格致中学2013届高三下学期仿真考试数学理试题

量 O M 的方向角，方向相同的两平行向量的方向角相同。已知 P (2 3 , ) 、 Q ( 3 , 5 ) ，
2
6
则向量 P Q 的方向角等于＿＿＿＿＿＿＿＿； 4 3
13、定义在 R 上的偶函数 f ( x ) 对于任意的 x R 有 f (1 x ) f (1 x ) ，且当 x [2, 3] 时，
（1）判断函数 f ( x ) 的奇偶性，并说明理由；
（2）当 b 0 时， f ( x ) 1 a 2 在 (0, 1 ] 上恒成立，求 a 的取值范围。
4
2
解：（1）函数 f ( x ) 定义域 ( , b ) (b, ) ，当 b 0 时，函数定义域不关于原点对称，
所以函数 f ( x ) 是非奇非偶函数；
（1）求抛物线的方程与其准线方程； （2）直线 l 与圆 C 相切，交抛物线于 A 、 B 两点：
①若线段 A B 中点的纵坐标为 4 3 ，求直线 l 的方程；
②求 FA FB 的取值范围。 解（1）由 x 2 y 2 4 x 3 0 得：( x 2)2 y 2 1 ，圆心 C (2, 0) ，即 F (2, 0) 。所以抛物
f ( x) x 2 6 x 9 。若函数 y f ( x) log a x 在 (0, ) 上只有四个零点，则实数 a 的值
为＿＿＿＿＿＿； 1 4
14、某公园草坪上有一扇形小径（如图），扇形半径为 40m ，中心角为1 2 0 。甲由扇形中
心 O 出发沿 OA 以每秒 2 米的速度向 A 快走，同时乙从 A 出发， B
2
2
AP
， PN 2
3
， sin PNM
3 ，则
2
3
3
3
P
N
M
a
r
c
s
3 in
3
。所以直线 PN
与 A1C1 所成的角为 arcsin
3。 3
14 分
22、（本题满分 16 分，第（1）题 4 分，第（2）题①6 分，②6 分） 抛物线 y 2 2 px ( p 0) 的焦点 F 为圆 C ： x 2 y 2 4 x 3 0 的圆心。
班级____________姓名________________学号____________准考证号______________
格致中学 二〇一二学年度第二学期高考仿真（理答案）
数学(理科)试卷(共 4 页)
(测试 120 分钟内完成，总分 150 分，试后交答题卷)
一、填空题：（每小题 4 分，满分 56 分）
2( x1
x2 )
y1 y2
4
( y1 y2 ) 2 64
2 m ( y1
y2 )
4t
y1 y2
4
将 y1 y2 8m , y1 y2 8t 代入化简得： F A F B t 2 1 2t 4 1 6 m 2 由（*）得 m 2 t 2 4t 3 ，所以 F A F B 1 5t 2 5 2t 4 4
2 所以直线 l 方程为： x 3 y 0 或 x 3 y 4 0 。
3分 4分 6分
8分
10 分
② F ( 2, 0 ) ， F A ( x1 2, y1 ), F B ( x2 2, y 2 ) ， F A F B ( x1 2 )( x2 2 ) y1 y 2
x1 x2
C、若 l // m , m , n ，则 l // n ；
D、若 l m , l n, 则 n // m 。
17、设 F1 、 F2 分别是椭圆 E : x 2
y2 b2
1(0 b 1) 的左、右焦点，过 F1 的直线 l 与 E
相交
于 A 、 B 两点，且| AF2 | 、 | A B | 、| B F2 | 成等差数列，则| A B | 的长为
(1, 2]
4、若二项式 ( x a )6 展开式的常数项为 20 ，则 a ＿＿＿＿；1 x
5、将圆锥的侧面展开后得到一个半径为 2 的半圆，则此圆锥的体积为＿＿＿；
3
3
6、某学院的 A 、 B 、 C 三个专业共有1200 名学生，为了调查这些学生勤工俭学的情况， 拟采用分层抽样的方法抽取一个容量为120 的样本。已知该学院的 A 专业有 380 名学生，B 专业有 420 名学生，则在该学院的 C 专业应抽取＿＿＿＿名学生； 40
