上海洋泾中学东校数学一元二次方程单元达标训练题(Word版 含答案)

上海洋泾中学东校数学一元二次方程单元达标训练题（Word版含
答案）
一、初三数学一元二次方程易错题压轴题（难）
1．阅读与应用：
阅读1：
a，b为实数，且a＞0，b＞0，因为()2≥0，所以a﹣2+b≥0，从而
a+b≥2(当a＝b时取等号)．
阅读2：
若函数y＝x+(m＞0，x＞0，m为常数)，由阅读1结论可知：x+≥2，所以当x＝
，即x＝时，函数y＝x+的最小值为2．
阅读理解上述内容，解答下列问题：
问题1：
已知一个矩形的面积为4，其中一边长为x，则另一边长为，周长为2(x+)，求当x＝
时，周长的最小值为；
问题2：
汽车的经济时速是汽车最省油的行驶速度，某种汽车在每小时70～110公里之间行驶时(含70公里和110公里)，每公里耗油()L．若该汽车以每小时x公里的速度匀速行驶，
1h的耗油量为yL．
(1)求y关于x的函数关系式(写出自变量x的取值范围)；
(2)求该汽车的经济时速及经济时速的百公里耗油量．
【答案】问题1：2，8；问题2：(1)y=；(2)10.
【解析】
【分析】
（1）利用题中的不等式得到x+=4，从而得到x=2时，周长的最小值为8；
（2）根据耗油总量=每公里的耗油量×行驶的速度列出函数关系式即可，经济时速就是耗油量最小的形式速度．
【详解】
(1)∵x+≥2＝4，
∴当x＝时，2(x+)有最小值8．
即x＝2时，周长的最小值为8；
故答案是：2；8；
问题2：，
当且仅当，
即x ＝90时，“＝”成立，
所以，当x ＝90时，函数取得最小值9，
此时，百公里耗油量为，
所以，该汽车的经济时速为每小时90公里，经济时速的百公里耗油量为10L ．
【点睛】
本题考查了配方法及反比例函数的应用，最值问题，解题的关键是读懂题目提供的材料，易错点是了解“耗油总量=每公里的耗油量×行驶的速度”，难度中等偏上．
2．如图，直角坐标系xOy 中，一次函数y kx b =+的图象1l 分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，点A 坐标为()9,0，正比例函数12
y x =的图象2l 与1l 交于点(),3C m ，点(),0N n 在x 轴上一个动点，过点N 作x 轴的垂线与直线1l 和2l 分别交于P 、Q 两点．
（1）求m 的值及直线1l 所对应的一次函数表达式；
（2）当03PQ <时，求n 的取值范围；
（3）求出当n 为何值时，PQC ∆面积为12？
【答案】（1）6m =；9y x =-+；（2）46n <或68n <；（3）2n =或10．
【解析】
【分析】
（1）直接将点C 代入正比例函数，可求得m 的值，然后将点C 和点A 代入一次函数，可求得一次函数解析式；
（2）用含n 的式子表示出PQ 的长，然后解不等式即可；
（3）用含有n 的式子表示出△PQC 的底边长和高的长，然后求解算式即可得．
【详解】
（1）将点C(m ，3)代入正比例函数12
y x =得：
3=
1m 2
，解得：m=6 则点C(6，3)
∵A(9，0) 将点A ，C 代入一次函数y kx b =+得：
0936k b k b =+⎧⎨=+⎩
解得：k=－1，b=9
∴一次函数解析式为：y=－x+9
（2）∵N(n ，0)
∴P(n ，9－n)，Q(n ，
12n ) ∴PQ=192
n n -- ∵要使03PQ <
∴0＜1932
n n --≤ 解得：46n <或68n <
（3）在△PQC 中，以PQ 的长为底，则点C 到PQ 的距离为高，设为h
第（2）已知：PQ=139922
n n n --
=- 由图形可知，h=6n -
∵△PQC 的面积为12 ∴12=136922
n n -- 情况一：当n ＜6是，则原式化简为：12=
()136922n n ⎛⎫-- ⎪⎝⎭ 解得：n=2或n=10(舍) 情况二：当n ≥6时，则原式化简为：12=()13692
2n n ⎛⎫-- ⎪⎝⎭
解得：n=2(舍)或n=10
综上得：n=2或n=10．
【点睛】 本题考查一次函数的综合，用到了解一元二次方程，求三角形面积等知识点，解题关键是用含n 的算式表示出PQ 的长度，注意需要添加绝对值符号．
3．某中心城市有一楼盘，开发商准备以每平方米7000元价格出售，由于国家出台了有关调控房地产的政策，开发商经过两次下调销售价格后，决定以每平方米5670元的价格销
售．
（1）求平均每次下调的百分率；
（2）房产销售经理向开发商建议：先公布下调5%，再下调15%，这样更有吸引力，请问房产销售经理的方案对购房者是否更优惠？为什么？
【答案】（1）平均每次下调的百分率为10%．（2）房产销售经理的方案对购房者更优惠．
【解析】
【分析】
（1）根据利用一元二次方程解决增长率问题的要求，设出未知数，然后列方程求解即可；（2）分别求出两种方式的增长率，然后比较即可.
