呼和浩特市高中2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

呼和浩特市高中2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 函数f （x ）=﹣x 的图象关于（
）
A ．y 轴对称
B ．直线y=﹣x 对称
C ．坐标原点对称
D ．直线y=x 对称
2． 已知函数f （x ）＝若f （－6）＋f （log 26）＝9，则a 的值为（ ）
{log 2（a －x ），x ＜12x ，x ≥1
)
A ．4
B ．3
C ．2
D ．1
3． 在极坐标系中，圆
的圆心的极坐标系是( )。

A
B C D
4． 在正方体8个顶点中任选3个顶点连成三角形，则所得的三角形是等腰直角三角形的概率为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
5． 棱台的两底面面积为、，中截面（过各棱中点的面积）面积为，那么（ ）
1S 2S 0S
A ．
B ．
C ．
D ．=
0S =0122S S S =+2
012
2S S S =6． 已知集合M={0，1，2}，则下列关系式正确的是（ ）
A ．{0}∈M
B ．{0}M
C ．0∈M
D ．0M
∉⊆7． 与圆C 1：x 2+y 2﹣6x+4y+12=0，C 2：x 2+y 2﹣14x ﹣2y+14=0都相切的直线有（ ）A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条
8． 曲线y=x 3﹣2x+4在点（1，3）处的切线的倾斜角为（ ）
A ．30°
B ．45°
C ．60°
D ．120°
9． “方程+
=1表示椭圆”是“﹣3＜m ＜5”的（ ）条件．
A ．必要不充分
B ．充要
C ．充分不必要
D ．不充分不必要
10．已知数列{a n }中，a 1=1，a n+1=a n +n ，若利用如图所示的程序框图计算该数列的第10项，则判断框内的条件
是（
）
A ．n ≤8？
B ．n ≤9？
C ．n ≤10？
D ．n ≤11？11．抛物线x=﹣4y 2的准线方程为（ ）
A ．y=1
B ．y=
C ．x=1
D ．x=
12．cos80cos130sin100sin130︒︒-︒︒等于（ ）
A B ．
1
2 C ．1
2
-
D ．二、填空题
13．若直线：与直线：垂直，则
.
012=--ay x 2l 02=+y x =a 14．当时，函数的图象不在函数的下方，则实数的取值范围是
0,1x ∈（）()e 1x
f x =-2
()g x x ax =-a ___________．
【命题意图】本题考查函数图象间的关系、利用导数研究函数的单调性，意在考查等价转化能力、逻辑思维能力、运算求解能力．
15．设曲线y=x n+1（n ∈N *）在点（1，1）处的切线与x 轴的交点的横坐标为x n ，令a n =lgx n ，则a 1+a 2+…+a 99的值为 ．
16．某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱乒乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为 ．
17．已知函数f （x ）=x 3﹣ax 2+3x 在x ∈[1，+∞）上是增函数，求实数a 的取值范围 ．
18．抛物线y 2=6x ，过点P （4，1）引一条弦，使它恰好被P 点平分，则该弦所在的直线方程为 ．
三、解答题
19．（本题满分12分）为了了解某地区心肺疾病是否与性别有关，在某医院随机地对入院的50人进行了问
卷调查，得到了如下的列联表：
22⨯患心肺疾病患心肺疾病
合计男20525女101525合计
30
20
50
（1）用分层抽样的方法在患心肺疾病的人群中抽6人，其中男性抽多少人？（2）在上述抽取的6人中选2人，求恰有一名女性的概率.