综上知：当 a 0 或 b 0 时， f ( x ) 是非奇非偶函数；
当 a b 0 时， f ( x ) 是奇函数。
（2） b 0 时， f ( x ) ax 2 1 ， ax 2 1 a 2 在 x (0, 1 ] 上恒成立。
x
x4
2
1
即： a ( x
1 )( x
1 )
2
1
已知函数 f ( x ) 3 sin 2 x sin x cos x 3 ( x R ) 。 2
（1）求函数 f ( x ) 的最小正周期T 与单调递增区间；
（2）在△ ABC 中，若 f ( A) f ( B ) 1 ，求角 C 的值。 2
解：（1） f ( x )
3
1
(1 cos 2 x ) sin 2 x
线方程为 y 2 8 x 准线方程为 x 2 。 （2）①设 l ： x m y t ，由 l 与圆 C 相切得 | 2 t | 1
1 m2
（*）
x my
再由
y2

8x
t
得
y2
8my
8t
0
设 A( x1 , y1 ), B ( x2 , y2 ) ，则 y1 y2 8m , y1 y2 8t 由题意： y1 y2 4 3 ，得 m 3 代入（*）得： t 0 或 t 4
1、已知复数 z 满足 z (1 i) 2 （ i 是虚数单位），则| z | ＿＿＿； 2
2、不等式 x 1 0 的解为＿＿＿； 1 x 1 （用集合或区间表示也可以）
2x 1
2
3、若全集U R ，集合 A { x | 3 x 1} ， A B { x | 3 x 2} ，则 B ð U A ＿；
sin(2 x )
1
x
或x
7
，
8分
32
4
12
又A B
，所以 A
B
或A
,B
7
或A
7
,B
4
4
12
12
4
10 分
所以 C 或 C 。
2
6
12 分
20、（本题满分 14 分，第（1）题 7 分，第（2）题 7 分） 已知函数 f ( x ) ax 2 1 (a , b R ) 。 xb
（3）若 f (t0 ) 最小，则 t0 [0,10] ； （4） g (t ) f (t ) 40 在[0, 20] 上至少有两个零点。
其中正确的判断序号是＿＿＿＿＿（把你认为正确的判断序号都填上）。（2）、（3）、（4）。 二、选择题：（每小题 5 分，满分 20 分）
15、“ p 2 ”是“关于 x 的实系数方程 x 2 px 1 0 没有实数根”的
1 2
，则 a2013
＿；2 0 1 3 2
9、若函数
f ( x ) 2 sin(
x
)( 2
x 10 ) 的图像与 x 轴交于点 A ，过点 A 的直线 l 与
63
函数的图像交于另外两点 B 、 C 。 O 是坐标原点，则 (O B O C ) O A ___________； 32
10、袋中装有同样大小的10 个小球，其中有 8 个白球， 2 个红球。从中任取 2 个球，取到 白球得 1 分，取到红球得 5 分。记随机变量 为一次取得的两球的分数之和，则 E 18
沿扇形弧以每秒 4 米的速度向 B 慢跑。记 t (0 t 20) 秒时
M
3
甲、乙两人所在位置分别为 N 、 M ，| M N | f (t ) ，通过计算
ON
A
f (5) 、 f (10) 、 f (15) 判断下列说法是否正确。
（1）当 MN OA 时，函数 f (t ) 取最小值；（2）函数 y f (t ) 在区间[10,15] 上是增函数；
3
，所以
f
2 (x) [
3 , 2) 。
7分
4
4
3
4
3
（2）当 x
22 3
时， P N min
23 3
因为 A1C1 / / AC ， A C B D ，则 A C / / M N 。即有 A1C1 / / M N ，所以 P N M 即为异面
直线 PN 与 A1C1 所成的角。
10 分
在 直 角 三 角 形 AMN 中 PM
（C）
A、 2 ； 3
B、1 ；
