高考数学 理科答案

丰台区2015年高三年级第二学期数学统一练习（一）
数 学（理科）参考答案
选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案
A
B
C
C
B
D
C
A
一、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．
9．
2
2
π 10．4，24 11．6
12．(1,0)- 13．3，
1210
5
14．1，6π+ 注：第10，13，14题第一个空填对得3分，第二个空填对得2分．
二、解答题：
15.（本小题共13分） 解：（Ⅰ）2
1
()cos
3sin
cos
2
2
22
x
x
x f x ωωω=+-
21
sin 232cos 1-++=
x x ωω x x ωωcos 21sin 23+=
)6
sin(π
ω+=x ． 因为πω
π
==
2T ，0>ω，所以2=ω．
因为)6
2sin()(π
+=x x f ，R x ∈，
所以1)6
2sin(1≤+
≤-π
x ．
所以函数()f x 的最大值为1，最小值为-1． ……………………8分 （Ⅱ）令226222π
ππ
π
π+
≤+
≤-
k x k )(Z k ∈， 得3
22322π
πππ+≤≤-k x k )(Z k ∈，
所以6
3
π
ππ
π+
≤≤-
k x k )(Z k ∈．
所以函数()f x 的单调递增区间为3
[π
π-k ，]6
π
π+
k )(Z k ∈．……………………13分
A B C
D E
P y
z
x
G P E D C B A
16.（本小题共13分）
解：（Ⅰ）因为33410
11
5q p q =⎧⎪+=⎨
+⎪⎪⎪⎩
所以2
5p =
，25
q =． ……………………4分 （Ⅱ）设“甲、乙选择不同车型”为事件A ，
则121233()554545
P A ⨯+⨯=+=．
答：所以甲、乙选择不同车型的概率是35
． ……………………7分
（Ⅲ）X 可能取值为7，8，9，10．
111(7)5420P X ==⨯=
， 13211
(8)54544P X ==⨯+⨯=， 21232(9)54545P X ==⨯+⨯=； 233
(10)5410
P X ==⨯=．
所以X 的分布列为：
X 7
8
9
10
P
201
14 25 310
……………………13分
17.（本小题共14分）
解：（Ⅰ）设PA 中点为G ，连结EG ，DG ．
因为PA //BE ，且4PA =，2BE =，
所以BE //AG 且BE AG =，
所以四边形BEGA 为平行四边形． 所以EG //AB ，且EG AB =．
因为正方形ABCD ，所以CD //AB ，CD AB =，
所以EG //CD ，且EG CD =． 所以四边形CDGE 为平行四边形． 所以CE //DG ． 因为DG ⊂平面PAD ，CE ⊄平面PAD ，
所以CE //平面PAD ． ……………………4分 （Ⅱ）如图建立空间坐标系，则(4,0,0)B ，(4,4,0)C ，
(4,0,2)E ，(0,0,4)P ，(0,4,0)D ， 所以(4,4,4)PC =-u u u r ，(4,0,2)PE =-u u u r
， (0,4,4)PD =-u u u r
．
设平面PCE 的一个法向量为(,,)m x y z =u r
，
所以00
200m PC x y z x z m PE ⎧⋅=+-=⎧⎪⇒⎨⎨-=⋅=⎩
⎪⎩u r u u u r u r u u u r
． 令1x =，则1
12x y z =⎧⎪
=⎨⎪=⎩
，所以(1,1,2)m =u r ．
设PD 与平面PCE 所成角为α，
则43
sin cos ,6642
m PD
m PD PD m
α⋅-=<>==
=⨯u r u u u r
u r u u u r u u u r u r ． 所以PD 与平面PCE 所成角的正弦值是
3
6
． ……………………9分 （Ⅲ）依题意，可设(,0,0)F a ，则(4,0,2)FE a =-u u u r ，(4,4,2)DE =-u u u r
．
设平面DEF 的一个法向量为(,,)n x y z =r
，
则0220
(4)200n DE x y z a x z n FE ⎧⋅=-+=⎧⎪⇒⎨⎨-+=⋅=⎩
⎪⎩r u u u r r u u u r
． 令2x =，则224
x a y z a =⎧⎪⎪
=⎨⎪=-⎪⎩，
所以)4,2,2(-=a a
n ．
因为平面DEF ⊥平面PCE ， 所以0m n ⋅=u r r ，即08222=-++a a
，
所以4512
<=a ， 点12(,0,0)5F ．
所以
3
5
AF AB =． ……………………14分
18.（本小题共13分）
解：（Ⅰ）当2a =时，()2x f x e x =-，(0)1f =，
所以()2x f x e '=-．
A
B
C D E
P
y
z x
F
因为0(0)21f e '=-=-，即切线的斜率为1-，
所以切线方程为1(0)y x -=--，即 10x y +-=． ……………………4分 （Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知()2x f x e '=-．
令()0f x '=，则0ln 2x =．
