2011学年高考数学应考复习精品资料解题技巧第四讲__数列与探索性新题型

2011年高考数学应考复习精品资料·解题技巧
第四讲 数列和探索性新题型
【考点透视】
1．理解数列的概念，了解数列通项公式的意义，了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项.
2．理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式和前n 项和公式，并能运用公式解答简单的问题.
3．理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式和前n 项和公式，并能运用公式解决简单的问题.
4．数列是高中数学的重要内容，又是学习高等数学的基础，所以在高考中占有重要的地位.高考对本章的考查比较全面，等差数列，等比数列的考查每年都不会遗漏.解答题多为中等以上难度的试题，突出考查考生的思维能力，解决问题的能力，试题大多有较好的区分度.有关数列的试题经常是综合题，经常把数列知识和指数函数、对数函数和不等式的知识综合起来，试题也常把等差数列、等比数列，求极限和数学归纳法综合在一起。

探索性问题是高考的热点，常在数列解答题中出现。

本章中还蕴含着丰富的数学思想，在主观题中着重考查函数和方程、转化和化归、分类讨论等重要思想，以及配方法、换元法、待定系数法等基本数学方法.使用问题考查的重点是现实客观事物的数学化，常需构造数列模型，将现实问题转化为数学问题来解决.
【例题分析】
考点1 正确理解和运用数列的概念和通项公式
理解数列的概念,正确使用数列的定义，能够根据数列的前几项写出数列的通项公式.典型例题
例1．在德国不来梅举行的第48届世乒赛期间，某商店橱窗里用同样的乒乓球堆成若干堆“正三棱锥”形的展品，其中第1堆只有1层，就一个球；第2，3，4，…堆最底层（第一层）分别按图4所示方式固定摆放，从第二层开始，每层的小球自然垒放在下一层之上，第n 堆第n 层就放一个乒乓球，以f (n)表示第n 堆的乒乓球总数，则()f 3_____=；()_____f n =（答案用n 表示）
思路启迪：从图中观察各堆最低层的兵乓球数分别是12,3,4, …推测出第n 层的球数。

解答过程：显然()f 310=.
第n 堆最低层（第一层）的乒乓球数，()n 12n n n 1a a a
a 2
+=++
+
=
，第n 堆的乒乓球数总数
…
相当于n 堆乒乓球的低层数之和，即()()22212n n n 11
1f n a a a (12n ).2
22
+=++
+=++
++⋅所以：()()
n n 1n 2f (n)6
++=
例2．将杨辉三角中的奇数换成1，偶数换成0，得到如图所示的0-1三角数表．从上往下数，第1次全行的数都为1的是第1行，第2次全行的数都为1的是第3行，…，第n 次全行的数都为1的是第 行；第61行中1的个数是 ．第1行 1 1
第2行 1 0 1
第3行 1 1 1 1
第4行 1 0 0 0 1
第5行 1 1 0 0 1 1
…… ………………………………………
思路启迪：计算图形中相应1的数量的特征，然后寻找它们之间的规律。

解：第1次全行的数都为1的是第21-=1行，第2次全行的数都为1的是第221-=3行，第3次全行的数都为1的是第321-=7行，······，第n 次全行的数都为1的是第21n -行；第61行中1的个数是521-=32．
应填21n -，32
考点2 数列的递推关系式的理解和使用
在解答给出的递推关系式的数列问题时，要对其关系式进行适当的变形 ，转化为常见的类型进行解题。

如“逐差法”若n n 1a a n,--=且1a 1=；我们可把各个差列出来进行求和，可得到数列{}n a 的通项.
()()()n n n 1n 1n 2211a a a a a a a a ---=-+-++-+()()n n 1n n 121.2
+=+-+
++=
再看“逐商法”即n 1n
a n 1a +=+且1a 1=，可把各个商列出来求积。

()()n n 12
n 1n 1n 2
1
a a a a a n n 1n 221n!
a a a ---=
=--=另外可以变形转化为等差数列和等比数列，利用等差数列和等比数列的性质解决问题。

