广东省肇庆市四会中学2020年高三数学理模拟试卷含解析

广东省肇庆市四会中学2020年高三数学理模拟试卷含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 已知集合A＝{x|x2－5x＋6≤0}，集合B＝{x||2x－1|>3}，则集合A∩B等于()
A．{x|2≤x≤3}B．{x|2<x≤3}
C．{x|2≤x<3} D．{x|－1<x<3}
参考答案：
B
2. 已知A={x|x+1＞0}，B={﹣2，﹣1，0，1}，则（?R A）∩B=（）
A．A={0，1，2} B．{﹣2} C．{﹣1，0，1} D．{﹣2，﹣1}
参考答案：
D
【考点】1H：交、并、补集的混合运算．
【分析】化简集合A、求出?R A，再计算（?R A）∩B即可．
【解答】解：A={x|x+1＞0}={x|x＞﹣1}，B={﹣2，﹣1，0，1}，
则?R A={x|x≤﹣1}，
（?R A）∩B={﹣2，﹣1}．
故选：D．
【点评】本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题目．
3. 下列命题中，错误的是( )
（A）一条直线与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个平面相交
（B）平行于同一平面的两个不同平面平行
（C）若直线不平行平面，则在平面内不存在与平行的直线
（D）如果平面不垂直平面，那么平面内一定不存在直线垂直于平面
参考答案：
C
4. 在矩形ABCD中，AB=8，AD=6，若向该矩形内随机投一点P，那么使与的面积都小于4的概率为（）
A．B．C．D．
参考答案：
A
5. 已知双曲线，则一条渐近线与实轴所成角的取值范围是 ( )
A． B． C． D．
参考答案：
C
略
6. 已知实数x, y满足条件，则目标函数
A．有最小值0，有最大值6 B．有最小值，有最大值3
C．有最小值3，有最大值6 D．有最小值，有最大值6
参考答案：
D
画出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示。

当目标函数过直线与直线的交点(3, 0)，目标函数取得最大值6；当目标函数过直线与直线
的交点(0, 2)时，目标函数取得最小值。

故选D。

7. 若实数满足恒成立，则函数的单调减区间为（）
A． B． C． D．
参考答案：
D
略
8. 在复平面内，复数（为虚数单位）的共轭复数对应的点位于（）
A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限参考答案：
D
，。

故选D
【相关知识点】复数的运算
9. 已知命题p：?x1，x2∈R，（f（x2）﹣f（x1））（x2﹣x1）≥0，则￢p是（）
A．?x1，x2∈R，（f（x2）﹣f（x1））（x2﹣x1）≤0 B．?x1，x2∈R，（f（x2）﹣f（x1））（x2﹣x1）≤0
C．?x1，x2∈R，（f（x2）﹣f（x1））（x2﹣x1）＜0 D．?x1，x2∈R，（f（x2）﹣f（x1））（x2﹣x1）＜0
参考答案：
C
【考点】命题的否定．
【分析】由题意，命题p是一个全称命题，把条件中的全称量词改为存在量词，结论的否定作结论即可得到它的否定，由此规则写出其否定，对照选项即可得出正确选项
【解答】解：命题p：?x1，x2∈R，（f（x2）﹣f（x1））（x2﹣x1）≥0是一个全称命题，其否定是一个特称命题，
故?p：?x1，x2∈R，（f（x2）﹣f（x1））（x2﹣x1）＜0．
故选：C．
【点评】本题考查命题否定，解题的关键是熟练掌握全称命题的否定的书写规则，本题易因为没有将全称量词改为存在量词而导致错误，学习时要注意准确把握规律．
10. 已知集合A={x|y=ln（x﹣a）}，B={﹣2，2，3}，A∩B=B，则实数a的取值范围是（）A．（﹣2，+∞）B．（3，+∞）C．（﹣∞，﹣2）D．（﹣∞，3）
参考答案：
C
【考点】集合的包含关系判断及应用．
【分析】将A∩B=B转化为A∩B=B，判断出集合端点的大小，求出a的范围．
【解答】解：∵A∩B=B，
∴B?A，
∵A={x|y=ln（x﹣a）}=（a，+∞），B={﹣2，2，3}，
∴a＜﹣2，
故选C．
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知，，与的夹角为，要使与垂直，则=_________．
参考答案：
2
略
12. 直角坐标系xOy中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点A，B分别在曲线C1：(θ为参数)和曲线C2：ρ＝1上，则|AB|的最小值为________．
参考答案：
3
13. 设函数是定义在上的奇函数，且的图像关于直线对称，则
参考答案：
14. 如果双曲线的渐近线与撒物线相切，则双曲线的离心率为__________.
参考答案：
3
略
15. 袋中有4只红球3只黑球，从袋中任取4只球，取到1只红球得1分，取到1只黑球得3分，设得分为随机变量，则 .（用分数表示结果）
参考答案：
.
考点：离散
型随机变量的概率.
16. 设，，，若，则 .
参考答案：
由题意可得：，
由向量垂直的充要条件有：，
求解关于实数的方程可得：.
17. 已知函数f（x）=ln（x+1）﹣x+1，则函数f（x）零点的个数为．
参考答案：
2
考点：函数零点的判定定理．
专题：计算题；作图题；函数的性质及应用．
分析：函数f（x）零点的个数即函数y=ln（x+1）与y=x﹣1的交点的个数，作函数y=ln（x+1）与
y=x﹣1的图象求解．
解答：解：函数f（x）零点的个数即函数y=ln（x+1）与y=x﹣1的交点的个数，
作函数y=ln（x+1）与y=x﹣1的图象如下，
其有两个交点，
故答案为：2．
点评：本题考查了函数的零点的判断与函数的图象的关系应用，属于基础题．
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 已知函数。

