金山区-2014学年第一学期期末考试

金山区20XX-20XX 学年第一学期期末考试
高三数学试卷
(满分：150分，完卷时间：120分钟)
(答案请写在答题纸上)
一、填空题(本大题满分56分)本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分。

矚慫润厲钐瘗睞枥庑赖賃軔朧。

1+ i
1•计算：——=(i为虚数单位)。

3-i
3 n 4
2.若a€ (一 ,2 冗),tan a二-一，贝U sin a二。

2 3
3•设集合A =迄八a f,集合B=｛a, b｝,若A A B=甘｝则A U B=。

4•不等式：x；1 X <1的解集是。

5•若函数y二f(x)的反函数为y=2x-1-1，贝y f(x)二。

6.若关于x的实系数一元二次方程x2+px+q=0有一个根为3-4i (i是虚数单位)，则实数p与q的乘积pq=。

2 1 7 2
7•二项式(x2- )7的展开式中含x2的项的系数是。

x
8.在等差数列｛a n｝中，c = 3，公差不等于零，且a2、a4、a9恰好是某一个等比数列的前三项，那么该等比数列的公比的值等于。

9•容器中有10个小球，除颜色外，其他性状”完全相同，其中4个是红色球，6个是蓝色球，若从中任意选取3个，则所选的3个小球都是蓝色球的概率是(结果用数值表示)。

聞創沟
燴鐺險爱氇谴净祸測樅。

10•从一堆苹果中任取5只，称得它们的质量(单位：克)分别是：125,124,121,123,127,则
该堆苹果的总体标准差的点估计值是(结果精确到0.01 )。

残骛楼諍锩瀨濟溆塹籟婭骤東。

11.设数列｛a n｝是公比为q的等比数列，它的前n项和为S n，若n imS n
= 2，则此等比数列的首项a1的取值范围是。

12・已知偶函数y二f(x)(x€ R)满足：f(x+2)= f(x)，并且
当x € [0,1] 时，f (x) = x，函数y=f (x)( x € R)与函数
y= I o gx|的交点个数是。

A 13.如图，已知直线丨:4x-3y+ 6= 0，抛物线C : y2 = 4x图像
上的一个动点P 到直线丨与y 轴的距离之和的最小值是。

14.如图，在二棱锥 P-ABC 中 PA 、PB 、PC 两两垂直，且 PA = 3, PB = 2 , PC = 1。

设M 是底面三角形 ABC 内一动点，定义： f(M)=(m , n , p)，其中m 、n 、p 分别是
1
三棱锥M - PAB 、三棱锥 M - PBC 、三棱锥 M - PAC 的体积。

若f (M )= (? ,x , y),
1 a
且—+二＞8恒成立，则正实数 a 的最小值是。

酽锕极額閉镇桧猪訣锥顧荭钯。

x y
、选择题(本大题满分 20分)本大题共有 4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在
答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得 毙攬砖卤庑诒尔肤。

5分，否则一律得零分。

彈贸摄尔霁 15•设 x € R ，则 “x-1>1”是’X>3”的( )。

(A )充分且不必要条件 (B )必要且不充分条件 (C )充分且必要条件
(D )以上皆错
16.如果执行如图所示的程序框图，那么输出的值是 (
)。

(A ) 2400 (B ) 2500
(C ) 2550
(D ) 2652
17•在A ABC 中，若M 是线段BC 的中点，点P 在线段
AM 上，满足： AM| = 1 , PA=-2PM ,则
PA?(PB+ PC)等于( 、 )。

(A)
(D) -4謀荞抟箧
9
飆鐸怼类蒋薔點鉍杂。

18.已知有相同两焦点
F 2的椭圆
2
x
+ y 2= 1(m>1)和双曲线 m 2
—-y 2= 1(n>0)，点 P 是 n
规定区域内写出必要的步骤。

茕桢广鳓鯡选块网羈泪镀齐鈞
19. (本题满分12分)本题共2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分。

如图，直三棱柱 ABC-ABQ 中，Z BAC = 90°, AA=AB=AC = 1。

它们的一个交点，贝
y
A F 1PF 2面积的大小是(
)。

/ 、 1
(A )-
(B )
(C )
2
2
時盡继價骚卺癩龔。

(D ) 2厦礴恳蹒骈
5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的
三、解答题74分)本大题共有
设M 是棱BB i 的中点，求异面直线 MC 与AA i 所成的角的大小(用反三角函数值表示)；
若M 是棱BB i 上的任意一点，求四棱锥 C 1 -MA^B ,体积的取值范
围。

20. (本题满分14分)本题共2个小题，第1小题满分6分，第2小 题满分8分。

如图，D 是直角三角形ABC 斜边BC 上的点，AB= AD ，记 ZCAD = a , ZABC = B 。

21. (本题满分14分)本题共2个小题，第1小题满 分8分，第2小题满分6分。

1
已知数列 &｝满足：31 = a , a n+1 = 1+
，又数列
a n
当a 为何值时，a 4 = 0，并证明当a 取数列£｝中除b 1以外的任意一项时，都可以得到一个 有穷数列右“｝;
若3 < a n < 2(n >4)，求a 的取值范围。

2
n
22. (本题满分16分)本题共3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题 满分6分。

定义：对函数 y 二f (x)，对于给定的正整数
k ，若在其定义域内存在实数
x 0，使得
f (x 0 + k) = f (x 0) + f (k)，则称函数为'k 性质函数”。

