【单元练】安徽宿州市高中物理必修1第三章【相互作用】习题(含答案解析)

一、选择题
1．如图a 所示，质量为m 的半球体静止在倾角为θ的平板上，当θ从0缓慢增大到90︒的过程中，半球体所受摩擦力f F 与θ的关系如图b 所示，已知半球体始终没有脱离平板，半球体与平板间的动摩擦因数为3
3
，最大静摩擦力与滑动摩擦力相等，重力加速度为g ，则（ ）
A ．~O q 段图像可能是直线
B ．π
~2
q 段图像可能是直线 C ．π4q =
D ．2
mg
p = D
解析：D
ABC ．半圆体在平板上恰好开始滑动的临界条件是
sin cos mg mg θμθ=
则有
3tan μθ==
解得
π6
θ=
即
π6
q =
θ在π0
6之间时，F f 是静摩擦力，大小为mg sin θ；θ在ππ
6
2
之间时，F f 是滑动摩擦力，大小为μmg cos θ；综合以上分析得其F f 与θ关系如图中实线所示，故Oq 和π~
2
q 之
间均为曲线，故ABC 错误； D ．当π6
θ=
时 f πsin
62
mg F mg == 即
2
mg p =
故D 正确。

故选D 。

2．如图所示，物块A 放在直角三角形斜面体B 上面，B 放在弹簧上面并紧挨着竖直墙壁，初始时A 、B 静止，现用力F 沿斜面向上推A ，但A 、B 仍未动。

则下列说法正确的是（ ）
A ．施加力F 前，
B 与墙面间的弹力一定为零 B ．施加力F 后，B 对A 的摩擦力方向一定沿斜面向上
C ．施加力F 后B 与墙之间可能没有摩擦力
D ．施加力F 后，弹簧弹力可能变化A 解析：A
A ．施加力F 前，将A 、
B 看作一个整体，水平方向上不受力，所以B 与墙面间的弹力一定为零。

A 正确；
B ．施加力F 前，B 对A 的摩擦力方向沿斜面向上，施加力F 后，B 对A 的摩擦力可能为零，也可能向下，也可能向上。

B 错误；
C ．施加力F 后，将A 、B 看作一个整体，系统与之前相比，多了一个左上方向的推力F ，为了保持系统静止，墙壁会给B 一个向右的弹力和向下的摩擦力。

C 错误；
D ．施加力F 后，系统静止，弹簧的形变不变，所以弹簧的弹力不变。

D 错误。

故选A 。

3．如图所示，A 、B 两球用劲度系数为1k 的轻弹簧相连，B 球用长为L 的细线悬于O 点，A 球固定在O 点正下方，且O 、A 间的距离恰为L ，此时绳子所受的拉力为1F ，现把A 、B 间的弹簧换成劲度系数为2k 的轻弹簧，仍使系统平衡，此时绳子所受的拉力为2F ，则1F 与
2F 的大小关系为（ ）
A ．12F F <
B ．12F F >
C ．12F F =
D ．因1k 、2k 大小关系未知，故无法确定C
解析：C
以小球B 为研究对象，分析受力情况，由平衡条件可知，弹簧的弹力N 和绳子的拉力F 的合力F 合与重力mg 大小相等，方向相反，即F mg =合，作出力的合成如图，由三角形相似得
F F
OA OB
=合
又由题，OA OB L ==，得，
F F mg ==合
可见，绳子的拉力F 只与小球B 的重力有关，与弹簧的劲度系数K 无关，所以得到
12F F =
故选C 。

4．关于摩擦力，以下说法中正确的是（ ）
A ．运动物体可能受到静摩擦力作用，但静止物体不可能受到滑动摩擦力作用
B ．静止物体可能受到滑动摩擦力作用，但运动物体不可能受到静摩擦力作用
C ．正压力越大，摩擦力越大
D ．摩擦力方向可能与速度方向在同一直线上，也可能与速度方向不在同一直线上D 解析：D
AB ．静摩擦力存在于相对静止的两物体之间，滑动摩擦力存在于相对运动的两物体之间，则运动物体可能受到静摩擦力作用，静止物体也可能受到滑动摩擦力作用。

