【必考题】高一数学上期末第一次模拟试卷附答案

【必考题】高一数学上期末第一次模拟试卷附答案
一、选择题
1．设6log 3a =，lg5b =，14log 7c =，则,,a b c 的大小关系是（ ）
A ．a b c <<
B ．a b c >>
C ．b a c >>
D ．c a b >>
2．已知0.2
633,log 4,log 2a b c ===，则,,a b c 的大小关系为 （ ）
A ．c a b <<
B ．c b a <<
C ．b a c <<
D ．b c a <<
3．在实数的原有运算法则中，补充定义新运算“⊕”如下：当a b ≥时，a b a ⊕=；当
a b <时，2a b b ⊕=，已知函数()()()[]()1222,2f x x x x x =⊕-⊕∈-，则满足
()()13f m f m +≤的实数的取值范围是（ ）
A ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭
B ．1,22⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
C ．12,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦
D ．21,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
4．定义在R 上的偶函数()f x 满足：对任意的1x ，212[0,)()x x x ∈+∞≠，有
2121
()()
0f x f x x x -<-，则（ ）．
A ．(3)(2)(1)f f f <-<
B ．(1)(2)(3)f f f <-<
C ．(2)(1)(3)f f f -<<
D ．(3)(1)(2)f f f <<-
5．若函数*12*log (1),()3,x x x N f x x N
⎧+∈⎪
=⎨⎪∉⎩，则((0))f f =( ) A ．0
B ．-1
C ．
1
3
D ．1
6．设f(x)＝()2,01
,0
x a x x a x x ⎧-≤⎪
⎨++>⎪⎩
若f(0)是f(x)的最小值，则a 的取值范围为( ) A ．[－1，2] B ．[－1，0] C ．[1，2]
D ．[0，2]
7．设函数()f x 的定义域为R ，满足(1) 2 ()f x f x +=，且当(0,1]x ∈时，()(1)f x x x =-.若对任意(,]x m ∈-∞，都有8
()9
f x ≥-，则m 的取值范围是 A ．9,4
⎛⎤-∞ ⎥⎝
⎦
B ．7,3
⎛⎤-∞ ⎥⎝
⎦
C ．5,2
⎛⎤-∞ ⎥⎝
⎦
D ．8,3
⎛⎤-∞ ⎥⎝
⎦
8．已知函数()y f x =是偶函数，(2)y f x =-在[0,2]是单调减函数，则（ ） A ．(1)(2)(0)f f f -<<
B ．(1)(0)(2)f f f -<<
C ．(0)(1)(2)f f f <-<
D ．(2)(1)(0)f f f <-<
9．定义在[]7,7-上的奇函数()f x ，当07x <≤时，()26x
f x x =+-，则不等式
()0f x >的解集为
A ．(]2,7
B ．()
(]2,02,7- C ．()
()2,02,-+∞ D ．[)
(]7,22,7--
10．已知[]x 表示不超过实数x 的最大整数，()[]
g x x =为取整函数，0x 是函数()2
ln f x x x
=-的零点，则()0g x 等于（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
11．函数()()2
12ln 12
f x x x =
-+的图象大致是( ) A ．
B ．
C ．
D ．
12．若不等式210x ax ++≥对于一切10,2x ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
恒成立，则a 的取值范围为( ) A ．0a ≥
B ．2a ≥-
C ．52
a ≥-
D ．3a ≥-
二、填空题
13．若155325a b c ===，则
111
a b c
+-=__________． 14．若函数()(0,1)x
f x a a a =>≠且在[1,2]上的最大值比最小值大2
a
，则a 的值为____________. 15．已知log log log 22a a a
x y
x y +-=，则x y
的值为_________________． 16．已知()|1||1|f x x x =+--，()a
g x x x
=+
，对于任意的m R ∈，总存在0x R ∈，使得()0f x m =或()0g x m =，则实数a 的取值范围是____________.
17．若函数() 1263f x x m x x =-+-+-在2x =时取得最小值，则实数m 的取值范围是______；
18．函数()()()310310x x x f x x -⎧+<⎪
=⎨-+≥⎪⎩
，若函数y m =的图像与函数()y f x =的图像有公共
点，则m 的取值范围是______.
