2024届江苏省南京市高淳区八年级数学第二学期期末达标测试试题含解析

2024届江苏省南京市高淳区八年级数学第二学期期末达标测试试题
注意事项:
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2．答题时请按要求用笔。

3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。

4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题(每小题3分,共30分)
1．函数y＝2x
-中自变量x的取值范围是（）
A．x＞2 B．x≤2 C．x≥2 D．x≠2
2．直线y=x－1的图像经过的象限是
A．第二、三、四象限B．第一、二、四象限
C．第一、三、四象限D．第一、二、三象限
OE=，则四边3．如图，EF过ABCD对角线的交点O，交AD于E，交BC于F，若ABCD的周长为36，3
形ABFE的周长为（）
A．24 B．26 C．28 D．20
4．下列命题中，正确的是（）
A．在三角形中，到三角形三边距离相等的点是三条边垂直平分线的交点
B．平行四边形是轴对称图形
C．三角形的中位线将三角形分成面积相等的两个部分
D．一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形
5．如果一个多边形的每一个外角都是60°，则这个多边形的边数是（）
A．3 B．4 C．5 D．6
6．如图是一张直角三角形的纸片，两直角边AC＝6 cm、BC＝8 cm，现将△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，则BE的长为（）
A ．4 cm
B ．5 cm
C ．6 cm
D ．10 cm
7．在平面直角坐标系内，点O 是原点，点A 的坐标是()3,4，点B 的坐标是()3,4-，要使四边形AOBC 是菱形，则满足条件的点C 的坐标是（ ）
A ．()3,0-
B ．()3,0
C ．()6,0
D ．()5,0
8．用图象法解某二元一次方程组时，在同一直角坐标系中作出相应的两个一次函数的图象（如图所示），则所解的二元一次方程组是 （ ）
A ．20{3210
x y x y +-=--=， B ．210{3210x y x y --=--=， C ．210{3250x y x y --=+-=， D ．20{210
x y x y +-=--=， 9．如图，矩形ABCD 中，CD =6，E 为BC 边上一点，且EC =2将△DEC 沿DE 折叠，点C 落在点C '．若折叠后点A ，C '，E 恰好在同一直线上，则AD 的长为（ ）
A ．8
B ．9
C ．
D ．10
10．如图，两张等宽的纸条交叉重叠在一起，重叠的部分为四边形ABCD ，若测得A ，C 之间的距离为6cm ，点B ，D 之间的距离为8cm ，则线段AB 的长为（ ）
A ．5 cm
B ．4.8 cm
C ．4.6 cm
D ．4 cm
二、填空题(每小题3分,共24分)
11．平行四边形ABCD 中，∠A=80°，则∠C= °．
12．如图，直线AB 的解析式为y=43
x+4，与y 轴交于点A ，与x 轴交于点B ，点P 为线段AB 上的一个动点，作PE ⊥y 轴于点E ，PF ⊥x 轴于点F ，连接EF ，则线段EF 的最小值为_____．
13．如图，AB ∥CD ，∠B=68°，∠E=20°，则∠D 的度数为 ．
14．如图，在▱ABCD 中，45ABC CAD ∠=∠=，2AB =，则BC =______．
15．在“童心向党，阳光下成长”的合唱比赛中，30个参赛队的成绩被分为5组，第1~4组的频数分别为2，10，7，8，则第5组的频率为________.
16．若一个直角三角形的其中两条边长分别为6和8，则第三边长为_____．
17．如图，△ABC 中，∠C=90°
，∠ABC=60°，BD 平分∠ABC ，若AD=6，则CD=_______.
18．如图，“今有直角三角形，勾(短直角边)长为5，股(长直角边)长为12，河该直角三角形能容纳的如图所示的正方形CEDF 边长是多少?”，该问题的答案是______．
三、解答题(共66分)
19．（10分）如图，□ABCD 中，过对角线 BD 上一点 P 做 EF ∥BC GH ∥AB .