故AB 错； C ．滑动摩擦力大小一定与压力成正比，正压力越大，滑动摩擦力越大。

而静摩擦力大小与压力没有直接关系，正压力越大，静摩擦力可能不变。

故C 错误；
D ．摩擦力方向与相对运动趋势相反或与相对运动方向相反，与运动方向没有直接关系。

因此摩擦力方向可能与速度方向在同一直线上，也可能与速度方向不在同一直线上，故D 正确。

故选D 。

5．如图所示，斜面上有一与斜面垂直的固定挡板，挡板与
1
4
圆柱体A 之间夹有圆柱体B ，A 、B 在沿斜面向上的力F 作用下处于静止，现力F 缓慢沿斜面向上推A ，使A 沿斜面向上移动一小段距离，则在此过程中圆柱体B 对A 的压力1N 和对挡板的压力2N 大小怎样变化（所有接触面均光滑）（ ）
A ．1N 变小、2N 变小
B ．1N 变大、2N 变大
C ．1N 变大、2N 变小
D ．1N 变小、2N 变大A
解析：A
对B 受力分析，受到重力G B ，A 对B 的支持力1N '，挡板对B 的弹力2N '，受力分析如下图
当A 沿斜面向上移动一小段距离的过程中，1N '、2N '变化如图中所示，可知1N '、2N '均变小，由牛顿第三定律可知，B 对A 的压力1N 和对挡板的压力2N 均变小。

故选A 。

6．如图所示，质量均为m 的小球A 、B 用两根不可伸长的轻绳连接后悬挂于O 点，在外力F 的作用下，小球A 、B 均处于静止状态。

若要使系统处于静止状态且悬线OA 与竖直方向的夹角保持37°不变，则外力F 的大小不可能为（ ）
A ．mg
B ．2mg
C ．3mg
D ．2mg A
解析：A
由作图可知，当F 垂直于OA 时F 最小，其最小值为
min 2sin 37 1.2F mg mg ==
所以当 1.2F mg <时，均不能使系统处于静止状态且悬线OA 与竖直方向的夹角保持37°不变，A 正确，BCD 错误。

故选A 。

7．如图所示，在光滑的水平杆上穿两个重力均为2N 的球A 、B 。

在两球之间夹一弹簧，弹簧的劲度系数为10N/m ，用两条等长的线将球C 与A 、B 相连，此时弹簧被压短了10cm ，两条线的夹角为60°，则（ ）
A ．弹簧的弹力大小为0.5N
B 3N
C ．球C 的重力为2N
D ．杆对球A 的支持力为(23)N + D 解析：D
A ．根据胡克定律可知，弹簧的弹力大小为
100.1N 1N F kx ==⨯=
故A 错误；
B ．对A 进行受力分析，根据物体的平衡条件可知
cos60T F =
解得绳的拉力大小
2N T =
故B错误；
C．对球C进行受力分析，可得球C的重力为
2cos3023N
G T
==
故C错误；
D．杆对球A的支持力为
N A sin60(23)N
F G T
=+=+
故D正确。

故选D。

8．如图所示，用光滑小轮将三角形斜劈压在竖直的光滑墙壁上，保持静止状态，下列说法中正确的是（）
A．斜劈的三个面均受到压力
B．斜劈对墙壁可能没有压力
C．斜劈对小轮的压力一定垂直于斜面
D．斜劈对小轮的压力是由于小轮形变时要恢复原状而产生的C
解析：C
A．斜劈的上表面没有压力作用，故A错误；
B．斜劈受到竖直向下的重力、小轮对斜劈的压力以及墙壁对斜劈的弹力，保持静止状态，故斜劈对墙壁一定会产生一个反作用力，这个力就是斜劈对墙壁的压力，故B错误；C．斜劈对小轮的压力一定垂直于斜面向下，故C正确；
D．斜劈对小轮的压力是由于斜劈形变时要恢复原状而产生的，故D错误。

故选C。

9．如图所示，轻绳一端系在质量为m的物块A上，另一端系在一个套在粗糙竖直杆MN 的圆环上。

现用水平力F拉住绳子上一点O，使物块A从图中实线位置缓慢下降到虚线位置，但圆环仍保持在原来位置不动。

在这一过程中，环对杆的摩擦力F1和环对杆的压力F2的变化情况是（）
A．F1保持不变，F2逐渐增大
B．F1保持不变，F2逐渐减小
C．F1逐渐增大，F2保持不变
D．F1逐渐减小，F2保持不变B
解析：B
以圆环、物体A 及轻绳整体为研究对象，分析受力情况，如图1所示，根据平衡条件得到，杆对环的摩擦力
1F G =
故摩擦力保持不变； 杆对环的弹力
2F F =
再以结点O 为研究对象，分析受力情况，如图2所示，设绳与竖直方向夹角为θ，由平衡条件得到
F mgtan θ=
当物体A 从图中实线位置缓慢下降到虚线位置过程中，θ逐渐减小，则F 逐渐减小，F 2逐渐减小。

