高考数学压轴专题(易错题)备战高考《坐标系与参数方程》知识点总复习附解析

【最新】高考数学《坐标系与参数方程》专题解析
一、13
1．已知(,)P x y
是椭圆sin x y α
α
⎧=⎪⎨=⎪⎩上任意一点，则点P
到40x --=的距离的最
大值为（ ） A
B
．2
C
D
．2
【答案】A 【解析】 【分析】
设点,sin )P αα，求得点P
到直线的距离为d =
数的性质，即可求解. 【详解】
由题意，点(),P x y
是椭圆x y sin α
α
⎧=⎪⎨=⎪⎩上任意一点，
设点,sin )P αα，
则点P
到直线40x --=
的距离为
d =
=
当cos()14
π
α+=-时，距离d
取得最大值，最大值为
42
+，故选A. 【点睛】
本题主要考查了椭圆的参数方程的应用，以及点到直线的距离公式和三角函数的性质的应
用，其中解答中合理利用椭圆的参数方程，设点,sin )P αα，再利用点到直线的距离公式和三角函数的性质求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.
2．2
2
1x y +=经过伸缩变换23x x
y y ''=⎧⎨=⎩
后所得图形的焦距（ ）
A
．B
．C ．4 D ．6
【答案】A 【解析】 【分析】
用x ′，y '表示出x ，y ，代入原方程得出变换后的方程，从而得出焦距．
由23x x y y ''=⎧⎨=⎩得2 3
x x y y '
⎧=
⎪⎪⎨
'⎪=
⎪⎩
，代入22
1x y +=得22 149x y ''+=， ∴椭圆的焦距为29425-=，故选A ．
【点睛】
本题主要考查了伸缩变换，椭圆的基本性质，属于基础题．
3．已知圆的参数方程2cos 2sin x y θ
θ
=⎧⎨=⎩(θ为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴
建立极坐标系，直线的极坐标方程为3490cos sin ραρα--=，则直线与圆的位置关系
是( ) A ．相切 B ．相离
C ．直线过圆心
D ．相交但直线不过圆
心 【答案】D 【解析】 【分析】
分别计算圆和直线的普通方程，根据圆心到直线的距离判断位置关系. 【详解】
圆的参数方程2cos 2sin x y θ
θ
=⎧⎨
=⎩(θ为参数)224x y ⇒+= 直线的极坐标方程为34903490cos sin x y ραρα--=⇐--=
圆心到直线的距离为：9
25
d r =
<=相交 圆心坐标代入直线不满足，所以直线不过圆心. 故答案选D 【点睛】
本题考查了参数方程，极坐标方程，直线和圆心的位置关系，综合性较强，意在考查学生的综合应用能力.
4．在同一直角坐标系中，曲线
经过伸缩变换
后所得到的曲线
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】C
【分析】 由，得
代入函数
，化简可得出伸缩变换后所得曲线的解析
式。

【详解】 由伸缩变换得，代入
，有
，
即.所以变换后的曲线方程为
.故选：C 。

【点睛】
本题考查伸缩变换后曲线方程的求解，理解伸缩变换公式，准确代入是解题的关键，考查计算能力，属于基础题。

5．在极坐标系中，已知圆C 经过点236P π⎛⎫
⎪⎝
⎭
，，圆心为直线sin 24πρθ⎛⎫
+
= ⎪⎝
⎭
轴的交点，则圆C 的极坐标方程为 A ．4cos ρθ= B ．4sin ρθ=
C ．2cos ρθ=
D ．2sin ρθ=
【答案】A 【解析】 【分析】
求出圆C 的圆心坐标为（2，0），由圆C 经过点236P π⎛
⎫ ⎪⎝
⎭，得到圆C 过极点，由此能求
出圆C 的极坐标方程． 【详解】 在sin 24πρθ⎛
⎫
+
= ⎪⎝
⎭
中，令0θ=，得2ρ=， 所以圆C 的圆心坐标为（2，0）.
