【解析版】数学高一下期末经典练习卷(培优)

一、选择题
1．(0分)[ID ：12728]△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c.已知5a =
，
2c =，2
cos 3
A =
，则b= A ．2
B ．3
C ．2
D ．3
2．(0分)[ID ：12727]设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和,若1353a a a ++=,则5S = A ．5
B ．7
C ．9
D ．11
3．(0分)[ID ：12714]在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间没有发生在规模群体感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”.根据过去10天甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据，一定符合该标志的是 A ．甲地：总体均值为3，中位数为4 B ．乙地：总体均值为1，总体方差大于0 C ．丙地：中位数为2，众数为3
D ．丁地：总体均值为2，总体方差为3
4．(0分)[ID ：12703]已知ABC ∆是边长为4的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则
•()PA PB PC +的最小值是（）
A ．6-
B ．3-
C ．4-
D ．2-
5．(0分)[ID ：12698]如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表
面积为（ ）
A ．20π
B ．24π
C ．28π
D ．32π
6．(0分)[ID ：12687]C ∆AB 是边长为2的等边三角形，已知向量a ，b 满足2a AB =，
C 2a b A =+，则下列结论正确的是（ ）
A ．1b =
B ．a b ⊥
C ．1a b ⋅=
D ．()
4C a b +⊥B
7．(0分)[ID ：12686]我国古代数学名著《九章算术》对立体几何也有深入的研究，从其中的一些数学用语可见，譬如“堑堵”意指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱，“阳马”指底面为矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥．现有一如图所示的“堑堵”即三棱柱111ABC A B C -，其中AC BC ⊥，若11AA AB ==，当“阳马”即四棱锥
11B A ACC -体积最大时，“堑堵”即三棱柱111ABC A B C -的表面积为
A ．21+
B ．31+
C ．
223
2
+ D ．
33
2
+ 8．(0分)[ID ：12685]已知()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数，满足
(1)(1)f x =f +x -，若(1)2f =，则(1)(2)f +f (3)(2020)f f ++
+=（ ）
A ．50
B ．2
C ．0
D ．50-
9．(0分)[ID ：12659]定义在R 上的奇函数()f x 满足()()2f x f x +=-，且当[]
0,1x ∈时，()2cos x
f x x =-，则下列结论正确的是（ ）
A ．()20202019201832f f f ⎛⎫⎛⎫
<<
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
B ．()20202019201832f f f ⎛⎫⎛⎫
<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
C ．()20192020201823f f f ⎛⎫⎛⎫
<<
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
D ．()20192020201823f f f ⎛⎫⎛⎫<<
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
10．(0分)[ID ：12656]某学校为了解1 000名新生的身体素质，将这些学生编号为1，2，…，1 000，从这些新生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验，若46号学生被抽到，则下面4名学生中被抽到的是 A ．8号学生
B ．200号学生
C ．616号学生
D ．815号学生
11．(0分)[ID ：12655]如图，已知三棱柱111ABC A B C -的各条棱长都相等，且1CC ⊥底面ABC ，M 是侧棱1CC 的中点，则异面直线1AB 和BM 所成的角为( )
A ．
2
π
B ．
C ．
D ．
3
π 12．(0分)[ID ：12654]已知二项式2(*)n
x n N x ⎛
∈ ⎝
的展开式中第2项与第3项的二
项式系数之比是2︰5，则3x 的系数为（ ） A ．14
B ．14-
C ．240
D ．240-
13．(0分)[ID ：12649]若tan()24
π
α+=，则
sin cos sin cos αα
αα
-=+（ ）
A ．
12
B ．2
C ．2-
D ．12
-
14．(0分)[ID ：12643]已知0.6log 0.5a =，ln0.5b =，0.50.6c =，则（ ） A ．a c b >>
B ．a b c >>
C ．c a b >>
D ．c b a >>
15．(0分)[ID ：12638]在ABC ∆中，根据下列条件解三角形，其中有一解的是（ ） A ．7a =，3b =，30B = B ．6b =，52c =，45B = C ．10a =，15b =，120A = D ．6b =，63c =，60C =
二、填空题
16．(0分)[ID ：12828]已知数列{}n a 前n 项和为n S ，若22n
n n S a =-，则
n S =__________．
17．(0分)[ID ：12824]在区间[﹣2，4]上随机地取一个数x ，若x 满足|x|≤m 的概率为，则m= _________ ．
18．(0分)[ID ：12815](
)sin1013tan 70+=_____
19．(0分)[ID ：12795]已知2a b ==，()()22a b a b +⋅-=-，则a 与b 的夹角
为 .