当(,ln 2)x ∈-∞时，0)('<x f ，()f x 在(,ln 2)-∞上单调递减， 当(ln 2,)x ∈+∞时，0)('>x f ，()f x 在(ln 2,)+∞上单调递增， 所以当ln 2x =时，函数最小值是ln 2(ln 2)2ln 222ln 20f e =-=->．
命题得证． ……………………8分 （Ⅲ）因为()x f x e ax =-，所以()x f x e a '=-．
令()0f x '=，则ln 0x a =>．
当1a >时，设()ln M a a a =-，因为11()10a M a a a
-'=-=>， 所以()ln M a a a =-在(1,)+∞上单调递增，且(1)1ln11M =-=，
所以()ln 0M a a a =->在(1,)+∞恒成立，即ln a a >． 所以当(0,ln )x a ∈，()0f x '<，()f x 在(0,ln )a 上单调递减；
当(ln ,)x a a ∈，()0f x '>，()f x 在(ln ,)a a 上单调递增． 所以()f x 在[0,]a 上的最大值等于{(0),()}max f f a ， 因为0(0)01f e a =-⋅=，2()a f a e a =-， 不妨设2()()(0)1a h a f a f e a =-=--(1a >)， 所以()2a h a e a '=-．
由（Ⅱ）知()20a h a e a '=->在(1,)+∞恒成立，
所以2()()(0)1a h a f a f e a =-=--在(1,)+∞上单调递增． 又因为12(1)1120h e e =--=->，
所以2()()(0)10a h a f a f e a =-=-->在(1,)+∞恒成立，即()(0)f a f >．
所以当1a >时，()f x 在[0,]a 上的最大值为2()a f a e a =-． ……………………13分
19.（本小题共14分）
解：（Ⅰ）抛物线2
8y x =，
所以焦点坐标为(2,0)，即(2,0)A ， 所以2a =． 又因为3
2
c e a =
=，所以3c =． 所以2
2
2
1b a c =-=，
所以椭圆C 的方程为2
214
x y +=． ……………………4分 （Ⅱ）设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，因为AM AP AQ =+u u u u r u u u r u u u r
，(2,0)A ，
所以11(2,)AP x y =-u u u r
，22(2,)AQ x y =-u u u r ，
所以1212(4,+)AM AP AQ x x y y =+=+-u u u u r u u u r u u u r
，
所以()12122,M x x y y +-+．
由22
14(1)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，得2222(41)8440k x k x k +-+-=（判别式0∆>）， 得2122282224141k x x k k -+-=-=++，1212
22(2)4+1
k
y y k x x k -+=+-=， 即22
22(
,)4141
k M k k --++． 设3(0,)N y ， 则MN 中点坐标为3221(,)41412
y k
k k --+++，
因为M ，N 关于直线l 对称，
所以MN 的中点在直线l 上，
所以32
21
(1)41241
k y k k k --+=-++，解得32y k =-，即(0,2)N k -． 由于M ，N 关于直线l 对称，所以M ，N 所在直线与直线l 垂直，
所以 222(2)4112041
k
k k k k ---+⋅=---+，解得2
2
k =±． ……………………14分
20.（本小题共13分）
解：（Ⅰ）数列M 不是“Ω”数列；数列N 是“Ω”数列． ……………………2分
（Ⅱ）不存在一个等差数列是“Ω”数列． 证明：假设存在等差数列是“Ω”数列，
则由121m a a a +++=L 得12
m a a Z m
+=
∉，与i a Z ∈矛盾， 所以假设不成立，即不存在等差数列为“Ω”数列． ……………………7分
（Ⅲ）将数列A 按以下方法重新排列：
设n S 为重新排列后所得数列的前n 项和（n Z ∈且1n m ≤≤），
任取大于0的一项作为第一项，则满足1122
m m
S -
+≤≤， 假设当2,n m n N ≤≤∈时，1122
n m m
S --+≤≤
若10n S -=，则任取大于0的一项作为第n 项，可以保证122
n m m
S -+≤≤，
若10n S -≠，则剩下的项必有0或与1n S -异号的一项，否则总和不是1， 所以取0或与1n S -异号的一项作为第n 项，可以保证122
n m m S -+≤≤． 如果按上述排列后存在0n S =成立，那么命题得证； 否则1S ，2S ，…，m S 这m 个整数只能取值区间[1,]22
m m
-+内的非0整数， 因为区间[1,]22
m m
-
+内的非0整数至多m -1个，所以必存在i j S S =(1)i j m ≤<≤， 那么从第1i +项到第j 项之和为0i j S S -=，命题得证．
综上所述，数列A 中必存在若干项之和为0． ……………………13分
（若用其他方法解题，请酌情给分）。