浙江省嘉兴市高三数学下学期教学测试试题(二)理(扫描版)

2016年高三教学测试（二）
理科数学 参考答案 （2016.4）
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的）
1. D ；
2. B ；
3. A ；
4. C ；
5. B;
6. D;
7. C;
8. C. 8．解析：因为0>x ，2
5
22<+<+y x x x ，所以2.121110<-<
<x ．y y y x +<+<222，所以1>y ，又2
5<
y ，所以25
1<<y ．
由252<+y x 得2232502π<<-<<y x ，所以)25
sin(sin 2y x -<，故A 正确；
由y x +<22得
2
21244.12
2π
π
->-
>->>>y x ，所以)2sin(sin 2y x ->，故B 正确； 对于C ，取2
22π
=-x ，
2
12
π
π
+<
<y 时，显然不成立，所以C 不正确； 由252<+y x 得2122502ππ<-+<-<<y y x ，所以)1cos()12
sin(sin 2y y x -=-+<π
，故D 正确．
二、填空题（本大题共7小题，共36分） 9. 0，8
9-
； 10. 0；-2或4； 11. 4
11,2π
π； 12.
3
8
；2； 13. 2；
14.
2
1；
15. 2
1-
. 15．解析：因为||||2
1
)|
|()|
||
|(2AC AC AC AC AC AO AC AD AD AB AB AO -=
⋅-
=⋅-
- 21
)1|(|212--=AC ,因为R AC R 2||3≤≤，所以1||=AC 时，取到最小值2
1-．
三、解答题（本大题共5小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16．（本题满分14分）
在△ABC 中，设边c b a ,,所对的角为C B A ,,，且C B A ,,都不是直角，
22cos cos )8(b a B ac A bc -=+-． （Ⅰ）若5=+c b ，求c b ,的值；
（Ⅱ）若5=a ，求△ABC 面积的最大值．
解：（Ⅰ）222
2222222)8(b a ac b c a ac bc a c b bc -=-+⋅+-+⋅
-
222222222222
282b a b c a bc a c b a c b -=-++-+⋅--+ 0282
222
2
2
=-+⋅
--+bc
a c
b a
c b ， ∵△ABC 不是直角三角形，∴04=-bc 故4=bc ，又∵5=+c b ，解得⎩⎨⎧==41c b 或⎩
⎨⎧==14
c b
（Ⅱ）∵5=a ，由余弦定理可得
A A bc bc A bc c b cos 88cos 22cos 2522-=-≥-+=，所以8
3
cos ≥
A ， 所以8
55
sin ≤
A ，所以455sin 21≤=∆A bc S ABC ．
所以△ABC 面积的最大值是455，当8
3
cos =A 时取到． 17．（本题满分15分）
如图，长方体1111D C B A ABCD -中，2=AB ，11==CC BC ，点P 是CD 上的一点，PD PC λ=．
（Ⅰ）若⊥C A 1平面1PBC ，求λ的值；
（Ⅱ）设11=λ，32=λ所对应的点P 为1P ，2P ，
二面角211P BC P --的大小为θ，求θcos 的值．
解：法一：（Ⅰ）∵⊥C A 11BC
若⊥C A 1PB ，则⊥C A 1平面1PBC ，只要⊥AC PB 即可 在矩形ABCD 中，
AB
BC BC CP =
，解得21
=CP ，31=λ； （Ⅱ）过C 作1BC CH ⊥交1BC 于H ，连接H P 1，H P 2，则21HP P ∠就是所求二面角的一个平面角θ ∵11=C P ，2
3
2=C P ，22=CH
∴2
3tan 1=
∠HC P ，2tan 2=∠HC P
=∠-∠=)tan(tan 12HC P HC P α8
2
，所
1
A 1
B 1
C 1
D z
A
B
C
D P
1
A 1
B 1
C 1
D （第17题）
求余弦值为
33
24.
法二：（Ⅰ）建立如图空间直角坐标系xyz O -， )0,2,0(),1,0,1(),1,2,0(),0,2,1(11C A C B
设)0,12
,
0(λ
+P ，若⊥C A 1平面1PBC ， )1,2,1(1--=→
C A ，)1,0,1(1-=→
BC ，
)0,12
2,1(λ
+-
-=→
BP ，则 ⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅→
→
→
→0
11
1BC C A BP C A ，解得31=λ （Ⅱ）)0,2,0(1P ，)0,1,0(2P
设平面11P BC 与平面21P BC 的法向量分别是21,n n ⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅→→→
→0
11
11BC n BP n ，解得)1,1,1(1-=→
n
⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅→→→
→00
12
22BC n BP n ，解得)3,2,3(2-=→n ，3324||||cos 2121=⋅⋅=→
→→→n n n n θ 18．（本题满分15分）
已知∈m R ，函数m x m x x f ++-+-=2)23()(2． （Ⅰ）若2
1
0≤
<m ，求|)(|x f 在]1,1[-上的最大值)(m g ； （Ⅱ）对任意的]1,0(∈m ，若)(x f 在],0[m 上的最大值为)(m h ，求)(m h 的最大值． 解：（Ⅰ）∵对称轴为12
23≥-=
m
x ∴|})1(||,)1(max{|)(f f m g -=|}4||,23max{|m m --= }4,32max{m m --= 又∵022)32()4(>+=---m m m ∴m m g -=4)(.
