四川省成都市树德实验中学东区2020年高一数学理月考试卷含解析

四川省成都市树德实验中学东区2020年高一数学理月考试卷含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 一个棱长为2的正方体沿其棱的中点截去部分后所得几何体的三视图
如图(2)示，则该几何体的体积为
A.7
B.
C.
D.
参考答案：
D
略
2. 设点P是⊙C：（x﹣1）2+（y﹣1）2=8上的点，若点P到直线 l：x+y﹣4=0的距离为，则这样的点P共有（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
参考答案：
C
【考点】J9：直线与圆的位置关系．
【分析】由题意画出图形，求出圆心到直线的距离为，结合圆的半径为，数形结合得答案．【解答】解：⊙C：（x﹣1）2+（y﹣1）2=8的圆心坐标为（1，1），半径为．
圆心C（1，1）到直线 l：x+y﹣4=0的距离d=．
如图：
则满足条件的点P有三个，分别是P在A，B，D的位置上．
故选：C．
3. 若集合A＝{0,1,2,3},B={1,2,4},则集合A∪B= ( ）
A．{0,1,2,3,4} B．{1,2,3,4} C．{1,2} D．{0}
参考答案：
A
4. 若一条直线和一个平面内无数条直线垂直，则直线和平面的位置关系是（）A．垂直
B．平行
C．相交
D．平行或相交或垂直或在平面内
参考答案：
D
【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．
【分析】利用直线与平面的位置关系直接求解．
【解答】解：当一条直线和一个平面平行时，这条直线和这个平面内无数条直线垂直；当一条直线和一个平面相交时，这条直线和这个平面内无数条直线垂直；
当一条直线和一个平面垂直时，这条直线和这个平面内无数条直线垂直；
当一条直线在一个平面内时，这条直线和这个平面内无数条直线垂直．
故选：D．
【点评】本题考查直线与平面的位置关系的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意空间中线线、线面、面面间的位置关系的合理运用．
5. 若全集U＝{1,2,3,4,5,6}，M＝{2,3}，N＝{1,4}，则集合{5,6}等于()
A．M∪N B．M∩N
C．(?UM)∪?UN) D．(?UM)∩(?UN)
参考答案：
D
6. 若集合A＝{y|y＝2x，x∈R}，B＝{y|y＝x2，x∈R}，则
A．B．C．D．
参考答案：
A
求解指数函数的值域可得，
求解二次函数的值域可得，
则集合A是集合B的子集，且.
本题选择A选项.
7. 下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（）
A．f（x）=sinx B．f（x）=x2+1 C．f（x）=lnx D．f（x）=cosx
参考答案：
D
【考点】函数奇偶性的性质．
【专题】计算题；函数思想；综合法；函数的性质及应用．
【分析】判断函数的奇偶性与零点，即可得出结论．
【解答】解：对于A，是奇函数；
对于B，是偶函数，不存在零点；
对于C，非奇非偶函数；
对于D，既是偶函数又存在零点．故选：D．
【点评】本题考查函数的奇偶性与零点，考查学生的计算能力，比较基础．
8. 已知函数，若存在实数b，使函数g（x）=f（x）﹣b有两个零点，则实数a的取值范围是（）
A．（0，2）B．（2，+∞）C．（2，4）D．（4，+∞）
参考答案：
C
【考点】函数零点的判定定理．
【分析】由g（x）=f（x）﹣b有两个零点可得f（x）=b有两个零点，即y=f（x）与y=b的图象有两个交点，则函数在定义域内不能是单调函数，结合函数图象可求a的范围．
【解答】解：∵g（x）=f（x）﹣b有两个零点
∴f（x）=b有两个零点，即y=f（x）与y=b的图象有两个交点，
由于y=x2在[0，a）递增，y=2x在[a，+∞）递增，
要使函数f（x）在[0，+∞）不单调，
即有a2＞2a，由g（a）=a2﹣2a，g（2）=g（4）=0，
可得2＜a＜4．即a∈（2，4），
故选C．
【点评】本题考查函数的零点问题，渗透了转化思想，数形结合的数学思想，属于中档题．
9. 设α∈（0，），sinα=，则tanα等于（）
A．B．C．D．2
参考答案：
C
【考点】同角三角函数基本关系的运用．
【专题】计算题；转化思想；综合法；三角函数的求值．
【分析】由条件利用同角三角函数的基本关系，求得要求式子的值．
【解答】解：∵α∈（0，），sinα=，∴cosα==，
则tanα==，
故选：C．
【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系的应用，属于基础题．
10. 已知，函数的图象只可能是（）
参考答案：
B
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知函数在上单调递减，则的单调递增区间是_______________.参考答案：
(0,1)略
12. 已知函数f（x）=（）|x﹣1|+a|x+2|．当a=1时，f（x
）的单调递减区间为；当a=﹣1时，f （x ）的单调递增区间为，f（x）的值域为．
参考答案：
[1，+∞）; [﹣2，1]; [，8].