（3）为了研究心肺疾病是否与性别有关，请计算出统计量，判断心肺疾病与性别是否有关？2
K 下面的临界值表供参考：
)
(2k K P ≥15.010.005.0025.0010.0005.0001.0k 2.072
2.706
3.841 5.024 6.6357.879828
.10（参考公式：，其中）
)
)()()(()(22
d b c a d c b a bc ad n K ++++-=d c b a n +++=20．已知z 是复数，若z+2i 为实数（i 为虚数单位），且z ﹣4为纯虚数．（1）求复数z ；
（2）若复数（z+mi ）2在复平面上对应的点在第四象限，求实数m 的取值范围．
21．已知函数f （x ）的定义域为{x|x ≠k π，k ∈Z}，且对定义域内的任意x ，y 都有f （x ﹣y ）=成立，且f （1）=1，当0＜x ＜2时，f （x ）＞0．
（1）证明：函数f （x ）是奇函数；
（2）试求f （2），f （3）的值，并求出函数f （x ）在[2，3]上的最值．　
22．已知函数f （x ）=|x ﹣2|．（1）解不等式f （x ）+f （x+1）≤2
（2）若a ＜0，求证：f （ax ）﹣af （x ）≥f （2a ）　
23．已知函数且f （1）=2．
（1）求实数k 的值及函数的定义域；
（2）判断函数在（1，+∞）上的单调性，并用定义加以证明．
24．已知函数（）．
()()x
f x x k e =-k R ∈
（1）求的单调区间和极值；
()f x （2）求在上的最小值．
()f x []1,2x ∈（3）设，若对及有恒成立，求实数的取值范围．
()()'()g x f x f x =+35,22
k ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦
[]0,1x ∀∈()g x λ≥λ
呼和浩特市高中2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析（参考答案）一、选择题
1． 【答案】C
【解析】解：∵f （﹣x ）=
﹣+x=﹣f （x ）
∴
是奇函数，所以f （x ）的图象关于原点对称
故选C ．　
2． 【答案】
【解析】选C.由题意得log 2（a ＋6）＋2log 26＝9.即log 2（a ＋6）＝3，
∴a ＋6＝23＝8，∴a ＝2，故选C.3． 【答案】B 【解析】，圆心直角坐标为（0,-1），极坐标为
，选B 。

4． 【答案】C
【解析】解：正方体8个顶点中任选3个顶点连成三角形，所得的三角形是等腰直角三角形只能在各个面上，在每一个面上能组成等腰直角三角形的有四个，所以共有4×6=24个，
而在8个点中选3个点的有C 83=56，所以所求概率为=
故选：C
【点评】本题是一个古典概型问题，学好古典概型可以为其它概率的学习奠定基础，同时有利于理解概率的概念，有利于计算一些事件的概率，有利于解释生活中的一些问题．　
5． 【答案】A 【解析】
试题分析：不妨设棱台为三棱台，设棱台的高为上部三棱锥的高为，根据相似比的性质可得：
2h ，解得
A ．220(2(a S a h
S a S a h
S '⎧=⎪+⎪⎨'⎪=+⎪⎩=考点：棱台的结构特征．6． 【答案】C
【解析】解：对于A、B，是两个集合的关系，不能用元素与集合的关系表示，所以不正确；
对于C，0是集合中的一个元素，表述正确．
对于D，是元素与集合的关系，错用集合的关系，所以不正确．
故选C
【点评】本题考查运算与集合的关系，集合与集合的关系，考查基本知识的应用
7．【答案】C
【解析】
【分析】先求出两圆的圆心和半径，判断两个圆的位置关系，从而确定与它们都相切的直线条数．
【解答】解：∵圆C1：x2+y2﹣6x+4y+12=0，C2：x2+y2﹣14x﹣2y+14=0的方程可化为，
；；
∴圆C1，C2的圆心分别为（3，﹣2），（7，1）；半径为r1=1，r2=6．
∴两圆的圆心距=r2﹣r1；
∴两个圆外切，
∴它们只有1条内公切线，2条外公切线．
故选C．
8．【答案】B
【解析】解：y/=3x2﹣2，切线的斜率k=3×12﹣2=1．故倾斜角为45°．
故选B．
【点评】本题考查了导数的几何意义，以及利用正切函数的图象求倾斜角，本题属于容易题．
9．【答案】C
【解析】解：若方程+=1表示椭圆，则满足，即，
即﹣3＜m＜5且m≠1，此时﹣3＜m＜5成立，即充分性成立，
当m=1时，满足﹣3＜m＜5，但此时方程+=1即为x2+y2=4为圆，不是椭圆，不满足条件．即必要性不成立．
故“方程+=1表示椭圆”是“﹣3＜m＜5”的充分不必要条件．
故选：C．
【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，考查椭圆的标准方程，根据椭圆的定义和方程是解决本题的关键，是基础题．
10．【答案】B
【解析】解：n=1，满足条件，执行循环体，S=1+1=2n=2，满足条件，执行循环体，S=1+1+2=4n=3，满足条件，执行循环体，S=1+1+2+3=7
n=10，不满足条件，退出循环体，循环满足的条件为n ≤9，故选B ．
【点评】本题主要考查了当型循环结构，算法和程序框图是新课标新增的内容，在近两年的新课标地区高考都考查到了，这启示我们要给予高度重视，属于基础题．　
11．【答案】D
【解析】解：抛物线x=﹣4y 2即为y 2=﹣x ，
可得准线方程为x=．
故选：D ．　
12．【答案】D 【解析】
试题分析：原式()()cos80cos130sin80sin130cos 80130cos 210cos 30180cos30=︒︒-︒︒=︒+︒=︒=︒+︒=-︒
=．考点：余弦的两角和公式.
