2021年高三数学上学期10月模块考试试题 文(含解析)

2021年高三数学上学期10月模块考试试题 文（含解析）
【试卷综析】试卷的题型着眼于考查现阶段学生的基础知识及基本技能掌握情况。

整份试卷难易适中，没有偏、难、怪题，保护了学生的学习信心并激励学生继续
学习的热情；在选题和确定测试重点上都认真贯彻了“注重基础，突出知识体系
中的重点，培养能力”的命题原则，重视对学生运用所学的基础知识和技能分析
问题、解决问题能力的考查。

第I 卷（选择题 共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项
中，选择一个符合题目要求的选项.
【题文】1、已知集合B A x x x B x x x A 则},02|
{},034|{2≤-=>+-=等于（ ） A ． B ．
C ．
D ． 【知识点】交集及其运算.A1
【答案解析】C 解析：由题意解出A ，B ，然后根据交集的定义和运算法则进行计算．
【思路点拨】∵集合A={x|x 2﹣4x+3＞0}，∴A={x|x＞3或x ＜1}，
∵B={x|≤0}，∴B={x|0≤x＜2}，∴A∩B={x|0≤x＜1}，故选C ．
【题文】2、已知数列为等差数列，且，则的值为（ ）
A 、
B 、
C 、
D 、
【知识点】等差数列的性质；运用诱导公式化简求值；两角和与差的正切函数．C2 C5 D2
【答案解析】B 解析：∵，则a 7=，
∴tan（a 2+a 12）=tan2a 7=tan=，故选B.
【思路点拨】因为，则a 7=，所以tan （a 2+a 12）=tan2a 7=tan ，由诱导公式计算可得答案．
【题文】3、已知是两个非零向量，给定命题，命题，使得，则是的（ ）
A 、充分不必要条件
B 、必要不充分条件
C 、充要条件
D 、既不充分也不必要条件
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；向量的几何表示．A2 F2
【答案解析】C 解析：（1）若命题p 成立，∵，是两个非零向量，|•|=||||，即|||||•cos＜，
＞|=||||，∴cos＜，＞=±1，＜，＞=00或＜，＞=1800∴，共线，即；∃t ∈R ，使得=t ，∴
由命题p 成立能推出命题q 成立．
（2）若命题p成立，即∃t∈R，使得=t，则，两个非零向量共线，∴＜，＞=00或＜，＞=1800，∴cos＜，＞=±1，即|||||•cos＜，＞|=||||，
∴|•|=||||，∴由命题q成立能推出命题p成立．∴p是q的充要条件．故选C．
【思路点拨】利用两个向量的数量积公式，由命题p成立能推出命题q成立，由命题q成立能推出命题p成立，p是q的充要条件．
【题文】4、函数的一个单调减区间是（）
A、B、C、D、
【知识点】复合三角函数的单调性．C3
【答案解析】C 解析：由2kπ+≤2x﹣≤2kπ+（k∈Z）得：kπ+≤x≤kπ+，
∴函数的单调递减区间为[kπ+，kπ+]．
当k=0时，函数的一个单调递减区间是．故选C．
【思路点拨】由正弦函数的单调性可求得正弦函数的递减区间，继而可得答案．
【题文】5、设等比数列{ }的前n 项和为，若 =3 ，则 =（）
A、 2
B、
C、
D、3
【知识点】等比数列的前n项和.D3
【答案解析】B 解析：设公比为q，则===1+q3=3，
所以q3=2，所以===．故选B．
【思路点拨】首先由等比数列前n项和公式列方程，并解得q3，然后再次利用等比数列前n 项和公式则求得答案．
【题文】6、已知某等差数列共有10项，其奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差为( )
A、3
B、4
C、5
D、2
【知识点】等差数列的通项公式．D2
【答案解析】A 解析：根据题意得：，解得：，故选A．
【思路点拨】写出数列的第一、三、五、七、九项的和，写出数列的第二、四、六、八、十项的和，都用首项和公差表示，两式相减，得到结果．
【题文】7、已知向量，向量，且，则实数等于（）
A、 B、 C、 D、
【知识点】数量积判断两个平面向量的垂直关系．F3
【答案解析】D 解析：由向量，向量，∴=（1﹣x，4），
又，∴1×（1﹣x）+2×4=0，解得x=9．故选D．
【思路点拨】由给出的向量的坐标求出的坐标，然后直接利用向量垂直的坐标表示列式求解x
的值．
【题文】8、已知，，，，则（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【知识点】对数值大小的比较。

B7
【答案解析】C 解析：=log a ，=log a ，=log a ，∵0＜a ＜1，又＜＜，
∴log a ＞log a ＞log a ，即y ＞x ＞z ．故选 C ．
【思路点拨】先化简x 、y 、z 然后利用对数函数的单调性，比较大小即可.
【题文】9、在中，内角所对的边长分别是。