20．(0分)[ID ：12783]函数()2
sin sin 3f x x x =+-的最小值为________.
21．(0分)[ID ：12781]已知数列{}n a 满足1121,2n n a a a n +==+，则n
a n
的最小值为_______.
22．(0分)[ID ：12755]已知点()M a b ，在直线3415x y +＝
22a b +_______．
23．(0分)[ID ：12730]若1tan 46
πα⎛
⎫
-
= ⎪⎝
⎭,则tan α=____________. 24．(0分)[ID ：12766]函数()sin f x x ω=（0>ω）的图像与其对称轴在y 轴右侧的交点从左到右依次记为1A ，2A ，3A ，⋅⋅⋅，n A ，⋅⋅⋅，在点列{}n A 中存在三个不同的点
k A 、l A 、p A ，使得△k l p A A A 是等腰直角三角形，将满足上述条件的ω值从小到大组成
的数记为n ω，则6ω=________.
25．(0分)[ID ：12785]等边ABC ∆的边长为2，则AB 在BC 方向上的投影为________．
三、解答题
26．(0分)[ID ：12916]在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边a ，b ，c ，且a c >，已知
2BA BC ⋅=，1
cos 3
B =，3b =，求：
（1）a 和c 的值； （2）cos()B C -的值.
27．(0分)[ID ：12901]已知x 满足√3≤3x ≤9 (1)求x 的取值范围；
(2)求函数y =(log 2x −1)(log 2x +3)的值域．
28．(0分)[ID ：12869]已知数列{}n a 是等比数列，24a =，32a +是2a 和4a 的等差中项. （1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）设22log 1n n b a =-，求数列{}n n a b 的前n 项和n T .
29．(0分)[ID ：12857]如图所示，为美化环境，拟在四边形ABCD 空地上修建两条道路
EA 和ED ，将四边形分成三个区域，种植不同品种的花草，其中点E 在边BC 的三等分
点处（靠近B 点），3BC =百米，BC CD ⊥，120ABC ∠=，21EA =
百米，
60AED ∠=.
（1）求ABE △区域的面积；
（2）为便于花草种植，现拟过C 点铺设一条水管CH 至道路ED 上，求水管CH 最短时的长．
30．(0分)[ID ：12854]已知函数()f x =πsin (0,0)6A x A ωω⎛⎫
+>> ⎪⎝
⎭
的部分图象如图所示．
(1)求,A ω的值; (2)求()f x 的单调增区间; (3)求()f x 在区间ππ,64⎡⎤
-
⎢⎥⎣⎦
上的最大值和最小值．
【参考答案】
2016-2017年度第*次考试试卷参考答案
**科目模拟测试
一、选择题
1．D
2．A
3．D
4．A
5．C
6．D
7．C
8．C
9．C
10．C
11．A
12．C
13．D
14．A
15．D
二、填空题
16．【解析】分析：令得当时由此推导出数列是首项为1公差为的等差数列从而得到从而得到详解：令得解得当时由）得两式相减得整理得且∴数列是首项为1公差为的等差数列
可得所以点睛：本题考查数列的通项公式的求法是中
17．3【解析】【分析】【详解】如图区间长度是6区间﹣24上随机地取一个数x若x满足|x|≤m的概率为若m对于3概率大于若m小于3概率小于所以m=3故答案为3
18．【解析】【分析】将写成切化弦后利用两角和差余弦公式可将原式化为利用二倍角公式可变为由可化简求得结果【详解】本题正确结果：【点睛】本题考查利用三角恒等变换公式进行化简求值的问题涉及到两角和差余弦公式二
19．【解析】【分析】【详解】根据已知条件去括号得：
20．【解析】【分析】利用换元法令然后利用配方法求其最小值【详解】令则当时函数有最小值故答案为【点睛】求与三角函数有关的最值常用方法有以下几种：①化成的形式利用配方法求最值；②形如的可化为的形式性求最值；
21．【解析】【分析】根据递推公式和累加法可求得数列的通项公式代入中由数列中的性质结合数列的单调性即可求得最小值【详解】因为所以从而…累加可得而所以则因为在递减在递增当时当时所以时取得最小值最小值为故答案
22．3【解析】【分析】由题意可知表示点到点的距离再由点到直线距离公式即可得出结果【详解】可以理解为点到点的距离又∵点在直线上∴的最小值等于点到直线的距离且【点睛】本题主要考查点到直线的距离公式的应用属于
23．【解析】故答案为
24．【解析】【分析】由可求得的横坐标进而得到的坐标；由正弦函数周期特点可知只需分析以为顶点的三角形为等腰直角三角形即可由垂直关系可得平面向量数量积为零进而求得的通项公式代入即可得到结果【详解】由得：……
25．【解析】【分析】建立直角坐标系结合向量的坐标运算求解在方向上的投影即可【详解】建立如图所示的平面直角坐标系由题意可知：则：且据此可知在方向上的投影为【点睛】本题主要考查平面向量数量积的坐标运算向量投
三、解答题
26．
27．
28．
29．
30．
2016-2017年度第*次考试试卷 参考解析
【参考解析】
**科目模拟测试
一、选择题 1．D 解析：D 【解析】 【分析】 【详解】 由余弦定理得，
解得（
舍去），故选D.