因为圆C 经过点236P π⎛
⎫ ⎪⎝
⎭，，
所以圆C 的半径(
)
2
223
22223cos
26
r π
=+-⨯⨯=，
于是圆C 过极点，
所以圆C 的极坐标方程为4cos ρθ=. 故选A 【点睛】
本题考查圆的极坐标方程的求法，考查直角坐标方程、参数方程、极坐标方程的互化等基
础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，属于中档题．
6．直线34x t
y t =-⎧⎨=+⎩
，(t 为参数)上与点()3,4P 的点的坐标是( )
A ．()4,3
B ．()4,5-或()0,1
C ．()2,5
D ．()4,3或()2,5
【答案】D 【解析】 【分析】 【详解】
因为直线3(4x t
t y t =-⎧⎨
=+⎩
为参数），
所以设直线上到点(3,4)P 的点的坐标是(3,4)t t --，
=1t =±，
代入直线的参数方程，得点的坐标为(4,3)或(2,5)，故选D.
7．直线34100x y ++=和圆25cos 15sin x y θ
θ
=+⎧⎨=+⎩的位置关系是（ ）
A ．相切
B ．相离
C ．相交但不过圆心
D ．相交且过圆心
【答案】C 【解析】 【分析】
将圆的参数方程25cos ()15sin x y θ
θθ=+⎧⎨
=+⎩
为参数化成圆的普通方程，则可得其圆心，和半径r ，再用点到直线的距离公式求出圆心到直线34100x y ++=的距离d ,再将距离d 与圆的
半径r 比大小即可解. 【详解】
解：由25cos 15sin x y θθ
=+⎧⎨=+⎩，得圆的普通方程为()()22
2125x y -+-=，
∴圆的圆心为()2,1，半径=5r ．
圆心到直线的距离4d =
=.
∵0d r <<，∴直线与圆相交但不过圆心． 故选：C ． 【点睛】
考查圆的参数方程化普通方程，考查直线和圆的位置关系，运用了点到直线的距离公式. 点到直线距离公式：点()00,P x y 到直线:0l Ax By C ++=的距离为：
d =.
8．已知点N 在圆224x y +=上，()2,0A -，()2,0B ，M 为NB 中点，则sin BAM ∠的最大值为（ ） A ．
12
B ．
13
C
D
【答案】B 【解析】 【分析】
设(2cos ,2sin )N αα，则(1cos ,sin )M αα+先求出AM 的斜率的最大值，再得出sin NAM ∠的最大值． 【详解】
解：设(2cos ,2sin )N αα，则(1cos ,sin )M αα+，
sin 0sin tan 1cos 2cos 3BAM αααα-∠=
=+++„
， 1sin 3
BAM ∴∠„
， 故选：C ． 【点睛】
本题考查了直线与圆的位置关系，属中档题．
9．化极坐标方程2cos 20ρθρ-=为直角坐标方程为（ ） A ．2202x y y +==或 B ．2
x =
C ．2202x y x +==或
D ．2y =
【答案】C 【解析】
由题意得，式子可变形为(cos 2)0ρρθ-=，即0ρ=或cos 20ρθ-=，所以x 2+y 2=0或x=2，选C.
【点睛】由直角坐标与极坐标互换公式222cos sin x y x y ρθρθρ=⎧⎪
=⎨⎪+=⎩
，利用这个公式可以实现直角坐标
与极坐标的相互转化．
10．若,a b ∈R ，且2210a b += ，则-a b 的取值范围是( )
A
．-⎡⎣ B
．⎡-⎣
C
．⎡⎣
D
．(
【答案】A 【解析】 【分析】
利用参数方程，令,a b αα==
，转化为
sin )4a b πααα⎛
⎫-=+ ⎪⎝
-⎭=求解.
【详解】
令,a b αα==
则sin )4a b πααα⎛
⎫-=+ ⎪⎝
-⎭=
所以a b -∈-⎡⎣
故选：A 【点睛】
本题主要考查参数方程的应用，还考查了换元的思想和运算求解的能力，属于基础题.
11．椭圆22
1164
x y +=
上的点到直线20x y +-=的最大距离是（ ）
A ．3 B
C
．D
【答案】D 【解析】 【分析】
设椭圆22
1164
x y +=上的点P （4cosθ，2sinθ
），由点到直线20x y +=的距离公
式，计算可得答案． 【详解】
设椭圆22
1164
x y +=上的点P （4cosθ，2sinθ）
则点P
到直线20x y +=的距离
=
，
max d =
=，故选D ．
【点睛】
本题考查直线和椭圆的位置关系，解题时要认真审题，仔细求解．
12．在平面直角坐标系中，O 为原点，()1,0A -
，(0B ,()30C ，
，动点D 满足1CD =u u u r
, 则OA OB OD ++u u r u u u r u u u r
的取值范围是（ ）
A ．[]
46，
B
．⎤⎦ C
．⎡⎣
D
．⎤⎦
【答案】D 【解析】
试题分析：因为C 坐标为()
3,0且1CD =,所以动点D 的轨迹为以C 为圆心的单位圆,则
D 满足参数方程3cos {
sin D D x y θθ
=+=(θ为参数且[
)0,2θπ∈),所以设D 的坐标为为()[)()3cos ,sin 0,2θθθπ+∈,
则
OA OB OD ++=
u u u r u u u r u u
u r
=
因为2cos θ
θ+的取值范围为
⎡⎡=⎢⎣
⎣
1=
=
1=
=,所以
OA OB OD ++u u u r u u u r u
u
的取值范围为1⎤=⎦,故选D.