【详解】
（1）设平均每次下调x%，则
7000（1﹣x）2=5670，解得：x1=10%，x2=190%（不合题意，舍去）；
答：平均每次下调的百分率为10%．
（2）（1﹣5%）×（1﹣15%）=95%×85%=80.75%，（1﹣x）2=（1﹣10%）2=81%．
∵80.75%＜81%，∴房产销售经理的方案对购房者更优惠．
4．（1）课本情境:如图，已知矩形AOBC，AB＝6cm，BC＝16cm，动点P从点A出发，以3cm/s的速度向点O运动，直到点O为止；动点Q同时从点C出发，以2cm/s的速度向点B运动，与点P同时结束运动，出发时，点P和点Q之间的距离是10cm；
（2）逆向发散:当运动时间为2s时，P，Q两点的距离为多少？当运动时间为4s时，P，Q 两点的距离为多少？
（3）拓展应用：若点P沿着AO→OC→CB移动，点P，Q分别从A，C同时出发，点Q从点C移动到点B停止时，点P随点Q的停止而停止移动，求经过多长时间△POQ的面积为
12cm2？
【答案】（1）8
5
s或
24
5
s（2）62cm；213cm（3）4s或6s
【解析】
【分析】
(1)过点P作PE⊥BC于E，得到AP＝3t，CQ＝2t，PE＝6，EQ＝16﹣3t﹣2t＝16﹣5t，利用勾股定理得到方程，故可求解；
（2）根据运动时间求出EQ、PE，利用勾股定理即可求解；
(3) 分当点P 在AO 上时，当点P 在OC 上时和当点P 在CB 上时，根据三角形的面积公式列出方程即可求解．
【详解】
解：（1）设运动时间为t 秒时，如图，过点P 作PE ⊥BC 于E ，
由运动知，AP ＝3t ，CQ ＝2t ，PE ＝6，EQ ＝16﹣3t ﹣2t ＝16﹣5t ，
∵点P 和点Q 之间的距离是10 cm ， ∴62+（16﹣5t ）2＝100，
解得t 1=85，t 2=
245， ∴t ＝85s 或245
s . 故答案为8
5s 或245
s
（2）t=2时，由运动知AP ＝3×2＝6 cm ，CQ ＝2×2＝4 cm ，
∴四边形APEB 是矩形，
∴PE ＝AB ＝6，BE ＝6，
∴EQ ＝BC ﹣BE ﹣CQ ＝16﹣6﹣4＝6，
根据勾股定理得2262PE EQ +=
∴当t ＝2 s 时，P ，Q 两点的距离为2 cm ；
当t ＝4 s 时，由运动知AP ＝3×4＝12 cm ，CQ ＝2×4＝8cm ，
∴四边形APEB 是矩形，
∴PE ＝AB ＝6，BQ ＝8，CE=OP=4
∴EQ ＝BC ﹣CE ﹣BQ ＝16﹣4﹣8＝4，
根据勾股定理得22213PE EQ +=,
P ，Q 两点的距离为13.