例3．
数列{}n a 中，12a =，1n n a a cn +=+（c 是常数，123n =，，，），且123a a a ，，成公比不为1的等比数列．
（I ）求c 的值；（II ）求{}n a 的通项公式．
思路启迪：（1）由123a a a ，，成公比不为1的等比数列列方程求c ；
（2）可根据递推公式写出数列的前几项，然后分析每一项和该项的序号之间的关系，归纳概括出an 和n 之间的一般规律，从而作出猜想，写出满足前4项的该数列的一个通项公式.
解：（I ）12a =，22a c =+，323a c =+，
因为123a a a ，，成等比数列，所以2(2)2(23)c c +=+，解得0c =或2c =．当0c =时，123a a a ==，不符合题意舍去，故2c =．（II ）当2n ≥时，由于
21a a c -=， 322a a c -=， ，1(1)n n a a n c --=-，
所以1(1)[12(1)]2
n n n a a n c c --=++
+-=
．
又12a =，2c =，故22(1)2(23)n a n n n n n =+-=-+=，，．当1n =时，上式也成立，
所以22(12)n a n n n =-+=，，．
小结：从特殊的事例，通过分析、归纳、抽象总结出一般规律，再进行科学地证明，这是创新意识的具体体现，这种探索问题的方法，在解数列的有关问题中经常用到，应引起足够的重视.
例4．已知数列{}n x 满足122x x =，()1212
n n n x x x --=+，3,4,n =…．若lim 2n n x →∞
=， 则 ( B )（Ａ） 32
（Ｂ） ３ （Ｃ） ４ （Ｄ） ５
思路启迪：对递推关系变形，运用叠加法求得，特别注意的是对两边同时运用.解答过程：n n 1n 12x x x --=+， n n 1n 2n x x x x --∴-=-.
3213
4324
n 1n 2n 3n 1n n 1n 2n x x x x x x x x x x x x x x x x -------=-⎫
⎪-=-⎪⎪⎬
⎪
-=-⎪
-=-⎪
⎭相叠加n 212n n 1x x x x x x --=+--.12x x 2
=
， n n 1
1
2x x 2x -∴+=.()n n 11n n lim 2x x lim 2x -→∞
→∞
+=， n n lim x 2→∞
=，12x 6∴= ，1x 3=.
解答过程2：由()1212
n n n x x x --=+得：
n n 1n 1n 221111
1
x +x x x x x x 22
2
---=+=
=+=，
n n 11n 1lim x x x 2-→∞⎛⎫
+= ⎪⎝⎭
，因为n n lim x 2→∞=.
所以：1x 3=.
解答过程3：由()1212
n n n x x x --=+得：
()()
2
n n 1n 1n 2n 2n 311x x x x x x 22-----⎛⎫⎛⎫
-=--=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭…………
()n 2
n 1
21111x x x 22--⎛⎫
⎛⎫
=
=--=- ⎪ ⎪
⎝⎭
⎝⎭
，
从而 2
3211x x x 2⎛⎫-=- ⎪⎝⎭；34311x x x 2⎛⎫-=- ⎪⎝⎭；……；n 1
n n 111x x x 2--⎛⎫-=- ⎪⎝⎭
.
叠加得：23
n 1
n 21111x x x 222-⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫
-=-
+-+
+-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
⎢⎥⎣
⎦
.n 2
n 2111x x x 162-⎡⎤⎛⎫
=+--⎢⎥ ⎪
⎝⎭
⎢⎥⎣⎦， n 2
n 21n n 11lim x lim x x 162-→∞→∞⎧⎫⎡⎤⎪⎪⎛⎫=+--⎢⎥⎨⎬ ⎪⎝⎭⎢⎥⎪⎪⎣⎦⎩⎭
.11
x 12x 26
=
+ ， 从而1x 3=.小结：数列递推关系是近几年高高数学的热点，主要是一些能转化为等差等比数列的递推关系式。

对连续两项递推()n n-1a ka d n 2,k 1=+≥≠，可转化为
n n 1d d a k a 1k 1k -⎛
⎫-
=- ⎪--⎝
⎭；对连续三项递推的关系()
n 1n n-1a ka da n 2+=+≥如果方程2x kx d=0--有两个根αβ、，则上递推关系式可化为
()n 1n n n 1a a a a αβ+--=-或()n 1n n n 1a a a a βα+--=-.
考点3 数列的通项n a 和前n 项和n S 之间的关系和使用
n a 和n S 的关系：1n n n 1S n=1a S S n 2
-⎧=⎨
-≥⎩，数列前n 项和n S 和通项n a 是数列中两个重要的量，在运用它们的关系式n n n 1a S S -=-时，一定要注意条件n 2≥，求通项时一定要验证1a 是否适合。

解决含n a 和n S 的式子问题时，通常转化为只含n a 或者转化为只n S 的式子.
例5． 在等比数列{}n a 中,12a =,前n 项和为n S ,若数列{}1n a +也是等比数列,则n S 等于（ ）
(A)122n +- (B) 3n (C) 2n (D)31
n -命题目的：本题考查了等比数列的定义和求和公式，着重考查了运算能力。

过程指引因数列{}n a 为等比，则12n n a q -=，因数列{}1n a +也是等比数列，则
22121122212
(1)(1)(1)22(12)01
n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a q q q +++++++++=++⇒+=++⇒+=⇒+-=⇒=即2n a =，所以2n S n =，故选择答案C.
例6.已知在正项数列{a n }中，S n 表示前n 项和且n n 2S a 1=+，求a n .
思路启迪：转化为只含n a 或者只含n S 的递推关系式.
解答过程1：由已知n n 2S a 1=+，得当n=1时，a 1=1；当n ≥2时，a n = S n －S n －1，代入已知有n n n 12S S S 1-=-+，n 1n n S S 2S 1-=-+.
(
)
2
n 1n S S 1-=
-，又n n n 1a 0,S S ->>，故n 1n S S 1-=-.
n n 1S S 1--=，
{}n
S 是以1为首项，1为公差的等差数列，
n S n =故n a 2n 1=-.
解答过程2：由已知n n 2S a 1=+，得当n=1时，a 1=1；当n ≥2时因为2n n a 1S 2+⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以22
n n 1n a 1a 1a 22-++⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
.
22n n n n 1n 14a a 2a a 2a --=+--，22
n n n 1n 1a 2a a 2a 0
-----=()()n n 1n n 1a a a a 20--+--=，因为n a 0>，
所以n n 1a a 2--=，所以n a 2n 1=-.
考点4. 数列中和n 有关的等式的理解和使用
对数列中的含n 的式子，注意可以把式子中的n 换为n 1-得到另外的式子。

