生活中的优化问题举例课件

②若 bab>c，v∈(0，c]，此时 y′<0，即 y 在(0，c]上为减函数．所以当 v＝c
时，y 最小．
综上可知，为使全程运输成本 y 最小．
当
bab≤c 时，行驶速度 v＝
bab；当
ab b >c
时，行驶速度
v＝c.
[点评] 若函数 f(x)的解析式或定义域中含有参数，参数的取值可能引起函数
利用基本不等式处理优化问题
在解决生活中遇到的优化问题时，基本不等式在解决此类问题中有广泛的应 用．利用基本不等式求最值时，必须注意使用的前提以及等号成立的条件成立， 否则易犯错误，注意 f′(x0)＝0 的 x0 是否在定义域内，从而进行分类讨论．
某船由甲地逆水行驶至乙地，甲、乙两地相距 s(km)，水的流速为 常量 a(km/h)，船在静水中的最大速度为 b(km/h)(b>a)，已知船每小时的燃料费用(以 元为单位)与船在静水中的速度的平方成正比，比例系数为 k，问：船在静水中的 航行速度为多少时，其全程的燃料费用最省？
因 f(x)在[0，＋∞)内只有一个点 x＝200 使 f ′(x)＝0，故它就是最大值点，且 最大值为：f(200)＝－15×2003＋24000×200－50000＝3150000(元)
答：每月生产 200 吨产品时利润达到最大，最大利润为 315 万元．
命题方向3 ⇨费用(用料)最省问题
有甲、乙两个工厂，甲厂位于一直线河岸的岸边 A 处，乙厂与甲厂 在河的同侧，乙厂位于离河岸 40 km 的 B 处，乙厂到河岸的垂足 D 与 A 相距 50 km， 两厂要在此岸边合建一个供水站 C，从供水站到甲厂和乙厂的水管费用分别为每 千米 3a 元和 5a 元，问供水站 C 建在岸边何处才能使水管费用最省？
最值的变化，这时要注意分类讨论．
V′(x)＝12x2－8ax＋a2. 令 V′(x)＝0，得 12x2－8ax＋a2＝0. 解得 x1＝16a，x2＝21a(舍去)． x1＝16a 在区间0，a2内，x1 可能是极值点．且 当 0<x<x1 时，V′(x)>0； 当 x1<x<a2时，V′(x)<0.
因此 x1 是极大值点，且在区间0，a2内，x1 是唯一的极值点，所以 x＝61a 是 V(x)的最大值点．
又设总的水管费用为 y 元，则
y＝3a(50－x)＋5a x2＋402(0<x<50)．
所以 y′＝－3a＋
5ax x2＋402 .
令y′＝0，解得x1＝30，x2＝－30(舍去)． 当x<30时，y′<0；当x>30时，y′>0. 所以当x＝30时，取得最小值，此时AC＝50－x＝20(km)， 即供水站建在A、D之间距甲厂20 km处，可使水管费用最省．
[思路分析] 设截下的小正方形边长为x，用x表示出长方体的边长，根据题 意列出关系式，然后利用导数求最值．
[解析] 设截下的小正方形边长为 x，容器容积为 V(x)，则做成的长方体形无 盖容器底面边长为 a－2x，高为 x，V(x)＝(a－2x)2x,0<x<2a.
即 V(x)＝4x3－4ax2＋a2x,0<x<a2. 实际问题归结为求 V(x)在区间0，a2上的最大值点．为此，先求 V(x)的极值 点．在开区间0，a2内，
[解析] 设船在静水中的航行速度为 xkm/h，全程的燃料费用为 y 元， 由题设可得 y＝x－s a·kx2，x∈(a，b]． ∴y＝ks·x－x2 a＝ks·x－a2＋x2－aax－a＋a2 ＝ks[(x－a)＋x－a2a＋2a]． 当 2a≤b 时，y＝ks[(x－a)＋x－a2a＋2a] ≥ks(2 a2＋2a)，
即当截下的小正方形边长为61a 时，容积最大．
命题方向2 ⇨利润最大问题
某工厂生产某种产品，已知该产品的月产量 x(吨)与每吨产品的价 格 P(元/吨)之间的关系为 P＝24200－1x2，且生产 x 吨的成本为 R＝50000＋200x
5 元．问该产品每月生产多少吨产品才能使利润达到最大？最大利润是多少？(利润 ＝收入－成本).
含参数的函数求最值时，注意极值与参数取值 的关系
甲、乙两地相距 s 千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超 过 c 千米/时，已知汽车每小时的运输成本(以元为单位)由可变部分和固定部分组 成：可变部分与速度 v(千米/时)的平方成正比，比例系数为元)表示为速度 v(千米/时)的函数，并指出这个函数的定 义域；
(2)为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？
[错解] (1)依题意得汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间为vs，全程运输成本
为 y＝a·vs＋bv2·vs＝sav＋bv，所求函数及其定义域为 y＝sav＋bv，v∈(0，c]． (2)由题意知 s、a、b、v 均为正数，
由 y′＝sb－va2＝0 得 v＝± 输成本 y 最小．
[思路分析] 设出 CD 的长为 x，进而求出 AC、BC，然后将总费用表示为变 量 x 的函数，转化为求函数的最值问题．
[解析] 如图所示，依题意，点 C 在直线 AD 上，设 C 点距 D 点 x km.
因为 BD＝40，AD＝50，所以 AC＝50－x.
所以 BC＝ BD2＋CD2＝ x2＋402.
生活中的优化问题举例
1．在解决实际优化问题中，不仅要注意将问题中涉及的变量关系用函数关 系式给予表示，还应确定函数关系式中___自__变__量_____的取值范围．
2．实际优化问题中，若只有一个极值点，则极值就是_最__值___． 3．解决优化问题的基本思路：
命题方向1 ⇨面积、容积最大问题
有一块边长为 a 的正方形铁板，现从铁板的四个角各截去一个相同 的小正方形，做成一个长方体形的无盖容器．为使其容积最大，截下的小正方形 边长应为多少？
[思路分析] 根据题意，月收入＝月产量×单价＝px，月利润＝月收入－成本 ＝px－(50000＋200x)(x≥0)，列出函数关系式建立数学模型后再利用导数求最大 值．
[解析] 每月生产 x 吨时的利润为 f(x)＝(24200－15x2)x－(50000＋200x) ＝－15x3＋24000x－50000 (x≥0)． 由 f ′(x)＝－35x2＋24000＝0， 解得 x1＝200，x2＝－200(舍去)．
ba，又 0<v≤c，所以当 v＝ bab(※)时，全程运
[辨析] 第(2)问中 bab与 c 未进行比较大小而直接得出结论，故错误． [正解] 上接错解※处，①若 bab≤c，则 v＝ bab是使 y 的导数为 0 的点，且
当 v∈0， ba时，y′≤0；v∈ 成本 y 最小．
ba，c时，y′≥0.所以当 v＝ bab时，全程运输
当且仅当 x＝2a 时，ymin＝4aks. 当 2a>b 时，令 t＝x－a， 则 t∈(0，b－a]． ∴y＝ks(t＋at2＋2a)， ∴y′＝ks(1－at22)＝kst－at2t＋a. 令 0<t≤b－a， ∴－a<t－a≤b－2a<0，
∴y′<0，即 y＝ks(t＋at2＋2a)在(0，b－a]上是递减的， ∴当 t＝b－a，即 x＝b 时，ymin＝ksb2b－1 a. 综上可知，当 b<2a 时，船在静水中的速度为 bkm/h 时，航行燃料费用最省． 当 b≥2a 时，船在静水中的速度为 2akm/h 时，航行燃料费用最省．