（3）点Q 从C 点移动到B 点所花的时间为16÷2=8s ，
当点P 在AO 上时，S △POQ ＝
2PO CO ⋅＝(163)62t -⋅＝12， 解得t ＝4．
当点P 在OC 上时，S △POQ ＝
2PO CQ ⋅＝(316)22t t -⋅＝12， 解得t ＝6或﹣23
（舍弃）． 当点P 在CB 上时，S △POQ ＝
2PQ CO ⋅＝(2223)62
t t +-⨯＝12， 解得t ＝18＞8（不符合题意舍弃），
综上所述，经过4 s 或6 s 时，△POQ 的面积为12 cm 2．
【点睛】
此题主要考查勾股定理的应用、一元二次方程与动点问题，解题的关键是熟知勾股定理的应用，根据三角形的面积公式找到等量关系列出方程求解．
5．如图，在平面直角坐标系中，O 为原点，点A （0，8），点B （m ，0），且m ＞0.把△AOB 绕点A 逆时针旋转90°，得△ACD ，点O ，B 旋转后的对应点为C ，D ，
（1）点C 的坐标为 ；
（2）①设△BCD 的面积为S ，用含m 的式子表示S ，并写出m 的取值范围；
②当S=6时，求点B 的坐标（直接写出结果即可）.
【答案】（1）C （8，8）；（2）①S=0.5m 2﹣4m （m ＞8），或S=﹣0.5m 2+4m （0＜m ＜8）；②点B 的坐标为（7，0）或（2，0）或（6，0）.
【解析】
【分析】
（1）由旋转的性质得出AC＝AO＝8，∠OAC＝90°，得出C（8，8）即可；
（2）①由旋转的性质得出DC＝OB＝m，∠ACD＝∠AOB＝90°，∠OAC＝90°，得出∠ACE＝90°，证出四边形OACE是矩形，得出DE⊥x轴，OE＝AC＝8，分三种情况：
a、当点B在线段OE的延长线上时，得出BE＝OB−OE＝m−8，由三角形的面积公式得出S ＝0.5m2−4m（m＞8）即可；
b、当点B在线段OE上（点B不与O，E重合）时，BE＝OE−OB＝8−m，由三角形的面积公式得出S＝−0.5m2＋4m（0＜m＜8）即可；
c、当点B与E重合时，即m＝8，△BCD不存在；
②当S＝6，m＞8时，得出0.5m2−4m＝6，解方程求出m即可；
当S＝6，0＜m＜8时，得出−0.5m2＋4m＝6，解方程求出m即可．
【详解】
（1）∵点A（0，8），∴AO=8，
∵△AOB绕点A逆时针旋转90°得△ACD，∴AC=AO=8，∠OAC=90°，∴C（8，8），
故答案为（8，8）；
（2）①延长DC交x轴于点E，∵点B（m，0），∴OB=m，
∵△AOB绕点A逆时针旋转90°得△ACD，
∴DC=OB=m，∠ACD=∠AOB=90°，∠OAC=90°，∴∠ACE=90°，
∴四边形OACE是矩形，∴DE⊥x轴，OE=AC=8，
分三种情况：
a、当点B在线段OE的延长线上时，如图1所示：
则BE=OB﹣OE=m﹣8，∴S=0.5DC•BE=0.5m（m﹣8），即S=0.5m2﹣4m（m＞8）；
b、当点B在线段OE上（点B不与O，E重合）时，如图2所示：
则BE=OE﹣OB=8﹣m，∴S=0.5DC•BE=0.5m（8﹣m），即S=﹣0.5m2+4m（0＜m＜8）；c、当点B与E重合时，即m=8，△BCD不存在；
综上所述，S=0.5m2﹣4m（m＞8），或S=﹣0.5m2+4m（0＜m＜8）；
②当S=6，m＞8时，0.5m2﹣4m=6，解得：m=4±27（负值舍去），∴m=4+27；
当S=6，0＜m＜8时，﹣0.5m2+4m=6，解得：m=2或m=6，
∴点B的坐标为（4+27，0）或（2，0）或（6，0）.
