江苏省蒋垛中学~高二数学月考试题必修五

江苏省蒋垛中学2008~2009年高二数学月考试题
以下公式仅共参考： 命题人：徐文国 08、9、30
])()()[(1
222212x x x x x x n
S n -++-+-=
,)()
)((1
2
1
∑∑==---=
n
i i
n
i i i
x x
y y x x
b x b y a -=
一：填空题（每题5分，共70分） 1、“x >1”是“x ≥1”的 条件（填：充分不必要、必要不充分、充要、非充分非必要）
2、给出下列4个命题：
(1)“三个球全部放入两个盒子，其中必有一个盒子有一个以上的球”是必然事件; (2)“当x 为某一实数时可使x 2<0”是不可能事件; (3)“明天蒋垛要下雨”是必然事件;
(4)“从100个灯泡中取出5个，5个都是次品”是随机事件. 其中正确命题有 个。

3、命题“01,2>++∈∀x x R x 都有”的否定是 。

4、从总数为N 的一批零件中抽取一个容量为30的样本，若每个零件被抽取的概率为
0.25，则N = . 5、已知平面向量=(1,2), =(–2,m ),且∥,则2+36、从某项综合能力侧试中抽取100人的成绩，
则这100人成绩的方差为 。

7中圆面，那么镖落在三角形内的概率为 .
8、如图所示的程序框图可用来估计π的值（假设函数
RND(– 1,1)是产生随机数的函数，它能随机产生区间 (– 1,1)内的任何一个实数）。

如果输入1000，输出的 结果为788，则由此可估计π的近似值为 。

（保留四位有效数字）
9、实验测得五组(,)x y 的值（3，2），（5，3），（6，3开始
i ←1
↓
↓
（7，4），（9，5）是线性相关的，则y 与x 之间的线性回归方程是 .
10、设函数f (x )＝⎩⎨⎧1－x 2， x ≤1，x 2＋x －2，x ＞1，则f ⎝⎛⎭⎫
1f (2)的值为 。

11、考虑一元二次方程x 2+mx +n =0,其中m 、n 的取值分别等于将一枚骰子连掷两次先后出
现的点数,则方程有实根的概率为 。

12、已知函数f (x )=(1+cos2x )sin 2x , x ∈R,则f (x )的周期是 。

13、对于0],2,1[2>+∈∀ax x x 都有，则实数a 的取值范围是 。

14、从甲、乙两品种的棉花中各抽测了25根棉花的纤维长度（单位：mm ），结果如下： 甲品种：271 273 280 285 287 292 294 295 301 303 303 307 308 310 314 319 323 325 328 331 334 337 352
乙品种：284 292 295 304 306 307 312 313 315 315 316 318 318 320 322 322 324 327 329 331 333 336 337 343 356 由以上数据设计了如下茎叶图
根据以上茎叶图，对甲、乙两品种棉花的纤维长度作比较，写出两个统计结论：
① ② 二：解答题（六大题，共计90分） 15、（本题满分14分）
已知命题p ：方程x 2 + mx + 1=0有两个不相等的实根； q ：不等式4x 2 +4(m – 2)x + 1>0的解集为R ； 若p 或q 为真，p 且q 为假，求实数m 的取值范围。

甲 乙 3 1 27 7 5 5 0 28 4 5 4 2 29 2 5 8 7 3 3 1 30 4 6 7 9 4 0 31 2 3 5 5 6 8 8 8 5 5 3 32 0 2 2 4 7 9 7 4 1 33 1 3 6 7 34 3 2 35 6
一个盒中装有8只球，其中4红、3黑、1白，现从中取出2只球（无放回）， 求：（1）全是红球或全是黑球的概率； （2）至少有一个红球的概率。

17、（本题满分14分）
已知函数x x x x f cos sin 32cos 2)(2+=； 设p 为“]3
,6[π
π-
∈x ”，q 为“|f (x ) – m |<3”。