【考点】 余弦定理 【名师点睛】
本题属于基础题,考查内容单一,根据余弦定理整理出关于b 的一元二次方程,再通过解方程求b.运算失误是基础题失分的主要原因,请考生切记！
2．A
解析：A 【解析】
1353333,1a a a a a ++===，5153355
()25522
S a a a a =
+=⨯==，选A. 3．D
解析：D 【解析】
试题分析：由于甲地总体均值为，中位数为，即中间两个数（第
天）人数的平均数
为，因此后面的人数可以大于，故甲地不符合.乙地中总体均值为，因此这天的感
染人数总数为
，又由于方差大于，故这
天中不可能每天都是，可以有一天大于
，故乙地不符合，丙地中中位数为，众数为，出现的最多，并且可以出现，故丙
地不符合，故丁地符合.
考点：众数、中位数、平均数、方差
4．A
解析：A 【解析】 【分析】
建立平面直角坐标系，表示出点的坐标，利用向量坐标运算和平面向量的数量积的运算，求得最小值，即可求解. 【详解】
由题意，以BC 中点为坐标原点，建立如图所示的坐标系， 则(0,23),(2,0),(2,0)A B C -，
设(,)P x y ，则(,23),(2,),(2,)PA x y PB x y PC x y =--=---=--， 所以22()(2)(23)(2)2432PA PB PC x x y y x y y •+=-⋅-+-⋅-=-+
222[(3)3]x y =+--，
所以当0,3x y ==时，()PA PB PC •+取得最小值为2(3)6⨯-=-， 故选A.
【点睛】
本题主要考查了平面向量数量积的应用问题，根据条件建立坐标系，利用坐标法是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
5．C
解析：C 【解析】
试题分析：由三视图分析可知，该几何体的表面积为圆锥的表面积与圆柱的侧面积之和．
，
，所以几何体的表面积为
．
考点：三视图与表面积．
6．D
解析：D 【解析】 试题分析：
2,2AB a AC a b ==+,AC AB b ∴=+,b AC AB BC ∴=-=．
由题意知12,cos1201212b a b a b ⎛⎫
=⋅=⋅=⨯⨯-
=- ⎪⎝⎭
． ()()
2
422a b BC AB BC BC AB BC BC
∴+⋅=+⋅=⋅+212cos1202222402AB BC ⎛⎫
=⋅+=⨯⨯⨯-+= ⎪⎝⎭
．()
4a b BC ∴+⊥．故D 正确．
考点：1向量的加减法；2向量的数量积；3向量垂直．
7．C
解析：C 【解析】
分析：由四棱锥11B A ACC -的体积是三棱柱体积的
2
3
，知只要三棱柱体积最大，则四棱锥体积也最大，求出三棱柱的体积后用基本不等式求得最大值，及取得最大值时的条件，再求表面积．
详解：四棱锥11B A ACC -的体积是三棱柱体积的
23
，11111122ABC A B C V AC BC AA AC BC -=⋅⋅=⋅222111
()444AC BC AB ≤+==，当且仅当
AC BC ==
时，取等号．
∴121)12S =⨯+++⨯=
故选C ．
点睛：本题考查棱柱与棱锥的体积，考查用基本不等式求最值．解题关键是表示出三棱柱的体积．
8．C
解析：C 【解析】 【分析】
利用()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数可得：()()f x f x -=-且()00f =，结合
(1)(1)f x =f +x -可得：函数()f x 的周期为4；再利用赋值法可求得：()20f =，
()32f =-，()40f =，问题得解.