【点睛】
本题是三角形综合题目，考查了坐标与图形性质、旋转的性质、矩形的判定与性质、三角形面积公式、一元二次方程的解法等知识；本题综合性强，有一定难度．
6．问题提出：
（1）如图1，在四边形ABCD 中，已知：AD BC ∥，90D ∠=︒，4BC =，ABC 的面积为8，求BC 边上的高．
问题探究
（2）如图2在（1）的条件下，点E 是CD 边上一点，且2CE =，EAB CBA =∠∠，连接BE ，求ABE △的面积
问题解决
（3）如图3，在（1）的条件下，点E 是CD 边上任意一点，连接AE 、BE ，若EAB CBA =∠∠，ABE △的面积是否存在最小值；若存在，求出最小值；若不存在；请说明理由．
【答案】（1）4；（2）
203
；（3）存在，最小值为16216- 【解析】
【分析】 （1）作BC 边上的高AM ，利用三角形面积公式即可求解；
（2）延长DA ，过B 点作BF ⊥DA 于点F ，作BH ⊥AE 于点H ，易得四边形BCDF 为矩形，在（1）的条件下BC=CD=4，则BCDF 为正方形，由EAB CBA =∠∠，结合∠FAB=∠CBA 可得∠FAB=∠EAB ，从而推出BF=BH=4，易证Rt △BCE ≌Rt △BHE ，所以EH=CE=2，设AD ＝a ，则AF=AH=4-a ，在Rt △ADE 中利用勾股定理建立方程可求出a ，最后根据
S △ABE =1AE BH 2
即可求解； （3）辅助线同（2），设AD=a ，CE=m ，则DE=4-m ，同（2）可得出m 与a 的关系式，设△ABE 的面积为y ，由y=
1AE BH 2得到m 与y 的关系式，再求y 的最小值即可． 【详解】
（1）如图所示，作BC 边上的高AM ，
∵S △ABC =
1BC AM=82 ∴82AM==44
⨯ 即BC 边上的高为4；
（2）如图所示，延长DA ，过B 点作BF ⊥DA 于点F ，作BH ⊥AE 于点H ，
∵AD BC ∥，90D ∠=︒
∴∠BCD=∠D=90°=∠F
∴四边形BCDF 为矩形，
又∵BC=CD=4
∴四边形BCDF 为正方形，
∴DF=BF=BC=4，
又∵AD ∥BC
∴∠FAB=∠CBA
又∵∠EAB=∠CBA
∴∠FAB=∠EAB
∵BF ⊥AF ，BH ⊥AE
∴BH=BF=4，
在Rt △BCE 和Rt △BHE 中，
∵BE=BE ，BH=BC=4
∴Rt △BCE ≌Rt △BHE （HL ）
∴EH=CE=2
同理可证Rt △BAF ≌Rt △BAH （HL ） ∴AF=AH
设AD=a ，则AF=AH=4-a
在Rt △ADE 中，AD=a ，DE=2，AE=AH+EH=4-a+2=6-a
由勾股定理得AD 2+DE 2=AE 2，即()2
2226+=-a a 解得8=3
a ∴AE=6-a=103
S △ABE
=
111020AE BH=4=2233
⨯⨯ （3）存在， 如图所示，延长DA ，过B 点作BF ⊥DA 于点F ，作BH ⊥AE 于点H ，
同（2）可得CE=EH ，AF=AH ，
设AD=a ，CE=EH=m ，则DE=4-m ，AF=AH=4-a
在Rt △ADE 中，AD 2+DE 2=AE 2，即()()22244+-=-+a m a m
整理得8=4
+m a m ∴AE=AH+HE=2816444
+-+=++m m m m m 设△ABE 的面积为y ，
则y=()222161116AE BH=42244
++=++m m m m ∴()()
24216+=+y m m 整理得：223240++-=m ym y
∵方程必有实数根
∴()2=423240∆-⨯⨯-≥y y 整理得2322560+-≥y y ∴()()16216162160⎡⎤⎡⎤---≥⎣⎦⎣⎦
y y （注：利用求根公式进行因式分解） 又∵面积y ≥0
∴216≥y
即△ABE 的面积最小值为16216．
【点睛】
本题考查四边形综合问题，正确作出辅助线，得出AB 平分∠FAC ，利用角平分线的性质定理得到BF=BH ，结合勾股定理求出AE 是解决（2）题的关键，（3）题中利用一元二次方程的判别式求最值是解题的关键．
7．某连锁超市派遣调查小组在春节期间调查某种商品的销售情况，下面是调查后小张与其 他两位成员交流的情况．
小张：“该商品的进价为 24元/件．”
成员甲：“当定价为 40元/件时，每天可售出 480件．”
成员乙：“若单价每涨 1元，则每天少售出 20件；若单价每降 1元，则每天多售出 40件．” 根据他们的对话，请你求出要使该商品每天获利 7680元，应该怎样合理定价？
【答案】要使该商品每天获利7680元，应定价为36元/件、40元/件或48元/件
【解析】
【分析】
设每件商品定价为x 元，则在每件40元的基础上涨价时每天的销售量是
[]48020(40)x --件，每件商品的利润是(24)x -元，在每件40元的基础上降价时每天的销量是[]48040(40)x +-件，每件的利润是(24)x -元，从而可以得到答案．
【详解】
解：设每件商品定价为x 元．
①当40x ≥时，[](24)48020(40)7680x x ---= ，
解得：1240,48;x x ==
②当40x <时，[](24)48040(40)7680x x -+-=，
解得：1236,40x x ==（舍去），.