（1）求函数的对称轴方程；
（2）当（0，）时，若函数有零点，求实数的范围；
（3）若，（，），求的值。

【解析】。

（1）令，得（），
因此函数的对称轴方程为（）；
（2）若函数有零点，则方程即有实数根，
也即（（0，））有解，
因为，所以，
从而，，
所以。

因此；
（3）若，则。

因为，所以，因此，
因此。

参考答案：。

（1）令，得（），
因此函数的对称轴方程为（）；
（2）若函数有零点，则方程即有实数根，也即（（0，））有解，
因为，所以，
从而，，
所以。

因此；
（3）若，则。

因为，所以，因此，
因此。

【答案】
【解析】
19. 在平面直角坐标系xOy中，已知经过原点的圆C的圆心在x轴正半轴上，且圆心到直线3x+4y+1=0的距离为2．
（1）求圆C的方程；
（2）若椭圆+=1的离心率为，且左右焦点为F1，F2，已知点P在圆C上且使∠F1PF2为钝角，求点P横坐标的取值范围．
参考答案：
【考点】椭圆的简单性质．
【分析】（1）由题意可设圆C的方程为（x﹣a）2+y2=a2（a＞0），再由点到直线的距离公式可得a的
值，进而得到所求圆C的方程；
（2）运用椭圆的离心率公式，结合a，b，c的关系，可得b，c，进而得到左右焦点的坐标，求得以线段F1F2为直径的圆方程，结合圆C的方程，解得交点，结合图形即可得到所求P的横坐标的范围．【解答】解：（1）由经过原点的圆C的圆心在x轴正半轴上，
设圆C的方程为（x﹣a）2+y2=a2（a＞0），圆心（a，0），半径为a，
由圆心到直线3x+4y+1=0的距离为2，
可得=2，解得a=3，
则圆C的方程为（x﹣3）2+y2=9；
（2）椭圆+=1的离心率为，即e====，
解得b=2，c===2，即有F1（﹣2，0），F2（2，0），
以线段F1F2为直径的圆为x2+y2=12，
联立圆C的方程，可得两圆的交点为（2，±2），此时∠F1PF2=90°，
要使∠F1PF2为钝角，点P横坐标的取值范围为（0，2）．
20. 已知函数f（x）=alnx﹣ax﹣3（a∈R）．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若函数y=f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线的倾斜角为45°，对于任意的t∈[1，2]，函数在区间（t，3）上总不是单调函数，求m的取值范围；
（Ⅲ）求证：．
参考答案：
(I)略(II) (III)略解析：（Ⅰ）（2分）
当a＞0时，f（x）的单调增区间为（0， 1]，减区间为[1，+∞）；
当a＜0时，f（x）的单调增区间为[1，+∞），减区间为（0，1]；
当a=0时，f（x）不是单调函数（4分）
（Ⅱ）得a=﹣2，f（x）=﹣2lnx+2x﹣3∴，
∴g'（x）=3x2+（m+4）x﹣2（6分）
∵g（x）在区间（t，3）上总不是单调函数，且g′（0）=﹣2
∴
由题意知：对于任意的t∈[1，2]，g′（t）＜0恒成立，
所以有：，∴（10分）
（Ⅲ）令a=﹣1此时f（x）=﹣lnx+x﹣3，所以f（1）=﹣2，
由（Ⅰ）知f（x）=﹣lnx+x﹣3在（1，+∞）上单调递增，
∴当x∈（1，+∞）时f（x）＞f（1），即﹣lnx+x﹣1＞0，
∴lnx＜x﹣1对一切x∈（1，+∞）成立，（12分）
∵n≥2，n∈N*，则有0＜lnn＜n﹣1，
∴
∴
略
21. 在平面直角坐标系xOy中，方向向量为的直线l经过椭圆的右焦点F，与椭圆相交于A、B两点
（1）若点A在x轴的上方，且，求直线l的方程；
（2）若k＞0，P（6，0）且△PAB的面积为6，求k的值；
（3）当k（k≠0）变化时，是否存在一点C（x0，0），使得直线AC和BC的斜率之和为0，若存在，求出x0的值；若不存在，请说明理由．
参考答案：
分析：（1）根据椭圆方程，算出右焦点F坐标为（3，0），结合椭圆上位于x轴上方的点A满足算出A（0，3），由此可得直线l的斜率k=﹣1，即可求出直线l的方程；