19．若函数()()2
2f x x x a x a =+--在区间[]3,0-上不是单调函数，则实数a 的取值
范围是______.
20．已知函数()232,1
1,1x x f x x ax x ⎧+<=⎨-+≥⎩
，若()()02f f a =，则实数
a =________________. 三、解答题
21．已知函数()2
21f x x ax =-+满足()()2f x f x =-.
(1)求a 的值； (2)若不等式
()24
x x
f m ≥对任意的[)1,x ∈+∞恒成立，求实数m 的取值范围；
(3)若函数()()()
22log log 1g x f x k x =--有4个零点，求实数k 的取值范围. 22．已知()()()22log 2log 2f x x x =-++. (1)求函数()f x 的定义域； (2)求证：()f x 为偶函数；
(3)指出方程()f x x =的实数根个数，并说明理由.
23．已知函数()()()log 1log 1a a f x x x =+--(0a >，1a ≠)，且()31f =. (1)求a 的值，并判定()f x 在定义域内的单调性，请说明理由； (2)对于[]2,6x ∈，()()()log 17a
m
f x x x >--恒成立，求实数m 的取值范围.
24．近年来，中美贸易摩擦不断.特别是美国对我国华为的限制.尽管美国对华为极力封锁，百般刁难并不断加大对各国的施压，拉拢他们抵制华为5G ，然而这并没有让华为却步.华为在2019年不仅净利润创下记录，海外增长同祥强劲.今年，我国华为某一企业为了进一步增加市场竞争力，计划在2020年利用新技术生产某款新手机.通过市场分析，生产此款手机全年需投人固定成本250万，每生产x （千部）手机，需另投入成本()R x 万元，且
210200,040()10000
8019450,40x x x R x x x x ⎧+<<⎪=⎨+-⎪⎩
，由市场调研知，每部手机售价0.8万元，且全年内生产的手机当年能全部销售完.
（Ⅰ）求出2020年的利润()Q x （万元）关于年产量x （千部）的函数关系式（利润=销售
额-成本）；
（Ⅱ）2020年产量x 为多少（千部）时，企业所获利润最大?最大利润是多少?
（说明：当0a >时，函数a
y x x
=+
在
单调递减，在)+∞单调递增） 25．已知函数31
()31
x x
f x m -=⋅+是定义域为R 的奇函数. （1）求证：函数()f x 在R 上是增函数； （2）不等式(
)
2
1
cos sin 32
f x a x --<对任意的x ∈R 恒成立，求实数a 的取值范围. 26．已知2
()12x
f x =
+，()()1g x f x =-. （1）判断函数()g x 的奇偶性； （2）求
10
10
1
1
()()i i f i f i ==-+∑∑的值.
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一、选择题 1．A 解析：A 【解析】 【分析】
构造函数()log 2
x x
f x =，利用单调性比较大小即可. 【详解】
构造函数()21log 1log 212log x
x x f x x
==-=-，则()f x 在()1,+∞上是增函数， 又()6a f =，()10b f =，()14c f =，故a b c <<. 故选A 【点睛】
本题考查实数大小的比较，考查对数函数的单调性，考查构造函数法，属于中档题.
