安徽省毫州市直属重点中学高三数学第一次月考试卷

高三年级第一次月考数学(理)试卷
试卷说明：本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，满分150分，考试时间120分钟
全部答案要写在第Ⅱ卷的指定区域，考试结束时只收第Ⅱ卷
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的。

）
1．已知离散型随机变量ξ的分布列,则Eξ为（）
A、
3
1
B、
3
2
C、1
D、－
3
2
2. 某批量较大的产品的次品率为10%,从中任意连续取出4件,则其中恰好含有3
件次品的概率是( )
A、0.0001
B、0.0036
C、0.0486
D、0.2916
3. 设ξ是随机变量,且(10)40
Dξ=,则()
Dξ等于( )
A、0.4
B、 4
C、40
D、400
4 某单位有老年人28 人,中年人54人,青年人81人,为了调查他们的身体状况的
某项指标,需从他们中间抽取一个容量为36样本,适合的抽样本方法是( )
A、简单的随机抽样
B、系统抽样
C、先从老年中排除一人,再用分层抽样
D、抽签抽样
5. 已知随机变量ξ服从二项分布
1
~(6,)
3
B
ξ,则P(ξ=2) = ( )
A、
3
16
B、
4
243
C、
16
243
D、
80
243
6．设ξ服从正态分布，且它的总体密度曲线的函数式为f(x)=
269
2
x x
A e
-+
-
⋅，则A
为（）．
A、B、C、D、
7.利用数学归纳法证明“
11113
,(2,)
12224
n n N
n n n
+++>≥∈
++
”的过程中，由
“n=k”变到“n=k＋1”时，不等式左边的变化是
( )
A、增加
)1
(2
1
+
k
B、增加
1
2
1
+
k
和
2
2
1
+
k
C、增加
2
2
1
+
k
，并减少
1
1
+
k
D、增加
1
2
1
+
k
和
2
2
1
+
k
，并减少
1
1
+
k
8.若
2
(2)211
lim
32
n
a b n n
bn
→∞
+++
=
+
，则实数a + b为
A、-2
B、2
C、- 4
D、4
9.若
2
3
1
3
lim2,
3
x
x ax
x
→
++
=
+
则a的值为
A、4
B、2
C、3
D、0
10.函数f(x)=2
(2)
4
(2)
2
A x
x
x
x
=
⎧
⎪
⎨-
≠
⎪-
⎩
,在（-∞，+∞）内每一点处都连续，那么A的值是
A、2
B、-4
C、4
D、-2
11．函数y=sin3(3x+
4
π
)的导数为（）
A、3sin2(3x+
4
π
)cos(3x+
4
π
) B、9sin2(3x+
4
π
)cos(3x+
4
π
)
C、9sin2(3x+
4
π
) D、－9sin2(3x+
4
π
)cos(3x+
4
π
)
12．已知函数m
x
x
x
f+
-
=2
3
2
1
2
)
((m为常数)图像上点A处的切线与直线x一y+3=0的
夹角为45o,则点A的横坐标为（）
A、0
B、1
C、0或
6
1
D、l或
6
1
二、填空题（本大题满分16分，每小题4分，各题只要求直接写出结果）
13. 一个容量为20的样本数据,分组后,组距与频数如下: (]10,20,2; (]20,30, 3 ;
(]30,40, 4 ; (]40,50, 5 ; (]50,60, 4 ; (]60,70, 2 .则样本在区间 (],50-∞上的频
率为_______________________
14. 设随机变量2
~(5,3)N ξ,则可知 35~ξ-_________________
15.若f(n)=23421212121
2
3333
33n n --+-+
+-(其中n ∈N*),则lim ()n f n →∞= 。

16.一个热气球在第一分钟时间里上升了25米高度，在以后的每一分钟里，它上升的高度
都是它在前一分钟里上升高度的80%，这个热气球最多能上升 米.
三、解答题：（本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）。

17、（本小题满分12分）
如图：用A 、B 、C 、D 四类不同的元件连接成系统N ，当元件A 正常工作且元件B 、C 都正常工作或当元件A 正常工作且元件D 正常工作时，系统N 正常工作。

已知元件A 、
B 、
C 、
D 正常工作的概率依次为32、43、43、
（1）求元件A 不正常工作的概率；
（2）求元件A 、B 、C （3）求系统N 正常工作的概率。

18、（本小题满分12分）
如图，在底面是直角梯形的四棱锥S-ABCD 中,∠ABC=900
,SA ⊥面ABCD,SA=AB=BC=1,AD=
2
1. （1） 求四棱锥S-ABCD 的体积;
（2） 求面SCD 与面SBA 所成的二面角的正切值
19、（本小题满分12分）
已知（n
x x
)1324
+展开式中倒数第三项的系数为45。

