梁的内力弯矩和剪力

Q max 3qa 2
M max qa
2
q A C
qa
2a a
2
B RB
解:（1）支反力
RA RB qa
(2)作剪力图、弯矩图
3qa Q qa , QC Q 2
A B
RA
Q
qa
M
qa 2
2
qa
2
qa
a qa M 极 RA a q a 2 2 M C RA 2a q 2a a 0
刚架和曲杆可看作折线或曲线的梁，内力的计算和剪力 弯矩图的作法原理上与横梁相同。剪力的正负仍以外法线为 基准判断，弯矩图画在受压一侧。
例：作刚架的内力图
解：（1）支反力 a
P
C
2a
D
RAx P , RAy RBy P 2
（2）作图
Pa
a
A RA x RA y
B RB y
+
N图
P2
P 2
M
qa 2
2
qa 5qa Q Q , QB 4 4 1 2 M B RA 2a qa 2 1 1 2 M B qa a qa 2 2
Q max qa
M max qa 2
2
P A C D P B
解：（1）支反力
a
Q RA
2a
a
q0a l Qc
Mc RA
1 q0a Qc RA a 2 l
1 qoa a M c RA a a 2 l 3
§4-5 荷载集度、剪力、弯矩间的微分关系
确定M(x)、Q(x)、q(x)的联系，正确、方便画出内力图。
1. 微分关系
y A q(x) B x
•取典型微段
q(x) c
峰值＝
1 2 1 ql 20 62 90(kNm) 8 8
连续性要求: M D 30 2 60kNm (上边受拉)
M E 30 6 180kNm
(右边受拉)
例题：求做图示刚架的内力图
B
L L C
qL 2
q
qL/2
Fs
qL
qL
(kN )
A
qL/2
qL2 2
qL2 2
qa
2a
3qa 2
qa 2
a
qa 2
qa2 2
qa2
q A
P=qa
B A
q
a
a
a
a
4a
a
qa
2qa
11 2 qa 8
qa qa qa2 qa
2qa
qa2
2 2 qa 3
§4-6
平面刚架和曲杆的内力图
刚架：由两根或两根以上的杆件组成的并在连接处采 用刚性连接的结构。 横梁 当杆件变形时，两杆连接处保持刚 性，即角度（一般为直角）保持不 变。 在平面载荷作用下，组成刚架的杆 件横截面上一般存在轴力、剪力和 弯矩三个内力分量。
0
0
VA 6 30 4 20 6 3 0
VB 6 30 4 20 6 3 0
校核
A
Y 0
<2> 作弯矩图：
AD杆：AC段无载荷区，
M AC 0
CD段无均布载荷；
M DC 30 2 60kN / m
(左侧受拉)
DE杆：DE段受均布载荷，产生弯矩，为二次抛物线。
d 2M ( x ) dx 2 dQ( x ) q( x ) dx
•归纳
①
dQ ( x ) q( x ) dx Q图曲线的切线斜率为q(x)
dM ( x ) Q( x ) dx
②
M图曲线的切线斜率为Q(x) ③
d M( x ) dx 2
2
q( x )
M图曲线的凹凸向与q(x)符号有关
M
M q
m
Q M
Q M
内力图画法：
• 求控制截面的内力值（截面法） • 确定内力图形状（微分关系）
例:
A
求下列各梁的剪力弯矩图。
q B C 2a a
解：(1)支反力 2
RA
Q
RB
qa
qa 4
5qa RB qa RA 4 (2)作剪力图、弯矩图
A B
qa qa RA 2 2a 4
M(x) Q(x)
M(x)+dM(x) Q(x)+dQ(x)
x
l
dx
dx
q(x) 在 dx 上看成是均布， 所有力按正向画出。
q(x) c
M(x)
M(x)+dM(x) Q(x)+dQ(x)
Q(x)
dx
•列平衡方程
Y 0 :
Q( x ) [ Q( x ) dQ( x )] q( x )dx 0
P2
+
P
Pa Pa
N max P 2 Q max P
Q图
M图
M max Pa
例：静定平面刚架,计算内力，并 画出 内力图. <1> 取整体为隔离体， 由平衡条件：
30kN
X 0
M
M
利用
B
30kN HB 0
HB 30kN ()
VA 40kN ()
VB 80kN ()
2
RA
a
5/6 qa
11 a 6
RB
2a
1
RB 3a qa q 3a 2.5a 0
a
13 RB qa 6 5 R A qa 6
Q
5/6 qa2
M
1/6
13/72
7/6
3/6
5. 检查下列剪力弯矩图是否正确
m qa2
q A
a a
3qa 2
B
qa 2
m qa2
C
q Q Q
P
1. q=0 的区间,Q 水平直线, M为斜直线; Q>0,M的斜率为正， Q<0,M的斜率为负。
2.q为常数 (向下)的区间, Q 为斜向下的直线, M为向上凸的曲线。 Q=0 的位置对应于 M图 上的极值点位置 。 3.集中力 P 作用点剪力图 有突变, 突变值等于 P , 弯矩图有拐点。 4.集中力偶 M 作用点,弯矩 图有突变, 突变值等于M。
q 1 kN / m
P 1 2 kN
M D 10 kNm
B
P2 2 kN
A
C
D
E
RA
4m 4m 4m
RB
3m
RA 7 kN RB 5 kN
习题
4-7(a,b), (4-8)， 4-13(a,b), 4-16(b)
课堂练习
画剪力弯矩图
1.
q =10 kN/m
M
B
0
A
立柱
特点：在刚结点处， 1) 各杆段不能发生相对移动，和相对 转动。保持角度不变。 2) 因为刚结点约束杆端相对转动，所 以能承受和传递弯矩。(与铰相反)
3)有消减结构中弯矩的峰值的作用。
工程中：杆件少，内部空间大，制作方便。建筑工程中，用来 承重骨架，通过它将载荷传到地基。
刚架内力图 分析步骤： 1) 由整体及某些部分的平衡条件 求出支座的反力及铰结处的约束力。对于每一杆件的无载 荷区段和承受均布载荷区段分别计算。 无载荷区段：定出弯矩控制竖标连直线。 有载荷区段：利用叠加方法。 2) 求内力 3) 画图
FN
qL 2
(kN )
M
(kNm)
例题：求做图示刚架的内力图
2kN
B 4m
2kN/m
C
2
4m
Fs
8kN
24kNm
8 8
(kN )
A
8
2kN
FN
2
(kN )
24
M
(kNm)
例题：等截面折杆ABC的A端固定在墙上,自由端承受集
中力F=20kN.设L1=2m,L2=1m,θ1=450,θ2=900,试 作折杆的剪力和弯矩图
FN F cos