二、填空题
13．【答案】1【解析】
试题分析：两直线垂直满足，解得，故填：1.()02-12=⨯+⨯a 1=a 考点：直线垂直
【方法点睛】本题考查了根据直线方程研究垂直关系，属于基础题型，当直线是一般式直线方程时，
，，当两直线垂直时，需满足，当两直线平行时，
0:1111=++c y b x a l 0:2222=++c y b x a l 02121=+b b a a 需满足且，或是，当直线是斜截式直线方程时，两直线垂直
01221=-b a b a 1221c b c b ≠212121c c
b b a a ≠=，两直线平行时，，.1
121-=k k 21k k =21b b ≠14．【答案】[2e,)
-+∞
【解析】由题意，知当时，不等式，即恒成立．令
0,1x ∈（）2
e 1x
x ax -≥-21e x
x a x
+-≥，．令，．∵，∴()21e x x h x x +-=()()()2
11e 'x x x h x x
-+-=()1e x k x x =+-()'1e x
k x =-()0,1x ∈∴在为递减，∴，∴，∴()'1e 0,x
k x =-<()k x ()0,1x ∈()()00k x k <=()()()
2
11e '0x x x h x x
-+-=
>()
h x 在为递增，∴，则．()0,1x ∈()()12e h x h <=-2e a ≥-15．【答案】　﹣2　．
【解析】解：∵曲线y=x n+1（n ∈N *），∴y ′=（n+1）x n ，∴f ′（1）=n+1，
∴曲线y=x n+1（n ∈N *）在（1，1）处的切线方程为y ﹣1=（n+1）（x ﹣1），
该切线与x 轴的交点的横坐标为x n =，
∵a n =lgx n ，
∴a n =lgn ﹣lg （n+1），∴a 1+a 2+…+a 99
=（lg1﹣lg2）+（lg2﹣lg3）+（lg3﹣lg4）+（lg4﹣lg5）+（lg5﹣lg6）+…+（lg99﹣lg100）=lg1﹣lg100=﹣2．故答案为：﹣2．　
16．【答案】　12　．
【解析】解：设两者都喜欢的人数为x 人，则只喜爱篮球的有（15﹣x ）人，只喜爱乒乓球的有（10﹣x ）人，由此可得（15﹣x ）+（10﹣x ）+x+8=30，解得x=3，所以15﹣x=12，即所求人数为12人，故答案为：12．　
17．【答案】　（﹣∞，3]　．
【解析】解：f ′（x ）=3x 2﹣2ax+3，∵f （x ）在[1，+∞）上是增函数， ∴f ′（x ）在[1，+∞）上恒有f ′（x ）≥0， 即3x 2﹣2ax+3≥0在[1，+∞）上恒成立．
则必有≤1且f′（1）=﹣2a+6≥0，
∴a≤3；
实数a的取值范围是（﹣∞，3]．
18．【答案】　3x﹣y﹣11=0　．
【解析】解：设过点P（4，1）的直线与抛物线的交点
为A（x1，y1），B（x2，y2），
即有y12=6x1，y22=6x2，
相减可得，（y1﹣y2）（y1+y2）=6（x1﹣x2），
即有k AB====3，
则直线方程为y﹣1=3（x﹣4），
即为3x﹣y﹣11=0．
将直线y=3x﹣11代入抛物线的方程，可得
9x2﹣72x+121=0，判别式为722﹣4×9×121＞0，
故所求直线为3x﹣y﹣11=0．
故答案为：3x﹣y﹣11=0．
三、解答题
19．【答案】
【解析】【命题意图】本题综合考查统计中的相关分析、概率中的古典概型，突出了统计和概率知识的交汇，对归纳、分析推理的能力有一定要求，属于中等难度.