据牛顿第三定律可得，F 1保持不变，F 2逐渐减小。

故选B 。

10．如图所示，在粗糙的水平地面上有质量为m 的物体，连接在一劲度系数为k 的轻质弹簧上，物体与地面之间的动摩擦因数为μ，现用一水平力F 向右拉弹簧，使物体m 做匀速直线运动，则弹簧伸长的长度为（重力加速度为g ）（ ）
A ．
k F
B ．mgk μ
C ．
k mg
μ D ．
mg
k
μ D
解析：D
根据平衡条件得：弹簧的弹力
F F mg μ==弹
根据胡克定律得
F kx =弹
解得弹簧的伸长量
mg
x k
μ=
故选D 。

二、填空题
11．如图所示，质量为m 的小球，用一根长为L 的细绳吊起来，放在半径为R 的光滑的球体表面上，由悬点O 到球面的最小距离为d ，则小球对球面的压力为_________，绳的张力为___________（小球半径可忽略不计）。

解析：
R mg d R + L
mg d R
+
[1][2]小球在A 点的受力如图所示，根据三力平衡的特点三个力可以构成一外首尾相连的矢量三角形如图所示，根据相似三角表形关系可得
mg F N
R d L R
==+ 解得
小球对球面的支持力为
R
N mg d R
=
+ 由牛顿第三定律可得，小球对球面的压力为R
mg d R
+。

绳的张力为
L
F mg d R
=
+ 12．一个物体受到五个共点力的作用而平衡，若只撤去向东3N 和向南4N 的力，则物体所受的合力大小为____________N ，合力的方向为____________。

西偏北53°
解析：西偏北53°
[1][2]一个物体受到五个共点力的作用而平衡，若只撤去两个力，则剩下的几个力的合力与那两个力的合力大小相等，方向相反，所以先求向东3N 和向南4N 的两力的合力为
222212345N F F F =+=+=
214
tan 3
F F θ=
= ，合力方向东偏南53° 则撤去两力后物体的合力大小为5N ，合力的方向为西偏北53°。

13．如图所示，质量为60kg m =的人站在质量为30kg M =的木板上，人和木板之间的动摩擦因数为0.4，木板和水平地面间的动摩擦因数为0.2，今人用绕过定滑轮的绳子拉木板使木板和他自己一起向右做匀速直线运动，那么，木板一共受_______个力的作用；人和木板之间的摩擦力为________N 。

90
解析：90
[1][2]系统做匀速直线运动，受力平衡，先整体后隔离。

人、木板、滑轮整体共受四个力，如图甲所示
可知地面对系统的摩擦力f 等于定滑轮上的墙壁的拉力，即
()0.2(3060)10180N f T N M m g μ===+=⨯+⨯=
所以每根绳子上的力
90N =F
然后再分析木板的受力，如图乙所示
竖直方向上受到重力、人的压力和地面的支持力，水平方向上受到地面的摩擦力
180N f =，绳子的拉力90N =F ，以及人对木板的摩擦力，共6个力的作用，人对木板
的摩擦力RB F 必定水平向右，大小为
1809090N RB F f F =-=-=
14．质量为m 的物体置于倾角为37θ=︒的固定斜面上，物体与斜面之间的动摩擦因数为
0.2μ=，如图甲所示，用平行于斜面的推力1F 作用于物体上，使其能沿斜面匀速上滑；
若改用水平推力2F 作用于物体上，也能使物体沿斜面匀速上滑，如图乙所示。

两次推力大小的比值
1
2
F F =________。

（sin370.6︒=，cos370.8︒=） 68
解析：68
根据共点力平衡条件可知，如图
1f sin F mg F θ=+ N cos F mg θ= f N F F μ=
如图
'f 2cos sin F mg F θθ=+
N
2cos sin F mg F θθ'=+ ''f N F F μ=
整理可得
1
2
cos sin 0.68F F θμθ=-= 15．如图所示，人通过该装置拉住平板，滑轮和绳子的质量及它们间的摩擦均不计，人重
为1G ，板重为2G ，所有绳子都沿竖直方向，若人和板一起匀速下降，则人对绳子的拉力大小为______，人对板的压力大小为______，天花板所受的拉力大小为______。