也可以把n 取自然数中的具体的数1，2，3…等，得到一些等式归纳证明.例7．已知数列{}n a 满足1n 1n a 1,a 2a 1+==+ (n ∈N *
)（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；
（Ⅱ）若数列{}n b 满足()n 312n b
b 1b 1b 1b 1n 4444a 1----⨯⨯⨯⨯=+ (n ∈N*),证明: {}n b 是等差数列;
思路启迪：本小题主要考查数列基本知识，考查化归的数学思想方法，考查综合解题能力。

把递推关系式变形转化
解答过程： （I ）解：*
121(),
n n a a n N +=+∈ 112(1),n n a a +∴+=+ {}n a 1+是以1a 12+=为首项，2为公比的等比数列。

12.
n n a ∴+= 即
2*21().
n a n N =-∈ （II ）证法一： ()n 312n b
b 1b 1b 1b 1n 4444a 1----⨯⨯⨯⨯=+，
12(b b ...b )b 42.
n n n n +++-∴= 122[(...)],n n b b b n nb ∴+++-= ① 12112[(...)(1)](1).n n n b b b b n n b ++++++-+=+ ② ②－①，得112(1)(1),n n n b n b nb ++-=+-
即1(1)20,n n n b nb +--+= ③
21(1)20.
n n nb n b ++-++= ④
③－④，得 2120,n n n nb nb nb ++-+= 即
2120,
n n n b b b ++-+=
*211(),
n n n n b b b b n N +++∴-=-∈
故{}n b 是等差数列.
考点5 等差、等比数列的概念和性质的理解和使用
在等差、等比数列中，已知五个元素1n a ,a ,n,d 或q ，n S 中的任意三个，运用方程的思想，便可求出其余两个，即“知三求二”。

本着化多为少的原则，解题时需抓住首项1a 和公差（或公比q ）。

另外注意等差、等比数列的性质的运用.例如
（1）等差数列{}n a 中，若m n p q +=+，则m n p q a a a a +=+；等比数列{}n a 中，若
m n p q +=+，则m n p q a a a a = .
（2）等差数列{}n a 中，()n 2n n 3n 2n kn k n 1S ,S S ,S S ,S S ,
----成等差数列。

其中n S 是等差数列
的前n 项和；等比数列{}n a 中（q 1≠-），()
n 2n n 3n 2n k n k n 1S,S S,S S ,S S ,-
---
成等比数列。

其
中n S 是等比数列的前n 项和；
（3）在等差数列{}n a 中，项数n 成等差的项n a 也称等差数列. （4）在等差数列{}n a 中，()2n 1n S 2n 1a -=-；()2n n n 1S n a a +=+ .
在复习时，要注意深刻理解等差数列和等比数列的定义及其等价形式.注意方程思想、整体思想、分类讨论思想、数形结合思想的运用. 典型例题
例8．已知等差数列{}n a 的前n 项和为S n ，若1O a B ＝200OA a OC ＋，且A 、B 、C 三点共线（该直线不过原点O ），则S 200＝（ ）
A ．100 B. 101 C.200 D.201 命题目的：考查向量性质、等差数列的性质和前n 项和。