【详解】
因为()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数， 所以()()f x f x -=-且()00f = 又(1)(1)f x =f +x -
所以()()()()()21111f x f x f x f x f x ⎡⎤⎡⎤+=++=-+=-=-⎣⎦⎣⎦
所以()()()()()4222f x f x f x f x f x ⎡⎤⎡⎤+=++=-+=--=⎣⎦⎣⎦ 所以函数()f x 的周期为4，
在(1)(1)f x =f +x -中，令1x =，可得：()()200f f ==
在(1)(1)f x =f +x -中，令2x =，可得：()()()3112f f f =-=-=- 在(1)(1)f x =f +x -中，令3x =，可得：()()()4220f f f =-=-= 所以(1)(2)f +f ()()()()2020
(3)(2020)12344
f f f f f f ⎡⎤++
+=
⨯+++⎣⎦ 50500=⨯=
故选C 【点睛】
本题主要考查了奇函数的性质及函数的周期性应用，还考查了赋值法及计算能力、分析能力，属于中档题．
9．C
解析：C 【解析】 【分析】
根据f （x ）是奇函数，以及f （x+2）=f （-x ）即可得出f （x+4）=f （x ），即得出f （x ）的周期为4，从而可得出f （2018）=f （0），2019122f f ⎛⎫⎛⎫
=
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，20207312f f ⎛⎫⎛⎫
= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
然后可根据f （x ）在[0，1]上的解析式可判断f （x ）在[0，1]上单调递增，从而可得出结果. 【详解】
∵f（x ）是奇函数；∴f（x+2）=f （-x ）=-f （x ）；∴f（x+4）=-f （x+2）=f （x ）； ∴f（x ）的周期为4；∴f（2018）=f （2+4×504）=f （2）=f （0），
2019122f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,20207 312f f ⎛⎫⎛⎫
= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
∵x∈[0，1]时，f （x ）=2x -cosx 单调递增；∴f(0)＜12f ⎛⎫
⎪⎝⎭ ＜712f ⎛⎫ ⎪⎝⎭ ∴()20192020201823f f f ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
,故选C. 【点睛】
本题考查奇函数，周期函数的定义，指数函数和余弦函数的单调性，以及增函数的定义，属于中档题.
10．C
解析：C 【解析】 【分析】
等差数列的性质．渗透了数据分析素养．使用统计思想，逐个选项判断得出答案．
【详解】
详解：由已知将1000名学生分成100个组，每组10名学生，用系统抽样，46号学生被抽到，
所以第一组抽到6号，且每组抽到的学生号构成等差数列{}n a ，公差10d =， 所以610n a n
=+()n *∈N ，
若8610n =+，则1
5
n =
，不合题意；若200610n =+，则19.4n =，不合题意； 若616610n =+，则61n =，符合题意；若815610n =+，则80.9n =，不合题意．故选C ． 【点睛】
本题主要考查系统抽样.
11．A
解析：A 【解析】 【分析】
由题意设棱长为a ，补正三棱柱ABC-A 2B 2C 2，构造直角三角形A 2BM ，解直角三角形求出BM ，利用勾股定理求出A 2M ，从而求解． 【详解】
设棱长为a ，补正三棱柱ABC-A 2B 2C 2（如图）．
平移AB 1至A 2B ，连接A 2M ，∠MBA 2即为AB 1与BM 所成的角， 在△A 2BM 中，2225
2()2a A B a BM a =
=+=，，
2
22313()2a A M a =+=，222
222
,2A B BM A M MBA π∴+=∴∠=， ． 故选A ． 【点睛】
本题主要考查了异面直线及其所成的角和勾股定理的应用，计算比较复杂，要仔细的做．
12．C
解析：C 【解析】 【分析】
由二项展开式的通项公式为(
)12r
n r
r
r n T C x -+⎛= ⎝
及展开式中第2项与第3项的二项
式系数之比是2︰5可得：6n =，令展开式通项中x 的指数为3，即可求得2r ，问题
得解． 【详解】
二项展开式的第1r +项的通项公式为(
)
12r
n r
r
r n T C x -+⎛= ⎝
由展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是2︰5，可得：1
2
:2:5n n C C =. 解得：6n =. 所以(
)
()3662
16221r
r n r
r r
r r r n
T C x C x
---+⎛==- ⎝
令3
632
r -
=，解得：2r ，
所以3x 的系数为()2
262
621240C --=
故选C 【点睛】
本题主要考查了二项式定理及其展开式，考查了方程思想及计算能力，还考查了分析能力，属于中档题．
13．D
解析：D 【解析】 由tan()24
π
α+
=有
tan 11
2,tan 1tan 3
ααα+==-，所以
1
1
sin cos tan 11
31sin cos tan 12
13
αααααα---===-+++，选D.