解析：122G G + 1232
G G + 12G G + [3]先把板、人、绳子和滑轮看成整体，它们受到总的重力和天花板的拉力作用，所以天花板所受的拉力大小为
12T G G =+总
[1]而人拉着的绳子与大滑轮下的两根绳子是同根绳子、拉力大小相等，所以人对绳子的拉力大小为
1222
T G G T +==总 [2]取人为研究对象，受到重力1G 、板的支持力N 和绳子向下的拉力T 作用，所以
12132
G G N G T +=+= 16．某同学在研究性学习中，利用所学的知识解决了如下问题：一根大弹簧内套一根小弹簧，大弹簧比小弹簧长d ，它们的下端平齐并固定，另一端自由，如图甲所示。

当砝码盘放在弹簧上端压缩此组合弹簧时，测得此弹簧的压缩量0x ；将砝码放在砝码盘上并记录弹簧的压缩量，多次测得砝码质量m 与对应弹簧压缩量x 并描绘出m x -的关系图像如图乙
所示。

已知重力加速度210m/s g =，则大弹簧的劲度系数1k =_____，小弹簧的劲度系数
后2k =___，砝码盘的质量0m =___（结果均保留2位有效数字）
050kg
解析：10N/m 20N/m 050kg
[1][2][3]大弹簧的劲度系数
()120.210N/m 10N/m 25510mg k x -∆⨯===∆-⨯ ()()1220.50.210=N/m 30N/m 352510mg k k x --⨯∆+=
=∆-⨯ 解得
220N/m k =
010m g k x =
所以
100100.05kg 0.050kg 10
k x m g ⨯=== 17．一重为G 的吊桥由六根钢杆悬吊着，六根钢杆在桥面上分列两排，其上端挂在两根钢缆上，如图。

已知图中相邻两钢杆间距离均为12m ，靠桥面中心的钢杆长度AA ′=DD ′=3m ，BB ′=EE ′，CC ′=PP ′，又已知两端钢缆与水平成45°角。

钢杆自重不计。

钢缆CF 上的拉力大小为_____。

为使每根钢杆承受负荷相同，钢杆BB ′长度应为_____米。

【解析】
解析：
22
G 【解析】 [1]．对整体受力分析，受重力和两个拉力F ，根据平衡条件，有：
2sin 45F G ︒=
解得：
F =22
G [2]．对C 点受力分析，受CC′杆的拉力、拉力F 、BC 钢缆的拉力，根据平衡条件，有： 水平方向：
F cos45°=F BC cos θ1
（θ1为F BC 与水平方向的夹角）
竖直方向：
F sin45°=
6
G +F BC sinθ1 解得： 136BC F mg =
tanθ1=23 对B 点受力分析，受BB′杆的拉力、BC 钢索的拉力、AB 钢索的拉力，根据平衡条件，有： 水平方向：
F BC cosθ1=F BA cosθ2
（θ2为F BA 与水平方向的夹角）
竖直方向：
F BC sinθ1=
6
G +F BA sinθ2 解得： 106BA F mg =
tanθ2=
13
故 BB′=EE′=AA′+A′B′tanθ2=3+12×
13=7m 18．如图所示，F 为共点力1F 和2F 的合力，且12F F >，保持1F 、2F 的大小不变，改变1F 和2F 间的夹角θ，若要使1F 和F 间夹角达到最大值，则θ角应为________，此时F 和1F 的夹角a 为___________。

解析：21
arcsin 2F F π+ 21arcsin F F [1]设F 2与F 的夹角为β，则由正弦定理可知
21=sin sin F F αβ
由于21F F <，所以90α<︒，1F 、2F 为定值，则当sin β最大时，此时a 也最大，所以=90β︒，即2F 与F 垂直时，α达到最大值，则
21
sin =F F α 21=
arcsin 2F F πθ+ [2]由21
sin =F F α可得
21=arcsin F F α 19．如图所示，长为l 的轻质细杆OA ，O 端为转轴，固定于竖直墙壁上，A 端绕接（固定）两条细绳，一绳拴重为G 的重物，另一绳跨过墙上的光滑小滑轮用力F 拉，两绳与杆的夹角分别为α、β，则力F 的大小为___________，现让杆缓慢逆时针方向转动的过程中，杆的弹力大小变化情况是__________（选填“一直变大”“一直变小”“一直不变”“先变大后变小”或“先变小后变大”）．
一直不变【分析】以A 点为研究对象分析受力情况作出力图
根据平衡条件由数学正弦定理求解力F 的大小当杆缓慢逆时针转动时整个装置处于动态平衡状态以A 点为研究对象分析受力情况作出力图根据平衡条件运用三角形相似
解析：
sin sin G βα
一直不变 【分析】 以A 点为研究对象，分析受力情况，作出力图，根据平衡条件，由数学正弦定理求解力F 的大小。