过程指引：依题意，a 1＋a 200＝1，故选A
例9．某国采用养老储备金制度，公民在就业的第一年就交纳养老储备金，数目为a 1，以后每年交纳的数目均比上一年增加 d （d>0）, 因此，历年所交纳的储备金数目a 1, a 2, … 是一个公差为 d 的等差数列. 和此同时，国家给予优惠的计息政府，不仅采用固定利率，而且计算复利. 这就是说，如果固定年利率为r （r >0）,那么, 在第n 年末，第一年所交纳的储备金就变为 a 1（1+r ）n －
1，第二年所交纳的储备金就变成 a 2（1+r ）n －
2，……. 以T n 表
示到第n 年末所累计的储备金总额.
（Ⅰ）写出T n 和T n －1（n ≥2）的递推关系式；
（Ⅱ）求证T n =A n + B n ，其中{A n }是一个等比数列，{B n }是一个等差数列.
命题目的：本小题主要考查等差数列、等比数列的基本概念和基本方法，考查学生阅读资料、提取信息、建立数字模型的能力，考查使用所学知识分析和解决实际问题的能力. 解：（I ）我们有).2()1(1≥++=-n a r T T n n n （II ）2,11≥=n a T 对反复使用上述关系式，得
=++++=++=---n n n n n n a r a r T a r T T )1()1()1(1221
,)1()1()1(12211n n n n a r a r a r a +++++++--- ①
在①式两端同乘1+r ，得
).1()1()1()1()1(21121r a r a r a r a T r n n n n n ++++++++=+-- ②
②－①，得
.
,||;)0(1,)1(||,
,
,)1(.
)1(,)1(]1)1[()]1()1()1[()1(212
1212121211211为公差的等差数列首项是以为公比的等比数列以为首项是以
其中则如果记即r d
r d r d r a B r r r r d
r a A B A T n r d
r
d r a B r r d r a A r
d r a n r d
r r d r a T a r a r r r
d
a r r r d r a rT n n n n n n n n n n n n n n n n n n --+->++++=-+-=++=+--++=-++--+=
-++++++++=--
2．解综合题要总揽全局，尤其要注意上一问的结论可作为下面论证的已知条件，在后面求解的过程中适时使用．
考点6 等差、等比数列前n 项和的理解和使用
等差、等比数列的前n 项和公式要深刻理解，等差数列的前n 项和公式是关于n 的二次
函数.等比数列的前n 项和公式()n
1n 11n a 1q a a S q 1q 1q 1q
-==----（q 1≠），因此可以改写为
n n S aq b (a b 0)=++=是关于n 的指数函数，当q 1=时，n 1S na =. 例10．已知数列}{n a 的前n 项和S n =n 2－9n ,第k 项满足5<a k <8,则k = A ．9
B ．8
C ．7
D ．6
思路启迪：本小题主要考查数列通项和等差数列等基本知识，考查逻辑思维能力、分析问题和解决问题的能力．
解：此数列为等差数列，1210n n n a S S n -=-=-，由5<2k-10<8得到k=8． 例11．（本小题满分13分）
已知数列{a n }和{b n }满足:*)(,0,2,1121N n a a b a a a n n n n ∈=>==+且{b n }是以q 为公比的等比数
列.
（Ⅰ）证明：22q a a n n =+；
（Ⅱ）若,2212n n n a a c +=-证明数列}{n c 是等比数列； （Ⅲ）求和：n
n a a a a a a 21
24
3
2
1
111111++++++- .
命题目的：本小题主要考查等比数列的定义，通项公式和求和公式等基本知识及基本的运算技能，考查分析问题能力和推理能力．
解法1：（I ）证：由1n n
b q b +=，有1221n n n n
n n a a a q a a a ++++==，∴ 22()n n a a q n +=∈N*．
（II ）证：22n n a q q -=，
22221231n n n a a q a q ---∴==
=，222222n n n a a q a q --==
=，
22222222212121222(2)5n n n n n n n c a a a q a q a a q q -----∴=+=+=+=．
{}n c ∴是首项为5，以2
q 为公比的等比数列．
（III ）由（II ）得22211
11n n q a a --=，222211n n
q a a -=，于是 12
213
2124
211
1111111n n n a a a a a a a a a -⎛⎫⎛⎫+++
=+++
++++
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
2422
2422
12111
1111111n n a q q
q a q q
q --⎛⎫⎛⎫=
++++
+++++
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2122
311112n q q
q -⎛⎫=++++
⎪⎝⎭
． 当1q =时，24221
2
2111311
112n n a a a q q
q -⎛⎫++
+
=++++
⎪⎝⎭32
n =．
当1q ≠时，24221
2
2111311112n n a a a q q
q -⎛⎫++
+
=++++
⎪⎝⎭223121n q q --⎛⎫-= ⎪-⎝⎭2222
312(1)n n q q q -⎡⎤-=⎢⎥-⎣⎦
． 故21
2
22223
12
1
1
11 1.(1)n
n n n q q a a a q q q -⎧=⎪⎪+
++=⎨⎡⎤
3-⎪≠⎢⎥⎪2-⎣⎦
⎩， ，， 解法2：（I ）同解法1（I ）． （II ）证：
222*1212221221221222()22n n n n n
n n n n n
c a a q a q a q n c a a a a +++---++===∈++N ，又11225c a a =+=， {}n c ∴是首项为5，以2
q 为公比的等比数列．
（III ）由（II ）的类似方法得222221212()3n n n n a a a a q q ---+=+=，
342121212
21234
21211
1
n n n n n
a a a a a a a a a a a a a a a --++++++
=+++
，
2222212442123322
k k k k k k k a a q q a a q --+---+==，12k n =，，，． 22212
21113
(1)2
n k q q a a a --+∴+++
=+++．下同解法1．
考点7 数列和函数的迭代问题
由函数迭代的数列问题是进几年高考综合解答题的热点题目，此类问题将函数和数列知识综合起来，考察函数的性质以及函数问题的研究方法在数列中的使用，涉及的知识点由函数性质、不等式、数列、导数、分析几何的曲线等，另外函数迭代又有极为深刻的理论背景和实际背景，它和当前国际数学主流之一的动力系统（拓扑动力系统、微分动力系统）密切相关，数学家们极为推崇，函数迭代一直出现在各类是数学竞赛试题中，近几年又频频出现在高考数学试题中.
例12．已知数列｛n a ｝中，11122
n n a n a a +=-、点（、）
在直线y=x 上，其中n=1,2,3…. (Ⅰ)令{}11,n n n n b a a b +=--求证数列是等比数列； (Ⅱ)求数列{}的通项；
n a (Ⅲ)设分别为数列、n n T S {}、n a {}n b 的前n 项和,是否存在实数λ，使得数列n n S T n
λ+⎧⎫⎨⎬
⎩
⎭
为等差数列？若存在，试求出λ.若不存在,则说明理由.
思路启迪：利用等比的定义证明n b 是等比数列；对n a 可由已知用叠加法求出求。