点睛：本题主要考查两角和的正切公式以及同角三角函数的基本关系式，属于中档题。

14．A
解析：A 【解析】
由0.5
0.6log 0.51,ln 0.50,00.61><<<，所以1,0,01a b c ><<<，
所以a c b >>，故选A .
15．D
解析：D 【解析】 【分析】
根据三角形解的个数的判断条件得出各选项中对应的ABC ∆解的个数，于此可得出正确选项. 【详解】
对于A 选项，17
sin 722
a B =⨯
=，sin a B b ∴>，此时，ABC ∆无解；
对于B 选项，sin 5c B ==，sin c B b c ∴<<，此时，ABC ∆有两解； 对于C 选项，120A =，则A 为最大角，由于a b <，此时，ABC ∆无解； 对于D 选项，60C =，且c b >，此时，ABC ∆有且只有一解.故选D.
【点睛】
本题考查三角形解的个数的判断，解题时要熟悉三角形个数的判断条件，考查推理能力，属于中等题.
二、填空题
16．【解析】分析：令得当时由此推导出数列是首项为1公差为的等差数列从而得到从而得到详解：令得解得当时由）得两式相减得整理得且∴数列是首项为1公差为的等差数列可得所以点睛：本题考查数列的通项公式的求法是中
解析：*
2()n n S n n N =∈
【解析】
分析：令1n =，得12a =，当2n ≥ 时，1
1122n n n S a ---=-，由此推导出数列{}2n n
a 是首项为1公差为
12
的等差数列，从而得到()1
12n n a n -+＝，从而得到n S . 详解：令1n =，得1
1122a a =-，解得12a = ，
当2n ≥ 时，
由22n n n S a =-），得1
1122n n n S a ---=-，
两式相减得(
)()
111
22
22,n
n n n n n n a S S a a
---=-=--- 整理得
111222n n n n a a ---=，且1
1
1,2a = ∴数列{}2n n a
是首项为1公差为12 的等差数列， ()111,22
n n a n ∴
=+- 可得()1
12,n n
a n -=+ 所以()1
2221222.n
n n n
n n S a n n -⎡⎤=-=+-=⋅⎣⎦
点睛：本题考查数列的通项公式的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意构造法的合
理运用．
17．3【解析】【分析】【详解】如图区间长度是6区间﹣24上随机地取一个数x 若x 满足|x|≤m 的概率为若m 对于3概率大于若m 小于3概率小于所以m=3故答案为3
解析：3 【解析】 【分析】 【详解】
如图区间长度是6，区间[﹣2，4]上随机地取一个数x ，若x 满足|x|≤m 的概率为，若m 对于3概率大于，若m 小于3，概率小于，所以m=3． 故答案为3．
18．【解析】【分析】将写成切化弦后利用两角
和差余弦公式可将原式化为利用二倍角公式可变为由可化简求得结果【详解】本题正确结果：【点睛】本题考查利用三角恒等变换公式进行化简求值的问题涉及到两角和差余弦公式二 解析：1
【解析】 【分析】
将3写成tan 60，切化弦后，利用两角和差余弦公式可将原式化为sin10cos10
cos 60cos 70
，利
用二倍角公式可变为1sin 20
2cos 60cos 70
⋅
，由sin 20cos70=可化简求得结果. 【详解】
()
()
cos 60cos 7060sin 70
sin1013tan70sin101tan 60tan70sin1s 0co i s 60o 7n c s 0
+=++⋅
=(
)cos 7060sin10cos10
1sin 201sin101cos60cos70
cos60cos702cos60cos702cos60
-=⋅
==⋅==
本题正确结果：1 【点睛】
本题考查利用三角恒等变换公式进行化简求值的问题，涉及到两角和差余弦公式、二倍角公式的应用.