2．B
解析：B 【解析】 【分析】
先比较三个数与零的大小关系，确定三个数的正负，然后将它们与1进行大小比较，得知
1a >，0,1b c <<，再利用换底公式得出b 、c 的大小，从而得出三个数的大小关系．
【详解】
函数3x y =在R 上是增函数，则0.20331a =>=，
函数6log y x =在()0,∞+上是增函数，则666log 1log 4log 6<<，即60log 41<<， 即01b <<，同理可得01c <<，由换底公式得22
393log 2log 2log 4c ===， 且96ln 4ln 4
log 4log 4ln 9ln 6
c b ==<==，即01c b <<<，因此，c b a <<，故选A ． 【点睛】
本题考查比较数的大小，这三个数的结构不一致，这些数的大小比较一般是利用中间值法来比较，一般中间值是0与1，步骤如下：
①首先比较各数与零的大小，确定正负，其中正数比负数大；
②其次利用指数函数或对数函数的单调性，将各数与1进行大小比较，或者找其他中间值来比较，从而最终确定三个数的大小关系．
3．C
解析：C 【解析】
当21x -≤≤时，()1224f x x x =⋅-⨯=-； 当12x <≤时，()2
3
224f x x x x =⋅-⨯=-；
所以()3
4,21
4,12x x f x x x --≤≤⎧=⎨
-<≤⎩
， 易知，()4f x x =-在[]2,1-单调递增，()3
4f x x =-在(]1,2单调递增， 且21x -≤≤时，()max 3f x =-，12x <≤时，()min 3f x =-，
则()f x 在[]22-,
上单调递增， 所以()()13f m f m +≤得：212
23213m m m m
-≤+≤⎧⎪-≤≤⎨⎪+≤⎩
，解得12
23m ≤≤，故选C ．
点睛：新定义的题关键是读懂题意，根据条件，得到()3
4,21
4,12x x f x x x --≤≤⎧=⎨
-<≤⎩
，通过单调性分析，得到()f x 在[]22-,
上单调递增，解不等式()()13f m f m +≤，要符合定义域和单调性的双重要求，则212
23213m m m m -≤+≤⎧⎪
-≤≤⎨⎪+≤⎩，解得答案．
4．A
解析：A 【解析】
由对任意x 1，x 2 ∈ [0，＋∞)(x 1≠x 2)，有
()()1212
f x f x x x -- <0，得f (x )在[0，＋∞)上单独递
减，所以(3)(2)(2)(1)f f f f <=-<，选A.
点睛：利用函数性质比较两个函数值或两个自变量的大小，首先根据函数的性质构造某个函数，然后根据函数的奇偶性转化为单调区间上函数值，最后根据单调性比较大小，要注意转化在定义域内进行
5．B
解析：B 【解析】 【分析】
根据分段函数的解析式代入自变量即可求出函数值. 【详解】
因为0N *∉,所以0
(0)3=1f =，((0))(1)f f f =，
因为1N *∈，所以(1)=1f -，故((0))1f f =-，故选B. 【点睛】
本题主要考查了分段函数，属于中档题.
6．D
解析：D 【解析】 【分析】
由分段函数可得当0x =时，2
(0)f a =，由于(0)f 是()f x 的最小值，则(,0]-∞为减函
数，即有0a ≥，当0x >时，1
()f x x a x
=+
+在1x =时取得最小值2a +，则有22a a ≤+，解不等式可得a 的取值范围.
【详解】
因为当x≤0时，f(x)＝()2
x a -，f(0)是f(x)的最小值， 所以a≥0.当x ＞0时，1
()2f x x a a x
=++≥+，当且仅当x ＝1时取“＝”． 要满足f(0)是f(x)的最小值，
需2
2(0)a f a +>=，即220a a --≤，解得12a -≤≤， 所以a 的取值范围是02a ≤≤， 故选D. 【点睛】
该题考查的是有关分段函数的问题，涉及到的知识点有分段函数的最小值，利用函数的性质，建立不等关系，求出参数的取值范围，属于简单题目.