答：要使该商品每天获利7680元，应定价为36元/件、40元/件或48元/件．
【点睛】
本题考查的是一元二次方程中的升降价对销售量产生影响方面的应用，用含有未知数的代数式表示销售量是这一类题的关键．
8．已知关于x 的一元二次方程x 2﹣x +a ﹣1=0．
（1）当a=﹣11时，解这个方程；
（2）若这个方程有两个实数根x 1，x 2，求a 的取值范围；
（3）若方程两个实数根x 1，x 2满足[2+x 1（1﹣x 1）][2+x 2（1﹣x 2）]=9，求a 的值．
【答案】（1）123,4x x =-=（2）54
a ≤
（3）-4 【解析】
【分析】
（1）根据一元二次方程的解法即可求出答案；
（2）根据判别式即可求出a 的范围；
（3）根据根与系数的关系即可求出答案．
【详解】
（1）把a =﹣11代入方程，得x 2﹣x ﹣12=0，
（x +3）（x ﹣4）=0，
x +3=0或x ﹣4=0，
∴x 1=﹣3，x 2=4；
（2）∵方程有两个实数根12x x ，，
∴△≥0，即（﹣1）2﹣4×1×（a ﹣1）≥0，
解得54
a ≤：； （3）∵12x x ，是方程的两个实数
根，222211221122101011x x a x x a x x a x x a -+-=-+-=∴-=--=-，，
，． ∵[2+x 1（1﹣x 1）][2+x 2（1﹣x 2）]=9，
∴221122229x x x x ⎡⎤⎡⎤+-+-=⎣
⎦⎣⎦， 把22112211x x a x x a -=--=-，代入，
得：[2+a ﹣1][2+a ﹣1]=9，即（1+a ）2=9，
解得：a =﹣4，a =2（舍去），
所以a 的值为﹣4．
点睛：本题考查了一元二次方程，解题的关键是熟练运用判别式以及根与系数的关系．
9．图1是李晨在一次课外活动中所做的问题研究：他用硬纸片做了两个三角形，分别为△ABC 和△DEF ，其中∠B=90°，∠A=45°，BC=，∠F=90°，∠EDF=30°， EF=2．将△DEF 的斜边DE 与△ABC 的斜边AC 重合在一起，并将△DEF 沿AC 方向移动．在移动过程中，
D 、
E 两点始终在AC 边上(移动开始时点D 与点A 重合)．
（1）请回答李晨的问题：若CD=10，则AD= ；
（2）如图2，李晨同学连接FC ，编制了如下问题，请你回答：
①∠FCD 的最大度数为 ；
②当FC ∥AB 时，AD= ；
③当以线段AD 、FC 、BC 的长度为三边长的三角形是直角三角形，且FC 为斜边时，AD= ; ④△FCD 的面积s 的取值范围是 .
【答案】（1）2；（2）① 60°；②
；③；④.
【解析】 试题分析：（1）根据等腰直角三角形的性质，求出AC 的长，即可得到AD 的长.
（2）①当点E与点C重合时，∠FCD的角度最大，据此求解即可.