19．【解析】【分析】【详解】根据已知条件去括号得： 解析：60︒
【解析】 【分析】 【详解】
根据已知条件(2)()2a b a b +⋅-=-，去括号得：
2
2
2422cos 242a a b b θ+⋅-=+⨯⨯-⨯=-，1
cos ,602
θθ︒⇒==
20．【解析】【分析】利用换元法令然后利用配方法求其最小值【详解】令则当时函数有最小值故答案为【点睛】求与三角函数有关的最值常用方法有以下几种：①化成的形式利用配方法求最值；②形如的可化为的形式性求最值； 解析：134
-
【解析】 【分析】
利用换元法，令sin x t =，[]
1,1t ∈-，然后利用配方法求其最小值． 【详解】
令sin x t =，[]
1,1t ∈-，则2
113324
y t t t ⎛⎫=+-=+- ⎪⎝⎭， 当12
t =-
时，函数有最小值134-，故答案为13
4-.
【点睛】
求与三角函数有关的最值常用方法有以下几种：①化成2
sin sin y a x b x c =++的形式利用配方法求最值；②形如sin sin a x b
y c x d
+=
+的可化为sin ()x y φ=的形式性求最值；③
sin cos y a x b x =+型，可化为)y x φ=+求最值；④形如
()sin cos sin cos y a x x b x x c =±++可设sin cos ,x t ±=换元后利用配方法求最值. 21．【解析】【分析】根据递推公式和累加法可求得数列的通项公式代入中由数列中的性质结合数列的单调性即可求得最小值【详解】因为所以从而…累加可得而所以则因为在递减在递增当时当时所以时取得最小值最小值为故答案
解析：
415
. 【解析】 【分析】
根据递推公式和累加法可求得数列{}n a 的通项公式.代入n
a n
中,由数列中*n N ∈的性质,结合数列的单调性即可求得最小值. 【详解】
因为12n n a a n +=+,所以12n n a a n +-=, 从而12(1)(2)n n a a n n --=-≥ …,
3222a a -=⨯ 2121a a -=⨯,
累加可得12[12(1)]n a a n -=⨯++⋅⋅⋅+-,
2(1)22
n n
n n -=⨯
=- 而121,a =
所以2
21n a n n =-+,
则221211n a n n n n n n
-+==+-, 因为21
()1f n n n
=+-在(0,4]递减,在[5,)+∞递增 当4n =时,338.254
n a n ==, 当5n =时,
418.25n a n ==, 所以5n =时n a n 取得最小值,最小值为
41
5
. 故答案为:415
【点睛】
本题考查了利用递推公式及累加法求数列通项公式的方法,数列单调性及自变量取值的特征,属于中档题.
22．3【解析】【分析】由题意可知表示点到点的距离再由点到直线距离公式即可得出结果【详解】可以理解为点到点的距离又∵点在直线上∴的最小值等于点到直线的距离且【点睛】本题主要考查点到直线的距离公式的应用属于
解析：3 【解析】 【分析】
()0,0到点(),a b 的距离，再由点到直线距离公式即可得出结果. 【详解】
()0,0到点(),a b 的距离，又∵点(),M a b 在直线:3425
l x y +=
()0,0到直线34150x y +-=的距离，且
3d =
=.
【点睛】
本题主要考查点到直线的距离公式的应用，属于基础题型.
23．【解析】故答案为 解析：75
1tan tan 1
7446tan tan 144511tan tan
644ππαππααππα⎛⎫-++ ⎪⎡⎤⎛⎫⎝⎭=-+=== ⎪⎢⎥⎛⎫⎝⎭⎣⎦--- ⎪⎝
⎭
故答案为7
5
.