7．B
解析：B
【解析】 【分析】
本题为选择压轴题，考查函数平移伸缩，恒成立问题，需准确求出函数每一段解析式，分析出临界点位置，精准运算得到解决． 【详解】
(0,1]x ∈时，()=(1)f x x x -，(+1)= ()f x 2f x ，()2(1)f x f x ∴=-，即()f x 右移1
个单位，图像变为原来的2倍．
如图所示：当23x <≤时，()=4(2)=4(2)(3)f x f x x x ---，令84(2)(3)9
x x --=-，整理得：2945560x x -+=，1278
(37)(38)0,,33
x x x x ∴--=∴=
=（舍），(,]x m ∴∈-∞时，8()9f x ≥-成立，即73m ≤，7,3m ⎛
⎤∴∈-∞ ⎥⎝
⎦，故选B ．
【点睛】
易错警示：图像解析式求解过程容易求反，画错示意图，画成向左侧扩大到2倍，导致题目出错，需加深对抽象函数表达式的理解，平时应加强这方面练习，提高抽象概括、数学建模能力．
8．C
解析：C 【解析】 【分析】
先根据()2y f x =-在[]
0,2是单调减函数，转化出()y f x =的一个单调区间，再结合偶
函数关于y 轴对称得[]02，
上的单调性，结合函数图像即可求得答案 【详解】
()2y f x =-在[]0,2是单调减函数，
令2t x =-，则[]20t ，∈-，即()f t 在[]
20-，上是减函数 ()y f x ∴=在[]20-，上是减函数
函数()y f x =是偶函数，
()y f x ∴=在[]02，上是增函数 ()()11f f -=,
则()()()012f f f <-< 故选C 【点睛】
本题是函数奇偶性和单调性的综合应用，先求出函数的单调区间，然后结合奇偶性进行判定大小，较为基础．
9．B
解析：B 【解析】 【分析】
当07x <≤时，()f x 为单调增函数，且(2)0f =，则()0f x >的解集为(]
2,7，再结合()f x 为奇函数，所以不等式()0f x >的解集为(2,0)(2,7]-⋃．
【详解】
当07x <≤时，()26x
f x x =+-，所以()f x 在(0,7]上单调递增，因为
2(2)2260f =+-=，所以当07x <≤时，()0f x >等价于()(2)f x f >，即
27x <≤，
因为()f x 是定义在[7,7]-上的奇函数，所以70x -≤< 时，()f x 在[7,0)-上单调递增，且(2)(2)0f f -=-=，所以()0f x >等价于()(2)f x f >-，即20x -<<，所以不等式()0f x >的解集为(2,0)(2,7]-⋃ 【点睛】
本题考查函数的奇偶性，单调性及不等式的解法，属基础题．应注意奇函数在其对称的区间上单调性相同，偶函数在其对称的区间上单调性相反．
10．B
解析：B 【解析】 【分析】
根据零点存在定理判断023x <<，从而可得结果. 【详解】 因为()2
ln f x x x
=-
在定义域内递增， 且()2ln 210f =-<，()2
3ln 303
f =->， 由零点存在性定理可得023x <<，
根据[]
x 表示不超过实数x 的最大整数可知()02g x =，
故选：B. 【点睛】
本题主要考查零点存在定理的应用，属于简单题.应用零点存在定理解题时，要注意两点：（1）函数是否为单调函数；（2）函数是否连续.
11．A
解析：A 【解析】
函数有意义，则：10,1x x +>∴>-， 由函数的解析式可得：()()2
1002ln 0102
f =
⨯-+=，则选项BD 错误； 且2
11111112ln 1ln ln 4022228
48f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=⨯--⨯-+=-=+> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则选项C 错误； 本题选择A 选项.
点睛：函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、筛选选项．
12．C
解析：C 【解析】 【分析】 【详解】
2
10x ax ++≥对于一切10,
2x ⎛
⎫
∈ ⎪⎝⎭
成立， 则等价为a ⩾21
x x
--对于一切x ∈(0,1 2)成立，
即a ⩾−x −1x 对于一切x ∈(0,1
2)成立， 设y =−x −1x ,则函数在区间(0,1
2
〕上是增函数 ∴−x −
1x <−12−2=52
-， ∴a ⩾52
-
. 故选C.
点睛：函数问题经常会遇见恒成立的问题：
（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；
（2）若()0f x >就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为
min ()0f x >，若()0f x <恒成立，转化为max ()0f x <;
（3）若()()f x g x >恒成立，可转化为min max ()()f x g x >.
