2021学年高中数学第二章推理与证明2.2.2反证法课件新人教A版选修2_2

• (2)结论中含有“不〞“不是〞“不可能〞“不存在〞“没 有〞等词语的否认性命题，结论的反面比较具体，适于应 用反证法．
• (3)注意否认结论时，要准确无误．
〔跟踪练习 1〕
已知三个正数 a，b，c 成等比数列但不成等差数列．求证： a， b， c不成
等差数列． [解析] 假设 a， b， c成等差数列，则 a＋ c＝2 b， 即 a＋c＋2 ac＝4b， 又 a，b，c 成等比数列，所以 b2＝ac，即 b＝ ac． 所以 a＋c＋2 ac＝4 ac， 即( a－ c)2＝0，所以 a＝c， 从而 a＝b＝c，这与已知 a，b，c 不成等差数列矛盾． 所以假设不正确． 故 a， b， c不成等差数列．
适宜运用反证法证明的命题
• 正难那么反是运用反证法的原那么，有一些根底命题都是 我们在数学中常运用的明显事实，它们的判定方法极少， 宜用反证法证明．这些题型有：(1)一些根本命题、根本定 理；(2)易导出与矛盾的命题；(3)“否认性〞命题；(4)“ 唯一性〞命题；(5)“必然性〞命题；(6)“至多〞“至少 〞类命题；(7)涉及“无限〞结论的命题．
同向不等式求和得： 4b2＋4c2＋4a2－4ac－4ab－4bc≤0， 所以 2a2＋2b2＋2c2－2ab－2bc－2ac≤0． 所以(a－b)2＋(b－c)2＋(a－c)2≤0． 所以 a＝b＝c． 这与题设 a，b，c 互不相等矛盾， 因此假设不成立，从而命题得证．
『规律总结』 1．反证法的“归谬〞是反证法的核心，其含义是从假设(即 把“反设〞作为一个新的条件)及原命题的条件出发，引用一系列论据进展正确推 理，推出与条件、定义、定理、公理等相矛盾的结果．
• 结论中含有“不〞“不是〞“不可能〞“不存在〞等词语的命 题称为否认性命题，此类问题的正面比较模糊，而反面比 较具体，适合使用反证法．
• 2．用反证法证明数学命题的步骤
• 特别提醒：(1)用反证法证题时，首先要搞清反证法证题的 思路步骤，其次注意反证法是在条件较少，直接证明不易 入手时常用的方法．
• ②所以一个三角形中不能有两个直角；
• ③假设∠A、∠B、∠C中有两个角是直角，不妨设∠A＝∠B
＝_______．
• [解析] (1)假设的内容应为结论“a3>b3〞的否认“a3≤b3〞 ，应选C．
• 『规律总结』 1．用反证法证明否认性命题的适用类型
④
由②③得 a(x1＋x2)＝k(x1＋x2)＋2， ⑤ 由④知 x1＋x2＝3－2kk2，代入⑤整理得 ak＝3．
这与①矛盾．
所以假设不成立，故不存在实数 k，使得 A、B 关于直线 y＝ax 对称．
结论反设不当致误
• 典例 5 a＋b＋c>0，ab＋bc＋ca>0，abc>0，求证： a>0，b>0，c>0．
• 1．应用反证法推出矛盾的推导过程中，要把以下哪些作C 为条件使用( )
• ①原结论的相反判断，即假设 ②原命题的结论
• ③公理、定理、定义等 ④原命题的条件
• A．①④
B．①②③
• C．①③④ D．②③
• [解析] 由反证法的规那么可知①③④都可作为条件使用 ，故应选C．
• 2．用反证法证明某命题时，对其结论：“自然数a、b、c 中恰有一个偶D数〞正确的反设为( )
x1＋x2≤0，这与两个数之和为正数矛盾，所以两个实数至 少有一个正数，故应选C． • 4．“任何三角形的外角都至少有两个钝角〞的否认应是
互动探究学案
命题方向1 ⇨用反证法证明否(肯)定性命题
• 典例 1 (1)(2021·武汉高二检测)用反证法证明命题“如 果a>b，那么aC3>b3〞时，假设的内容是( )
命题方向3 ⇨用反证法证明存在性、唯一性命题
• 典例 3 ：一点A和平面α． • 求证：经过点A只能有一条直线和平面α垂直． • [思路分析]
[证明] 根据点 A 和平面 α 的位置关系，分两种情况证 明．(1)如图，点 A 在平面 α 内，假设经过点 A 至少有平面 α 的两条垂线 AB、AC，那么 AB、AC 是两条相交直线，它们 确定一个平面 β，平面 β 和平面 α 相交于经过点 A 的一条直 线ɑ．