若，则的形状为（ ）
A 、等腰三角形
B 、直角三角形
C 、等腰直角三角形
D 、等腰或直角三角形
【知识点】两角和与差的正弦函数．C5
【答案解析】D 解析：∵，
∴sin（A+B ）+sin （B ﹣A ）=sin2A ，∴sinAcosB+cosAsinB+sinBcosA﹣cosBsinA=sin2A ，
∴2cosAsinB=sin2A=2sinAcosA，∴2cosA （sinA ﹣sinB ）=0，∴cosA=0，或sinA=sinB ，
∴A=，或a=b ，∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形故选：D ．
【思路点拨】由已知条件结合三角函数公式化简可得2cosA （sinA ﹣sinB ）=0，分别可得A=，
或a=b ，可得结论．
【题文】10、函数的图象是（ ）
【知识点】函数的图象与图象变化．B8 【答案解析】A 解析：∵cos（﹣x ）=cosx ，∴是偶函数，
可排除B 、D ，由cosx≤1⇒lncosx≤0排除C ，故选A ．
【思路点拨】利用函数的奇偶性可排除一些选项，利用函数的有界性可排除一些个选项．从
而得以解决．
【题文】11、已知，则的值是（ ）
A 、
B 、
C 、
D 、
【知识点】二倍角的余弦；运用诱导公式化简求值．C2 C7
【答案解析】A 解析：=﹣cos （﹣2α）=﹣cos[2（）]
=﹣[1﹣2si]=﹣（1﹣）=﹣，故选A.
【思路点拨】利用诱导公式和二倍角公式化简为sin 的表达式，然后代入sin 的值，求解即
可．
【题文】12、已知实数的极大值点坐标为（b,c ）则等于（ ）
A ．2
B ．1
C ．—1
D ．—2
【知识点】利用导数研究函数的极值；等比数列的性质．B12 D3
【答案解析】A 解析：∵y′=3﹣3x 2
=0，则x=±1，
y
x
x A ． B ．
C ．
D ．
∴y′＜0，可得x＜﹣1或x＞1，y′＞0，可得﹣1＜x＜1，
∴函数在（﹣∞，﹣1），（1，+∞）上单调递减，在（﹣1，1）上单调递增，
∴x=1是极大值点，此时极大值为3﹣1=2．
∴b=1，c=2
又∵实数a，b，c，d成等比数列，
由等比数列的性质可得：ad=bc=2．故选A.
【思路点拨】先求导数，得到极大值点，从而求得b，c，再利用等比数列的性质求解.
第Ⅱ卷（共60分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.将正确答案填在相应位置上。

【题文】13、数列中，，则通项公式为_____________.
【知识点】数列递推式．D1
【答案解析】解析：设a n+1+k=3（a n+k），得a n+1=3a n+2k，与a n+1=3a n+2比较得k=1，∴原递推式可变为a n+1+1=3（a n+1），∴，
∴{a n+1}是一个以a1+1=2为首项，以3为公比的等比数列，
∴，
【思路点拨】由题意知a n+1+1=3（a n+1），所以 {a n+1}是一个以a1+1=2为首项，以3为公比的等比数列，由此可知。

【题文】14、已知则=__________________
【知识点】二倍角的余弦；同角三角函数基本关系的运用．C2 C6
【答案解析】解析：已知：利用商数关系解得：tanθ=2
进一步求出：==﹣
==，所以：3cos2θ+4sin2θ=
【思路点拨】首先利用商数关系求出tanθ的值，进一步利用万能公式求的结果．
【题文】15、若方程在内有解，则的取值范围是_____________
【知识点】同角三角函数间的基本关系；一元二次方程的根的分布与系数的关系.C2 B9
【答案解析】解析：方程即 sin2x+sinx﹣a﹣1=0．
由于，∴0＜sinx≤1．故方程t2+t﹣a﹣1=0 在（0，1]上有解．
又方程t2+t﹣a﹣1=0 对应的二次函数f（t）=t2+t﹣a﹣1 的对称轴为t=，
故有，解得﹣1＜a≤1．故答案为：．
【思路点拨】由题意可得方程t2+t﹣a﹣1=0 在（0，1]上有解，函数f（t）=t2+t﹣a﹣1 的对称轴为t=，故有，解此不等式组求得a的取值范围．
【题文】16、已知函数，在下列四个命题中：①的最小正周期是；②的图象可由的图象向右平移个单位得到；③若，且，则；④直线是函数图象的一条对称轴，其中正确命题的序号是（把你认为正确命题的序号都填上）．
【知识点】命题的真假判断与应用．A2
【答案解析】③④解析：由题意，①T=π，∴①不正确；
②f（x）的图象可由的图象向右平移个单位长度得到，∴②不正确；
③若x1≠x2，且f（x1）=f（x2）=﹣1，则函数最低点间的距离为周期的整数倍，∴③正确；
④时，=sin（﹣）=﹣1，∴直线是函数f（x）图象的一条对称轴，正确．
故答案为：③④．
【思路点拨】利用函数，结合正弦函数的性质，即可判断.
三、解答题：（本大题共4小题，共44分.）
【题文】17、（本小题满分10分）在中，内角A 、B 、C 的对边分别为，向量)12
cos 2,2(cos ),3,sin 2(2-=-=B B n B m ，且 （1）求锐角B 的大小；
（2）已知，求的面积的最大值。