求出 n a 和n b 便可顺利求出第三问.
解答过程：（I ）由已知得 111,2,2
n n a a a n +==+
2213313,11,4424
a a a =--=--=-
又11,n n n b a a +=--1211,n n n b a a +++=--
11121111(1)1
11222.1112n n n n n n n n n n n n n n a n a n a a b a a b a a a a a a +++++++++++---
--∴====------ {}n b ∴是以34-
为首项，以12
为公比的等比数列.
（II ）由（I ）知，13131(),4
2
22
n n n
b -=-⨯=-⨯
1311,22n n n a a +∴--=-⨯2131
1,22a a ∴--=-⨯
32231
1,22
a a --=-⨯⋅⋅⋅⋅⋅⋅11311,22n n n a a --∴--=-⨯
将以上各式相加得：
1213111
(1)(),2222
n n a a n -∴---=-++⋅⋅⋅+
11111(1)31313221(1)(1) 2.
12222212
n n n n a a n n n ---∴=+--⨯=+---=+--
3
2.2n n
a n ∴=
+- （III ）解法一：
存在2λ=，使数列{}n n S T n
λ+是等差数列.
121
2111
3(
)(12)2222
n n n S a a a n n =++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+- 11
(1)(1)22321212n n n n -+=⨯+--2213333(1) 3.2222n n n n n n --=-+=-++ 12131(1)
313342(1).1222212
n n n n n T b b b +--=++⋅⋅⋅+==--=-+- 数列{}n n S T n
λ+是等差数列的充要条件是,(n n S T An B A n
λ+=+、B 是常数)
即2,n n S T An Bn λ+=+
又2
1
33333()
2222n n n n n n S T λλ+-+=-+++-+2313(1)(1)222n n n λ-=+--. ∴当且仅当102
λ-=，即2λ=时，数列{}n n S T n
λ+为等差数列.
解法二：存在2λ=，使数列{}n n S T n
λ+是等差数列.
由（I ）、（II ）知，22n n a b n +=-，(1)222
n n n S T n +∴+=-.
(1)
222n n n n n n n T T S T n n
λλ+--++=
322n n T n λ--=+. 又121
31
(1)
313342(1)1222212n n n n n T b b b +--=++⋅⋅⋅+==--=-+-.
13233
()222
n n n S T n n n λλ++--=+-+. ∴当且仅当2λ=时，数列{}n n S T n
λ+是等差数列.
（5）n n
S 22222222
2=++++
例13
已知各项全不为零的数列}{k a 的前k 项和为S k ，且∈=+k a a S k k k (2
1
1N *）
，其中.11=a （Ⅰ）求数列}{k a 的通项公式；
（II ）对任意给定的正整数n )2(≥n ，数列}{k b 满足),1,,2,1(1
1-=-=++n k a n k b b k k
k
n b b b b +++= 211.1求. 思路启迪：注意利用1
2
112
1
k k k k k b b b b b b b b ---=
⋅⋅⋅
⋅解决问题． 解：（Ⅰ）当1k =，由11121
2
a S a a ==
及11a =，得22a =． 当2k ≥时，由11111
22
k k k k k k k a S S a a a a -+-=-=
-，得11()2k k k k a a a a +--=． 因为0k a ≠，所以112k k a a +--=．从而.122)1(112-=⋅-+=-m m a m
m m a m 22)1(22=⋅-+=，*m ∈N ．故*()k a k k =∈N ．
（Ⅱ）因为k a k =，所以
111
k k k b n k n k b a k ++--=-=-+． 所以11
2)1()
2)(1()1(1112211⋅⋅⋅⋅-⋅+-+--=⋅⋅⋅⋅=
---- k k k n k n b b b b b b b b k k k k k k ).,,2,1(1)1(1n k C n
k
n k =⋅-=-
故123n b b b b +++
+12311(1)n n
n n n n C C C C n
-⎡⎤=
-+-+-⎣⎦
.1]})1([1{1210n
C C C C n n n n n n n =⋅-+-+--= 考点8 数列综合使用和创新问题
数列和其它数学知识的综合性问题是高考的热点，全面考察数学知识的掌握和运用的情况，以及分析问题解决问题的能力和思维的灵活性、深刻性、技巧性等，涉及的数学思想方法又从一般到特殊和从特殊到一般的思想、函数和方程的思想、探索性思想等。

