2月19日定积分与微积分基本定理

b
微积分基本定理 a f ( x)dx F (b) F (a)
b
公式1：
1dx

ln
x
b

ln b

ln a
ax
a
b
公式2：x ndx
x n1
b
a
n1 a
今天作业：
(3)‫׬‬23
������ + 1 2������������
������
������
(5)‫׬‬02 3������ + ������������������������ ������������
a
a
b
b
b
(2) a [f1(x) f2 (x)]dx a f1(x)dx a f2 (x)dx
b
c
b
(3)a f (x)dx a f (x)dx c f (x)dx (a<c<b)
1.常系数可以提出来
2.和与差的定积分等于定积分的和与差
3.一个区间上的定积分可以分段计算
xdx _2___
F(x)=12x2
0
1
3
1
x 3dx _4___
F(x)=14x4
0
4
2
x 3dx

������������
_���_��� __
F(x)=14x4
1
公式2：b x ndx x n1 b
a
n1 a
达标练习：
1 1 3t2 2dt _1__
Formula).
或记作
ab
f
( x)dx

F ( x)
b a

F (b)

F (a).
b a
f
( x)dx

F (x) |ba
F (b)
F (a)
例1 计算下列定积分
112
1dx x
213 2xdx
解（１）∵
������ ������������������ ´ = ������
常数叫做函数f(x)在区间[a, b]上的定积分，
记作:
b f (x)dx，即 b
a
a
n
f (x)dx lim 0 i1
f (x i)xi。
即
b a
f
( x)dx

lim
n
n i1
b
n
a

f
(xi )
定积分的定义：即
b a
f
(x)dx

lim
n
定积分有没有更加简便的计算方法?
微积分基本定理：
设函数f(x)在区间[a,b]上连续，并且F´(x)＝f（x)，则，
b
a f (x)dx F (b) F (a)
F(x)称为f(x)的原函数
这个结论叫微积分基本定理（fundamental theorem of
calculus)，又叫牛顿－莱布尼茨公式（Newton-Leibniz
0
3
2
2
x

1
dx


_2__
ln
2
1 x
3 23x2 2x 1dx _9__ 1
4 2ex 1dx _e_2_ e 1 1
F(t)=－t3+2t F(x)=12x2+lnx F(x)=x3+x2－x F(x)=ex+x
三、小结
n
结论： S
lim n
i1
f (xi )x
y
y=f(x)
思考：在区间[a,b]上考虑的
话， x=?
������ − ������ ������
Oa
即
b a
f
( x)dx

lim
n
n i1
b
n
a

f
(xi )
xi xi xi+1
b
x
Δx
如果当n∞时，S 无限接近某个常数，这个
思考：
1=（ x+c ）´
2=（ 2������ ）´
2x=（ x2 ）´
x=（ 12x2 ）´
x2=（
）´
sinx=（-cosx ）´
1+x+x2=（
x+
1x2
2
+
1 ������3 ）´
3
曲边梯形的面积
思想方法：以直代曲，无限逼近 计算四步曲：分割、以直代曲、求和、取极限
4、若f (x) cos x , 则 f (x) sin x
5、若f (x) ax , 则 f (x) ax ln a
6、若f (x) ex , 则 f (x) e x
7、若f 8、若f
( (
x) x)

log a x ln x ,
,则 则f
f (
( x) x)
找出f(x)的原函数 F(x)是计算的关键
2 1
1 dx x

ln
x
2 1

ln 2

ln 1

ln 2
213
2 xdx

x2
3 1

32

12

8
总结：公 式1：ab
1 dx
x

ln
x
b a

ln b

ln a
练习1:
1
1
1dx
__1__
F(x)=x
0
1
2
1
n i1
b
n
a

f
(xi )
定积分的相关名称：
———叫做积分号， y
y f (x)
f(x) ——叫做被积函数，
f(x)dx —叫做被积表达式，
x ———叫做积分变量， a ———叫做积分下限， O a
bx
b ———叫做积分上限，
[a, b] —叫做积分区间。
由连续曲线yf(x) (f(x)0) ，直线xa、xb及x轴所围成的曲边梯形的面积

1
x
1 ln
a
x
常函数 幂函数 三角函数
指数函数
对数函数
简记公式：
1.C'=0 2.(xn)'=nxn-1 3. (sinx)'=cosx 4. (cosx)'=-sinx
5. (ax)'=axlna 6. (ex)'=ex 7. (logax)'=������������1������������ 8.(lnx)'=���1���
画图表示以下定积分：
1. ‫׬‬01 1dx
2. ‫׬‬02 ������dx
3.
‫׬‬12
1 ������
dx
4. ‫׬‬−11 ������2dx
y o1 x y o1 2 x
y o 2x y -1 o 1 x
定积分的简单性质
(1)
b
kf (x)dx k
b
f (x)dx
(k为常数)
定积分的概念及微积分基本定理
新安三高高二数学组 郭武浩
2020年3月6日10:25:15
基本初等函数的导数公式
八个导数公式
基本初等函数的导数公式
1、若f (x) c , 则 f (x) 0
2、若f (x) xn , 则 f (x) n xn1
3、若f (x) sin x , 则 f (x) cos x
几个常用导数：x'=? ,(x2) '=? , (x3) '=? ， (���1���)´=?
x'=1 , (x2) '=2x , (x3) '=3x2
,
(���1���)´=−
1 ������2
1=（ ）´ 2=（ ）´ 2x=（ ）´ x=（ ）´
x2=（ ）´ cosx=（ ）´ sinx=（ ）´ 1+x+x2=（ ）´