分层介质格林函数

分层介质格林函数
1 混合势积分方程
如图1所示的分层介质示意图中，我们令所有的分层都是平行于Y X -平面的。

在上述的结构中，我们假
设辐射体部分占据了共p 层，表示为{}p l l l L ...,,21=。

图1 分层介质示意图
在第m 层的辐射体表面，可以得到如下的边界条件：
()()r E n r E n inc m m s
m m ⨯=⨯-^
^
（1） 其中的()r E inc m 和()r E s
m 分别代表第m 层中的入射场和散射场，而后者取决于整个辐射体表面的感应电流。

如果用i 表示源点所在的层，m 代表场点所在的层，则可以从（1）式中得到：
()()()[]
∑∈∇+=-L
i mi mi s
m j r r A r E ϕω （2）
其中mi A 表示第m 层中的矢量磁位，它的源是来自于第i 层中的J ，并满足：
()()()⎰∙=i
S mi
A mi dS '''|r J r r G r A （3）
我们可以按照类似的定义来解释（2）式中的标量电位mi ϕ，它与矢量磁位mi A 之间满足洛伦茨规范：
()()r A r mi m
mi k j ∙∇=2ω
ϕ （4）
其中m m m k μεω22
=。

运用上述（1）~（4）式，可以得到：
(
)()()()r E n r J r r G n inc m m L
i S mi A m
m m
i
dS k k j ⨯=∙+∙∇∇⨯∑⎰
∈^
2
^2
'''|ω，r on m S , L m ∈ （5）
上式就是一般所谓的EFIE ，在线问题中这样的式子是十分有价值的。

但是在任意形状的面问题中，特别当我们考虑分层介质这样的情况下，算子∙∇∇会引起很大的麻烦。

此时，我们可以考虑将散度算子放入积分内，这等于将式标量电位表示为：
()()()⎰∙⎥⎦⎤⎢⎣⎡∙∇=
i S mi A m
mi dS k j '''|2r J r r G r ω
ϕ （6） 下面工作的目标是把（6）式中的散度算子消除，因为后面的()'|r r G mi
A 是一个并矢。

我们想规避对于并矢的哈密顿算子计算，把它转换为针对矢量或者标量的哈密顿算子计算。

有人很直观地想把对于这个并矢的计算转换为：
()()'|'1'|2
r r r r G mi
mi
A m
G j k j ϕ
ω
ω
∇=
∙∇ （7）
但是Krzystof 曾经证明，在分层介质情况下满足上式的标量位mi
G ϕ在数学上是不存在的，同时给出了可能存在
的情况为：
()()()'|'|'1'|2
r r P r r r r G mi mi
mi
A m
j K j k j ωω
ω
ϕ
+∇=
∙∇ （8） 把上式代入式（6），并运用到式（5）中，我们便可以得到满足要求的混合势积分方程（Mixed Potential Integral Equations, MPIE ）：
()()()()∑⎰⎰∈⎩
⎨⎧∇+∙⨯L i S mi S mi
A m i
i
dS q K dS r j '''|'''|^
r r r J r r K n ϕω
()()⎥⎦⎤⎢
⎣⎡+∇+⎰⎰--''11dC C f dC C f j i i C i C i ω()r E n inc m m ⨯=^, r on m S , L m ∈ （9） 其中
()()()'|'|'|r r P r r G r r K mi mi
A mi
A ∇+= （10）
式（10）中的mi
A K 和之前定义的mi K ϕ共同表征了分层介质中的格林函数。

式（9）中的两个封闭曲线积分与源点层上下边界有关，形式十分繁琐且在具体计算时非常困难。

为此，Krzystof 针对图1所示结构，给出了mi
A G 和mi P 的一种特殊构成法。

这种方法构成的MPIE 被称为C 类MPIE （Formulation-C Mixed Potential Integral Equation ），此时式（9）中的两个封闭曲线积分项可以被略去。

2 C 类MPIE 下的分层介质格林函数（这一节的原理不是很明白）
我们重写（4）式如下：
()()()⎰∙=i
S mi
A mi dS '''|r J r r G r A （4）
上式中的()'|r r G mi
A 代表第m 层中的并矢格林函数，它的源是存在于第i 层中的任意朝向的单位电流极子。

