二维数字滤波器的设计

,
, :
)e x
P (一
。 了
、 , :
一 Jo
Zo Z
)
…
》 〔
将对称或 其它 约 束 条件 考 虑 在内时
,
上式 中一些 系数就不都是 独立 了
,
故 J: 式可 写 成
H (。
;,
。
2
)
=
习
￡
a
(￡ ) 必( 。
`
;
,
。
2
)
向题 成 为利 用 求 E 为 最小 的 条 件
ù子 -
,
计算 a (
一
J
ì
.
ó
一一 十
户
扣
ùù
二
,
。
、
二维递 归 ( n
R
)滤波器
。
二 维 递归 滤 波 器的设 计
,
y
(,
,
)=
E
奋= 一 .
乙
才 =
一
二
“
(k
l)h
。
(m 一k
,
一 l)
上 述诸 信 号 也 可 以 变 换 到 Z 域 来 表 示
H (:
,
,
`
Z
`,
域 变换的 定 义 为
1
一
: 2
)
=
乙 E
.
h
1
:
`:
头`
一
二 1
万=
上 式的 展 开 式 为
h
l:
+ h
+
, 22 :
+
h
13:
+ 盆
几:
42
考
,
)
= 云 (。
,
。
)
w
(m
,
,
拜
)
最 简单 的 二 维 窗 函 数 是矩 形 窗
,
它 的 单 位 冲激 响应为 ,一
`’
,
“
{
一 N (
。
( N
一万《 执 (
卫
其它 时
,
仁 ) 变 换法 将 一 维零 相 移
FI R
滤 波 器 函 数 中 的变 量进 行变 换
便 得 到 二 竺甲 阳移
F
R 滤波器 函 数 I
两 者 各有 所 长
:
。
无论 一 维 和 二 维 滤 波 器
。
其 理 论 都 包 含 用 近似 理 论 求 传 递 函 数
。
,
和 以此
函 数 求 网 络 结 构 两 部分
n R
滤 波器 还 有 稳 定 性 问题
,
但 一 维 的 和 二 维 的 区 别 主 要 由 以 下三
, ;
个 因 素造 成
(1 )
实现 时 只 能 采 用 几 种直 接 形 式
IR
一
1 ) 窗 口法 ( 理想
“
、
二 维 非递 归 ( F
,
万
) 滤波器
,
: 二 维 F I R 滤 波 器 的 设 计 方 法 比 较成熟 现 在列 举三 种
一
,
`
。
F IR
滤 波 器 的 单 位 冲 激 响 应 是无限 的
,
显然 这 是 不 可 能 实 现 的
h ,
h
: : z
3一 z
H(
z ,
,
2 2
)
“
+
h
Z: z :
h
2 2: : z :
+ h
+
Z。: : z
+ 鑫
:
全
:
+
h
3,:
+ 吞3: : 贾
贫
z:
h
。3 :
+ 萝姜
资翌
将 上式 中各 系数 按原 顺 序排 列写 成
h h
L 11
h h
zZ
吞 几 h1 3
璐 幼
吞 h“ 飞 时 J. 肠
21
22
这样
,
就 把高 阶 二 维 滤波 器的 设 计分 解成一 维高 阶 滤 波器 的设计 和 寻 求一 个 低阶 变换 式 的问
题
。
3 ) 等 波动 设 计 法 (
给定 通 带与 阻 带 时
法
。
,
使 滤波器 具 有 最小 通 带 波 动 与 阻 带 波 动 的设 计
:
,
,
称 为 等 波动 设计
设
E
为 误差
,
二 维问题 需 用 大 量 数 据
使 得 计 算很 复 杂
,
(2 )
处 理 多维 系 统 需 用 的 数 学
。
尚不 完善
,
多 数 的多维 多项式 不能分 解 成 一 阶 与 二 阶 的 因 式
( 3 ) 多 维系 统 具 有 更 多 的 自 由
度供 设 计老 选 用
由于 多 维 多项 式不 能分 解
一
’
,
Y
(
e
一` .
’
。
一 ` a , ,
) 二 H (e
一` 。
。 ,
)X (e
一` 。 ,
e一
J
二
、
种
,
动和
。
一 `“
, ,
。一`
“
) 分 别 称 为 空 域 响 应 和 频域 响应
, ,
。
`
武
·
’
:
二
’
二 维 数 字 论 波 器 也 和 一 维 的一 样 分 二 维 非递归 ( I F R ) 滤波 器 与二 维 递 归 ( I I R ) 滤 波 器两
,
如 输人 为 创 。
,
哟
。
,
则 其输 出为 单 位冲
。
)
h (,
,
)
,
= T
, (
,n
,
)]
和 一 淮的 情 况 一 样
应 的 卷积
,
,
二 维线 性 移 不 变 的 输 出 以 m
,
) 是 输入 序 列 城 n
*
*
m
的 与单 位 冲激 的 响
即
y
(饥
。
。
)二
x
(饥
,
。
)
,
h
(跳
,
朴
)
。
或
仿 一 维情 况
,
解决 的 办法 是 以
。
一 定 方 犬割 掉 一 部 分 冲 激 响 应 使 剩余 部 分的 频 响能 接近 理 想 这 相 当 于 以 一 个 窗 函 数 ) 乘 理 想 的 单 位冲 激 响 应 议。
,
n (1
,
蕊
)
,
得到 设 计 时 取 用 的 单 位 冲 激响 应 h ( 。
玛
,
”
)
h (仍
,
I (
。
。
2
) 为理 想 频 响
m
(0
一,
,
H(
。
、
,
:
,
。
:
2
) 为 待求 响应
、
,
,
则
刀二
a x
。 : )
〔
x
}H
,
(。
。
)一 I (。
。
:
)
!
,
厂 是 二 维频 率 面 上 覆盖 通 带及 阻 带 的 区 域
设 所 求 滤波器 是 零相 移
则可 写 出
H (。
:
,
。
:
)
=
乙 乙
(。
.
h
(n
;
,
例如
,
一 维 契 比雪 夫滤 波 器 的 须 响 为
H (。 ) =
乙
a
( 。 ) T [e o
,
。
s
。
〕
。
,
几 〔O 〕表示 契 比 雪夫 多项 式 以 变换 函 数
响
H (拼
,
。
F (“
,
)代替
c。:
便 得 到二 维 F I
R
滤 波器 的频
,
)二
a 。 乙 ( ) T 〔 F (拜
.
,
。
)〕
、
二 维 数 字 滤 波 器 的 设 计
杜
图 象处 理
处理
。
锡
枉
,
,
医 疗诊 断 用 的 C T
,
地 质勘 测 以 及 地 震 信 号 的处理 等
,
都 属于 多 维 数字信号
,
多 维 滤 波 是 多 维 数 字 信 号 处 理 中 的主 要 组 成 部分
.
本 文 将 以 二 维 为例
。
说 明多 维 数 字
,
滤 波 器 设计 的 概 略
左图 是 一 个二 维信号 的 图示
位 取样
,
设 占( m 的 表示 单
即
占( 二
,
柑) ”
,
戏 二
,
几
二 0
,
其它
,
m
,
n
值
,
这样
T
,
设
,
二
(, 则
,
,
。
)与
y
(,
y
) 分另 }代 表 输人 信 号与输 出 信号激源自响应(。,哟