2．反证法中引出矛盾的结论，不是推理本身的错误，而是开场假定的“结 论的反面〞是错误的，从而肯定原结论是正确的．
• 〔跟踪练习4〕 • 证明：对于直线l：y＝kx＋1，不存在这样的实数k，使得l
与双曲线C：3x2－y2＝1的交点A，B关于直线y＝ax(a为 常[解数析)]对假称设．存在实数 k，使得 A、B 关于直线 y＝ax 对称，设 A(x1，y1)、B(x2，
• A．a3＝b3
B．a3<b3
• C．a3≤b3 D．a3<b3且a3＝b3
• (2)(2021·德州高二检测)用反证法证明命题：“一个三角形 中不能有两个直角〞的过程归纳为以下三个步骤：
• ①∠A＋∠B＋∠C＝90°＋90°＋∠C>180°，这与三角形 内角和为180°相矛盾，那么∠A＝∠B＝90°不成立；
命题方向2 ⇨反证法证明“至多〞“至少〞问题
典例 2已知 a，b，c∈(0,1)，求证：(1－a)b，(1－b)c，(1－c)a 不能都大于14． [思路分析] 本题中含有“至少存在一个”可考虑使用反证法． [解析] 假设(1－a)b，(1－b)c，(1－c)a 都大于14． 因为 0<a<1,0<b<1，
• [正解] 证法1：假设a、b、c中至少有一个不大于0，不妨 设a≤0，假设a<0，那么由abc>0，得bc<0，由a＋b＋c>0得 ，b＋c>－a>0，
• [错解] 假设a≤0，b≤0，c≤0，那么a＋b＋c≤0，abc≤0与 题设条件a＋b＋c>0，abc>0矛盾．
• ∴假设不成立，∴原命题成立． • [辨析] 错解没有弄清原题待证的结论是什么？导致反设
错误．“求证：a>0，b>0，c>0〞的含义是“求证a、b、c 三数都是正数〞，故反设应为“假设a、b、c中至少有一个 不大于0．〞
• 1．反证法的定义
• 一般地，假设原命题不成立，经过正确的推理，矛盾最后得出 ___错__误_，因此说明假设__成__立__，从而证明了原命题 _______，这样的证明方法叫做反证法．反证法是间接证 明的一种根本方法．
• 2．反证法证题的原理
• (1)反证法的原理是“否认之否认等于肯定〞．
• (2)用反证法解题的实质就是否认结论，导出矛盾，从而说 明原结论正确．
• 2．假设结论的反面情况有多种，那么必须将所有的反面 情况一一驳倒，才能推断结论成立．
• 〔跟踪练习3〕 • 假设函数f(x)在区间[a，b]上的图象连续，且f(a)<0，
f(b)>0，f(x)在[a，b]上单调递增，求证：f(x)在(a，b)内有 且[解只析有] 一由于个f零(x)在点[a．，b]上的图象连续，且 f(a)<0，f(b)>0，
所以 1－a>0．由基本不等式，得
1－a2＋b≥ 1－ab> 14＝12． 同理，1－2b＋c>12，1－2c＋a>12．
将这三个不等式两边分别相加，得 1－a2＋b＋1－2b＋c＋1－2c＋a>12＋12＋12， 即32>32，这是不成立的， 故(1－a)b，(1－b)c，(1－c)a 不能都大于14．
因为 AB⊥平面 α，AC⊥平面 α， a⊂α，所以 AB⊥a，AC⊥a，在平面 β 内经过点 A 有两条直线都和直线 a 垂 直，这与平面几何中经过直线上一点只能有已知直线的一条垂线相矛盾．
(2)如图，点 A 在平面 α 外，假设经过点 A 至少有平面 α 的两条垂线 AB 和 AC(B、 C 为垂足)那么 AB、AC 是两条相交直线，它们确定一个平面 β，平面 β 和平面 α 相交于直线 BC，因为 AB⊥平面 α，AC⊥ 平面 α，BC⊂α，
• 典例 4 a，b，c是互不相等的实数，求证：由y1＝ ax2＋2bx＋c，y2＝bx2＋2cx＋a和y3＝cx2＋2ax＋b确定 的三条抛物线至少有一条与x轴有两个不同的交点．
假设三条抛物线都不与 演绎推理，利用 [思路分析] x轴有两个不同的交点 → Δ≤0得出矛盾 → 原命题得证 ．