二、填空题
13．1【解析】故答案为
解析：1 【解析】
155325a b c ===因为，1553log 25,log 25,log 25a b c ∴===，
252525111
log 15log 5log 3a b c
∴+-=+-25log 251==，故答案为1. 14．或【解析】【分析】【详解】若∴函数在区间上单调递减所以由题意得又故若∴函数在区间上单调递增所以由题意得又故答案：或
解析：
12或32 【解析】 【分析】 【详解】
若01a <<，∴函数()x
f x a =在区间[1,2]上单调递减，所以
2max min (),()f x a f x a ==，由题意得22a a a -=
，又01a <<，故1
2
a =．若1a >，∴函数()x
f x a =在区间[1,2]上单调递增，所以2max min (),()f x a f x a ==，由题意得
22a a a -=
，又1a >，故32
a =． 答案：
12或32
15．【解析】【分析】首先根据对数的运算性质化简可知：即解方程即可【详解】因为且所以即整理得：所以或因为所以所以故答案为：【点睛】本题主要考查对数的运算性质同时考查了学生的计算能力属于中档题
解析：3+【解析】 【分析】
首先根据对数的运算性质化简可知：2
()2
x y xy -=，即2()6()10x x y y -+=，解方程即可.
【详解】 因为log log log 22
a a a
x y
x y +-=，且x y >，
所以2log log ()2
a
a x y xy -=，即2
()2x y xy -=. 整理得：2260x y xy +-=，2()6()10x x
y y
-+=.
26432∆=-=
，所以
3x y =-
3x y =+
因为0x y >>，所以1x
y >.
所以3x y
=+
故答案为：3+【点睛】
本题主要考查对数的运算性质，同时考查了学生的计算能力，属于中档题.
16．【解析】【分析】通过去掉绝对值符号得到分段函数的解析式求出值域然后求解的值域结合已知条件推出的范围即可【详解】由题意对于任意的总存在使得或则与的值域的并集为又结合分段函数的性质可得的值域为当时可知的 解析：(,1]-∞
【解析】 【分析】
通过去掉绝对值符号，得到分段函数的解析式，求出值域，然后求解()a
g x x x
=+的值域，结合已知条件推出a 的范围即可. 【详解】
由题意，对于任意的m R ∈，总存在0x R ∈，使得()0f x m =或()0g x m =，则()f x 与
()g x 的值域的并集为R ，又()2,1112,112,1x f x x x x x x ≥⎧⎪
=+--=-<<⎨⎪-≤-⎩
，
结合分段函数的性质可得，()f x 的值域为[]22-,
， 当0a ≥时，可知()a
g x x x
=+
的值域为(
)
,2,a ⎡-∞-
+∞⎣
，
所以，此时有2≤，解得01a ≤≤， 当0a <时，()a
g x x x
=+
的值域为R ，满足题意， 综上所述，实数a 的范围为(],1-∞. 故答案为：(],1-∞. 【点睛】
本题考查函数恒成立条件的转化，考查转化思想的应用，注意题意的理解是解题的关键，属于基础题.
17．【解析】【分析】根据条件可化为分段函数根据函数的单调性和函数值即可得到解不等式组即可【详解】当时当时且当时且当时且若函数在时取得最小值根据一次函数的单调性和函数值可得解得故实数的取值范围为故答案为： 解析：[)5,+∞
【解析】 【分析】
根据条件可化为分段函数，根据函数的单调性和函数值即可得到()()705050
7027127
m m m m m m ⎧-+≤⎪
-+≤⎪⎪-≥⎪⎨+≥⎪
⎪+≥⎪+≥⎪⎩解不等式
组即可. 【详解】
当1x <时，()()121861927f x x m mx x m m x =-+-+-=+-+， 当12x ≤<时，()()121861725f x x m mx x m m x =-+-+-=+-+， 且()112f m =+，
当23x ≤<时，()()121861725f x x mx m x m m x =-+-+-=-+-， 且()27f =，
当3x ≥时，()()126181927f x x mx m x m m x =-+-+-=--++， 且()32f m =+，
若函数() 1263f x x m x x =-+-+-在2x =时取得最小值，
根据一次函数的单调性和函数值可得()()70
5050
7027127
m m m m m m ⎧-+≤⎪
-+≤⎪⎪-≥⎪⎨+≥⎪
⎪+≥⎪+≥⎪⎩，解得5m ≥，
故实数m 的取值范围为[)5,+∞ 故答案为：[)5,+∞ 【点睛】
本题考查了由分段函数的单调性和最值求参数的取值范围，考查了分类讨论的思想，属于中档题.