若p 为q 的充分条件，求m 的取值范围。

18、（本题满分14分）
如下的三个图中，上面的是一个长方体截去一个角所得几何体的直观图，它的正视图和侧视图在下面已画出（单位：cm ）。

（1）在正视图下面，按照画三视图的要求画出该几何体的俯视图； （2）按照给出的尺寸，求该几何体的体积；
（3）在所给直观图中连结BC 1，证明BC 1∥平面EFG 。

（正视图）
（侧视图）
A B
C D E F G D 1 C 1 B 1
已知数列{a n}的前项和为S n，求证：数列{a n}为等差数列的充要条件是S n=An2+Bn。

20、（本题满分18分）
已知命题A：函数f (x)=x2 – 4mx + 4m2 + 2在区间[– 1, 3]上的最小值为2；
命题B：不等式x + |x–m|>1对任意x∈R恒成立；
命题C：{x| m≤x≤2m+1} {x| x2– 4≥0}。

（1）若A、B、C中至少有一个为真命题，试求实数m的取值范围；
（2）若A、B、C中恰有一个为假命题，试求实数m的取值范围。

江苏省蒋垛中学2008~2009年高二数学月考试题参考答案
一：填空题（每题5分，共70分）
1、充分不必要
2、3
3、01,2≤++∈∃x x R x 使得
4、120
5、(–4, –8)
6、1.6
7、
π
433 8、3.152 9、ˆˆ0.40.5y
x =+ 10、15
16 11、3619 12、2π 13、a > – 1 14、(1)乙品种棉花的纤维平均长度大于甲品种棉花的纤维平均长度（或：乙品种棉花的
纤维长度普遍大于甲品种棉花的纤维长度）。

（2）甲品种棉花的纤维长度较乙品种棉花的纤维长度更分散（或：乙品种棉花的纤维长度较甲品种棉花的纤维长度更集中（稳定）。

甲品种棉花的纤维长度分散程度比乙品种棉花的纤维长度的分散程度更大）。

（3）甲品种棉花的纤维长度的中位数为307mm ，乙品种棉花的纤维长度的中位数为318mm 。

（4）乙品种棉花的纤维长度基本上是对称的，而且大多集中在中间（均值附近）。

甲品种棉花的纤维长度除一个特殊值（352）外，也大致对称，其分布教均匀。

二：解答题
15、解：因为方程x 2 + mx + 1=0有两个不相等的实根，
所以Δ1=m 2 – 4>0, ∴m >2或m < – 2 …………3分 又因为不等式4x 2 +4(m – 2)x + 1>0的解集为R ，
所以Δ2=16(m – 2) 2– 16<0, ∴1< m <3 …………6分 因为p 或q 为真，p 且q 为假，所以p 与q 为一真一假， …………8分
（1）当p 为真q 为假时，323
12
2≥-<⇒⎩⎨
⎧≥≤-<>m m m m m m 或或或…………10分
（2）当p 为假q 为真时，21312
2≤<⇒⎩
⎨⎧<<≤≤-m m m …………12分
综上所述得：m 的取值范围是32≥-<m m 或或21≤<m …………14分
16、解：（1）记事件A 、B 分别表示取出的全是红球、全是黑球，因为A 、B 彼此互斥，
则P （A ）=
143
7834=⨯⨯， …………2分 P （B ）=28
3
7823=⨯⨯ …………4分 所以P （A+B ）= P （A ）+P （B ）=28
9
…………6分
（2）记事件C 表示取出的至少有一个红球，则事件C 的对立事件为“一个红球也
没有”记为事件D （从3个黑球和1个白球中取2个），…………8分
则P （D ）=
14
3
7834=⨯⨯， …………10分 所以P （C ）=1 – P （D ）= 1 – 143=14
11
， …………12分
答：（1）全是红球或全是黑球的概率为28
9
；
（2）至少有一个红球的概率为14
11。