（1）写出图中所有的平行四边形（包括□ABCD）的个数；
（2）写出图中所有面积相等的平行四边形．
20．（6分）某边防局接到情报，近海处有一可疑船只A正向公海方向行驶，边防局迅速派出快艇B追赶（如图1）．图2中1l、2l分别表示两船相对于海岸的距离s（海里）与追赶时间t（分）之间的关系．
（1）求1l、2l的函数解析式；
（2）当A逃到离海岸12海里的公海时，B将无法对其进行检查．照此速度，B能否在A逃入公海前将其拦截？若能，请求出此时B离海岸的距离；若不能，请说明理由．
21．（6分）如图，四边形ABCD 是正方形，点E是BC边上任意一点，∠AEF= 90°，且EF 交正方形外角的平分线CF 于点F．求证：AE=EF．
22．（8分）为迎接：“国家卫生城市”复检，某市环卫局准备购买A，B两种型号的垃圾箱，通过市场调研得知：购买3个A型垃圾箱和2个B型垃圾箱共需540元，购买2个A型垃圾箱比购买3个B型垃圾箱少用160元．
（1）求每个A型垃圾箱和B型垃圾箱各多少元？
（2）该市现需要购买A，B两种型号的垃圾箱共30个，其中买A型垃圾箱不超过16个．
①求购买垃圾箱的总花费w（元）与A型垃圾箱x（个）之间的函数关系式；
②当买A型垃圾箱多少个时总费用最少，最少费用是多少？
23．（8分）如图，O为△ABC边AC的中点，AD∥BC交BO的延长线于点D，连接DC，DB平分∠ADC，作DE⊥BC，垂足为E．
（1）求证：四边形ABCD为菱形；
（2）若BD＝8，AC＝6，求DE的长．
24．（8分）如图，在△ABC中，点D为边BC的中点，点E在△ABC内，AE平分∠BAC，CE⊥AE点F在AB上，且BF=DE
（1）求证：四边形BDEF是平行四边形
（2）线段AB，BF，AC之间具有怎样的数量关系？证明你所得到的结论
25．（10分）如图，已知平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线与边CD的延长线交于点E，与AD交于点F，且AF ＝DF，
①求证：AB＝DE；
②若AB＝3，BF＝5，求△BCE的周长．
26．（10分）八年级教师对试卷讲评课中学生参与的深度与广度进行评价调查，其评价项目为主动质疑、独立思考、专注听讲、讲解题目四项.评价组随机抽取了若干名八年级学生的参与情况，绘制成如图所示的频数分布直方图和扇形统计图均不完整），请根据图中所给信息解答下列问题：
（1）在这次评价中，一共抽查了多少名学生？
（2）求扇形统计图中，项目“主动质疑”所在的扇形的圆心角的度数；
（3）请将条形统计图补充完整.
参考答案
一、选择题(每小题3分,共30分)
1、B
【解题分析】
试题分析：求函数自变量的取值范围，就是求函数解析式有意义的条件，根据二次根式被开方数必须是非负数和的条
-≥⇒≤.故选B.
2x
-2x0x2
考点：1.函数自变量的取值范围；2.二次根式有意义的条件.