这个()'|r r G mi
A 可以通过解亥姆霍兹方程得到：
()
()()''|2
2
r r I r r G --=+∇
δμm mi
A m k （11）
其中的I 是一个单位矩阵，它取决于场量切向分量所满足的边界条件。

众所周知，对于一个x 朝向的极子，矢位的两个分量必须满足边界条件。

一般来说，我们选择的是x 和z 的分量，这样我们可以得到()'|r r G mi
A 如下的
表达式：
⎥⎥⎥
⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡=mi zz mi zy
mi zx
mi xx mi xx
mi A
G G G G G G 0000
（12） 同时，对于式（10）中的mi P 我们选择：
mi z mi
P ^
z P
= （13）
这样的选择被称为C 类MPIE 下的分层介质格林函数，并且可以消去式（9）中的两个环线积分。

在上述前提下，我们对式（8）两端做傅里叶变换，便可以得到相应的谱域标量方程：
~
~~21mi x mi zx mi xx x m K k G z G jk k j ϕωω=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+- （14） ~~~21mi y mi zy mi xx y m K k G z G jk k j ϕωω=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛∂∂+- （15）
~
~2'1mi
mi zz m
K z j G z k j ϕωω∂∂=∂∂ （16） 其中上标“~”表征谱域分量，右上标“ ' ”表征源点坐标。

x k 和y k 是单位波矢量^
k 的分量，但是在后面的结果中可以看到它们并不单独地存在。

选取式（11）、（12）的形式后，从方程（13） ~ （15）中可以得到mi
A K 的形式为：
⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡=mi zz mi zy
mi zx
mi yz mi xx mi xz mi xx mi
A
K K K K K K K K 00
（17）
其中各分量表示为：
⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛=~01h
V mi
mi xx
G S j K ω （18） ⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=~
22~2
11cos h e V mi
zm m V mi i i
mi xz
W k k W k S j K ρ
ξωεμ （19） ⎥
⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=~22~2
11sin h e V mi zm m V mi m i mi yz
W k k W k S j K ρ
ξωεμ （20） ⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=~~222
11cos 1h e I mi
I
mi zm
m mi zx
W W k k k S j K ρξω （21） ⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=~~222
11sin 1h
e I mi
I
mi zm
m mi zy
W W k k k S j K ρ
ξω （22） ⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=~~222
2~
0h e e
I mi I
mi m zm i I mi i m mi zz
G G k k k k G S j K ρ
ωεμ （23） ⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=~~
2
01
h
e V mi
V mi mi
G G k S j K ρϕ
ω （24） 在式（18） ~（24）中()()[]''arctan x x y y --=ξ，ρk 是结果计算中的积分变量，且满足2
2ρ
k k k z -=。

而所有出现的~G 和~
W 就是等效电路参量，右上标V 和I 分别表示电压值和电流值，e 和h 分别表示TE 波传输线模型和TM 波传输线模型。

举例来说，~
h
V mi G 代表在TM 波传输线模型中，第i 层的单位电流源在第m 层产生的电压
响应值。

这一结果的计算要运用到多次反射理论，而每一层介质等效的传输线特性阻抗由下式计算：
i zi e i k Z ωε= 和 zi
i
h i k Z ωμ= （25）
在式（18） ~ （24）中的算符S 代表Sommerfeld 积分，它满足形式：
()[]
()()
⎰∞
=0
ρρρρρρdk k k J k f k f S v v （26）
其中()()2
2''y y x x -+-=ρ，v J 代表第v 类贝塞尔函数。

3 等效微波电路参数的计算
3.1 求出→
k Z 和←
k Z
从11Z Z =→
开始，由n k ,...,6,5,4,3,2=，递推公式：
k
k k k k k k
k t Z j Z t jZ Z Z Z →
-→
-→
++=11 （27）
从1+←
=n n Z Z 开始，由1,2,...,2,1--=n n k ，递推公式：
1
11111+←
++++←
+←
++=k k k k k k k
k t Z j Z t jZ Z Z Z （28）
在上面的计算中
i i i i zi i i i z z d d k t -===-1,,tan ψψ （29）
其中i i z z --1表示了第i 层的宽度，而ρk k k i zi -=，其中的i k 是第i 层介质的波数，ρk 是最后计算的积分变量。

