青神县第一中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

青神县第一中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析 班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 抛物线y=4x 2的焦点坐标是（ ）
A ．（0，1）
B ．（1，0）
C
．
D
．
2． 若复数12,z z 在复平面内对应的点关于y 轴对称，且12i z =-，则复数
1
2
z z 在复平面内对应的点在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限
【命题意图】本题考查复数的几何意义、代数运算等基础知识，意在考查转化思想与计算能力． 3． 若复数（2+ai ）2（a ∈R ）是实数（i 是虚数单位），则实数a 的值为（ ） A ．﹣2 B ．±2 C ．0 D ．2
4． 设命题p ：，则
p 为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
5． 若关于的不等式
2
043
x a
x x +>++的解集为31x -<<-或2x >，则的取值为（ ） A ． B ．12 C ．1
2
- D ．2-
6． 函数f （x ）
=，则f （﹣1）的值为（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
7． 函数
y=+
的定义域是（ ）
A ．{x|x ≥﹣1}
B ．{x|x ＞﹣1且x ≠3}
C ．{x|x ≠﹣1且x ≠3}
D ．{x|x ≥﹣1且x ≠3}
8． 利用计算机在区间（0，1）上产生随机数a ，则不等式ln （3a ﹣1）＜0成立的概率是（ ） A
．
B
．
C
．
D
．
9．
定义运算
，例如
．若已知
，则
=（ ）
A
．
B
．
C
．
D
．
10．△ABC 中，A （﹣5，0），B （5，0），点C 在双曲线上，则=（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．±
11．已知集合{}
ln(12)A x y x ==-，{}
2B x x x =≤，全集U A B =，则()U C A B =（ ）
（A ） (),0-∞ （ B ） 1,12⎛⎤- ⎥⎝⎦
（C ） ()1,0,12⎡⎤
-∞⋃⎢⎥⎣⎦ （D ）
1,02⎛⎤- ⎥⎝⎦
12．设命题p ：函数y=sin （2x+
）的图象向左平移个单位长度得到的曲线关于y 轴对称；命题q ：函数
y=|2x ﹣1|在[﹣1，+∞）上是增函数．则下列判断错误的是（ ） A ．p 为假
B ．￢q 为真
C ．p ∨q 为真
D ．p ∧q 为假
二、填空题
13．一个总体分为A ，B ，C 三层，用分层抽样的方法从中抽取一个容量为15的样本，若B 层中每个个体被
抽到的概率都为，则总体的个数为 ．
14．
17．已知函数f （x ）是定义在R 上的奇函数，且它的图象关于直线x=1对称．
15．已知点A （2，0），点B （0，3），点C 在圆x 2+y 2
=1上，当△ABC 的面积最小时，点C 的坐标为 ．
16．已知椭圆中心在原点，一个焦点为F （﹣2，0），且长轴长是短轴长的2倍，则该椭圆的标准方程
是 ．
17．设()x x
f x e
=
，在区间[0,3]上任取一个实数0x ，曲线()f x 在点()00,()x f x 处的切线斜率为k ，则随机事件“0k <”的概率为_________.
18．在等差数列{}n a 中，17a =，公差为d ，前项和为n S ，当且仅当8n =时n S 取得最大值，则d 的取值范围为__________.
三、解答题
19．设集合{}
()(
){
}
2
2
2
|320,|2150A x x x B x x a x a =-+==+-+-=.
（1）若{}2A B =,求实数的值；
（2）A B A =,求实数的取值范围.1111]
20．求下列曲线的标准方程：
（1）与椭圆+=1有相同的焦点，直线y=x为一条渐近线．求双曲线C的方程．
（2）焦点在直线3x﹣4y﹣12=0 的抛物线的标准方程．
21．已知函数f（x）=，求不等式f（x）＜4的解集．
22．已知f（α）=，
（1）化简f（α）；
（2）若f（α）=﹣2，求sinαcosα+cos2α的值．
23．（本题满分15分）
如图AB 是圆O 的直径，C 是弧AB 上一点，VC 垂直圆O 所在平面，D ，E 分别为VA ，VC 的中点. （1）求证：DE ⊥平面VBC ；
（2）若6VC CA ==，圆O 的半径为5，求BE 与平面BCD 所成角的正弦值.
【命题意图】本题考查空间点、线、面位置关系，线面等基础知识，意在考查空间想象能力和运算求解能力．
24．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数()()f x x a a R =-∈.
（1）当1a =时，解不等式()211f x x <--；
（2）当(2,1)x ∈-时，121()x x a f x ->---，求的取值范围.