例14．在m （m ≥2）个不同数的排列P 1P 2…P n 中，若1≤i ＜j ≤m 时P i ＞P j （即前面某数大于后面某数），则称P i 和P j 构成一个逆序. 一个排列的全部逆序的总数称为该排列的逆序数. 记排列321)1()1( -+n n n 的逆序数为a n ，如排列21的逆序数11=a ，排列321的逆序数63=a .求a 4、a 5，并写出a n 的表达式； 命题目的：考查排列、数列知识.
过程导引：由已知得15,1054==a a ，2
)
1(12)1(+=
+++-+=n n n n a n .
例15．设()f x 是定义在(0,)+∞上的单调可导函数.已知对于任意正数x ，都有
21[()]()
f f x x f x +=
，且(1)0f a =>.
（Ⅰ）求(2)f a +，并求a 的值；
（Ⅱ）令1,()
n a n N f n *=∈，证明数列{}n a 是等差数列；
（Ⅲ）设n k 是曲线()y f x =在点22(,())n f n 处的切线的斜率（n N *∈），数列{}n k 的前n 项和为n S ，求证：42n S -<≤-.
思路启迪：根据已知条件求出函数()f x 的关系式，求出n a 的递推关系式然后可求解题中要求．
解答过程：（Ⅰ）取11,(2)x f a a
=+=；
再取12122()(1),12
2
x a f a f a
a a
a =+∴+==+=++，
则2a =，或－1（舍去）.
（Ⅱ）设()f x t =，则21()f t x t
+=，再令
21212()(),22
x t f t f x x
x t t t t x x
→+∴+==∴+=++， 即2220,,xt t t x
x
--=∴=或1x
-，又(1)0f a =>，
则2(),f x t x
==1()2
n n a f n ==，
由11,2
n n a a n N *+-=∈，所以{}n a 是等差数列.
（3）由（2）得222(),(),f x f x x
x
'=∴=-则24
2(),n k f n n
'==-
所以44
4111
2(1)22
3n S n
=-+++
+
≤-； 又当2n ≥时，42
22211
2()(1)1n k n
n
n n n n
=->->-
=----， 则111111
2[1(1)()(
)]2[1(1)]42
23
1n S n n n
≥-+-+-+
+-=-+->--， 故42n S -<≤-. 例16．
已知函数2()1f x x x =+-，,αβ是方程f (x)=0的两个根()αβ>，'()f x 是f (x)的导数；设11a =，1()
'()
n n n n f a a a f a +=-
（n=1,2,……）
（1）求,αβ的值；
（2）证明：对任意的正整数n ，都有n a >a ； （3）记ln
n n n a b a a
β
-=-（n=1,2,……），求数列{b n }的前n 项和S n ． 思路启迪：（1）注意使用根和系数关系求,αβ的值；（2）注意先求'()f x ；（3）注意利用
,αβ的关系．
解：（1）∵2()1f x x x =+-，,αβ是方程f (x)=0的两个根()αβ>， ∴1515
,22
αβ-+--=
=
． （2）'()21f x x =+，21
115
(21)(21)12
442121
n n n n
n n n n n n a a a a a a a a a a ++++-+-=-=-++ =5114
(21)4
212n n a a ++
-
+，∵11a =，∴由基本不等式可知2510
2a -≥>（当且仅当1512
a -=时取等号），∴25102a ->
>同，样3512a ->，……，51
2
n a α->=（n=1,2,……）
． （3）1()()(1)2121
n n n n n n n n a a a a a a a a αββ
ββα+----=--
=++++，而1αβ+=-，即1αβ+=-，
2
1()21n n n a a a ββ+--=
+，同
理
2
1()21n n n a a a αα+--=
+，
12n n
b b +=，又
113
535l
n l n 2
l n
12
35
b βα
-++===--
35
2(21)ln
2
n n S +=-．
【专题训练】 一.选择题
1.已知{a n }是等比数列，且a n >0，a 2a 4+2 a 3a 5+a 4a 6=25，那么a 3+ a 5的值等于（ ）
A.5
B.10
C.15.
D.20 2.在等差数列{a n }中，已知a 1+a 2+a 3+a 4+a 5= 20，那么a 3等于（ ） A.4 B.5 C.6 D7.
3.等比数列{a n }的首项a 1=－1,前n 项和为S n ,若32
315
10=S S ，则lim ∞
→n S n 等于( )
3
2 B. 32A.- C.2 D.－2
4.已知二次函数y =a (a +1)x 2－(2a +1)x +1，当a =1，2，…，n ，…时，其抛物线在x 轴上截得的线段长依次为d 1,d 2，…,d n ,…,则lim ∞
→n (d 1+d 2+…+d n )的值是( )
A.1
B.2
C.3
D.4
二.填空题
5.已知a ,b ,a +b 成等差数列，a ,b ,ab 成等比数列，且0<log m (ab )<1,则m 的取值范围是_________.
6.等差数列{a n }共有2n +1项，其中奇数项之和为319，偶数项之和为290，则其中间项为_________.
7.设z n =(2
1i -)n ，(n ∈N *)，记S n =｜z 2－z 1｜+｜z 3－z 2｜+…+｜z n +1－z n ｜，则
lim ∞
→n S n =_________.
8.作边长为a 的正三角形的内切圆，在这个圆内作新的内接正三角形，在新的正三角形内
再作内切圆，如此继续下去，所有这些圆的周长之和及面积之和分别为_________. 9.从盛满a 升酒精的容器里倒出b 升，然后再用水加满，再倒出b 升，再用水加满；这样倒了n 次，则容器中有纯酒精_________升.
10.据2000年3月5日九届人大五次会议《政府工作报告》：“2001年国内生产总值达到95933亿元，比上年增长7.3%，”如果“十·五”期间(2001年~2005年)每年的国内生产总值都按此年增长率增长，那么到“十·五”末我国国内年生产总值约为_________亿元. 三、解答题
11.已知：在等比数列{a n }中，S n = a 1+ a 2+ a 3+…+ a n ，若S 10=5，S 20=15。