20．【答案】
【解析】解：（1）设z=x+yi（x，y∈R）．
由z+2i=x+（y+2）i为实数，得y+2=0，即y=﹣2．
由z﹣4=（x﹣4）+yi为纯虚数，得x=4．
∴z=4﹣2i．
（2）∵（z+mi）2=（﹣m2+4m+12）+8（m﹣2）i，
根据条件，可知
解得﹣2＜m＜2，
∴实数m的取值范围是（﹣2，2）．
【点评】本题考查了复数的运算法则、纯虚数的定义、几何意义，属于基础题．　
21．【答案】
【解析】（1）证明：函数f（x）的定义域为{x|x≠kπ，k∈Z}，关于原点对称．又f（x﹣y）=，
所以f（﹣x）=f[（1﹣x）﹣1]=====
=，
故函数f（x）奇函数．
（2）令x=1，y=﹣1，则f（2）=f[1﹣（﹣1）]==，
令x=1，y=﹣2，则f（3）=f[1﹣（﹣2）]===，
∵f（x﹣2）==，
∴f（x﹣4）=，
则函数的周期是4．
先证明f（x）在[2，3]上单调递减，先证明当2＜x＜3时，f（x）＜0，
设2＜x＜3，则0＜x﹣2＜1，
则f（x﹣2）=，即f（x）=﹣＜0，
设2≤x1≤x2≤3，
则f（x1）＜0，f（x2）＜0，f（x2﹣x1）＞0，
则f（x1）﹣f（x2）=，
∴f（x1）＞f（x2），
即函数f（x）在[2，3]上为减函数，
则函数f（x）在[2，3]上的最大值为f（2）=0，最小值为f（3）=﹣1．
【点评】本题主要考查了函数奇偶性的判断，以及函数的最值及其几何意义等有关知识，综合性较强，难度较大．
22．【答案】
【解析】（1）解：不等式f（x）+f（x+1）≤2，即|x﹣1|+|x﹣2|≤2．
|x﹣1|+|x﹣2|表示数轴上的点x到1、2对应点的距离之和，
而2.5 和0.5对应点到1、2对应点的距离之和正好等于2，
∴不等式的解集为[0.5，2.5]．
（2）证明：∵a＜0，f（ax）﹣af（x）=|ax﹣2|﹣a|x﹣2|=|ax﹣2|+|2﹣ax|
≥|ax ﹣2+2a ﹣ax|=|2a ﹣2|=f （2a ﹣2），
∴f （ax ）﹣af （x ）≥f （2a ）成立．
23．【答案】
【解析】解：（1）f （1）=1+k=2；
∴k=1，
，定义域为{x ∈R|x ≠0}；
（2）为增函数；
证明：设x 1＞x 2＞1，则：
==
；
∵x 1＞x 2＞1；
∴x 1﹣x 2＞0，，；∴f （x 1）＞f （x 2）；
∴f （x ）在（1，+∞）上为增函数．
24．【答案】（1）的单调递增区间为，单调递减区间为，()f x (1,)k -+∞(,1)k -∞-，无极大值；（2）时，时
1()(1)k f x f k e -=-=-极小值2k ≤()(1)(1)f x f k e ==-最小值23k <<，时，；（3）.
1()(1)k f x f k e -=-=-最小值3k ≥2()(2)(2)f x f k e ==-最小值2e λ≤-【解析】
（2）当，即时，在上递增，∴；
11k -≤2k ≤()f x []1,2()(1)(1)f x f k e ==-最小值当，即时，在上递减，∴；12k -≥3k ≥()f x []1,22
()(2)(2)f x f k e ==-最小值当，即时，在上递减，在上递增，
112k <-<23k <<()f x []1,1k -[]1,2k -∴．
1()(1)k f x f k e -=-=-最小值（3），∴，()(221)x
g x x k e =-+'()(223)x g x x k e =-+由，得，'()0g x =32x k =-
当时，；32
x k <-'()0g x <当时，，32
x k >-'()0g x >∴在上递减，在递增，()g x 3(,)2k -∞-3(,)2
k -+∞故，323()()22
k g x g k e -=-=-最小值又∵，∴，∴当时，，35,22k ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
[]30,12k -∈[]0,1x ∈323()(22k g x g k e -=-=-最小值∴对恒成立等价于；()g x λ≥[]0,1x ∀∈32()2k g x e
λ-=-≥最小值又对恒成立．32()2k g x e
λ-=-≥最小值35,22k ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦∴，故．1
3
2min (2)k e k --≥2e λ≤-考点：1、利用导数研究函数的单调性进而求函数的最值；2、不等式恒成立问题及分类讨论思想的应用.
【方法点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性进而求函数的最值、不等式恒成立问题及分类讨论思想的应用.属于难题. 数学中常见的思想方法有：函数与方程的思想、分类讨论思想、转化与划归思想、数形结合思想、建模思想等等，分类讨论思想解决高中数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想
之一，尤其在解决含参数问题发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是将题设条件研究透，这样才能快速找准突破点. 充分利用分类讨论思想方法能够使问题条理清晰，进而顺利解答，希望同学们能够熟练掌握并应用与解题当中.本题（2）就是根据这种思想讨论函数单调区间的.。