【知识点】二倍角的余弦；平行向量与共线向量；两角和与差的正弦函数．C5 C6 F2
【答案解析】（1）；（2）
解析：（1）由得
整理得 为锐角
………………5’
（2）由余弦定理得4=
………………10’
【思路点拨】（1）由两向量的坐标，及两向量平行时满足的关系列出关系式，利用二倍角的正弦函数公式化简，再利用同角三角函数间的基本关系弦化切后求出tan2B 的值，由B 为锐角，得到2B 的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出B 的度数；（2）由cosB 的值及b 的值，利用余弦定理列出关于a 与c 的关系式，利用基本不等式求出ac 的最大值，再由sinB 及ac 的最大值，利用三角形的面积公式即可求出三角形ABC 面积的最大值．
【题文】18、（本题满分10分）已知向量（＞0，0＜＜）。

函数，的图象的相邻两对称轴之间的距离为2，且过点。

（1）求的表达式；
（2）求的值。

【知识点】三角函数中的恒等变换应用；平面向量数量积的运算．C7 F3
【答案解析】（1）；（2）
解析：（1）
=
由题意知：周期，∴。

又图象过点，∴即，
∵0＜＜，∴，，
∴。

………………5’
（2）的周期， ∵11(0)(1)(2)(3)(3)(3)(3)(3)122222
f f f f +++=-+++++-= 原式=。

………………10’
【思路点拨】（1）根据向量的数量积运算、平方关系、二倍角的余弦公式化简解析式，由周期公式和题意求出ω的值，再把点代入化简后，结合φ的范围求出φ；（2）根据函数的周期为4，求出一个周期内的函数值的和，再根据周期性求出式子的值．
【题文】19、 （本题满分12分）设数列的前项和为，且；数列为等差数列，且。

(1)求数列的通项公式；
(2)若为数列的前项和，求证：。

【知识点】等差数列与等比数列的综合．D5
【答案解析】（1）；（2）见解析
解析：（1）由11111222,1,22,,3
n n b S n b S S b b =-==-==令则又所以 21221112
22(),9
222,2()213n n n n n n n n n b b b b n b S b b S S b b b ---=-+=
≥=--=--=-=则当时，由可得即
{}12112333
n n n b b b ==⋅所以是以为首项，为公比的等比数列，于是……4’ （2）数列为等差数列，公差 ···············
从而 2323123111112[258(31)],3333
111112[ 25(34)(31)]33333
2111112[3333(31)]3333333
n n n n n n n n T n T n n d T n ++∴=⋅+⋅+⋅++-⋅=⋅+⋅++-⋅+-⋅∴=⋅+⋅+⋅++⋅---⋅……… 从而
………………12’
【思路点拨】（1）由题设条件知，即由此可求出数列{b n }的通项公式．（2）数列{a n }为等差数列，．从而，由此能证明数列的前n 项和．
【题文】20、（本题满分12分）已知函数f (x )=ln x －.
(1)当a>0时，判断f (x )在定义域上的单调性；
(2)若f (x )在[1,e ]上的最小值为，求a 的值.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．B12
【答案解析】（1）单调递增函数；（2）
解析：(1)由题得f (x )的定义域为(0,＋∞)，且 f ′(x )＝＋＝.
∵a >0，∴，故f (x )在(0,＋∞)上是单调递增函数. ………………3’
(2)由(1)可知：f ′(x )＝，
①若a ≥－1，则x ＋a ≥0，即f ′(x )≥0在[1,e ]上恒成立，此时f (x )在[1,e ]上为增函数， ∴f (x )min ＝f (1)＝－a ＝，∴a ＝－ (舍去).
②若a ≤－e ，则x ＋a ≤0，即f ′(x )≤0在[1,e ]上恒成立，此时f (x )在[1,e ]上为减函数， ∴f (x )min ＝f (e )＝1－＝，∴a ＝－(舍去).
③若－e <a <－1，令f ′(x )＝0，得x ＝－a .
当1<x <－a 时，f ′(x )<0，∴f (x )在(1,－a )上为减函数；
当－a <x <e 时，f ′(x )>0，∴f (x )在(－a ,e )上为增函数，
∴f (x )min ＝f (－a )＝ln(－a )＋1＝⇒a ＝－.
综上可知：. ………………12’
【思路点拨】（1）确定函数的定义域，根据，可得f （x ）在定义域上的单调性；
（2）求导函数，分类讨论，确定函数f（x）在[1，e]上的单调性，利用f（x）在[1，e]上的最小值为，即可求a的值．L34579 8713 蜓39491 9A43 驃<l40468 9E14 鸔nC23586 5C22 尢31007 791F 礟 22970 59BA 妺28413 6EFD 滽uW。