当杆缓慢逆时针转动时，整个装置处于动态平衡状态，以A 点为研究对象，分析受力情况，作出力图。

根据平衡条件，运用三角形相似法，得出杆的弹力大小与边长AO ， BO 及物体重力的关系，再分析其变化情况。

以A 点为研究对象，分析受力情况，作出力图，根据平衡条件得知，N 与F 的合力F 合与G 大小相等，方向相反，如图
根据数学上正弦定理得
sin sin F F βα
=合 又因为=F G 合
则
sin =sin G F βα
当杆缓慢逆时针转动时，整个装置处于动态平衡状态，则根据三角形相似定理得
F N AO BO
=合 式中AO ，BO ，F 合不变，则N 一直不变。

20．物体放在水平面上，用与水平方向成37︒斜向上的力拉物体时，物体匀速前进。

若此力大小不变，改为沿水平方向拉物体，物体仍能匀速前进。

（1）请分别画出两个过程物体的受力示意图_____；
（2）求物体与水平面之间的动摩擦因数μ______。

333
解析：
333
(1)[1]用与水平方向成37︒斜向上的力拉物体时受力示意图如图
沿水平方向拉物体时受力示意图如图
(2)[2]用与水平方向成37︒角的力拉物体时，由平衡条件得
cos (sin )F mg F θμθ=-
当施加水平力F 时，
F =μmg
联立解得： 1cos 10.80.333sin 0.6
θμθ--=
=≈ 三、解答题 21．如图所示，已知质量为1m 的物体通过三段轻绳悬挂，三段轻绳的结点为O 点，轻绳OB 水平且B 端被位于水平面上质量为2m 的小明拉着，轻绳OA 与竖直方向的夹角37θ︒=，物体和人均处于静止状态。

已知sin370.6︒=，cos370.8︒=，重力加速度为g ，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力。

求：
(1)轻绳OA 、OB 上的拉力大小；
(2)若人的质量250kg m =，人与水平面之间的动摩擦因数0.45μ=，则人所受最大静摩擦力为多大？欲使人在水平面上不滑动，物体的质量最大不能超过多少？（g =10m/s 2）
解析：(1)11.25OA T m g =，10.75OB T m g =；(2)30kg
(1)如图所示
对结点O 进行受力分析，依平衡有
1cos37OA m g T ︒=，sin 37OB OA T T ︒=
两式联立得OA 、OB 绳拉力分别为
11.25OA T m g =，10.75OB T m g =
(2)对人进行受力分析，依平衡有
m N f F μ=，F N =m 2g
代入数据联立得最大静摩擦力
f m =225N
又
m OB T f =
即
0.75m 1g =f m
解得
m 1=30kg
22．学生为了更好的整理自己的物品，通常会在桌子的侧面（在竖直面内）粘上挂钩，然后再挂上个背包之类的物品。

如图（甲）所示，挂钩的质量为m ，背包的质量为M ，重力加速度取g ，试解决如下问题（已知sin53°=0.8）：
（1）挂钩受到桌子侧面的摩擦力大小；
（2）如图（乙）所示，若用绳将背包对称的挂在两个等高的挂钩下（背包不接触桌子侧面），两绳之间的夹角为2θ，求右侧绳所受的拉力大小；
（3）在（2）问的情况下，若θ=53°，求其中一个挂钩受到桌子侧面的摩擦力的大小。