求：S 30的值.
12.项数为奇数的等差数列{a n }中，奇数项之和为80，偶数项之和为75，求此数列的中间项和项数.
13.数列{a n }中，前m 项（m 为奇数）的和为77，其中偶数项之和为33，且a 1－a m =18，
求这个数列的通项公式.
14.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ,已知a 3=12,S 12>0,S 13<0. (1)求公差d 的取值范围；
(2)指出S 1、S 2、…、S 12中哪一个值最大，并说明理由.
15.已知数列{a n }为等差数列，公差d ≠0,由{a n }中的部分项组成的数列a 1b ,a 2b ,…,a n b ,…为等比数列，其中b 1=1,b 2=5,b 3=17.
(1)求数列{b n }的通项公式；
(2)记T n =C 1n b 1+C 2n
b 2+C 3n b 3+…+C n
n b n ,求n
n n n b
T +∞→4lim .
16.设{a n }为等差数列，{b n }为等比数列，a 1=b 1=1,a 2+a 4=b 3,b 2·b 4=a 3,分别求出{a n }及{b n }的前n 项和S 10及T 10.
17.设数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n =(m +1)－ma n .对任意正整数n 都成立，其中m 为常数，且m ＜－1.
(1)求证：{a n }是等比数列；
(2)设数列{a n }的公比q =f (m )，数列{b n }满足：b 1=
3
1
a 1,
b n =f (b n －1)(n ≥2,n ∈N *).试问当m 为何值时，)(3lim )lg (lim 13221n n n n n n b b b b b b a b -∞
→∞
→+++=⋅ 成立？
18.已知数列{b n }是等差数列，b 1=1,b 1+b 2+…+b 10=145. (1)求数列{b n }的通项b n ；
(2)设数列{a n }的通项a n =log a (1+n
b 1)(其中a ＞0且a ≠1),记S n 是数列{a n }的前n 项和，
试比较S n 和
3
1
log a b n +1的大小，并证明你的结论. 19.某公司全年的利润为b 元，其中一部分作为奖金发给n 位职工，奖金分配方案如下：首先将职工按工作业绩(工作业绩均不相同)从大到小，由1到n 排序，第1位职工得奖金
n
b
元，然后再将余额除以n 发给第2位职工，按此方法将奖金逐一发给每位职工，并将最后剩余部分作为公司发展基金.
(1)设a k (1≤k ≤n )为第k 位职工所得奖金金额，试求a 2,a 3，并用k 、n 和b 表示a k (不必证明)；
(2)证明a k ＞a k +1(k =1,2,…,n －1),并解释此不等式关于分配原则的实际意义； (3)发展基金和n 和b 有关，记为P n (b ),对常数b ，当n 变化时，求lim ∞
→n P n (b ).
【参考答案】 一.选择题
1.解法一：因为{a n }是等比数列，设{a n }的公比为q ，由a n >0知q>0， 因a 2a 4+2 a 3a 5+ a 4a 6=25，
所以，a 1q a 1q 3+2a 1q 2a 1q 4+a 1q 3a 1q 5=25， 即[a 1q 2（1+ q 2）]2=25，∴ a 1q 2（1+ q 2）=5，
得a 3+ a 5= a 1q 2+a 1q 4= a 1q 2（1+ q 2）=5 . 故选择答案A .
解法二：因{a n }是等比数列，∴a 2a 4= a 23，a 4a 6= a 2
5 ，
∴原式可化为 a 23
+2 a 3a 5+ a 2
5=25, 即（a 3+ a 5）2=25. 因 a n >0 , ∴ a 3+ a 5= 5 , 故选择答案A
2. 解法一：因为{a n }是等差数列，设其首项为a 1，公差为d ， 由已知 a 1+ a 2+a 3+a 4+a 5= 20 有 5 a 1+10d = 20， ∴ a 1+2d = 4, 即 a 3= 4.故选择答案A.
解法二：因{a n }是等差数列，所以 a 1+ a 5= a 2+ a 4=2 a 3， 由已知 a 1+a 2+a 3+a 4+a 5= 20 得5 a 3= 20，∴ a 3= 4. 故选择答案A
3.分析：利用等比数列和的性质.依题意，32
315
10=S S ，而a 1=－1,故q ≠1,
∴32
132
32315
510-=-=-S S S ,根据等比数列性质知S 5，S 10－S 5，S 15－S 10,…,也成等比数列，且
它的公比为q 5,∴q 5=－32
1,即q =－2
1
.
∴.3
21lim 1-=-=∞
→q a S n n
故选择答案B.
4.分析：当a =n 时y =n (n +1)x 2－(2n +1)x +1 由｜x 1－x 2｜=a
∆，得d n =
)
1(1+n n ， ∴d 1+d 2+…+d n
.1)11
1(lim )(lim 1,111113121211)1(132121121=+-=+++∴+-=+-++-+-=+++⋅+⋅=
∞→∞→n d d d n n n n n n n n
故选择答案A.
二、5.分析：解出a 、b ,解对数不等式即可.
故填答案:(－∞,8)
6.分析：利用S 奇/S 偶=n
n 1+得解.
故填答案:第11项a 11=29.
111112
7.:|||()()|(),222