[解析] 假设题设中的函数确定的三条抛物线都不与 x 轴有两个不同的交点， 由 y1＝ax2＋2bx＋c，y2＝bx2＋2cx＋a，y3＝cx2＋2ax＋b， 得 Δ1＝(2b)2－4ac≤0，且 Δ2＝(2c)2－4ab≤0，且 Δ3＝(2a)2－4bc≤0．
新课标导学
数学
选修2-2 ·人教A版
第二章
推理与证明
2．2 直接证明与间接证明
2．2.2 反证法
1
自主预习学案
2
互动探究学案
3
课时作业学案
自主预习学案
甲、乙、丙三人站成一列，甲在前，丙在后，乙在中间．有 3 红 2 黑 5 顶帽 子，现在随机抽取 3 顶分别戴在甲、乙、丙三人头上．只 有站在后面的人才可以看见前面的人头上帽子的颜 色．让这三人各自猜自己头上帽子的颜色，结果丙先 说不知道，然后乙也说不知道，最后甲猜出自己头上 帽子的颜色是红色的．你知道甲是怎么推理的吗？
• A．a、b、c都是奇数
• B．a、b、c都是偶数
• C．a、b、c中至少有两个偶数
• D．a、b、c中至少有两个偶数或都是奇数
• [解析] “自然数a、b、c中恰有一个偶数〞即a、b、c中有 两奇一偶，故其反面应为都是奇数或两偶一奇或都是偶数 ，应选D．
• 3．如果两个实数之和为正数，那么C这两个数( ) • A．一个是正数，一个是负数 • B．两个都是正数 • C．至少有一个正数 • D．两个都是负数 • 存[解在一析个] 三角假形设，两其外个角数最分多有别一为个x钝1角、x2，且x1≤0，x2≤0，那么
∴AB⊥BC，AC⊥BC， 在平面 β 内经过点 A 有两条直线都和 BC 垂直，这与平面几何中经过直线外 一点只能有已知直线的一条垂线相矛盾．综上，经过一点 A 只能有平面 α 的一条 垂线．
• 『规律总结』 1．证明“有且只有一个〞的问题，需要证 明两个命题，即存在性和唯一性．当证明结论以“有且只 有〞、“只有一个〞、“唯一存在〞等形式出现的命题时， 由于反设结论易于导出矛盾，所以宜用反证法证明．
y2)，则 有(1)直线 l：y＝kx＋1 与直线 y＝ax 垂直；(2)点 A、B 在直线 l：y＝kx＋1
上；(3)直线 AB 的中点(x1＋2 x2，y1＋2 y2)在直线 y＝ax 上，
ka＝－1，① 所以y1＋y2＝kx1＋x2＋2，②
y1＋2 y2＝ax1＋2 x2.③
由yy＝2＝k3xx＋2－1，1 得(3－k2)x2－2kx－2＝0．
对所有x成立 存在某个x0不成立 对任意x不成立 存在某个x0成立
至少有n个 至多有n－1个
p或q
綈p且綈q
至多有n个 至少有n＋1个
p且q
綈p或綈q
〔跟踪练习 2〕 若 a，b，c 均为实数，且 a＝x2－2y＋π2，b＝y2－2z＋π3，c＝z2－2x＋π6．求证： a，b，c 中至少有一个大于 0． [解析] 假设 a，b，c 都不大于 0， 则 a≤0，b≤0，c≤0，所以 a＋b＋c≤0，而 a＋b＋c＝(x2－2y＋π2)＋(y2－2z＋π3)＋(z2－2x＋π6)＝(x2－2x)＋(y2－2y)＋(z2－ 2z)＋π＝(x－1)2＋(y－1)2＋(z－1)2＋π－3， 所以 a＋b＋c>0，这与 a＋b＋c≤0 矛盾，故 a，b，c 中至少有一个大于 0．
• 『规律总结』 1．当命题中出现“至少……〞、“至多…… 〞、“不都……〞、“都不……〞、“没有……〞、“唯一〞 等指示性词语时，宜用反证法．
• 2．用反证法证题，必须准确写出命题的否认，把命题所
包含的结论所词有可能情反形设词找全，范结围论既词不缩小，也反不设词扩大．常
至少有一个 一个也没有
用反至设多有词一如个下：至少有两个
即 f(a)·f(b)<0，
所以 f(x)在(a，b)内至少存在一个零点，设零点为 m，则 f(m)＝0．
假设 f(x)在(a，b)内还存在另一个零点 n，即 f(n)＝0，则 n≠m．
若 n>m，则 f(n)>f(m)，即 0>0，矛盾；
若 n<m，则 f(n)<f(m)，即 0<0，矛盾．
因此假设不正确，即 f(x)在(a，b)内有且只有一个零点．