18．【解析】【分析】作出函数的图象如下图所示得出函数的值域由图象可得
m 的取值范围【详解】作出函数的图象如下图所示函数的值域为由图象可得要使函数的图像与函数的图像有公共点则m 的取值范围是故答案为：【点睛】 解析：[)()0,11,2⋃
【解析】 【分析】
作出函数()f x 的图象如下图所示，得出函数()f x 的值域，由图象可得m 的取值范围. 【详解】
作出函数()f x 的图象如下图所示，函数()f x 的值域为[)()0,11,2⋃，由图象可得要使函数y m =的图像与函数()y f x =的图像有公共点，则m 的取值范围是[)()0,11,2⋃， 故答案为：[)()0,11,2⋃.
【点睛】
本题考查两函数图象交点问题，关键在于作出分段函数的图象，运用数形结合的思想求得范围，在作图象时，注意是开区间还是闭区间，属于基础题.
19．【解析】【分析】将函数转化为分段函数对参数分类讨论【详解】转化为分段函数：为更好说明问题不妨设：其对称轴为；其对称轴为①当时因为的对称轴显然不在则只需的对称轴位于该区间即解得：满足题意②当时此时函数 解析：()()9,00,3-⋃
【解析】 【分析】
将函数转化为分段函数，对参数a 分类讨论. 【详解】
()()22f x x x a x a =+--，转化为分段函数： ()2222
32,2,x ax a x a f x x ax a x a
⎧-+≥=⎨+-<⎩. 为更好说明问题，不妨设：
()2232h x x ax a =-+，其对称轴为3
a x =
； ()222g x x ax a =+-，其对称轴为x a =-.
①当0a >时，
因为()h x 的对称轴3
a
x =
显然不在[]3,0-，则 只需()g x 的对称轴位于该区间，即()3,0a -∈-， 解得：()0,3a ∈，满足题意. ②当0a =时，
()223,0,0
x x f x x x ⎧≥=⎨<⎩，此时
函数在区间[]3,0-是单调函数，不满足题意. ③当0a <时，
因为()g x 的对称轴x a =-显然不在[]3,0- 只需()h x 的对称轴位于该区间即可，即()3,03
a
∈- 解得：()9,0a ∈-，满足题意. 综上所述：()()9,00,3a ∈-⋃. 故答案为：()()9,00,3-⋃. 【点睛】
本题考查分段函数的单调性，难点在于对参数a 进行分类讨论.
20．2【解析】【分析】利用分段函数分段定义域的解析式直接代入即可求出实数的值【详解】由题意得：所以由解得故答案为：2【点睛】本题考查了由分段函数解析式求复合函数值得问题属于一般难度的题
解析：2 【解析】 【分析】
利用分段函数分段定义域的解析式，直接代入即可求出实数a 的值. 【详解】
由题意得：()0
0323f =+=，()2
3331103f a a =-+=-，
所以由()()01032f
f a a =-=， 解得2a =.
故答案为：2. 【点睛】
本题考查了由分段函数解析式求复合函数值得问题，属于一般难度的题.
三、解答题
21．(1)1；(2)1,4
⎛⎤-∞ ⎥⎝
⎦
；(3)1k >-.
【解析】
【分析】
（1）由题得()f x 的图像关于1x =对称，所以1a =；（2）令2x t =，则原不等式可化为
()2
112m t t ⎛⎫
≤-≥ ⎪⎝⎭
恒成立，再求函数的最值得解；（3）令2log (0)t x t =≥，可得
11t =或21t k =+，分析即得解.
【详解】
(1)∵()()2f x f x =-，∴()f x 的图像关于1x =对称，∴1a =.
(2)令2(2)x
t t =≥，则原不等式可化为()2
112m t t ⎛⎫≤-≥ ⎪⎝⎭
恒成立. ∴2
min 1114
m t ⎛⎫
≤-= ⎪⎝⎭，∴m 的取值范围是1,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.