解析：（1）()m M g +；（2）2cos Mg θ；（3）222536
g m M mM ++ （1）将挂钩和背包看作一个整体，则由受力平衡得
()1f m M g =+
（2）对背包分析，根据合成的规律可得，背包带的拉力T 为
2cos Mg T θ
= （3）设摩擦力与竖直方向的夹角为α，将挂钩和背包看作一个整体，在竖直方向上有
22cos 2f mg Mg α=+
对一个挂钩分析，在水平方向上有
2sin sin f T αθ=
两式联立解得
2222()()23
Mg f mg Mg =+
+ 即 2222536
f g m M mM =++
23．如图所示，在水平作用力F 的作用下，木板B 在水平地面上向左匀速运动，其水平表面上的木块A 静止不动，与之相连的固定在竖直墙上的弹簧秤的示数为3.2N 。

已知木块A 重8N ，木板B 重12N 。

(1)木块A 与木板B 之间的动摩擦因数为多少？
(2)若已知木板与水平地面间的动摩擦因数为0.3，则水平力F 为多大？
解析：(1)0.4；(2)9.2N
【分析】
(1)A 保持静止，A 水平方向受到弹簧的拉力和B 对A 的滑动摩擦力，由平衡条件得到
f AB = 3.2N
由滑动摩擦力公式
f AB= μ1G A 解得
1
0.4 AB
A
f
G
μ==
(2)对B进行受力分析可知，B受到重力、A对B的压力、地面的支持力、A对B的摩擦力、地面对B的摩擦力以及水平力F
竖直方向
N B= G B+ G A= 12N + 8N = 20N
水平方向
F - f B- f AB= 0
由滑动摩擦力公式
f B= μ2N B= 0.3×20N = 6N
联立解得
F= 9.2N
则水平力F为9.2N。

【点睛】
抓
24．如图所示，质量为m＝2.4 kg的物体用细线悬挂处于静止。

细线AO与竖直方向间的夹角为37°，细线BO水平，细线CO竖直，重力加速度g＝10 m/s2，不计所有细线的重力，sin37°=0.6，cos37°=0.8。

(1)求细线BO上的拉力大小F；
(2)若三根细线能承受的最大拉力均为100N，要使三根细线均不断裂，求细线下端所能悬挂重物的最大质量；
(3)若上下缓慢移动细线OB的端点B，并保持细线AO与竖直方向间的夹角不变，求细线BO上拉力的最小值F min。

解析：(1)18N；(2)8kg；(3)14.4N
(1)以结点O为研究对象，受到重力、OB细线的拉力和OA细线的拉力，如图所示
根据平衡条件结合图中几何关系可得
tan37 2.4100.75N 18N OB F mg =︒=⨯⨯=
所以细线BO 上的拉力大小为
18N OB F F ==
(2)若三根细线能承受的最大拉力均为100N ，根据图中力的大小关系可得，只要OA 不拉断，其它两根细线拉不断，故有
cos37max max m g F =︒
解得 cos371000.8kg 8kg 10
max max F m g ︒⨯=== (3)当OB 与OA 垂直时，OB 细线的拉力最小，如图所示
根据几何关系结合平衡条件可得
sin37 2.4100.6N 14.4N min F mg =︒=⨯⨯=
25．如图所示，A 、B 都是重物，A 被绕过小滑轮P 的细线所悬挂，B 放在粗糙的水平桌面上；小滑轮P 被一根斜短线 系于天花板上的O 点； O '是三根线的结点，bO '水平拉着B 物体，cO '沿竖直方向拉着弹簧；弹簧、细线、小滑轮的重力和细线与滑轮间的摩擦力均可忽略，整个装置处于静止状态。

若A 物体重力为20N ，弹簧的劲度系数为100N/m ，则求：
(1)弹簧的伸长量；
(2)桌面对B 物体的摩擦力大小；
(3)悬挂小滑轮的斜线OP 的张力大小。

解析：(1) 0.1m ；(2)103N ；(3)203N
(1)以O '为研究对象，aO '绳张力大小等于重物A 的重力，根据三力平衡得弹簧的弹力为
sin3010N G F ==簧
根据胡克定律F kx =簧，可得
x =0.1m
(2)以O '为研究对象，根据三力平衡得bO '中的张力为
cos30103N bO G T '==
以B 物体为研究对象，根据力的平衡得桌面对B 物体的摩擦力大小为
103N bO f T '==
(3)以小滑轮P 为研究对象，aO '绳和拉重物A 的绳中张力大小相等，均为重物A 的重力，由几何关系可知，OP 绳和竖直方向夹角为30°，根据三力平衡得斜线OP 的张力大小为
2cos30203N OP T G ==
26．如图所示的机械装置，放在两固定斜面上的甲、乙两物块质量分别为1.5kg 和1kg ，甲、乙两物块被绕过3个滑轮的轻绳连接起来。

