高三数 第一次月考试题 理 新人教A版

高三第一次月考 数学（理）试题
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的。

1.集合{}0,2,A a =,{}
2
1,B a =,若{}0,1,2,4,16A B = ,则a 的值为
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
2．函数，(
)2
lg(31)f x x =++的定义域为
A ．1,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭
B ．1,13⎛⎫- ⎪⎝⎭
C ．11,33⎛⎫- ⎪⎝⎭
D ．1,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭
3．若α是第四象限角，5
tan 12
α=-，则sin α=
A ．
1
5
B ．15-
C ．513
D ．513
- 4．下列有关命题的说法正确的是 A ．命题“若21x =，则1=x ”的否命题为：“若2
1x =，则1x ≠”．
B ．“1x =-”是“2
560x x --=”的必要不充分条件．
C ．命题“x R ∃∈，使得2
10x x ++<”的否定是：“x R ∀∈， 均有2
10x x ++<”．
D ．命题“若x y =，则sin sin x y =”的逆否命题为真命题．
5．函数()2
2f x x ax =-+与2a 1
g(x)x 1
=＋＋在区间[1，2]上都是减函数，则a 的取值范围是
A ．1
(,1]2
-
B ．1,0(0,1)2⎛⎫
-
⋃ ⎪⎝⎭
C ．1,0(0,1]2⎛⎫
-
⋃ ⎪⎝⎭
D ．1,12⎛⎫
- ⎪⎝⎭
6．已知
cos2x
2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝1
5，0<x <π，则tan x 为
A ．－43
B ．－3
4
C ．2
D ．－2
7．已知函数y=f （x ）在（0，2）上是增函数，函数f （x+2）是偶函数，则
A ．)27
()25()1(f f f <<
B ．)25
()1()27(f f f <<
C ．)1()2
5
()27(f f f <<
D ．)2
7()1()25(f f f <<
8．如下图是函数d cx bx x x f +++=23)(的大致图象，则2
2
21x x +等于 A ．
32 B ．34
C ．38
D ．3
16
9．若f （a ）＝（3m －1）a ＋b －2m ，当m ∈[0,1]时f （a ）≤1恒成立，则a ＋b 的最大值为
A ． 13
B ． 2
3
C ． 5
3
D ． 73
10．已知两条直线1l ：y =m 和2l ： y=
8
21
m +（m ＞0），1l 与函数2log y x =的图像从左至
右相交于点A ，B ，2l 与函数2log y x =的图像从左至右相交于C,D ．记线段AC 和BD 在X 轴上的投影长度分别为a ,b ,当m 变化时，b
a
的最小值为[来源%&:中国~*教育#出版网]
A
． B
．C
．D
．二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡的相应位置．
11．若))3((.
2),1(1,
2,2)(2
1f f x x g x e x f x 则⎪⎩⎪⎨⎧≥+<=-的值为 ． 12．已知sin2α=
34,32
π
πα<<，则sinα＋cosα的值为 。

13．正弦曲线y=sinx 与余弦曲线y=cosx 及直线x=0和直线x= π所围成区域的面积
为 。

14．已知函数f （x ）=
2
1x 2ax 2
＋,g （x ）=32a lnx,其中a>0。

若两曲线y=f （x ）,y=g （x ）有公共点，且在该点处的切线相同。

则a 的值为 。

15．设()f x 是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[11]-，
上，0111()201
x x ax f x bx x <+-⎧⎪
=+⎨⎪+⎩≤≤≤，
，，，其中a b ∈R ，
．若1322f f ⎛⎫⎛⎫
= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，则3a b +的值为 ．
x
三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．解
答写在答题卡的制定区域内． 16．（本小题满分12分）已知tan （α＋π4）＝－3，α∈（0，π
2）．
（1）求tan α的值；
（2）求sin （2α－π
3
）的值．
17、（本小题满分12分）
已知命题p ：x 1、x 2是方程x 2
-mx-2=0的两个实根，不等式a 2
-5a-3≥21x x -对任意实
数m∈[-1,1]恒成立；命题q ：不等式ax 2
+2x-1>0有解。