求：（1）含x 3
的项； （2）系数最大的项。

20、（本小题满分12分）
已知：甲盒子内有3个正品元件和4个次品元件，乙盒子内有5个正品元件和4个次品元件，现从两个盒子内各取出2个元件，试求
（1）取得的4个元件均为正品的概率； （2）取得正品元件个数ξ的数学期望. 21、（本小题满分12分）
（1）.已知抛物线y=2
x -4与直线y=x +2.求抛物线在交点处的切线方程.
（2）.已知曲线y=2x-3x 在横坐标为-1的点处的切线为l ，求点(3，2)到 l 的距离. 22、（本小题满分14分）
已知从“神六”飞船带回的某种植物种子每粒成功发芽的概率都为
1
3
，某植物研究所进行 该种子的发芽实验，每次实验种一粒种子，每次实验结果相互独立，假定某次实验种子发 芽则称该次实验是成功的，如果种子没有发芽，则称该次实验是失败。

若该研究所共进行 四次实验，设ξ表示四次实验结束时实验成功的次数与失败的次数之差的绝对值。

（Ⅰ）求随机变量ξ的数学期望E ξ；
（Ⅱ）记“不等式ξx 2
－ξx+1>0的解集是实数集R ”为事件A ，求事件A 发生的概率P （A ）.
A
B D
S
C
[参考答案]
一、选择题：
二、填空题：
13. 0.7 14 2
(10,9)N
15. 8
1
16. 125
三、解答题：
17. 解：（1）元件A 正常工作的概率P （A ）=
3
2
，它不正常工作的概率P （A ）=1－P （A ）=3
1。

……3分 （2）元件A 、B 、C 都正常工作的概率P （A ·B ·C ）=P （A ）·P （B ）·P （C ）=32·43·43=8
3。

……6分
（3）系统N 正常工作可分为A 、B 、C 都正常工作和A 、D 正常工作但B 、C 不都正常工作两种情况，前者概率为8
3
，后者的概率为
P （A ·B ·C ·D ）+P （A ·B ·C ·D ）+P （A ·B ·C ·D ）
=
32·41·43·54+32·43·41·54+32·41·41·54=30
7
， 所以系统N 正常工作的概率是83+307=120
73
. ……12分
18. 解：(1)
4
1
……4分 (2)
2
2
……12分 19. 解: (1)T 6+1=210x 3 ……6分
(2) T 6=T 5+1=252x
12
25 ……12分
20. 解: 解：（1）从甲盒中取两个正品的概率为P （A ）=7
12
7
2
3=C C ……2分
从乙盒中取两个正品的概率为P （
B ）=18
52
9
2
5=C C ……4分
∵A 与B 是独立事件 ∴P （A ·B ）=P （A ）·P （B ）=
126
5
……6分 （263
124
1265412630312653212632112660=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯
=εE ……12分
21. 解：(1) 0840136=++=--y x y x 或 ……6分 (2)
22
9
……12分 22. 解：（Ⅰ）由题意知：ξ的可能取值为0，2，4。

“ξ=0”指的是实验成功2次 ，失败2次；
()2
2
24
111424016339981P C ξ⎛⎫
⎛⎫
∴==-=⨯⨯= ⎪
⎪
⎝⎭
⎝⎭
“ξ=2”指的是实验成功3次 ，失败1次或实验成功1次 ，失败3次；
()3
3
3144111121133331218404427332781
P C C ξ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴==-+- ⎪ ⎪ ⎪⎪
⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭=⨯⨯+⨯⨯=
“ξ=4”指的是实验成功4次 ，失败0次或实验成功0次 ，失败4次；
()44
404411116174133818181
P C C ξ⎛⎫⎛⎫∴==+-=+= ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭ 24401714802481818181
E ξ∴=⨯
+⨯+⨯= 故随机变量ξ的数学期望E ξ为
148
81
……8分 （Ⅱ）由题意知：“不等式ξx 2
－ξx+1>0的解集是实数集R ”为事件A 。

当ξ=0时，不等式1>0的解集是R ，说明事件A 发生；
(9)
当ξ=2时，不等式2x 2
－2x+1>0的解集是实数集R ，因为2
24240∆=-⨯=-<成
立，说明事件A 发生；
当ξ=4时，不等式4x 2
－4x+1>0的解集是1|2x R x ⎧
⎫∈≠⎨⎬⎩⎭
，因为2
44400∆=-⨯=<不成立，说明事件A 不发生。

()()()24406402818181
P A P P ξξ∴==+==
+= 故事件A 发生的概率P （A ）为
64
81
……14分。