24．【解析】【分析】由可求得的横坐标进而得到的坐标；由正弦函数周期特点可知只需分析以为顶点的三角形为等腰直角三角形即可由垂直关系可得平面向量数量积为零进而求得的通项公式代入即可得到结果【详解】由得：…… 解析：
112
π
【解析】 【分析】 由2
x k π
ωπ=+
可求得n A 的横坐标，进而得到n A 的坐标；由正弦函数周期特点可知只需分
析以1A ，2n A ，41n A -为顶点的三角形为等腰直角三角形即可，由垂直关系可得平面向量数量积为零，进而求得n ω的通项公式，代入6n =即可得到结果. 【详解】
由2
x k π
ωπ=+
，k Z ∈得：()212k x πω
+=
，k Z ∈
1,12A πω⎛⎫
∴ ⎪⎝⎭
，23,12A πω⎛⎫- ⎪⎝⎭，35,12A πω⎛⎫ ⎪⎝⎭，47,12A πω⎛⎫- ⎪⎝⎭，…… 若123A A A ∆为等腰直角三角形，则2
12232,2,240A A A A πππ
ωωω
⎛⎫⎛⎫⋅=-⋅=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
解得：2
π
ω=
，即12
π
ω=
同理若147A A A ∆为等腰直角三角形，则14470A A A A ⋅= 232π
ω∴= 同理若1611A A A ∆为等腰直角三角形，则16611
0A A A A ⋅= 352
πω∴= 以此类推，可得：()212
n n πω-= 6
112
πω
∴=
故答案为：
112
π
本题考查正弦型函数图象与性质的综合应用问题，关键是能够根据正弦函数周期性的特点确定所分析成等腰直角三角形的三个顶点的位置，进而由垂直关系得到平面向量数量积为零，构造方程求得结果.
25．【解析】【分析】建立直角坐标系结合向量的坐标运算求解在方向上的投影即可【详解】建立如图所示的平面直角坐标系由题意可知：则：且据此可知在方向上的投影为【点睛】本题主要考查平面向量数量积的坐标运算向量投 解析：1-
【解析】 【分析】
建立直角坐标系，结合向量的坐标运算求解AB 在BC 方向上的投影即可. 【详解】
建立如图所示的平面直角坐标系，由题意可知：()0,0A ，()2,0B ，()
1,3C ， 则：()2,0AB =，()
1,3BC =-，2AB BC ⋅=- 且2AB =，10BC =， 据此可知AB 在BC 方向上的投影为
2
12
AB BC AB
⋅-=
=-.
【点睛】
本题主要考查平面向量数量积的坐标运算，向量投影的定义与计算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
三、解答题 26．
（1）3,2a c ==；（2）2327
【解析】
试题分析：（1）由2BA BC ⋅=和1
cos 3
B =
，得ac=6.由余弦定理，得2213a c +=. 解
，即可求出a ，c ；（2） 在ABC ∆中，利用同角基本关系得
22
sin .3
B =
由正弦定理，得42
sin sin 9
c C B b =
=
，又因为a b c =>，所以C 为锐角，因此27
cos 1sin 9
C C =-=
，利用cos()cos cos sin sin B C B C B C -=+，即可求出结果. （1）由2BA BC ⋅=得，
，又1
cos 3
B =
，所以ac=6. 由余弦定理，得2222cos a c b ac B +=+. 又b=3，所以2292213a c +=+⨯=. 解
，得a=2，c=3或a=3，c=2.
因为a>c,∴ a=3，c=2.
（2）在ABC ∆中，22122
sin 1cos 1()3B B =-=-= 由正弦定理，得22242
sin sin 339
c C B b =
=⋅=
，又因为a b c =>，所以C 为锐角，因此22427cos 1sin 1(
)99
C C =-=-=.
于是cos()cos cos sin sin B C B C B C -=+=1724223
393927
⋅+⋅=
. 考点：1.解三角形；2.三角恒等变换.
27．
(1) 1
2≤x ≤2(2) [−4,0]
【解析】
试题分析（1）先将不等式化成底相同的指数，再根据指数函数单调性解不等式（2）令t =log 2x ，则函数转化为关于t 的二次函数，再根据对称轴与定义区间位置关系确定最值，得到值域. 试题解析：
解：(1) 因为 √3≤3x ≤9 ∴312
≤3x ≤32
由于指数函数y =3x 在R 上单调递增 ∴1
2≤x ≤2
(2) 由（1）得1
2
≤x ≤2
∴−1≤log 2x ≤1
令t =log 2x ，则y =(t −1)(t +3)=t 2+2t −3，其中t ∈[−1,1] 因为函数y =t 2+2t −3开口向上，且对称轴为t =−1 ∴函数y =t 2+2t −3在t ∈[−1,1]上单调递增 ∴y 的最大值为f(1)=0，最小值为f(−1)=−4 ∴函数y =(log 2x −1)(log 2x +3)的值域为[−4,0].