若命题p 是真命题，命题q 为
假命题，求实数a 的取值范围。

18．（本小题满分12分） 某工厂生产一种产品的原材料费为每件40元，若用x 表示该厂生
产这种产品的总件数，则电力与机器保养等费用为每件0．05x 元，又该厂职工工资固定支出12500元。

（1）把每件产品的成本费P （x ）（元）表示成产品件数x 的函数，并求每件产品的最
低成本费；
（2）如果该厂生产的这种产品的数量x 不超过3000件，且产品能全部销售，根据市场
调查：每件产品的销售价Q （x ）与产品件数x 有如下关系：()1700.05Q x x =-，试问生产多少件产品，总利润最高？（总利润=总销售额-总的成本）
19．（本小题满分12分）（1）已知函数y ＝ln （－x 2
＋x －a ）的定义域为（－2,3），求实数
a 的取值范围；
（2）已知函数y ＝ln （－x 2
＋x －a ）在（－2,3）上有意义，求实数a 的取值范围．
20．（本小题满分13分） 已知函数()f x 满足()()1
2
log 1
a a f x x x a -=
--，其中a>0,a≠1．
（1）对于函数()f x ，当x∈（-1,1）时，f （1-m ）+f （1-m 2
）<0,求实数m 的取值集
合； （2）当x∈（-∞,2）时，f
()4x -的值为负数，求a 的取值范围。

21．（本小题满分14分）已知函数()f x =ax
e x =-，其中a ≠0．[来源^:zz#~s&tep ．@com]
（1）若对一切x∈R，()f x ≥1恒成立，求a 的取值集合．
（2）在函数()f x 的图像上取定两点11(,())A x f x ，22(,())B x f x 12()x x <，记直线AB 的斜率为K ，问：是否存在x 0∈（x 1，x 2），使0()f x k '>成立？若存在，求0x 的取值范围；若不存在，请说明理由．
参考答案
一． 选择题：
二、填空题：
11．2 12． 1 14．5
6e 15．－10
三、解答题：
16．（1）由tan （α＋π4）＝－3可得tan α＋1
1－tan α
＝－3．
解得tan α＝2．
（2）由tan α＝2，α∈（0，π2），可得sin α＝255，cos α＝5
5．
因此sin2α＝2sin αcos α＝45，cos2α＝1－2sin 2
α＝－35
，
sin （2α－π3）＝sin2αcos π3－cos2αsin π3＝45×12＋35×32＝4＋33
10
．
17．解：∵1x ，2x 是方程x 2
-mx-2=0的两个实根，∴1x ＋2x =m ，1x 2x =－2，∴｜1x －
2x
m∈[-1,1]，∴｜1x －2x |的最大值等于3。