若函数f(x)=2x 为“1性质函数”，求x o ；
1
判断函数f(x)= 是否是’k 性质函数”？若是，请求出k ,若不是，请说明理由；
x
a
若函数f(x) = lg-^ 为“2生质函数”，求实数a 的取值范围。

x +1
23. (本题满分18分)本题共3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题 满分8分。

已知曲线C 1 :―+ —=1(a>b>0)所围成的封闭图形的面积为
4屈，曲线G 的内切圆半
a b
(1)求证：sin a + cos2 B = 0 ;
(2)若 AC= .3DC ，求 B 的值。

{b n
}满足：b] = -1 , b
n+1
=
I
k * 冷 €N )。

径为记曲线C 2是以曲线G 与坐标轴的交点为顶点的椭圆。

设
AB 是过椭圆C 2中心
的任意弦，丨是线段AB 的垂直平分线， M 是丨上异于椭圆中心的点。

鹅娅尽損鹤惨歷茏鴛賴縈诘 聾。

求椭圆C 2的标准方程;
若MO =mOA ( O 为坐标原点)，当点 A 在椭圆C 2上运动时，求点 M 的轨迹方程; 若M 是I 与椭圆C 2的交点，求A ABM 的面积的最小值。

金山区20XX-20XX 学年度第一学期高三期末考试 数学试题评分标准
56分)本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接 4分，否则一律得零分. 籟丛妈羥为贍债蛏练淨槠挞曉。

3. {2,4,5}
4. [ -, 0]
5. Iog2(x+1)+1 , x € (-1, +鸟預頌圣鉉
8.
9.
10. 2.24
11 . (0, 2)U (2, 4)渗釤呛俨匀
2 6
14. 6 -；
20分)本大题共有 4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在 答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得
5分，否则一律得零分•铙誅卧泻噦圣
骋贶頂廡缝勵罴。

15. B 16. C 17. D 18. C
三、解答题(本大题满分 74分)本大题共有 6题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的
规定区域内写出必要的步骤.
擁締凤袜备訊顎轮烂蔷報赢无。

19. (本题满分12分)本题共2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分.
一、填空题(本大题满分 填写结果，每个空格填对得 1 2. 4 1.——— 2.
5 5
5
儐歲龈讶骅籴買闥龅。

6. -50
7. 35
谔鱉调硯錦鋇絨钞。

12. 6 13. 1
、选择题(本大题满分 (1)因为AA1 // CC1，所以DMCC 1就是异面直
DBAC
=9C ° ,
3 在厶MCC1中，MC 仁 ,
2
所以异面直线MC 与AA1
所成的角的大小是 arccos ;
a ...... 2分
分
分 分
⑵设B1M=x (0<x W 1) A1C1丄平面MAA1B1 , A1C1是四棱锥C1 -MAA1B1的高，…9分贓熱俣阃歲匱阊邺镓騷鯛汉鼉。

且A1C1=1 ,梯形MAA1B1 的面积 - - ，四棱锥C1 -MAA1B1 的体积
2
r'/-■(0<x W 1) .............................................. 分坛搏乡囂忏蒌鍥铃氈淚跻馱釣。

36
即_ • •二1，故四棱锥I - H ::体积的取值范围是- • ......................... 12分
6 _3
1 1 1
门」
20. (本题满分14分)本题共2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.
(1)证明：由于 AB=AD ，所以DBDA=b ，所以b=a+DC, ............................................ 2 分 因为/ BAC=90，所以 DC=90 -，所以 b=a+90° -，即 2b=90° +a, ....................... 4 分 故cos2b=cos(90 °+a)= -sina ,即sina+cos2b=0; .................... 6 分蜡變黲癟報伥铉锚鈰赘
籜葦繯。

DC AC DC
屈DC
⑵在△ ABC 中，由正弦定理得：
._ ，即 ——
,
sin a 血(开-0)
sin a sin
贝U sinb= J ； sina .
由⑴可得：sinb= - ［； cos2b=- ［； (1 -2sin2b)，即：2-/^： 昙膚遙闫撷凄届嬌擻。

解得：sinb=
或 sinb=-上二(舍)，所以 b=60° .
2
3
sin2b-sinb=0,…11 分買鯛鴯譖
14分
21. (本题满分14分)本题共2个小题, 1 ，又 a4=0, ]
(1)解：由题意的匸、-
第1小题满分8分，第2小题满分6分. 1 2
亠
所以 a3= -1, a 2
证明：因为匚‘”，
--
1 1 ——,所以bn=1+ --
纭 1
,若a 取数列｛bn ｝中任意一个数bn (n>1),即a=bn ,
1 1
a2=1+ 一 =1+ 一 =bn -, 匚:，
1 1
a3=1+ — =1+ ；—
a
2
如
櫬鹕踪韦辚糴飙铳麦。

所以数列｛an ｝只能有
n+1项，为有穷数列.
⑵解:
-<1+—<2 2 益」
c2
(n > 5)? 3
11分
<%i <2
3_
_
所以<an<2 (n > 4,)等价于<a4<2，等价于
2 2 亠
22.(本题满分16分)本题共3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分.解：⑴由f(x0+1)=f(x0)+f(1)得：］］，得：x0=1 ;
(2)假设存在x0满足条件: 丄…丄••一即，"「=0,
州+丘鬲七°7
3 3a + 2
< <2,
2 2a +1
等价于a>0. 14分。