②过点F作FH⊥AC于点H，应用等腰直角三角形的判定和性质，含30度角直角三角形的性质求解即可.
③过点F作FH⊥AC于点H，AD=x，应用含30度角直角三角形的性质把FC用x来表示，根据勾股定理列式求解.
④设AD=x，把△FCD的面积s表示为x的函数，根据x的取值范围来确定s的取值范围.试题解析：（1）∵∠B=90°，∠A=45°，BC=，∴AC=12.
∵CD=10，∴AD=2.
（2）①∵∠F=90°，∠EDF=30°，∴∠DEF=60°.
∵当点E与点C重合时，∠FCD的角度最大，∴∠FCD的最大度数=∠DEF="60°."
② 如图，过点F作FH⊥AC于点H，
∵∠EDF=30°， EF=2，∴DF=. ∴DH=3，FH=.
∵FC∥AB，∠A=45°，∴∠FCH="45°." ∴HC=. ∴DC=DH+HC=.
∵AC=12，∴AD=.
③如图，过点F作FH⊥AC于点H，设AD=x，
由②知DH=3，FH=，则HC=.
在Rt△CFH中，根据勾股定理，得.
∵以线段AD、FC、BC的长度为三边长的三角形是直角三角形，且FC为斜边，
∴，即，解得.
④设AD=x，易知，即.
而，
当时，；当时，.
∴△FCD的面积s的取值范围是.
考点：1.面动平移问题；2.等腰直角三角形的判定和性质；3.平行的性质；4.含30度角直角三角形的性质；5.勾股定理；6.由实际问题列函数关系式；7.求函数值.
10．如图，在矩形ABCD 中，6AB = ，10BC = ，将矩形沿直线EF 折叠．使得点A 恰好落在BC 边上的点G 处，且点E 、F 分别在边AB 、AD 上（含端点），连接CF .
（1）当32BG = 时，求AE 的长；
（2）当AF 取得最小值时，求折痕EF 的长；
（3）连接CF ，当△FCG 是以CG 为底的等腰三角形时，直接写出BG 的长.
【答案】（1）92AE =
；（2）62EF =3）185
BG =. 【解析】
【分析】 （1）根据折叠得出AE=EG ，据此设AE=EG=x ，则有BE=6-x ，由勾股定理求解可得；
（2）由FG ⊥BC 时FG 的值最小，即此时AF 能取得最小值，显然四边形AEGF 是正方形，从而根据勾股定理可得答案；
（3）由△CFG 是以FG 为一腰的等腰三角形，可知应分两种情况讨论：①FG=FC ；②FG=GC ；分别求解可得．
【详解】 （1）由折叠易知，AE EG =，设AE EG x ==，则有6BE x =-，
由勾股定理，得()(222632x x =-+，解得92x =，即92
AE = （2）由折叠易知，AF FG =，而当FG BC ⊥时，FG 的值最小，即此时AF 能取得最小值，
当FG BC ⊥时，FG 的值最小，即此时AF 能取得最小值，
当FG BC ⊥时，点E 与点B 重合，
此时四边形AEGF 是正方形，
∴折痕226662EF =+=
（3）由△CFG 是以FG 为一腰的等腰三角形，可知应分两种情况讨论：
①当FG=FC 时，如图2，过F 作FH ⊥CG 于H ，
则有：AF=FG=FC，CH=DF=GH
设AF=FG=FC=x，则DF=10-x=CH=GH 在Rt△CFH中
∵CF2=CH2+FH2
∴x2=62+（10-x）2
解得：x=34
5
，
∴DF=CH=GH=10-16
5
，
即BG=10-16
5
×2=
18
5
，
②当FG=GC时，则有：AF=FG=GC=x，CH=DF=10-x；∴GH=x-（10-x）=2x-10，
在Rt△FGH中，由勾股定理易得：x2=62+（2x-10）2，化简得：3x2-40x+136=0，
∵△=（-40）2-4×3×136=-32＜0，
∴此方程没有实数根．
综上可知：BG=18
5
．
【点睛】
本题主要考查四边形的综合问题，解题的关键是掌握矩形和翻折变换的性质、正方形的判定与性质、勾股定理、一元二次方程根与系数的关系等知识点，也考查了分类讨论的数学思想．。