………… 3分
由题意得到：a 2
-5a-3≥3 ⇒ a≥6，a≤－1；命题p 是真命题时，a≥6，a≤－1 (5)
分。

命题q ：（1）a>1时，ax 2
+2x-1>0显然有解；（2）a=0时，2x-1>0有解；（3）a<0时，
△=4＋4a>0，
⇒－1<a<0………9分；从而命题q 为真命题时：a>－1………10分
∴命题p 是真命题，命题q 为假命题时实数a 的取值范围是 a≤－1………12分
18．解：（Ⅰ）
12500
()400.05P x x x =
++
由基本不等式得()4090P x ≥=
当且仅当12500
0.05x
x =，即500x =时，等号成立 ∴
12500
()400.05P x x x =
++，成本的最小值为90元．
（Ⅱ）设总利润为y 元，则
125001301.0)()(2-+-=-=x x x xP x xQ y 29750)650(1.02+--=x
当650x =时,
max 29750y =
答：生产650件产品时，总利润最高，最高总利润为29750元．
19．解 （1）据题意，不等式－x 2
＋x －a >0的解集为（－2,3），
∴方程－x 2
＋x －a ＝0的两根分别为－2和3． ∴a ＝（－2）×3＝－6．
（2）据题意，不等式－x 2＋x －a >0的解集{x |－x 2
＋x －a >0}⊇（－2,3），
∴方程f （x ）＝－x 2
＋x －a ＝0的两根分别在（－∞，－2]和[3，＋∞）内．
∴⎩⎪⎨⎪
⎧
Δ>0
f －2 ≥0f 3 ≥0
⇒⎩⎪⎨⎪⎧
a <1
4a ≤－6⇒a ≤－6.a ≤－6
．
∴a 的取值范围为a ≤－6．
20．解：设log a x t =，则t
x a =，所以，2
()()1x x
a f x a a a -=
-- 当1a >时，x
a 是增函数，x a -是减函数且2
01
a a >-，所以()f x 是增函数， 同理，当01a <<时，()f x 也是增函数 又2
()()1
x x
a f x a a a --=
--()f x =- 由2
(1)(1)0f m f m -+-<得：2
2
(1)(1)(1)f m f m f m -<--=-
所以2
211111111m m m m -<-<⎧⎪-<-<⎨⎪-<-⎩
，解得：1m <<
（2）因为()f x 是增函数，所以(,2)x ∈-∞时，()4(,(2)4)f x f -∈-∞-，所以
(2)40f -≤
422
222
1(2)4()4411a a a f a a a a a ---=--=---
21
40a a
+=-≤
解得：22a ≤≤1a ≠
21．（Ⅰ）若0a <，则对一切0x >，()f x 1ax
e x =-<，这与题设矛盾，又0a ≠，故0a >．
而()1,ax
f x ae '=-令11()0,ln .f x x a a
'==
得 当11ln x a a <
时，()0,()f x f x '<单调递减；当11
ln x a a
>时，()0,()f x f x '>单调递增，故当11
ln x a a
=时，
()f x 取最小值11111
(ln )ln .f a a a a a
=-
于是对一切,()1x R f x ∈≥恒成立，当且仅当
111
ln 1a a a
-≥． ① 令()ln ,g t t t t =-则()ln .g t t '=-
当01t <<时，()0,()g t g t '>单调递增；当1t >时，()0,()g t g t '<单调递减． 故当1t =时，()g t 取最大值(1)1g =．因此，当且仅当1
1a
=即1a =时，①式成立． 综上所述，a 的取值集合为{}1．
（Ⅱ）由题意知，21
212121()() 1.ax ax f x f x e e k x x x x --==---
令21
21
()(),ax ax ax
e e x
f x k ae x x ϕ-'=-=--则
121()
12121()()1,ax a x x e x e a x x x x ϕ-⎡⎤=----⎣⎦- 212()21221
()()1.ax a x x e x e a x x x x ϕ-⎡⎤=---⎣⎦- 令()1t F t e t =--，则()1t F t e '=-．
当0t <时，()0,()F t F t '<单调递减；当0t >时，()0,()F t F t '>单调递增．
故当0t =，()(0)0,F t F >=即10.t
e t -->
从而21()
21()10a x x e
a x x ---->，12()
12()10,a x x e
a x x ---->又
1210,ax e x x >-2
21
0,ax e x x >- 所以1()0,x ϕ<2()0.x ϕ>
因为函数()y x ϕ=在区间[]12,x x 上的图像是连续不断的一条曲线，所以存在012(,)
x x x ∈使
0()0,x ϕ=2()0,()ax x a e x ϕϕ'=>单调递增，故这样的c 是唯一的，且
21211ln ()ax ax e e c a a x x -=-．故当且仅当21
2211(ln ,)()ax ax e e x x a a x x -∈-时， 0()f x k '>．
综上所述，存在012(,)x x x ∈使0()f x k '>成立．且0x 的取值范围为 21
2211(ln ,)()
ax ax e e x a a x x --．。