（2）设直线l：y=k（x﹣3），与椭圆方程联解消去y得（1+2k2）y2+6ky﹣9k2=0，由根与系数的关系算出AB的纵坐标之差的绝对值关于k的式子，再根据△PAB的面积为6建立关于k 的方程，化简整理得k4﹣k2﹣2=0，解之得k=1（舍负）；
（3）设直线l方程为y=k（x﹣3）与椭圆方程联解消去y得（1+2k2）x2﹣12k2x+18（k2﹣1）
=0，由根与系数的关系得到，然后化简k AD+k BD=0为关于x1、y1、x2、y2和x0的等式，化简整理得2kx1x2﹣k（x0+3）（x1+x2）+6kx0=0，再将前面算出的x1+x2和x1x2的表达式代入化简可得x0=6，由此可得存在一点C（6，0），使得直线AC和BC的斜率之和为0．
解答：
解（1）∵椭圆方程为
∴a2=18，b2=9，得c==3，可得F（3，0）…（1分）
∵且点A在x轴的上方，…（2分）∴可得A在椭圆上且，得A是椭圆的上顶点，坐标为A（0，3）
由此可得l的斜率k=﹣1，…（3分）
因此，直线l的方程为：，化简得x+y﹣3=0…（4分）
（2）设A（x1，y1）、B（x2，y2），直线l：y=k（x﹣3）…（5分）
将直线与椭圆方程联列，…（6分）
消去x，得（1+2k2）y2+6ky﹣9k2=0…（7分）
由于△＞0恒成立，根据根与系数的关系可得…（8分）∴…（9分）
因此，可得S△PAB=
化简整理，得k4﹣k2﹣2=0，由于k＞0，解之得k=1…（10分）
（3）假设存在这样的点C（x0，0），使得直线AC和BC的斜率之和为0，根据题意，得直线l：y=k（x﹣3）（k≠0）
由消去y，得（1+2k2）x2﹣12k2x+18（k2﹣1）=0…（12分）
由于△＞0恒成立，根据根与系数的关系可得…（*）…（13分）
而，，…（14分）
∴
=
由此化简，得2kx 1x 2﹣k （x 0+3）（x 1+x 2）+6kx 0=0，…（15分）
将（*）式代入，可得，解之得x 0=6，
∴存在一点C（6，0），使得直线AC和BC的斜率之和为0．…（16分）
点评：本题给出椭圆方程，在直线l经过椭圆的右焦点F且交椭圆于A、B两点且满足的情况下求直线l的方程，并且讨论了x轴上是否存在一点C使得直线AC和BC的斜率之和为0的问题．着重考查了椭圆的标准方程与简单几何性质、一元二次方程根与系数的关系和直线与圆锥曲线的位置关系等知识点，属于中档题．
（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分．
设数列，，，已知，，，，，（）．
（1）求数列的通项公式；
（2）求证：对任意，为定值；
（3）设为数列的前项和，若对任意，都有，求实数的取值范围．
参考答案：
（1）因为，，所以（），…………………（１分）
所以，，
，…………………………………（2分）
即数列是首项为，公比为的等比数列，…………………………（3分）
所以．………………………………………………………（4分）
（2）解法一：，……………………………………（1分）
因为，所以，，
猜测：（）．……………………………………………………（2分）
用数学归纳法证明：
①当时，，结论成立；………………………………………（3分）
②假设当（）时结论成立，即，那么当时，
，即时结论也成立．…………………（5分）
由①，②得，当时，恒成立，即恒为定值．…………（6分）
解法二：，……………………………………（1分）
所以，………………………………（4分）
而，所以由上述递推关系可得，当时，恒成立，即恒为定值．………………………………………………………………………（6分）
（3）由（1）、（2）知，所以，…………（1分）
所以，
所以，…………………………………………（2分）
由得，
因为，所以，……………………（3分）
当为奇数时，随的增大而递增，且，
当为偶数时，随的增大而递减，且，
所以，的最大值为，的最小值为．…………………（4分）
由，得，解得．…………（6分）
所以，所求实数的取值范围是．。