根据式（25），可以得到上面计算中需要的k Z 。

3.2 求出→Γk 和←
Γk （n k ,...,5,4,3,2,1=）
→
Γk 和←
Γk 可以由→k Z 和←
k Z 求出，公式为：
⎪⎪⎪⎩
⎪
⎪⎪⎨⎧+-=Γ+-=Γ+←+←
←+→+→→
1111
k k k k k k k k k k
Z Z Z Z Z Z Z Z （30） 3.3 求出
~
h V mi
G 、
~e V mi
G 、
~h I mi
G 和
~e I mi
G
当i m =时：
()()⎥⎥⎦
⎤
⎢
⎢⎣⎡+=--',2',~
'
~z z Q e
Z z z G V
i z z jk i V ii
zi
（31）
其中的~
V
i Q 表示为：
()()C B A D z z Q i
V
i ++=
1
',~ （32） 在式（32）中
()[]i zi z z z jk i e A 2'-+-←
Γ= （33） ()[]'211z z z jk i i zi e B +--→--Γ= （34） ()[]'cos 221z z k e C zi j i i i -ΓΓ=-→
-←ψ （35）
i j i i i e D ψ211-→
-←ΓΓ-= （36）
当i m ≠时
()()()()()⎪⎩⎪⎨⎧+≥≥+≥≥-=←
→-1
1,',11,',',~
1~~i m n z T z z G m i z T z z G z z G V mi i
V ii V
mi
i V
ii V mi
（37） 式（37）中的~
V
ii
G 可以由式（31）算出，剩下的V
mi T 表示为：
()()()1112221211111++--→-→-=--→--→
---→
Γ+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛Γ+∏∙⎥⎦⎤⎢⎣⎡Γ+Γ+=
k k m zm m
m zm j k j k i m k z z k j m j m z z jk V mi
e
e e e e z T ψψψ （38） ()()()k
k
m zm m m zm j k j k m i k z z k j m j m z z jk V
mi e e e e e z T ψψψ2112211111-←
-←-+=--←-←--←Γ+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛Γ+∏∙⎥⎦⎤⎢⎣⎡Γ+Γ+=- （39） ~h V mi G 、~e V mi G 、~h
I mi G 和~e
I mi
G 完全可以由上面的论述求出。

首先式（31）和（37）表明了~h V mi G 和~
e
V mi G 的计算方法，其中h 和e 的区别是在代入k Z 时运用的是式（25）中的哪一个。

求出了~h V mi G 和~e V mi G 之后，~h I mi G 和~
e
I mi G 和他们之间形成对应的关系。

比如求出~
h V mi G 之后，我们只要把计算过程中所有用到的h
k Z 运用它的倒数替代，就可以求出~h I mi
G 。

同理，根据~e V mi G 可以求出~e
I mi G 的结果。

（注意，3.1和3.2中的所有参数都是针对V 上标的计算公式，只是为了方便省去了所有的上标V 。

也就是说，当需要计算的是I 上标问题时，必须把3.1和3.2中的i Z 换成其对应的倒数。

）
3.4 求出
~
h V mi
W 、
~e V mi
W 、
~h I mi
W 和
~e I mi
W
当i m =时
[]C B A D Z jk W i
i zi
V ii
+-=
2~ （39） 在式（39）中
()[]i zi z z z jk i e A 2'-+-←
Γ= （40） ()[]'211z z z jk i i zi e B +--→--Γ= （41） ()[]'sin 221z z k e C zi j i i i -ΓΓ=-→
-←ψ （42）
i j i i i e D ψ211-→
-←ΓΓ-= （43）
当i m ≠时
~
~V mi m
zm V mi
I Z jk W -= （44）
其中
()()()()⎪⎩
⎪⎨⎧+≥≥+-≥≥-=←←
→-→-1
1,',11,',~1~1~i m n z T z z G Z m i z T z z G Z I V mi i I ii i V
mi
i I
ii i V mi
（45） ~
h V mi W 、~e
V mi W 、~h
I mi W 和~e
I mi W 之间的计算关系如同前面述说的~h
V mi G 、~e
V mi G 、~h
I mi G 和~e
I mi
G 之间的关系，在此不再
重复。