n n n n n n i i c z z +++--=-=-=解析设
.22)22(12
21])22(1[2121--=-
-=+++=∴n
n n n c c c S .
2212222
21lim +=+=-=
∴∞
→n n S
故填答案:1+2
2.
8.分析：由题意所有正三角形的边长构成等比数列{a n }，可得a n =1
2-n a ，正三角形的内切圆
构成等比数列{r n }，可得r n =1
2163-n a ,
∴这些圆的周长之和c =lim ∞
→n 2π(r 1+r 2+…+r n )=2
33π a 2，
面积之和S =lim ∞
→n π(n 2+r 22+…+r n 2)= 9
πa 2
故填答案:周长之和2
33πa ，面积之和9
πa 2
9.分析：第一次容器中有纯酒精a －b 即
a (1－a
b )升，第二次有纯酒精a (1－a
b )－b a a b
a )
1(-，即a (1－a
b )2升，故第n 次有纯酒精a (1－a
b )n 升.
故填答案:a (1－a
b )n
10.分析：从2001年到2005年每年的国内生产总值构成以95933为首项，以7.3%为公比的等比数列，∴a 5=95933(1+7.3%)4≈120000(亿元).
故填答案:120000.
三、11. 解：因为 {a n }为等比数列， 所以 S 10，S 20－S 10，S 30－S 20是等比数列. 即 5，15－5，S 30－15是等比数列,得5（S 30－15）=102 ,∴ S 30=35. 12.解：设等差数列{a n }共有2n －1 项，S 1=80，S 2=75，则
21S S =1-n n =7580=15
16
， 得 n=16，所以 2n －1=2×16－1=31 即此数列共有31项.
又由{a n }的项数为2n －1，知其中间项是a n ，故a n = S 1－S 2=80－75=5， ∴ a 16=5.
13. 解：设等差数列{a n }中，前m 项的和为S m ，其中奇数项之和为S 1，偶数项之和为S 2，由题意得S m =77，S 2=33，S 1= S m －S 2= 44， 令m=2n －1则
21S S =1-n n =3
4，得n =4， ∴m=7，∴ a 4=S 1－S 2=11，又a 1－a 7=18，得首项为20，公差为－3，
故通项公式为a n =－3 n+23.
14.(1)解：依题意有：⎪⎪
⎪
⎩
⎪
⎪⎪⎨⎧
<⨯+=>⨯+==+=.02121313,02111212,
1221131
1213d a S d a S d a a 解之得公差d 的取值范围为－7
24＜d ＜－3.
(2)解法一：由d ＜0可知a 1>a 2>a 3>…>a 12>a 13,因此，在S 1，S 2，…，S 12中S k 为最大
值的条件为：a k ≥0且a k +1＜0,即⎩⎨
⎧
<-+≥-+0
)2(0)3(33d k a d k a ∵a 3=12,∴⎩⎨
⎧-<-≥12
2123d kd d kd ，∵d ＜0,∴2－d 12＜k ≤3－d
12. ∵－7
24＜d ＜－3,∴2
7＜－d
12＜4,得5.5＜k ＜7.
因为k 是正整数，所以k =6,即在S 1，S 2，…，S 12中，S 6最大.
解法二：由d ＜0得a 1>a 2>…>a 12>a 13，因此，若在1≤k ≤12中有自然数k ,使得a k ≥0,且a k +1＜0,则S k 是S 1，S 2，…，S 12中的最大值.由等差数列性质得，当m 、n 、p 、q ∈N *,且m +n =p +q 时，a m +a n =a p +a q .所以有：2a 7=a 1+a 13=13
2S 13＜0,∴a 7＜
0,a 7+a 6=a 1+a 12=6
1S 12>0,∴a 6≥－a 7>0,故在S 1，S 2，…，S 12中S 6最大.
解法三：依题意得：)(2
)212()1(2
21n n d d n d n n na S n -+-=-+=
222)]24
5(21[,0,)245(8)]245(21[2d
n d d d d n d --∴<----= 最小时，S n 最大； ∵－7
24＜d ＜－3,∴6＜2
1(5－d
24)＜6.5.从而，在正整数中，
当n =6时，［n －2
1 (5－d
24)］2最小，所以S 6最大.
15.解：(1)由题意知a 52=a 1·a 17，即(a 1+4d )2=a 1(a 1+16d )⇒a 1d =2d 2, ∵d ≠0,∴a 1=2d ,数列{n b a }的公比q =1
11
54a d a a a +==3,
∴n b a =a 1·3n －
1
①
又n b a =a 1+(b n －1)d =12
1a b n +
②
由①②得a 1·3n －
1=2
1+n b ·a 1.∵a 1=2d ≠0,∴b n =2·3n －
1－1.
(2)T n =C 1n b 1+C 2n b 2+…+C n n b n =C 1n (2·30－1)+C 2n ·(2·31－1)+…+C n
n (2·3
n －
1－1)=32(C 1n +C 2n ·32+…+C n n ·3n )－(C 1n +C 2n +…+C n n )=32［(1+3)n －1］－(2n －1)=
3
2·4n －2n +3
1,
.3
2)41()43(211)
41(31)21(32lim 1324312432lim 4lim 11
=-⋅++-=-⋅++-⋅=+∴-∞→-∞→∞→n n n
n n n n n n n n n n n b T。