28．
（1）2n
n a =（*n N ∈）；（2）()1
6232
n n T n +=+-．
【解析】 【分析】
（1）根据等比数列通项的性质求出34,a a 的表达式，利用等差中项列方程求得公比，然后求得数列的通项公式.（2）利用错位相减求和法求得数列{}n n a b 的前n 项和n T 【详解】
解：（1）设数列{}n a 的公比为，
因为24a =，所以34a q =，2
44a q =．
因为32a +是2a 和4a 的等差中项，所以()32422a a a +=+． 即()2
24244q q +=+，化简得2
20q q -=．
因为公比0q ≠，所以2q ．
所以2
22422n n n n a a q
--==⨯=（*n N ∈）． （2）因为2n
n a =，所以22log 121n n b a n =-=-．
()212n n n a b n =-．
则()()2
3
1
123252232
212n n n T n n -=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-+-，①
()()23412123252232212n n n T n n +=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-+-.②
①－②得，
()2312222222212n n n T n +-=+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯--
()()()11141222212623212
n n n n n -++-=+⨯
--=----，
所以()1
6232
n n T n +=+-．
【点睛】
本小题主要考查等比数列基本量的计算，等比数列通项公式的求解，考查等差中项的性质，考查错位相减求和法求数列的前n 项和，属于中档题.
29．
（12百米. 【解析】
【分析】
（1）由余弦定理求出4AB =百米，由此能求出ABE 区域的面积；（2）记AEB α∠=，在ABE 中，利用正弦定理求出sin α和cos α的值，当CH DE ⊥时，水管长最短，由此能求出当水管CH 最短时的长.
【详解】
（1）由题知1,120,BE ABC EA =∠==
在ABE 中，由余弦定理得2222cos AE AB BE AB BE ABE =+-⋅∠，即
2211AB AB =++，所以4AB =百米
所以11sin 41222
ABE S AB BE ABE =⋅⋅∠=⨯⨯⨯=.
（2）记AEB α∠=，在ABE 中，sin sin AB AE ABE α=∠，即4sin α=，
所以sin 7
αα===， 当CH DE ⊥时，水管CH 最短，
在Rt ECH 中，
2π2π2π
sin 2sin 2sin cos 2cos sin 333CH CE HEC ααα⎛⎫=∠=-=- ⎪⎝⎭=7
百米. 【点睛】
本题考查了正弦定理、余弦定理以及三角形面积公式的综合应用，利用同角三角函数关系式求三角函数值，并求三角形面积，属于基础题.（1）根据余弦定理，可直接求得AB 的长度，由三角形面积公式即可求得ABE S
的面积；（2）根据最短距离为垂直距离，可求得
CH 的长. 30．
(1) 1,?2A ω==;（2）单调递增区间为πππ,π,36k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦
Z (3)π 6x =时,()f x 取得最大值1;π
6x =-时,f (x )取得最小值12
-． 【解析】
试题分析：(1)利用图象的最高点和最低点的纵坐标确定振幅,由相邻对称轴间的距离确定函数的周期和ω值;
(2)利用正弦函数的单调性和整体思想进行求解;
(3)利用三角函数的单调性和最值进行求解．
试题解析：
(1)由图象知1,A = 由图象得函数的最小正周期为2ππ236⎛⎫- ⎪⎝⎭
=π, 则由2π
ω=π得2ω=．
(2)令πππ2π22π,?262
k x k k Z -+≤+≤+∈ 2ππ2π22π33
k x k ∴-+≤≤+. k ∈Z ππππ36
k x k ∴-+≤≤+. k ∈Z 所以f (x )的单调递增区间为πππ,π,.36k k k ⎡⎤-
++∈⎢⎥⎣⎦Z （3）ππππ,2,6432
x x -≤≤∴-≤≤ ππ2π2663x ∴-
≤+≤. 1πsin 2126x ⎛⎫∴-≤+≤ ⎪⎝
⎭. 当ππ2,62x +
=即π6x =时,()f x 取得最大值1; 当ππ2,66x +=-即π6x =-时,f (x )取得最小值12-．。