A
B
C
D 1P 1
A 1
B 1
C 1
D x
y
z
2
P
（Ⅱ）函数的对称轴为2
23m
x -=，且函数开口向下 ①
0223≤-m ，即2
3
≥m （舍去）
， ②m m
<-<2230，即143≤<m ，4
172)223()(2+
-=-=m m m f m h ③
m m >-2
23，即43
0≤<m ，243)()(2++-==m m m f m h
∴⎪⎩⎪⎨⎧≤<++-≤<+-=4302431434172)(22
m m m m m m m h ， 当32=m 时，取得最大值310
19．（本题满分15分）
已知椭圆14
16:
2
21=+y x C ，直线m kx y l +=:1（0>m ）与圆1)1(:222=+-y x C 相切且与椭圆1C 交于B A ,两点.
（Ⅰ）若线段AB 中点的横坐标为34
，求m 的值；
（Ⅱ）过原点O 作1l 的平行线2l 交椭圆于D C ,两点，设
||||CD AB λ=，求λ的最小值．
解：（Ⅰ）m kx y l +=:1代入14
16:2
21=+y x C 得 0)4(48)41(222=-+++m km x x k ，0>∆恒成立，
设),(),,(2211y x B y x A ，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=
+-=+22
2122141)4(4418k m x x k km x x ，所以344142=+-k km ①， 又11|
|2
=++=k m k d ，得m m k 212
-=②，联立①②得0224=--m m ，
解得2=m ．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得22221414164||k m k x x ++-=-，所以2
2224141641||k m k k AB ++-⋅+=，
把kx y l =:2代入1416:221=+y x C 得224116k x +=，所以22
4181||k
k CD +⋅+=， O
x
y
A
B C
D
（第19题）
所以22
22241421412416||||k m k m k CD AB +-=++-==λ2
22)21(41421m m m -+-= 3643)211(1421142122244≥+
--=+--=m
m m m ，
当42
,2-
==k m ，λ取最小值3
6． 20．（本题满分15分）
已知点列)2
,
(n
n n x x P 与)0,(n n a A 满足n n x x >+1，11++⊥n n n n P A P P ，且11++=n n n n P A P P ，其中
∈n N *
,11=x ．
（Ⅰ）求1+n x 与n x 的关系式；
（Ⅱ）求证：2
21232224n x x x n n ≤+++<+ .
解：（Ⅰ）)22,(1
11n n n n n n x x x x P P -
-=+++,)2
,(1
11+++-=n n n n n x a x P A )22,
(1
1n n n n x x x x -
-++0)2,(11=-⋅++n n n x a x 得n
n n n x x a x ⋅=-++2114
①， 又=-
+-++21
21)22(
)(n n n n x x x x 21
214
)(+++-n n n x a x ② 把①代入②，得)4
1(4)41()(2
212122121n
n n n n n n x x x x x x x ⋅+=⋅+-++++， 得2
1
214
)(++=
-n n n x x x ，所以1
12++=
-n n n x x x ．
（Ⅱ）1
12++=
-n n n x x x ，所以2211212n n n n n x x x x x -<-=+++，
所以()n x x
x n
i i
i n 211
2
21
2
1
>-=
-∑=++，所以121
+>+n x
n ，
2212322)2()12(53n n n n x x x n >+=++++>++++ ．
又2≥n 时，∑
∑
∑
==+=+++<=
-=
-n
i n
i i n
i i i n i x x x x x 2
2
1
2
1211
222
)(，
（第20题）
O
x
y
1A 1
P 2
P 3
P 2
A
因为
)1(222
2241
21241
22i i i i i i i -+=++<
+++=
+，
所以)21(22)1(22
(2
21-+=-+≤
-∑=+n i i x x n
i n
所以2881-+≤+n x n ，所以4888448821-<+-++≤+n n n x n ，
又22=x ，所以2
2123224)]12(31[4n n x x x n =-+++≤++++ ．。