2、C
【解题分析】
直线y=x-1与y轴交于（0，-1）点，且k=1＞0，y随x的增大而增大，
∴直线y=x-1的图象经过第一、三、四象限．故选C．
3、A
【解题分析】
根据平行四边形的性质可求出AD+CD的值，易证△AOE≌△COF，所以AE=CF，OE=OF=3，根据
CF+CD+ED+EF=AD+CD+EF即可求出答案．
【题目详解】
在平行四边形ABCD 中，
2（AB+BC ）=36，
∴AB+BC=18，
∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴OA=OC ，AD ∥BC
∴∠AEF=∠CFE ，
在△AOE 和△COF 中
AEF CFE AOE COF AO CO ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
∴△AOE ≌△COF ，
∴AE=CF ，OE=OF=3，
∴EF=6
∴AB+BF+FE+EA
=AB+BF+CF+EF
=AB+BC+EF
=18+6
=24
故选：A ．
【题目点拨】
本题考查平行四边形的性质，解题的关键是熟练运用平行四边形的性质，本题属于中等题型．
4、D
【解题分析】
由三角形的内心和外心性质得出选项A 不正确；由平行四边形的性质得出选项B 不正确；由三角形中位线定理得出选项C 不正确；由平行四边形的判定得出选项D 正确；即可得出结论．
【题目详解】
解：A ．在三角形中，到三角形三边距离相等的点是三条边垂直平分线的交点；不正确；
B ．平行四边形是轴对称图形；不正确；
C ．三角形的中位线将三角形分成面积相等的两个部分；不正确；
D ．一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形；正确；
故选：D ．
【题目点拨】
本题考查了命题与定理、三角形的内心与外心、平行四边形的判定与性质以及三角形中位线定理；对各个命题进行正确判断是解题的关键．
5、D
【解题分析】
解：由一个多边形的每一个外角都等于10°，且多边形的外角和等于310°，即求得这个多边形的边数为310÷10=1．故答案选D.
考点：多边形外角与边数的关系．
6、B
【解题分析】
∵直角边AC＝6 cm、BC＝8 cm ∴根据勾股定理可知：BA=√62+82=10
∵A,B关于DE对称，∴BE=10÷2=5
7、C
【解题分析】
由A，B两点坐标可以判断出AB⊥x轴，再根据菱形的性质可得OC的长，从而确定C点坐标.
【题目详解】
如图所示，
∵A（3，4），B（3，-4）
∴AB∥y轴，即AB⊥x轴，
当四边形AOBC是菱形时，点C在x轴上，
∴OC=2OD，
∵OD=3，
∴OC=6，即点C的坐标为（6，0）.
故选C.
【题目点拨】
此题主要考查了菱形的性质，关键是掌握菱形的对角线互相垂直平分.
8、D
【解题分析】
解：根据给出的图象上的点的坐标，（0，-1）、（1，1）、（0，2）；分别求出图中两条直线的解析式为y=2x-1，y=-x+2，
因此所解的二元一次方程组是
20
{
210
x y
x y
+-=
--=
，
故选D．
9、D
【解题分析】
在Rt△DEC中，由勾股定理可得DE的长．设AD=x，则BE=x-1，AB=DC=C'D．
由Rt△AC'D≌△EBA，得到BE=AC'=x-1．在Rt△AC'D中，由勾股定理即可得出结论．
【题目详解】
解：如图，由勾股定理得：DE=．
设AD=x，则BE=x-1，AB=DC=C'D．
∵AD∥BE，∴∠DAE=∠AEB，∴Rt△AC'D≌△EBA（AAS），∴BE=AC'=x-1．
在Rt△AC'D中，由勾股定理得：AD1=AC'1+C'D1，即x1=（x-1）1+61，解得：x=2，即AD=2．
故选D．
【题目点拨】
本题考查了矩形与折叠．证明Rt△AC'D≌△EBA是解答本题的关键．
10、A
【解题分析】