青神县第一中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析（参考答案） 一、选择题
1． 【答案】C
【解析】解：抛物线y=4x 2的标准方程为 x 2
=y ，p=，开口向上，焦点在y 轴的正半轴上，
故焦点坐标为（0，），
故选C ．
【点评】本题考查抛物线的标准方程，以及简单性质的应用；把抛物线y=4x 2
的方程化为标准形式，是解题的
关键．
2． 【答案】B 【
解
析
】
3． 【答案】C
【解析】解：∵复数（2+ai ）2=4﹣a 2
+4ai 是实数，
∴4a=0， 解得a=0． 故选：C ．
【点评】本题考查了复数的运算法则、复数为实数的充要条件，属于基础题．
4． 【答案】A
【解析】【知识点】全称量词与存在性量词 【试题解析】因为特称命题的否定是全称命题，p 为：。

故答案为：A 5． 【答案】D 【解析】
试题分析：由题意得，根据不等式与方程的关系可知，不等式解集的端点就是对应的方程的根，可得方程
2
043
x a
x x +=++，解得3,1,x x x a =-=-=-，其对应的根分别为3,1,2x x x =-=-=，所以2a =-，故选D.
考点：不等式与方程的关系. 6． 【答案】A
【解析】解：由题意可得f（﹣1）=f（﹣1+3）=f（2）=log22=1
故选：A
【点评】本题考查分度函数求值，涉及对数的运算，属基础题．
7．【答案】D
【解析】解：由题意得：
，
解得：x≥﹣1或x≠3，
故选：D．
【点评】本题考查了求函数的定义域问题，考查二次根式的性质，是一道基础题．
8．【答案】C
【解析】解：由ln（3a﹣1）＜0得＜a＜，
则用计算机在区间（0，1）上产生随机数a，不等式ln（3a﹣1）＜0成立的概率是P=，故选：C．
9．【答案】D
【解析】解：由新定义可得，
====．
故选：D．
【点评】本题考查三角函数的化简求值，考查了两角和与差的三角函数，是基础题．
10．【答案】D
【解析】解：△ABC中，A（﹣5，0），B（5，0），点C在双曲线上，
∴A与B为双曲线的两焦点，
根据双曲线的定义得：|AC﹣BC|=2a=8，|AB|=2c=10，
则==±=±．
故选：D．
【点评】本题考查了正弦定理的应用问题，也考查了双曲线的定义与简单性质的应用问题，是基础题目．
11．【答案】C
【解析】
[]11,,0,1,0,22A B A B ⎛⎫⎡⎫
=-∞== ⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭
,(],1U =-∞,故选C ．
12．【答案】C
【解析】解：函数y=sin （2x+）的图象向左平移个单位长度得到y=sin （2x+）的图象，
当x=0时，y=sin =，不是最值，故函数图象不关于y 轴对称，
故命题p 为假命题；
函数y=|2x
﹣1|在[﹣1，0]上是减函数，在[0，+∞）上是增函数．
故命题q 为假命题； 则￢q 为真命题； p ∨q 为假命题； p ∧q 为假命题， 故只有C 判断错误， 故选：C
二、填空题
13．【答案】 300 ．
【解析】解：根据分层抽样的特征，每个个体被抽到的概率都相等，
所以总体中的个体的个数为15÷=300．
故答案为：300．
【点评】本题考查了样本容量与总体的关系以及抽样方法的应用问题，是基础题目．
14．【答案】
【解析】解：∵f （x ）=a x
g （x ）（a ＞0且a ≠1），
∴
=a x ， 又∵f ′（x ）g （x ）＞f （x ）g ′（x ），
∴（）′=＞0，
∴=a x是增函数，
∴a＞1，
∵+=．
∴a1+a﹣1=，解得a=或a=2．
综上得a=2．
∴数列{}为{2n}．
∵数列{}的前n项和大于62，
∴2+22+23+…+2n==2n+1﹣2＞62，
即2n+1＞64=26，
∴n+1＞6，解得n＞5．
∴n的最小值为6．
故答案为：6．
【点评】本题考查等比数列的前n项和公式的应用，巧妙地把指数函数、导数、数列融合在一起，是一道好题．
15．【答案】（，）．
【解析】解：设C（a，b）．则a2+b2=1，①
∵点A（2，0），点B（0，3），
∴直线AB的解析式为：3x+2y﹣6=0．
如图，过点C作CF⊥AB于点F，欲使△ABC的面积最小，只需线段CF最短．
则CF=≥，当且仅当2a=3b时，取“=”，
∴a=，②
联立①②求得：a=，b=，
故点C的坐标为（，）．
故答案是：（，）．
【点评】本题考查了圆的标准方程、点到直线的距离公式、三角形的面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
16．【答案】 ．
【解析】解：已知
∴∴为所求；
故答案为： 【点评】本题主要考查椭圆的标准方程．属基础题．
17．【答案】
35
【解析】解析：本题考查几何概率的计算与切线斜率的计算．
001()x x k f x e
-'==
，由0()0f x '<得，01x >，∴随机事件“0k <”的概率为2
3． 18．【答案】87
1-<<-d
【解析】
试题分析：当且仅当8=n 时，等差数列}{n a 的前项和n S 取得最大值，则0,098<>a a ，即077>+d ，
087<+d ，解得：871-<<-d .故本题正确答案为8
7
1-<<-d .