【考点】复合函数的单调性．
【专题】综合题；函数的性质及应用．
【分析】当a=1时，f（x）=（）|x﹣1|+|x+2|，令u（x）=|x﹣1|+|x+2|=，利用复合函数的单调性判断即可；当a=﹣1时，f（x）=（）|x﹣1|﹣|x+2|令u（x）=|x﹣1|﹣
|x+2|=，根据复合函数的单调性可判断即可．
【解答】解：（1）∵f（x）=（）|x﹣1|+a|x+2|．
∴当a=1时，f（x）=（）|x﹣1|+|x+2|，
令u（x）=|x﹣1|+|x+2|=，
∴u（x）在[1，+∞）单调递增，
根据复合函数的单调性可判断：f（x）的单调递减区间为[1，+∞），
（2）当a=﹣1时，f（x）=（）|x﹣1|﹣|x+2|
令u（x）=|x﹣1|﹣|x+2|=，
u（x）在[﹣2，1]单调递减，
∴根据复合函数的单调性可判断：f（x）的单调递增区间为[﹣2，1]，f（x）的值域为[，8]．
故答案为：[1，+∞）；[﹣2，1]；[，8]．
【点评】本题考查了函数的单调性，复合函数的单调性的判断，属于中档题，关键是去绝对值． 13. 若函数符合条件
，则
__________（写出一个即可）．
参考答案：
易知
，
∴符合条件．
14. 已知
，则f （
）= ．
参考答案：
1
【考点】函数的值．
【专题】计算题；转化思想；综合法；函数的性质及应用． 【分析】由已知条件利用函数的性质和有理数指数幂性质求解．
【解答】解：∵
，
∴f（）=f （2﹣1
）=+3=1．
故答案为：1．
【点评】本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．
15. （5分）已知函数f （x ）=，则f （﹣3）= ．
参考答案：
1
考点： 函数的值． 专题： 计算题．
分析： 根据x 的范围，分别代入本题的表达式，从而求出f （﹣3）=f （0）=f （3）求出即可．
解答： x ＜2时，f （x ）=f （x+3），
∴f（﹣3）=f （0），f （0）=f （3），
x≥2时，f （x ）=
，
∴f（3）==1，
故答案为：1．
点评： 本题考查了分段函数问题，考查了函数求值问题，是一道基础题．
16. 函数
的单调递增区间是
参考答案：
17. 设常数a∈（0，1），已知f （x ）=log a （x 2﹣2x+6）是区间（m ，m+）上的增函数，则最大负整数m 的值为 ．
参考答案：
﹣2
【考点】复合函数的单调性；对数函数的图象与性质． 【专题】转化思想；换元法；函数的性质及应用．
【分析】根据对数函数的单调性结合函数单调性的关系，转化为一元二次函数的性质，进行求解即可．
【解答】解：设t=x 2﹣2x+6，则t=（x ﹣1）2+5＞0，则函数的定义域为（﹣∞，+∞），
∵a∈（0，1）， ∴y=log a t 为增函数，
若f （x ）=log a （x 2
﹣2x+6）是区间（m ，m+）上的增函数， 则等价为t=x 2﹣2x+6是区间（m ，m+）上的减函数， 则m+≤1，
即m≤1﹣=﹣，
∵m是整数，
∴最大的整数m=﹣2，
故答案为：﹣2
【点评】本题主要考查复合函数单调性的应用，利用换元法，转化为一元二次函数是解决本题的关键．
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. （本小题满分12分）
求经过直线与直线的交点，且分别满足下列条件的直线方程：（Ⅰ）与直线平行；
（Ⅱ）与直线垂直．
参考答案：
由得,所以．………2分
19. 已知正项数列{a n}，{b n}满足：对任意正整数n，都有，，成等差数列，，，
成等比数列，且，.
（1）求证：数列是等差数列；
（2）数列{a n}，{b n}的通项公式；
（3）设，如果对任意正整数n，不等式恒成立，求叔叔a的取值范围.
参考答案：
解：（1）证明：由已知，得，①
.②由②得.③
将③代入①得，对任意，，有.即. （2）设数列的公差为，由，.
经计算，得，，∴，，
.
∴.
∴，.
（3）由（2）得.
∴
.
不等式化为.
即.
设，
则对任意正整数恒成立.
当，即时，不满足条件；
当，即时，满足条件；
当，即时，
的对称轴为，关于递减，
因此，只需.解得，∴
.
综上，实数的取值范围为.
20. 已知角α终边上一点P(－4,3)，求的值。

参考答案：
解：∵角α终边上一点P（-4，3），∴r=?op?=,…………（3分）
=
………………（12分）
21. 已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形，正视图是一个底边长为8、高为4的等腰三角形，侧视图是一个底边长为6、高为4的等腰三角形．
(1)求该几何体的体积V；(2)求该几何体的侧面积
参考答案：
（1）（2）
22. 已知数列{a n}的前n项和
（1）若三角形的三边长分别为，求此三角形的面积；
（2）探究数列{a n}中是否存在相邻的三项,同时满足以下两个条件：
①此三项可作为三角形三边的长；②此三项构成的三角形最大角是最小角的2倍．若存在，找出这样的三项；若不存在，说明理由.
参考答案：
（1）（2）见解析
【分析】
(1)数列的前n项和求出，，遂得出三角形三边边长，利用余弦定理求解三角形的面积.(2)假设数列存在相邻的三项满足条件，因为，设三角形三边长分别是n，，，，三个角分别是，，，利用正弦定理，余弦定理，验证此三角形的最大角是最小角的2倍,然后推出结果．
【详解】解：(1)数列的前n项和．
当时，，
当时，，
又时，，所以，
不妨设△ABC三边长为，，，
所以
所以
(2)假设数列存在相邻的三项满足条件，因为，
设三角形三边长分别是n，，，，三个角分别是，，
由正弦定理：，所以
由余弦定理：，
即
化简得：，所以：或舍去
当时，三角形的三边长分别是4，5，6，可以验证此三角形的最大角是最小角的2倍．所以数列中存在相邻的三项4，5，6，满足条件.
【点睛】本题考查数列与三角函数的综合应用，考查转化思想以及计算能力．。