C、 4 ； 3
D、 5 。 3
18、 f ( x ) 是定义在 R 上周期为 1 的周期函数，当 x [0,1) 时， f ( x ) x 。直线 y x 1 x
与函数 y f ( x ) 的图像在 y 轴右边交点的横坐标从小到大组成数列{an } 。则 （A）
2分
当 b 0 时， f ( x ) ax 2 1 ， a 0 时， f ( x ) 1 是奇函数，
4分
x
x
a 0 时， f (1) a 1, f (1) a 1 ， f (1) f (1) 2 a 0 f (1) f (1)
f ( x ) 不是奇函数； f (1) f (1) 2 f (1) f (1) ， f ( x ) 不是偶函数。 6 分
端点）， P M 平面 A B C D 交 A D 于点 M ， M N B D 于 N 。 （1）设 A P x ，将 PN 长表示为 x 的函数 f ( x ) ，并求此函数的值域；
（2）当 PN 最小时，求异面直线 PN 与 A1C1 所成角的大小。
解：（1）由题知： P M M N ，则△ PMN 是直角三
5
11、若双曲线 x 2 y 2 1 (a 0, b 0) 上存在四个不同的点 A 、 B 、 C 、 D ，使四边形 a2 b2
A B C D 为菱形，则 b 的取值范围为＿＿＿＿＿＿＿； (1, ) a
12、在极坐标系中， O 是极点，点 M 的极坐标为 ( , )( 0, 0 2 ) ，则称 为向
a(x
1 )( x
1 )
2(x
) 2
2
2
x
2
2
x
由 x 1 0, x 1 1 ，则 a 2 在 x (0, 1 ] 上恒成立。
2
22
1 x(x )
2
2
当
x
(0,
1 ] 时，
x(x
1 )
1
，所以
2
4，
2
22
1 x(x )
2
即a 4。
7分
9分 11 分 13 分 14 分
21、（本题满分 14 分，第（1）题 7 分，第（2）题 7 分） 如图： ABC D A1B1C1D1 是棱长为 2 的正方体， P 为面对角线 A D1 上的动点（不包括
（A）
A、必要不充分条件； C、充分必要条件；
B、充分不必要条件； D、既不充分又不必要条件。
16、设 是平面， l , m , n 是三条不同的直线，则下列命题中正确的是
（C）
A、若 m 苘 , n , l m , l n, 则 l ；
B、若 m Ü , n , l n, 则 l // m ；
3
sin(2 x )
2分
2
2
2
3
所以周期T
3分
由2x
[2k
, 2k
] ，得 x [k
, k
5
]
3
2
2
12
12
即函数 f ( x ) 单调递增区间为[k , k 5 ] (k Z ) 。
6分
12
12
（2） A 、 B 为三角形内角，所以 A 、 B (0, ) ，由 f ( x ) 1 且 x (0, ) 得： 2
D1
角形。
2 AP x PM AM x
A1
2
C1 B1
2
1
MD 2 x MN 2 x
2
2
PN PM 2 MN 2 3 x2 2x 2 4
P
D
C
N
M
A
B
即 f (x) 3 x2 2x 2 (0 x 2 2 )
5分
4
f (x)
3 x2
2x 2
32 (x
2
)2
A、 an1 an 1 对于 n N * 恒成立； C、 an1 an 1 对于 n N * 恒成立；
B、 an1 an 1 对于 n N * 恒成立； D、 an1 an 与1 的大小关系不确定。
三、解答题：（共 5 大题，满分 74 分，解题要有必要的步骤） 19、（本题满分 12 分，第（1）题 6 分，第（2）题 6 分）
7、已知函数 f ( x) a x1 2(a 0 且 a 1) 的反函数为 f 1 ( x ) 。若 y f 1 ( x ) 在[0,1] 上
的最大值和最小值互为相反数，则 a 的值为＿＿＿＿＿； 6
8、数列{an } 满足：对于任意的 m , n
N * ，a m n
am
an 。若 a1