(3)令2log (0)t x t =≥，
则()y g x =可化为()()()2
2111y t k t k t t k =-+++=---，
由()()110t t k ---=可得1
1t =或21t k =+，
∵()y g x =有4个零点，121=|log |t x =有两个解， ∴221=|log |t k x =+有两个零点，∴10,1k k +>∴>-. 【点睛】
本题主要考查二次函数的对称性的应用，考查不等式的恒成立问题和对数函数的零点问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 22．(1)()2,2-；(2)证明见解析；(3)两个，理由见解析. 【解析】 【分析】
（1）根据对数函数的真数大于0，列出不等式组求出x 的取值范围即可； （2）根据奇偶性的定义即可证明函数()f x 是定义域上的偶函数． （3）将方程()f x x =变形为()2
2
log 4x x -=，即2
42x
x
-=，设()242
x
g x x =--（22x -≤≤），再根据零点存在性定理即可判断. 【详解】 解：（1）
()()()22log 2log 2f x x x =-++
2020x x ->⎧∴⎨+>⎩
，解得22x -<<，即函数()f x 的定义域为()2,2-； （2）证明：∵对定义域()2,2-中的任意x ， 都有()()()()22log 2log 2f x x x f x -=++-=
∴函数()f x 为偶函数；
（3）方程()f x x =有两个实数根， 理由如下：
易知方程()f x x =的根在()2,2-内， 方程()f x x =可同解变形为()2
2log 4x x -=，即2
42x x
-=
设()242x g
x x =--（22x -≤≤）.
当[]2,0x ∈-时，()g x 为增函数，且()()20120g g -⋅=-<， 则在()2,0-内，函数()g x 有唯一零点，方程()f x x =有唯一实根，
又因为偶函数，在()0,2内，函数()g x 也有唯一零点，方程()f x x =有唯一实根， 所以原方程有两个实数根. 【点睛】
本题考查函数的定义域和奇偶性的应用问题，函数的零点，函数方程思想，属于基础题． 23．(1)2a =，单调递减，理由见解析；(2) 07m << 【解析】 【分析】
（1）代入(3)1f =解得a ，可由复合函数单调性得出函数的单调性，也可用定义证明； （2）由对数函数的单调性化简不等式，再由分母为正可直接去分母变为整式不等式，从而转化为求函数的最值． 【详解】
(1)由()3log 4log 2log 21a a a f =-==，所以2a =. 函数()f x 的定义域为()1,+∞，
()()()222
212log 1log 1log log 111x f x x x x x +⎛
⎫=+--==+ ⎪--⎝⎭
. 因为2
11
y x =+
-在()1,+∞上是单调递减， (注:未用定义法证明不扣分)
所以函数()f x 在定义域()1,+∞上为单调递减函数. (2)由(1)可知()()()2
21log log 117x m
f x x x x +=>---，[]2,6x ∈，
所以
()()
10117x m
x x x +>>---. 所以()()()2
201767316m x x x x x <<+-=-++=--+在[]2,6x ∈恒成立.
当[]2,6x ∈时，函数()2
316y x =--+的最小值min 7y =.
所以07m <<. 【点睛】
本题考查对数函数的性质，考查不等式恒成立，解题关键是问题的转化．由对数不等式转化为整式不等式，再转化为求函数最值．
24．（Ⅰ）()210600250,040,10000
9200,40.x x x Q x x x x ⎧-+-<<⎪
∴=⎨--+≥⎪⎩
（Ⅱ）2020年年产量为100（千部）时，企业获得的利润最大，最大利润为9000万元. 【解析】 【分析】
（Ⅰ）根据题意知利润等于销售收入减去可变成本及固定成本，分类讨论即可写出解析式（Ⅱ）利用二次函数求040x <<时函数的最大值，根据对勾函数求40x ≥时函数的最大值，比较即可得函数在定义域上的最大值. 【详解】
（Ⅰ）当040x << 时,
()()
228001020025010600250Q x x x x x x =-+-=-+- ；
当40x ≥时,()100001000080080194502509200Q x x x x x x ⎛⎫
=-+
--=--+ ⎪⎝⎭
. ()210600250,040,
10000
9200,40.x x x Q x x x x ⎧-+-<<⎪
∴=⎨--+≥⎪⎩
（Ⅱ）当040x <<时，()()2
10308750Q x x =--+，
()()max 308750Q x Q ∴==万元；
当40x ≥时，()100009200Q x x x ⎛⎫=-++ ⎪⎝
⎭ ，当且仅当100x =时， ()()max 1009000Q x Q ==万元.