作AR⊥BC于R，AS⊥CD于S，根据题意先证出四边形ABCD是平行四边形，再由AR=AS得平行四边形ABCD是菱形，再根据根据勾股定理求出AB即可．
【题目详解】
解：作AR⊥BC于R，AS⊥CD于S，连接AC、BD交于点O．
由题意知：AD∥BC，AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵两个矩形等宽，
∴AR=AS，
∵AR•BC=AS•CD，
∴BC=CD，
∴平行四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
在Rt△AOB中，∵OA=3，OB=4，
∴AB==5，
故选：A．
【题目点拨】
本题考查菱形的判定、勾股定理，解题的关键是掌握一组邻边相等的平行四边形是菱形．
二、填空题(每小题3分,共24分)
11、1
【解题分析】
试题分析：利用平行四边形的对角相等，进而求出即可．
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A=∠C=1°．
故答案为：1．
12、12 5
【解题分析】
在一次函数y=4
3
x+4中，分别令x=0， y=0，解相应方程，可求得A、B两点的坐标，由矩形的性质可知EF=OP，可
知当OP最小时，则EF有最小值，由垂线段最短可知当OP⊥AB时，满足条件，根据直角三角形面积的不同表示方法可求得OP的长，即可求得EF的最小值．
【题目详解】
解：∵一次函数y=4
3
x+4中，令x=0，则y=4，令y=0，则x=-3，
∴A（0，4），B（-3，0），
∵PE⊥y轴于点E，PF⊥x轴于点F，
∴四边形PEOF是矩形，且EF=OP，
∵O为定点，P在线段上AB运动，
∴当OP⊥AB时，OP取得最小值，此时EF最小，∵A（0，4），点B坐标为（-3，0），
∴OA=4，O B=3，
由勾股定理得：，
∵AB·OP=AO·BO=2S△OAB，
∴OP=
·4312
55 OAOB
AB
⨯
==，
故答案为：12
5
．
【题目点拨】
本题考查了一次函数图象上点的坐标特点，勾股定理、矩形的判定与性质、最值问题等，熟练掌握相关知识、确定出OP的最小值是解题的关键．
13、48°
【解题分析】
试题分析：因为AB∥CD，∠B=68°，所以∠CFE=∠B=68°，又∠CFE=∠D+∠E, ∠E=20°，所以∠D=∠CFE-∠
E=68°-20°=48°．
考点：1．平行线的性质2．三角形的外角的性质
14、
【解题分析】
先证明ACD是等腰直角三角形，再由勾股定理求出AD，即可得出BC的长．
【题目详解】
四边形ABCD是平行四边形，
CD AB2
∴==，BC AD
=，D ABC CAD45
∠∠∠
===，
AC CD2
∴==，ACD90
∠=，
即ACD是等腰直角三角形，
∴===
BC AD
故答案为：
【题目点拨】
本题考查了平行四边形的性质、勾股定理、等腰直角三角形的判定与性质；熟练掌握平行四边形的性质，证明ACD 是等腰直角三角形是解决问题的关键．
15、0.1.
【解题分析】
直接利用频数÷总数=频率，进而得出答案．
【题目详解】
解：∵30个参赛队的成绩被分为5组，第1~4组的频数分别为2，10，7，8，
∴第5组的频率为：（30-2-10-7-8））÷30=0.1．
故答案为：0.1．
【题目点拨】
本题考查频数与频率，正确掌握频率求法是解题关键．
16、10或
【解题分析】
本题已知直角三角形的两边长，但未明确这两条边是直角边还是斜边，所以求第三边的长必须分类讨论，即8是斜边或直角边的两种情况，然后利用勾股定理求解．
【题目详解】
设第三边为x，
（1）若8是直角边，则第三边x是斜边，由勾股定理得，62+82＝x2解得：x＝10，
（2）若8是斜边，则第三边x为直角边，由勾股定理得，62+x2＝82，解得x=
故第三边长为10或
故答案为：10或
【题目点拨】
本题考查了利用勾股定理解直角三角形的能力，当已知条件中明确哪是斜边时，要注意讨论，一些学生往往忽略这一点，造成丢解.