考点：数列与不等式综合.
三、解答题
19．【答案】（1）1a =或5a =-；（2）3a >． 【解析】
（2）{}{}1,2,1,2A A B == .
①()()
22,2150B x a x a =∅+-+-=无实根,0∆<, 解得3a >; ② B 中只含有一个元素，()()
222150x a x a +-+-=仅有一个实根,
{}{}0,3,2,2,1,2a B A B ∆===-=-故舍去;
③B 中只含有两个元素，使 ()()
222150x a x a +-+-= 两个实根为和,
需要满足()2
212121=a 5
a ⎧+=--⎪⎨⨯-⎪⎩方程组无根，故舍去, 综上所述3a >]
考点：集合的运算及其应用. 20．【答案】
【解析】解：（1
）由椭圆
+
=1，得a 2=8，b 2=4，
∴c 2=a 2﹣b 2
=4，则焦点坐标为F （2，0），
∵直线y=x 为双曲线的一条渐近线，
∴
设双曲线方程为（λ＞0），
即
，则λ+3λ=4，λ=1．
∴双曲线方程为：；
（2）由3x﹣4y﹣12=0，得，
∴直线在两坐标轴上的截距分别为（4，0），（0，﹣3），
∴分别以（4，0），（0，﹣3）为焦点的抛物线方程为：
y2=16x或x2=﹣12y．
【点评】本题考查椭圆方程和抛物线方程的求法，对于（1）的求解，设出以直线为一条渐近线的双曲线方程是关键，是中档题．
21．【答案】
【解析】解：函数f（x）=，不等式f（x）＜4，
当x≥﹣1时，2x+4＜4，解得﹣1≤x＜0；
当x＜﹣1时，﹣x+1＜4解得﹣3＜x＜﹣1．
综上x∈（﹣3，0）．
不等式的解集为：（﹣3，0）．
22．【答案】
【解析】解：（1）f（α）
=
=
=﹣tanα；…5（分）
（2）∵f（α）=﹣2，
∴tanα=2，…6（分）
∴sinαcosα+cos2α=
=
=
=．…10（分）
23．【答案】（1）详见解析；（2. 【解析】（1）∵D ，E 分别为VA ，VC 的中点，∴//DE AC ，…………2分 ∵AB 为圆O 的直径，∴AC BC ⊥，…………4分 又∵VC ⊥圆O ，∴VC AC ⊥，…………6分
∴DE BC ⊥，DE VC ⊥，又∵VC BC C =，∴DE VBC ⊥面；…………7分
（2）设点E 平面BCD 的距离为d ，由D BCE E BCD V V --=得11
33
BCE BCD DE S d S ∆∆⨯⨯=⨯⨯，解得
2
d =，…………12分 设BE 与平面BCD 所成角为θ，∵8BC ==，
BE =sin d BE θ=
=.…………15分 24．【答案】（1）{}11x x x ><-或；（2）(,2]-∞-.
【解析】
试
题解析：（1）因为()211f x x <--，所以1211x x -<--， 即1211x x ---<-，
当1x >时，1211x x --+<-，∴1x -<-，∴1x >，从而1x >；
当
1
12x ≤≤时，1211x x --+<-，∴33x -<-，∴1x >，从而不等式无解； 当1
2
x <时，1211x x -+-<-，∴1x <-，从而1x <-；
综上，不等式的解集为{}11x x x ><-或.
（2）由121()x x a f x ->---，得121x x a x a -+->--， 因为1121x x a x a x x a -+-≥-+-=--，
所以当(1)()0x x a --≥时，121x x a x a -+-=--； 当(1)()0x x a --<时，121x x a x a -+->--
记不等式(1)()0x x a --<的解集为A ，则(2,1)A -⊆，故2a ≤-， 所以的取值范围是(,2]-∞-.
考点：1.含绝对值的不等式；2.分类讨论.。