包含因子K的选择

包含因子K的选择
讲授人：中国计量科学研究院研究员倪育才
当得到合成标准不确定度后，获得扩展不确定度U p的前提是确定包含因子k的数值。

包含因子的确定方法取决于被测量的分布，因此当被测量Y的分布不同时，应采用不同的方法来确定包含因子。

一、当无法判断被测量Y的分布时
当无法判断被测量Y的分布时，不可能根据分布来确定包含因子k。

由于大部分测量均规定要给出扩展不确定度U而不是U p，因此只能假定取k=2或3，绝大部分情况下均取k=2(JJF1059-1999规定，当包含因子取其他值时，应说明其来源)。

于是扩展不确定度成为:
U=2u c
由于不知道被测量的分布，故无法建立置信概率p和包含因子k之间的关系。

此时的k值是假设的，而不是由置信概率p导出的，也就是说，无法知道此时所对应的置信概率。

二、当被测量Y接近于某种非正态分布
当被测量接近于某种已知的非正态分布时，例如矩形分布、三角分布、梯形分布等，则绝不应该按上面的方法直接取k=2或3，也不能按正态分布的方法。

根据计算得到的有效自由度νeff，并由t分布表得到k p。

此时应根据已经确定的被测量Y的分布，由其概率密度函数
具体计算出包含因子k。

(1)当可以判定被测量Y接近于矩形分布时，由其概率密度函数可以计算得到包含因子k与置信概率p之间的关系为:
当p=0.95时，k95=1.65；
当p=0.99时，k99=1.71。

(2)当可以判定被测量Y接近于三角分布时，通过类似的计算可以得到包含因子k与置信概率p之间的关系为:
当p=0.95时，k95=1.90；
当p=0.99时，k99=2.20。

(3)当可以判定被测量接近于梯形分布时，通过计算可以得到包含因子k与置信概率p之间的关系为:
式中β为梯形的角参数，即梯形的上底和下底之比。

表1给出当所要求的置信概率分别为95%和99%时，由上式计算得到的不同β值梯形分布的包含因子k。

三、被测量Y接近于正态分布时
在被测量接近正态分布的情况下，不能直接取正态分布所对应的k值。

由于标准不确定度定义为以标准偏差表示的不确定度。

而标准偏差是一总体参数，只有通过无限多次测量才能够得到，正态分布也是对应于无穷多次测量的总体分布。

也就是说，只有当用总体标准偏差σ来作为标准不确定度时，才能采用正态分布的k值。

但由于在实际测量中不可能进行无限多次测量，只能用有限次测量的实验标准差s作为σ的估计值，并且这一估计必然会引入误差。

由于该误差的存在，如果仍采用正态分布的k值，将达不到所要求的置信概率。

反过来说，为了得到对应于所规定置信概率的扩展不确定度，必须适当增
大k值。

并且随着测量次数的减少，用实验标准差代替标准偏差可能引入的误差将越来越大，包含因子k的值也必将随之增加。

因此,这时的包含因子k将是一个与测量次数有关的变量。

在数学上，这相当于总体分布满足正态分布时，其样本分布满足t分布。

t分布是表征正态分布总体中所取子样的分布。

不同的子样大小，对应于不同的t分布，其包含因子k也将不同。

因此当被测量Y 接近于正态分布时，仅仅根据所要求的置信概率还不足以得到包含因子k，还必须再知道一个与所取样本大小有关的参数，这个参数就称为“自由度”，一般用希腊字母ν表示。

对于不同的自由度，包含因子k p=t p(ν)的数值可以由所规定的置信概率p和估计得到的有效自由度νeff通过查表得到。

JJF1059-1999规定，当可以判断被测量Y接近于正态分布时，可以采用以下方法得到扩展不确定度。

通过计算被测量Y的有效自由度νeff，并根据有效自由度和所要求的置信概率p，由t分布临界值表得到包含因子k p=t p(νeff)，于是扩展不确定度U p等于合成标准不确定度u c和包含因子k p=t p(νeff)的乘积，即：U p=k p·u c。

此时，由于包含因子k的数值由置信概率通过t分布表得到，因此得到的扩展不确定度必须以U p表示，表明所给的是对应于置信概率为p的扩展不确定度。

有时为简单起见，也可以不必考虑比较麻烦的Y的分布情况。

此时可采用k=2或3，即: U=ku c (k=2或3)。

此时，由于包含因子k的数值是假定的，因此得到的扩展不确定度只能以U表示，表明无法知道与所给扩展不确定度对应的置信概率。

这种情况就是无法判断被测量Y的分布差所采取的做法，在已知正态分布的情况下，只要有效自由度不太小，当k分别取2或3时，他们大体上对应于95%或99%的置信概率。

但如可估计为正态分布，而有效自由度较小时，在k取2(或3)时，则所给扩展不确定度对应的置信概率可能会与95%(或99%)相去甚远。

因此笔者建议仅在确保有效自由度不太小的情况下（例如不小于15）采用该法，除非该领域统一规定直接取k=2而不计算有效自由度。

笔者见到过不少测量不确定度评定的实例，在评定得到各不确定度分量的大小后，在未对被测量Y的分布进行判定的情况下，直接就给出各分量的自由度和有效自由度，并按t分布得到k值。

这是不正确的。

只有在可以确认被测量Y接近正态分布的前提下，才能根据k p=t p(ν)计算U p。