17、1
【解题分析】
由于∠C =90°
，∠ABC =60°，可以得到∠A =10°，又由BD 平分∠ABC ，可以推出∠CBD =∠ABD =∠A =10°，BD =AD =6，再由10°角所对的直角边等于斜边的一半即可求出结果．
【题目详解】
∵∠C =90°
，∠ABC =60°， ∴∠A =10°
． ∵BD 平分∠ABC ，
∴∠CBD =∠ABD =∠A =10°
， ∴BD =AD =6，
∴CD =12BD =6×12
=1． 故答案为1．
【题目点拨】
本题考查了直角三角形的性质、含10°角的直角三角形、等腰三角形的判定以及角的平分线的性质．解题的关键是熟练掌握有关性质和定理．
18、6017
【解题分析】
根据锐角三角函数的定义以及正方形的性质即可求出答案．
【题目详解】
解：设正方形的边长为x ，
∴CE=ED=x ，
∴AE=AC-CE=12-x ，
在Rt △ABC 中，
5tan 12
BC A AC ==， 在Rt △ADE 中，
tan 12ED x A AE x
==-， ∴51212
x x =-， ∴解得：x=
6017，
故答案为：60 17
.
【题目点拨】
本题考查三角形的综合问题，解题的关键是熟练运用锐角三角函数的定义以及正方形的性质，本题属于中等题型．
三、解答题(共66分)
19、（1）9个；（2）见解析
【解题分析】
（1）根据平行四边形的性质可得平行四边形的个数；（2）根据平行四边形的性质：平行四边形的对角线将平行四边形的面积平分，可推出3对平行四边形的面积相等．
【题目详解】
(1)∵在▱ABCD中，EF∥BC，GH∥AB，
∴四边形EBHP、PHCF、PFDG、AEPG、ABHG、GHCD、BCFE、AEFD、ABCD均为平行四边形，
∴图中所有的平行四边形（包括□ABCD）的个数为9个
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴S△ABD=S△CBD，
∵BP是平行四边形BEPH的对角线，
∴S△BEP=S△BHP，
∵PD是平行四边形GPFD的对角线，
∴S△GPD=S△FPD，
∴S△ABD-S△BEP-S△GPD=S△BCD-S△BHP-S△PFD，即S▱AEPG=S▱HCFP，
∴S▱ABHG=S▱BCFE，
同理S▱AEFD=S▱HCDG，
即：S▱ABHG=S▱BCFE，S▱AGPE=S▱HCFP，S▱AEFD=S▱HCDG，
【题目点拨】
本题考查了平行四边形的判定与性质，熟知平行四边形的一条对角线可以把平行四边形分成两个全等的三角形，可以把平行四边形的面积平分是解题的关键.
20、（1）A船：
1
5
5
s t
=+，B船：
1
2
s t
=；（2）B能追上A；此时B离海岸的距离为25
3
海里．
【解题分析】
（1）根据函数图象中的数据用待定系数法即可求出11，21的函数关系式；
（2）根据（2）中的函数关系式求其函数图象交点可以解答本题．
【题目详解】
解：（1）由题意，设()111:0l s k t k =≠．
∵(10,5)在此函数图像上，
∴1105k =，解得112
k =， 由题意，设()222:0l s k t b k =+≠．
∵(0,5)，(10,7)在此函数图像上，
∴2
05107b k b +=⎧⎨+=⎩． 解得215k =
，5b =．∴155s t =+． （2）由题意，得
12155s t s t ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，解得503253t s ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
． ∵25123
<，∴B 能追上A ．此时B 离海岸的距离为253海里． 【题目点拨】
本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用一次函数的性质解答．
21、见解析
【解题分析】
截取BE ＝BM ，连接EM ，求出AM ＝EC ，得出∠BME ＝45°，求出∠AME ＝∠ECF ＝135°，求出∠MAE ＝∠FEC ，根据ASA 推出△AME 和△ECF 全等即可．
【题目详解】
证明：在AB 上截取BM ＝BE ，连接ME ，