考点：参数方程 圆 三角函数
13．在极坐标系中，圆ρ=-2sinθ的圆心的极坐标系是 A ．(1,)2
π
B ．(1,)2
π
-
C ．(1,0)
D ．(1，π)
【答案】B 【解析】 【分析】 【详解】
由题圆2sin ρθ=-，则可化为直角坐标系下的方程,
22sin ρρθ=-，222x y y +=-，
2220x y y =++，
圆心坐标为（0，-1），
则极坐标为1,2π⎛⎫
-
⎪⎝
⎭
，故选B. 考点：直角坐标与极坐标的互化.
14．在极坐标系中，圆cos()3
πρ=θ+的圆心的极坐标为（ ）
A ．1(,)2
3
π-
B ．1(,
)23
π
C ．(1,)3
π-
D ．(1,)3
π
【答案】A 【解析】
由圆cos()3
πρ=θ+，化为21(cos )2ρρθθ=，∴2212x y x y +=，
化为221
1()(44
x y -+=，
∴圆心为1
(,4
4
-
，半径r=12．
∵tan α=3
π-
， ∴圆cos()3
πρ=θ+的圆心的极坐标为1(,)2
3
π-． 故选A ．
15．在极坐标系中，曲线1C 的极坐标方程为2sin ρθ=，曲线2C 的极坐标方程为
2cos ρθ=。

若射线3
π
θ=与曲线1C 和曲线2C 分别交于,A B 两点（除极点外），则
AB 等于（ ）
A 1
B 1
C ．1
D 【答案】A 【解析】 【分析】 把3
π
θ=分别代入2sin ρθ=和2cos ρθ=，求得,A B 的极经，进而求得AB ，得到答
案． 【详解】
由题意，把3
π
θ=
代入2sin ρθ=，可得2sin
3
A π
ρ==，
把3
π
θ=
代入2cos ρθ=，可得2cos
13
B π
ρ==，
结合图象，可得31A B AB ρρ=
-=-，故选A ．
【点睛】
本题主要考查了简单的极坐标方程的应用，以及数形结合法的解题思想方法，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．
16．在直角坐标系xOy 中，曲线1cos :sin x t C y t α
α=⎧⎨=⎩
（t 为参数，0t ≠），其中0απ≤<，
在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2:3sin C ρθ=，
3:cos C ρθ=，若1C 与2C 相交于点A ，1C 与3C 相交于点B ，则线段||AB 的最大值为
（ ） A 3B ．2
C ．1
D ．22【答案】B 【解析】 【分析】
首先将曲线1cos :sin x t C y t α
α=⎧⎨=⎩
（t 为参数，0t ≠），其中0απ≤<转化为极坐标方程为
(),0R θαρρ=∈≠，其中0απ≤<，再通过联立1C 与2C 得(
)
3A
αα,，联立1
C 与3C 得到()cos ,B αα，进而利用弦长公式和辅助角公式，结合三角函数的有界性即得结论． 【详解】
曲线1cos :sin x t C y t α
α=⎧⎨=⎩
的极坐标方程为(),0R θαρρ=∈≠，其中0απ≤<，
因此得到A 的极坐标为
)
3αα,，B 的极坐标为()cos ,αα． 所以
3sin 2sin 3=AB πααα⎛
⎫-- ⎪⎝
⎭ ， 当56πα=时，AB 取得最大值，最大值为
2．故选：B ． 【点睛】
本题考查极坐标与参数方程，考查运算求解能力，涉及辅助角公式，注意解题方法的积累，属于中档题．
17．已知曲线C 的极坐标方程为2
22
12
3cos 4sin ρθθ
=
+，以极点为原点，极轴为x 轴非负半轴建立平面直角坐标系，则曲线C
经过伸缩变换123x x y y ⎧=⎪⎪
⎨=''⎪⎪⎩
后，得到的曲线是（ ）
A ．直线
B ．椭圆
C ．圆
D ．双曲线
【答案】C 【解析】 【分析】
将曲线C 的极坐标方程2
2212
3cos 4sin ρθθ
=
+化为普通方程，再将曲线C 的普通方程进
行123x x y y ⎧=⎪⎪⎨=''⎪⎪⎩
的伸缩变换后即可解. 【详解】
解：由极坐标方程2
2222
12
3(cos )4(sin )123cos 4sin ρρθρθθθ
=
⇒+=+， 可得：2
2
3412x y +=，即22
143
x y +=，
曲线C
经过伸缩变换12x x y y
⎧=⎪⎪⎨=''⎪⎪⎩
，可得2x x y =⎧=''⎪，代入曲线C 可得：22
1x y ''+=，
∴伸缩变换得到的曲线是圆． 故选：C ． 【点睛】
考查曲线的极坐标方程化普通方程以及曲线方程的变换.
