当长度
表9-1中列出了几种典型的理想杆端约束条件下，等截面 细长中心受压直杆的欧拉公式。从表中可见，杆端约束越强， 压杆的临界力也就越高。 表中将求临界力的欧拉公式写成了同一的形式：