∵∠B ＝90°，
∴∠BME ＝∠BEM ＝45°，
∴∠AME ＝135°
∵CF 是正方形ABCD 的外角的角平分线，
∴∠ECF=90°+∠DCF=90°+1902
⨯︒=135°＝∠ECF ， ∵∠AEF = 90°
∴∠AEB+CEF ∠=90°
又∠AEB+MAE ∠=90°，
∴MAE CEF ∠=∠
∵AB ＝BC ，BM ＝BE ，
∴AM ＝EC ，
在△AME 和△ECF 中
MAE CEF AM EC
AME ECF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
， ∴△AME ≌△ECF （ASA ），
∴AE ＝EF ．
【题目点拨】
本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质和判定，角平分线的定义，关键是推出△AME ≌△ECF ．
22、（1）每个A 型垃圾箱100元，每个B 型垃圾箱120元；（2）①w ＝﹣20x +3600（0≤x ≤16且x 为整数）；②买16个A 型垃圾箱总费用最少，最少费用是1元
【解题分析】
(1)设每个A 型垃圾箱m 元，每个B 型垃圾箱n 元，根据“购买3个A 型垃圾箱和2个B 型垃圾箱共需540元，购买2个A 型垃圾箱比购买3个B 型垃圾箱少用160元”，即可得出关于m 、n 的二元一次方程组，解之即可得出结论；
(2)①设购买x 个A 型垃圾箱，则购买(30﹣x )个B 型垃圾箱，根据总价＝单价×购进数量，即可得出w 关于x 的函数关系式；②利用一次函数的性质解决最值问题．
【题目详解】
解：(1)设每个A 型垃圾箱m 元，每个B 型垃圾箱n 元，
根据题意得：32540,21603.
m n m n +=⎧⎨+=⎩ 解得：100120m n =⎧⎨=⎩
． 答：每个A 型垃圾箱100元，每个B 型垃圾箱120元．
(2)①设购买x 个A 型垃圾箱，则购买(30﹣x )个B 型垃圾箱，
根据题意得：w ＝100x +120(30﹣x )＝-20x +3600（0≤x ≤16且x 为整数）．
②∵w ＝-20x +3600中k ＝-20＜0，
∴w 随x 值增大而减小，
∴当x ＝16时，w 取最小值，最小值＝-20×16+3600＝1．
答：买16个A 型垃圾箱总费用最少，最少费用是1元．
故答案为(1)每个A 型垃圾箱100元，每个B 型垃圾箱120元；(2)①w ＝-20x +3600（0≤x ≤16且x 为整数）；②买16个A 型垃圾箱总费用最少，最少费用是1元.
【题目点拨】
本题考查了二元一次方程组的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出二元一次方程组；
(2)①根据各数量间的关系，找出w 关于x 的函数关系式；②利用一次函数的性质，解决最值问题．
23、（1）见解析；（2）
245
【解题分析】
（1）由ASA 证明△OAD ≌△OCB 得出OD ＝OB ，得出四边形ABCD 是平行四边形，再证出∠CBD ＝∠CDB ，得出BC ＝DC ，即可得出四边形ABCD 是菱形； （2）由菱形的性质得出OB ＝
12BD ＝4，OC ＝12
AC ＝3，AC ⊥BD ，由勾股定理得出BC
5，证出△BOC ∽△BED ，得出OC BC DE BD =，即可得出结果． 【题目详解】
（1）证明：∵O 为△ABC 边AC 的中点，AD ∥BC ，
∴OA ＝OC ，∠OAD ＝∠OCB ，∠AOD ＝∠COB ，
在△OAD 和△OCB 中，
OAD OCB OA OC
AOD COB ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
， ∴△OAD ≌△OCB （ASA ），
∴OD ＝OB ，
∴四边形ABCD 是平行四边形，
∵DB 平分∠ADC ，
∴∠ADB ＝∠CDB ，
∴∠CBD ＝∠CDB ，
∴BC ＝DC ，
∴四边形ABCD 是菱形；
（2）解：∵四边形ABCD 是菱形，
∴OB ＝12BD ＝4，OC ＝12
AC ＝3，AC ⊥BD ， ∴∠BOC ＝90°，
∴BC ＝22OB OC +＝5，
∵DE ⊥BC ，
