高考数学(江苏版)一轮配套课件：§3.4 两角和与差的三角函数

.
2
1 0 ta n β
由sin(α+β)= 1 ,sin(α-β)=1 得
2
10
sin αcos β= 3 ,cos αsin β=1 ,
10
5
则 t a n =α s i=n α c o. s β 3
t a n β cos α sin β 2
4.正切展开变形再合并:指利用tan(α+β)= tan去α 分ta母n β移项.
1 tan α tan β
如:tan 18°+tan 42°+ 3tan 18°tan 42°=tan 60°= .3
拓展延伸 1.三角函数式的化简要遵循“三看”原则. (1)一看“角”,这是最重要的一环,通过看角之间的差别与联系,把角进 行合理拆分,从而正确使用公式. (2)二看“函数名称”,看函数名称之间的差异,从而确定使用的公式,常 见的有“切化弦”. (3)三看“结构特征”,分析结构特征,可以帮助我们找到变形的方向,常 见的有“遇到分式要通分”等. 2.根式的化简常常需要升幂去根号,在化简中注意角的范围,以确定三角 函数值的正负号.
高考数学
§3.4 两角和与差的三角函数
知识清单
一、和差角公式
tan α tan β
tan(α-β)=① 1 tan α tan β ←tan(α+β)=
tan α tan β 1 tan α tan β
↑ ↑ sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β cos(α-β)=② cos αcos β+sin αsin β ←sin(α+β)=③ sin αcos β+cos αsin β cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β
c o s(α β )c o s(α β ) sin (α β )sin (α β )
= tan.(αβ)tan(αβ)
1tan(αβ)tan(αβ)
将tan(α+β)=2,tan(α-β)=3代入,得原式= 2 = 3 . 5
1 23 7
(2)由sin α
=
6
,可3 得cos
5
=α ±
如:sin 75°-sin 15°=
2
2cos15 2
22sin15
= c2 os(45°+15°)= co2 s 60°= . 2
2
3.整体:指把形如sin(α±β)=sin αcos β±cos αsin β等中的sin αcos β、cos α
sin β项作为一个整体求解.
如:sin(α+β)= 1 ,sin(α-β)=1 ,则t a n α 的值为
方法 1 逆用公式
方法技巧
例1 (1)(2015课标全国Ⅰ改编,2,5分)sin 20°cos 10°-cos 160°sin 10°=
.
(2)函数y= 3sin x-cos x-2(x>0)的值域是
.
解析 (1)原式=sin 20°cos 10°+cos 20°sin 10°=sin(20°+10°)=sin 30°= 1 .
二、和差角公式的应用技巧
1.变:指变“名”、变“角”使之符合两角和或差的三角函数展开式. 如:cos 17°cos 43°-sin 163°sin 43°=cos 17°·cos 43°-sin 17°sin 43°=cos(17°
+43°)=cos 60°= 1 .
2
2.凑:指凑系数,使之成为特殊角的三角函数值.
2
(2)y=
s3 in x-cos x-2=2
-32sin
2
x
1 cos 2
x
=2sin
x
-2 .
6
∵x>0,∴-1≤sin
x
≤6 1 ,∴-4≤y≤0.
答案 (1) 1 (2)[-4,0]
2
方法 2 角的变换
角的常用变换有非特殊角转化为特殊角的和或差,待求角转化为已知角 的和或差.
例2
(1)(2017江苏四校联考,10)已知tan(α+β)=2,tan(α-β)=3,则
s c
i o
n 的2 α
s2β
值为
.
(2)(2017江苏如东高级中学第二次学情调研)已知α为锐角,若sin
α
6
=3
5
,则cos2 α
=
6
.
解析 (1) s i n =2 α sin[(αβ)(αβ)]
c o s 2 β cos[(αβ)(αβ)]
= sin (α β )c o s(α β ) c o s(α β )sin (α β )
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我们，还在路上……
6
,当c54os
=-
α
时6 ,c os
4α=cos
5

α
=
6
<06,与 α3是1锐40 角3 矛盾,所以cos
=
,
α
6
4 5
从而cos
2
α
=co6 s
=2s2inα
·6cos
2
=2×
α×
=
6
.
α
6
答案 (1) 5 (22)4
7
25
3 4 24 5 5 25
•1、书籍是朋友,虽然没有热情,但是非常忠实。2022年2月14日星期一2022/2/142022/2/142022/2/14 •2、科学的灵感，决不是坐等可以等来的。如果说，科学上的发现有什么偶然的机遇的话，那么这种‘偶然的机遇’只能给那些学有素养的人，给那些善于独 立思考的人，给那些具有锲而不舍的人。2022年2月2022/2/142022/2/142022/2/142/14/2022 •3、书籍—通过心灵观察世界的窗口.住宅里没有书,犹如房间里没有窗户。2022/2/142022/2/14February 14, 2022 •4、享受阅读快乐，提高生活质量。2022/2/142022/2/142022/2/142022/2/14