其中将123x x y y ⎧
=⎪⎪
⎨=''⎪⎪⎩
转化为
2x x y
=⎧=''⎪为解题关键.
18．过椭圆C
：2cos x y θθ=⎧⎪⎨=⎪⎩
（θ为参数）的右焦点F 作直线l ：交C 于M ，N 两点，MF m =，NF n =，则
11m n +的值为（） A ．23 B ．43 C ．83 D ．不能确定
【答案】B
【解析】
【分析】
消去参数得到椭圆的普通方程，求得焦点坐标，写出直线l 的参数方程，代入椭圆的普通方程，写出韦达定理，由此求得
11m n
+的值. 【详解】 消去参数得到椭圆的普通方程为22
143
x y +=，故焦点()1,0F ，设直线l 的参数方程为1cos sin x t y t αα
=+⎧⎨=⎩（α为参数），代入椭圆方程并化简得()223sin 6cos 90t t αα++⋅-=.故1212226cos 9,03sin 3sin t t t t ααα
+=-⋅=-<++（12,t t 异号）.故11m n m n mn ++=
1212
t t t t -===⋅43
.故选B. 【点睛】
本小题主要考查椭圆的参数方程化为普通方程，考查直线和椭圆的位置关系，考查利用直线参数的几何意义解题，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.
19．在极坐标系中，由三条直线0θ=，3πθ=
，cos sin 1ρθρθ+=围成的图形的面积为（ ）
A ．
14 B ．3
4- C ．24-D ．13
【答案】B
【解析】
【分析】
求出直线0θ=与直线cos sin 1ρθρθ+=交点的极坐标()1,0ρ，直线3π
θ=与直线
cos sin 1ρθρθ+=交点的极坐标2,3πρ⎛⎫ ⎪⎝⎭，然后利用三角形的面积公式121sin 23
S πρρ=
可得出结果. 【详解】 设直线0θ=与直线cos sin 1ρθρθ+=交点的极坐标()1,0ρ，则1cos 01ρ=，得11ρ=. 设直线3πθ=
与直线cos sin 1ρθρθ+=交点的极坐标2,3πρ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 则22cos sin 133π
πρρ+=
，即22112ρρ+=
，得21ρ=.
因此，三条直线所围成的三角形的面积为
)1211sin 11232S πρρ==⨯⨯= 故选：B.
【点睛】
本题考查极坐标系中三角形面积的计算，主要确定出交点的极坐标，并利用三角形的面积公式进行计算，考查运算求解能力，属于中等题.
20．设x 、y 满足223412,x y +=则2x y +的最大值为（ ）
A ．2
B ．3
C ．4
D ．6
【答案】C
【解析】
【分析】 由22
3412x y +=得出22
143
x y +=，表示椭圆，写出椭圆的参数方程，利用三角函数求2x y +的最大值. 【详解】 由题可得：22143x y +=
则2cos (x y θθθ=⎧⎪⎨=⎪⎩
为参数），
有22cos x y θθ+=+
142con θθ⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭
4sin 6πθ⎛
⎫=+ ⎪⎝⎭
.
因为1sin 16πθ⎛
⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭
， 则： 44sin 46πθ⎛
⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭
， 所以2x y +的最大值为4.
故选：C.
【点睛】
本题主要考查与椭圆上动点有关的最值问题，利用椭圆的参数方程，转化为三角函数求最值.。