∴∠E ＝90°＝∠BOC ，
∵∠OBC ＝∠EBD ，
∴△BOC ∽△BED ，
∴
OC BC DE BD =，即358
DE =， ∴DE ＝245． 【题目点拨】
本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定、全等三角形的判定与性质、勾股定理、相似三角形的判定和性质；熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．
24、（1）见解析；（2）1()2BF AB AC =
-，理由见解析 【解题分析】
（1）延长CE 交AB 于点G ，证明AEG ∆≅AEC ∆，得E 为中点，通过中位线证明DE //AB ，结合BF=DE ，证明BDEF 是平行四边形
（2）通过BDEF 为平行四边形，证得BF=DE=12
BG ，再根据AEG ∆≅AEC ∆，得AC=AG ，用AB-AG=BG ，可证1()2
BF AB AC =- 【题目详解】
（1）证明：延长CE 交AB 于点G
∵AE ⊥CE
∴90AEG AEC ︒∠=∠=
在AEG ∆和AEC ∆
GAE CAE AE AE
AEG AEC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
∴AEG ∆≅AEC ∆
∴GE=EC
∵BD=CD
∴DE 为CGB ∆的中位线
∴DE //AB
∵DE=BF
∴四边形BDEF 是平行四边形
（2）1()2
BF AB AC =- 理由如下：
∵四边形BDEF 是平行四边形
∴BF=DE
∵D ，E 分别是BC ，GC 的中点
∴BF=DE=12
BG ∵AEG ∆≅AEC ∆
∴AG=AC BF=12（AB-AG ）=12
（AB-AC ）． 【题目点拨】
本题主要考查了平行四边形的证明，中位线的性质，全等三角形的证明等综合性内容，作好适当的辅助线，是解题的关键．
25、①见解析②1
【解题分析】
①利用平行四边形的性质∠A ＝∠FDE ，∠ABF ＝∠E ，结合AF ＝DF ，可判定△ABF ≌△DEF ，即可得出AB=DE ； ②利用角平分线以及平行线的性质，即可得到AF=AB=3，进而得出BC=AD=6，CD=AB=3，依据△ABF ≌△DEF ，可得DE=AB=3，EF=BF=5，进而得到△BCE 的周长.
【题目详解】
解：如图①∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∴∠A＝∠FDE，∠ABF＝∠E，
∵AF＝DF，
∴△ABF≌△DEF，
∴AB＝DE；
②∵BE平分∠ABC，
∴∠ABF＝∠CBF，
∵AD∥BC，
∴∠CBF＝∠AFB，
∴∠ABF＝∠AFB，
∴AF＝AB＝3，
∴AD＝2AF＝6
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC＝AD＝6，CD＝AB＝3，
∵△ABF≌△DEF，
∴DE＝AB＝3，EF＝BF＝5，
∴CE＝6，BE＝EF+BF＝10，
∴△BCE的周长＝BC+CE+BE＝10+6+6＝1．
【题目点拨】
本题主要考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质，全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具.
26、（1）560人；（2）54°；（3）补图见解析.
【解题分析】
分析：（1）由“专注听讲”的学生人数除以占的百分比求出调查学生总数即可；
（2）由“主动质疑”占的百分比乘以360°即可得到结果；（3）求出“讲解题目”的学生数，补全统计图即可；
详解：（1）根据题意得：224÷40%=560（名），
则在这次评价中，一个调查了560名学生；
故答案为：560；
（2）根据题意得：84
560
×360°=54°，
则在扇形统计图中，项目“主动质疑”所在的扇形的圆心角的度数为54度；
故答案为：54；
（3）“讲解题目”的人数为560-（84+168+224）=84，补全统计图如下：
点睛：此题考查了频率（数）分布直方图，扇形统计图，以及用样本估计总体，弄清题中的数据是解本题的关键．。