FN
(kN )
FS F sin
F
14.14 14.14
A
1
14.14
2
14.14
14.14kN
14.14kN
14.14
F
M
(kNm)
Fs
(kN )
例题：图示杆ABC由直杆和半圆组成,试作该杆的内力图.
Fr
F

B
r

C
F

2r
M
(kNm)
Fs
A
2 Fr
(kN )
AB:
M 2 Fr
FS 0
FN F

F
BC:
M Fr1 cos
qa 2
2
MC x qa
M max qa
2
dQ q, dx
dM Q , dx
d M q 2 dx
2
（1） q = 0 ，Q =常数，为一水平线。M 为 x 的一次函数，是 一条斜直线。（计算特殊点按x 顺序连直线） （2）q =常数时，Q 为 x 的一次函数，是一条斜直线。M 为 x 的二次函数，是一条抛物线（附加中间的特殊点值，用三 点连抛物线）。 （3）若均布载荷向下，剪力图曲线的斜率为负，为一向右下倾 斜的直线。此时弯矩图曲线的开口向下，具有极大值，极 值点位于剪力Q 为零的截面。 （4）集中力使剪力图突变，集中力偶矩使弯矩图突变。（突变 值等于集中力或集中力偶矩的值）
RA
0 .2 m
RB
0.1m
Q
50 N
10 Nm
M
3.
A
q C
M
B
0
RA
2a
0.75 a
RB
a
1
1 q 2a a q a a R A 2a 0 2
3 R A qa 4 9 RB qa 4
Q
3/4
0.28
5/4
M
0.5
4.
m qa2
A
q C
B
M
A
0
C
B
q 0.4 0.2 RA 0.6 0 10 0.4 0.2 RA 0.6 0
RA
0 .2 m 0.13m 0 .4 m
RB
RA 1.33 kN
Q
1.33
Y 0
RB 2.67 kN
M
0.36 0.27 2.67
2.
A
B
10 Nm
C
RA RB 50 N
RB
RA RB P 2
(2)作剪力图、弯矩图
QA QC P 2, QC P 2
P2
M
P2
P 2
Pa 2
M C Pa 2, M中 0
Pa 2
Q max P 2 M max Pa 2
q A
P=qa D
解：（1）支反力
RA qa 2
2a
RB
RB 5qa 2
dQ( x ) q( x ) dx
q(x)
c
M(x) Q(x)
M(x)+dM(x) Q(x)+dQ(x) 高阶微量
dx
Mc 0 :
dx [ M ( x ) dM ( x )] M ( x ) Q( x ) dx q( x )dx 0 2 dM ( x ) Q( x ) dx 对上式求导得：
上次课主要内容回顾
1.梁的内力：弯矩和剪力
m
A a RA
m
P1
P2 B
l
Q M RA M RB Q P1 P2 RB
2.内力符号规定：
•剪力符号:
+Q
-Q
•弯矩符号: +M
-M
3.梁内力的简便求法：
剪力——截面一侧所有竖向分力的代数和。
（左上右下为正）
弯矩——截面一侧所有外力对截面形心力矩的代 数和。 （左顺右逆为正）
B
a
(2)作剪力图、弯矩图
RA
Q
qa / 2
C
qa
3 qa 2
M
qa 8
2
qa Q RA 2 3 QB RA q 2a qa 2 QB qa 2 qa QC 0 : x a 2 M C 8 M B Pa qa 2
A
qa 2