所以，2020年年产量为100（千部）时，企业获得的利润最大，最大利润为9000万元. 【点睛】
本题主要考查了分段函数，函数的最值，函数在实际问题中的应用，属于中档题. 25．（1）证明见解析（2）44a -≤≤ 【解析】 【分析】
（1）先由函数()f x 为奇函数，可得1m =，再利用定义法证明函数的单调性即可； （2）结合函数的性质可将问题转化为2sin sin 30x a x ++≥在R 上恒成立，再利用二次不等式恒成立问题求解即可. 【详解】
解：（1）∵函数31
()31x x
f x m -=⋅+是定义域为R 的奇函数， ()()f x f x ∴-=-31313131x x x x m m ----∴=-⋅+⋅+3131
331
x x x x
m m --∴=+⋅+，()(1)310x a ∴--=，
等式(
)
(1)310x
m --=对于任意的x ∈R 均恒成立，得1m =，
则31
()31
x x f x -=+，
即2
()131
x f x =-
+， 设12,x x 为任意两个实数，且12x x <，
()()()()()
12121
2122332231313131x x x x x x f x f x -⎛
⎫-=---= ⎪++++⎝⎭， 因为12x x <，则1233x x ≤，
所以()()120f x f x -<，即()()12f x f x <， 因此函数()f x 在R 上是增函数; （2）由不等式(
)
2
1
cos sin 32
f x a x --≤
对任意的x ∈R 恒成立， 则()
2
cos sin 3(1)f x a x f --≤.由（1）知，函数()f x 在R 上是增函数，
则2cos sin 31x a x --≤，即2sin sin 30x a x ++≥在R 上恒成立.令sin x t =，
[1,1]t ∈-，则2
22
()33024a a g t t at t ⎛⎫=++=++-≥ ⎪⎝⎭
在[1,1]-上恒成立.
①当12
a
-
>时，即2a <-，可知min ()(1)40g t g a ==+≥，即4a ≥-， 所以42a -≤<-；
②当112a -≤-≤时，即22a -≤≤，可知2min ()3024a a g t g ⎛⎫
=-=-≥ ⎪⎝⎭
.
即a -≤≤22a -≤≤； ③当12
a
-
<-时，即2a >，可知min ()(1)40g t g a =-=-≥，即4a ≤， 所以24a <≤，
综上，当44a -≤≤时，不等式(
)
2
1
cos sin 32
f x a x --≤对任意的x ∈R 恒成立. 【点睛】
本题考查了利用函数奇偶性求函数解析式及定义法证明函数的单调性，重点考查了含参二次不等式恒成立问题，属中档题.
26．（1）()g x 为奇函数；（2）20 【解析】 【分析】
（1）先求得函数()g x 的定义域，然后由()()g x g x -=-证得()g x 为奇函数.
（2）根据()g x 为奇函数，求得()()0g i g i -+=，从而得到()()2f i f i -+=，由此求得所求表达式的值. 【详解】
（1）12()12
x
x
g x -=+，定义域为x ∈R ，当x ∈R 时，x R -∈. 因为11112212()()112212
x
x x x
x x g x g x --+-
---====-++，所以()g x 为奇函数. （2）由（1）得()()0g i g i -+=，于是()()2f i f i -+=.
所以
10101010
1
1
1
1
[()()()10()]2220i i i i f i f f i i i f ====-+====⨯+=-∑∑∑∑
【点睛】
本小题主要考查函数奇偶性的判断，考查利用函数的奇偶性进行计算，属于基础题.。