甲、乙两物块与斜面间的动摩擦因数分别为0.8和32
，若不计滑轮质量，不计滑轮与轻绳之间的摩擦，物块与斜面间的滑动摩擦力与最大静摩擦力大小相等，重力加速度g =10m/s 2，sin37°=0.6。

现用力F 向下拉最下面的滑轮，求
（1）当F =12N 时，甲物块与斜面之间的摩擦力大小；
（2）要使甲、乙两物块均保持静止，F 的取值范围。

解析：(1)3N ；(2)025N F ≤≤
(1)甲、乙两物块重力沿斜面向下分力
sin 379N F m g =︒=甲甲，sin 305N F m g =︒=乙乙
甲物块与斜面间的最大静摩擦力
f max cos379.6N F m
g μ=︒=甲甲
乙物块与斜面间的最大静摩擦力
f max cos307.5N F m
g μ=︒=乙乙
由分析可知，当F =12N 时，甲、乙两物块均保持静止，此时
f 13N 2F F F =-=甲甲 (2)甲、乙两物块重力沿斜面向下分力均小于与斜面间的最大静摩擦力，拉力的最小值
min 0F = 甲物块将沿斜面向上运动满足
f max 2
F F F =+甲甲 乙物块将沿斜面向上运动满足
f max 2
F F F =+乙乙 由此可知乙先达到最大静摩擦力，故
max f max 2
F F F =+乙乙 解得
max 25N F =
所以，要使甲、乙两物块均保持静止，F 的取值范围为
025N F ≤≤
27．如图所示，质量为m 的物体A 压在放于地面上的竖直轻弹簧B 上，现用细绳跨过定滑轮将物体A 与另一轻弹簧C 连接，当弹簧C 处于水平位置且右端位于a 点时，弹簧C 刚好没有发生变形，已知弹簧B 和弹簧C 的劲度系数分别为k 1和k 2，不计定滑轮、细绳的质量和摩擦，问：
(1)弹簧B 的形变量Δx 1的大小；
(2)若将弹簧C 的右端由a 点沿水平方向拉到b 点时，弹簧B 刚好没有变形，求此时弹簧C 的形变量Δx 2的大小；
(3)接第(2)问，求a ，b 两点间的距离d 。

解析：(1)1mg k ；(2)2
mg k ；(3)12mg mg k k +
(1)当弹簧C 的右端位于a 点时，弹簧C 的弹力为零，对物体A ，根据平衡有
11Δmg k x ＝
解得弹簧B 的形变量
11
Δ=mg x k (2)将弹簧C 的右端由a 点沿水平方向拉到b 点时，弹簧B 刚好没有变形，可知弹簧C 的弹力等于物体A 的重力，有
22Δmg k x ＝
解得22
k x mg ∆= (3)弹簧右端移动的距离为弹簧B 和C 的形变量之和，可知a 、b 的距离 1212ΔΔmg mg d x x k k =+=
+ 28．如图所示，粗糙斜面abcd 上放置一薄板P ，薄板P 上有一光滑小球Q ，Q 通过一根轻绳跨过一光滑定滑轮（不计重力）与物块R 相连，滑轮用一轻杆固定，整个装置静止。

斜面倾角θ=30°，连接Q 的细线与斜面平行且与底边垂直。

设物块R 的质量为m ，薄板P 的质量为2m ，薄板与斜面间的动摩擦因数32
μ=
，薄板与斜面间的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g 。

求：
(1)轻杆对滑轮的作用力T ；
(2)小球的质量M ；
(3)现用沿斜面向下的拉力F 拉薄板P 使其运动，求F 的最小值。

解析：3mg ，方向与竖直方向成30°；(2) 2m ；(3) 2mg
(1) 由题意得，绳上的拉力
0F mg =
以滑轮为研究对象，受力分析，如图所示
轻杆对滑轮的作用力
2cos303T mg mg ︒＝＝
方向与竖直方向成30°
(2)以小球为研究对象有
sin 30Mg mg ︒=
cos30Mg N ︒=
解得
2M m =
(3) 用沿斜面向下的拉力F 拉薄板P 使其开始运动，薄板的最大静摩擦力
02cos30m f m m g μ=+︒（）
则
2sin 30m F mg f +︒=
联立解得
2F mg =。