…………14分
17、解：x x x x f cos sin 32cos 2)(2+==12cos 2sin 3++x x
=)6
2sin(2π
+
x +1， …………4分
∵]3,6[π
π-
∈x ，∴]32,3[2ππ-∈x ，∴]65,6[62π
ππ-∈+x ， ∴)62sin(π+x ]1,2
1
[-∈， ∴f (x )的最大值为3，最小值为0； …………8分
∵p 为q 的充分条件，∴对于∀]3
,6[π
π-∈x ”，|f (x ) – m |<3恒成立， …………10分
即∀]3,6[π
π-
∈x ”，m – 3 <f (x ) < m +3恒成立，30
3<<⇒⎨⎧<-∴m m ……14分 18、解：（1）如图
（2）所求几何体的体积 V=V 长方体 – V 正三棱锥
=2)2221(31644⨯⨯⨯⨯-⨯⨯=3
284
（cm 3） …………9分
（3）证明：长方体ABCD – A 1B 1C 1D 1中， 连结AD 1，则AD 1∥BC 1。

因为E 、G 分别为AA 1、A 1D 1的中点， 所以AD 1∥EG ，从而EG ∥BC 1，
由BC 1⊄平面EFG ，EG ⊂平面EFG ， 所以BC 1∥平面EFG 。

…………14分 19、证明：（1）必要性
因为数列{a n }为等差数列，
设首项为a 1，公差为d, …………2分
则S n =na 1+
(1)2n n -d =2d n 2+12a d
-n …………5分 令A=2
d
，B=12a d -，则S n =An 2+Bn ；…………7分
A
B
C D
E F G D 1 C 1 B 1
A 1 ……4分
（2）充分性
因为S n =An 2+Bn ，
所以a n =S n – S n – 1= An 2+Bn –A (n – 1)2–B ( n – 1)=(2n – 1)A+B(n ≥2) …………9分 当n =1时，a 1=S 1=A+B ，满足上式。

…………10分 所以a n = (2n – 1)A+B （n ∈N*） …………11分 所以a n – a n – 1 = (2n – 1)A+B –(2n – 3)A – B=2A (n ≥2)为常数，
所以数列{a n }为等差数列。

…………13分 综合（1）（2）知：数列{a n }为等差数列的充要条件是S n =An 2+Bn 。

…………14分 20、解：∵f (x )=x 2 – 4mx + 4m 2 + 2=(x – 2m ) 2 + 2
∴只有x =2m 时，f (x )的最小值为2，又∵f (x )在区间[– 1, 3]上的最小值为2，
∴– 1≤2m ≤3, ∴–
21≤m ≤23 , ∴命题A 为真的条件是–21≤m ≤2
3； 令g (x)= x + |x – m |=⎩
⎨
⎧<≥-)( )
( 2m x m m x m x
当x ≥m 时, g (x )=2x – m 在),[+∞m 上单调递增，g (x )min = g (m )=m ,
当x <m 时, g (x )=m = g (x )min ,
∴x ∈R 时，g (x )的最小值为m , ∴命题B 为真的条件是m >1；
∵{x | m ≤x ≤2m +1}⊆{x | x 2 – 4≥0},
∴m >2m +1或⎩⎨⎧≥+≤212m m m 或⎩
⎨⎧-≤++≤2121
2m m m
∴m <– 1或m ≥2或m φ∈
∴命题C 为真的条件是m ≥2或m <– 1；
∵命题A 、B 、C 都为假的条件是21
12
11
2123-<≤-⇒⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧
<≤-≤-<>m m m m m 或， ∴命题A 、B 、C 中至少有一个为真命题的条件是m <– 1或m ≥2
1-
；
（2）当A 假，B 、C 为真时，⇒⎪⎪⎩⎪
⎪⎨⎧≥-<>-<>211
2123m m m m m 或或 m ≥2 当A 真，B 假，C 为真时，φ∈⇒⎪⎪⎩⎪
⎪⎨⎧≥-<≤≤≤-m m m m m 211
2321
或 当A 真，B 真，C 为假时，23
12
11
2321
≤<⇒⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧<≤->≤≤-m m m m 所以A 、B 、C 中恰有一个为假命题的条件是m ≥2或2
31≤
<m。