高中数学课时跟踪检测(三十八)--正弦函数、余弦函数的单调性与最值

课时跟踪检测（三十八） 正弦函数、余弦函数的单调性与最值
A 级——学考合格性考试达标练
1．函数f (x )＝2sin x 在区间⎣⎡⎦⎤0，3π
4上的最大值为( )
A ．0
B ．－ 2
C ． 2
D ．2
解析：选D 因为x ∈⎣⎡⎦⎤
0，3π4，所以当x ＝π2时，
函数f (x )有最大值2.
2．下列函数中，在区间⎝⎛⎭⎫π
2，π上恒正且是增函数的是( )
A ．y ＝sin x
B ．y ＝cos x
C ．y ＝－sin x
D ．y ＝－cos x
解析：选D 作出四个函数的图象，知y ＝sin x ，y ＝cos x 在⎝⎛⎭⎫π
2，π上单调递减，不
符合；而y ＝－sin x 的图象虽满足在⎝⎛⎭
⎫π
2，π上单调递增，但其值为负，故不符合．
所以只有D 符合，故选D ．
3．使y ＝sin x 和y ＝cos x 均为减函数的一个区间是( ) A.⎝⎛⎭⎫0，π
2
B.⎝⎛⎭⎫π
2，π C.⎝
⎛⎭
⎫
π，
3π2 D.⎝⎛⎭
⎫3π
2，2π 解析：选B 由y ＝sin x ，x ∈[0，2π]与y ＝cos x ，x ∈[0，2π]的图象知均为减函数的一个区间是⎝⎛⎭
⎫π
2，π.
4．函数y ＝sin 2x ＋sin x －1的值域为( ) A ．[－1，1] B ．⎣⎡⎦⎤－5
4，－1 C ．⎣⎡⎦⎤－5
4，1 D ．⎣
⎡⎦⎤－1，54 解析：选C
y ＝sin 2x ＋sin x －1＝
⎝⎛⎭⎫sin x ＋122
－54，当sin x ＝－12时，y min ＝－54
；当sin x ＝1时，y max ＝1.即y ∈⎣⎡⎦
⎤－5
4，1. 5．下列结论正确的是( ) A ．sin 400°>sin 50° B ．sin 220°<sin 310° C ．cos 130°>cos 200°
D ．cos(－40°)<cos 310°
解析：选C 由cos 130°＝cos(180°－50°)＝－cos 50°，cos 200°＝cos(180°＋20°)＝－cos 20°，因为当x ∈(0°，90°)时，函数y ＝cos x 是减函数，所以cos 50°<cos 20°，所以－cos 50°>－cos 20°，即cos 130°>cos 200°.
6．已知函数y ＝3cos(π－x )，则当x ＝________时，函数取得最大值． 解析：y ＝3cos(π－x )＝－3cos x ，当cos x ＝－1， 即x ＝2k π＋π，k ∈Z 时，y 有最大值3. 答案：2k π＋π，k ∈Z
7．函数f (x )＝－2sin x ＋1，x ∈⎣⎡⎦⎤－π
2，π的值域为________．
解析：∵x ∈⎣⎡⎦
⎤－π
2，π，∴sin x ∈[－1，1]，∴－2sin x ＋1∈[－1，3]． 答案：[－1，3]
8．函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫π4－2x ，x ∈⎣⎡⎦⎤π
2，π的单调递减区间为________．
解析：y ＝cos ⎝⎛⎭⎫π4－2x ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π
4，
由2k π≤2x －π
4≤2k π＋π(k ∈Z )，
得k π＋π8≤x ≤k π＋5π
8
(k ∈Z )．
所以函数的单调递减区间为⎣⎡⎦⎤k π＋π8，k π＋5π8(k ∈Z )，因为x ∈⎣⎡⎦⎤π
2，π，所以函数
的单调递减区间为⎣⎡⎦⎤π2
，5π
8.
答案：⎣⎡⎦⎤
π2，5π8
9．求函数y ＝log 12
sin ⎝
⎛⎭
⎫
2x ＋
π4的单调递增区间． 解：由对数函数的定义域和复合函数的单调性，
可知⎩⎨⎧sin ⎝⎛⎭
⎫
2x ＋
π4>0，2k π＋π2≤2x ＋π4≤2k π＋3π
2（k ∈Z ），
解得2k π＋π2≤2x ＋π
4＜2k π＋π(k ∈Z )，
即k π＋π8≤x ＜k π＋3π
8
(k ∈Z )，
故所求函数的单调递增区间为⎣⎡⎭⎫k π＋π8，k π＋3π
8(k ∈Z )．
10．求函数y ＝3－4cos ⎝
⎛⎭⎫2x ＋
π3，x ∈⎣⎡⎦
⎤－π3，π
6的最大值、最小值及相应的x 值． 解：因为x ∈⎣⎡⎦
⎤－
π3，π6，所以2x ＋π3∈⎣⎡⎦⎤
－π3，
2π3， 从而－1
2≤cos ⎝
⎛⎭⎫2x ＋π3≤1.
所以当cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π
3＝1，即2x ＋π3＝0，
即x ＝－π
6时，y min ＝3－4＝－1.
当cos ⎝
⎛⎭
⎫2x ＋
π3＝－1
2，即2x ＋π3＝2π3，
即x ＝π6
时，y max ＝3－4×⎝⎛⎭⎫－1
2＝5. B 级——面向全国卷高考高分练
1．函数y ＝|sin x |＋sin x 的值域为( ) A ．[－1，1] B ．[－2，2] C ．[－2，0]
D ．[0，2]
解析：选D ∵y ＝|sin x |＋sin x
＝⎩
⎪⎨⎪⎧2sin x ，sin x ≥0，
0， sin x ＜0. 又∵－1≤sin x ≤1，∴y ∈[0，2]， 即函数的值域为[0，2]．
2．函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π
4(ω＞0)的周期为π，则其单调递增区间为( )
A.⎣⎡⎦⎤k π－3π4，k π＋π
4(k ∈Z )
B.⎣
⎡⎦
⎤2k π－
3π4，2k π＋π
4(k ∈Z ) C.⎣
⎡⎦⎤k π－3π8，k π＋π
8(k ∈Z )
D.⎣
⎡⎦⎤2k π－3π8，2k π＋π
8(k ∈Z )
解析：选C ∵周期T ＝π，∴
2πω
＝π，∴ω＝2，∴y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π
4.由－π2＋2k π
≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－3π8≤x ≤k π＋π
8
，k ∈Z .
3．函数y ＝sin x 的定义域为[a ，b ]，值域为⎣⎡⎦⎤－1，1
2，则b －a 的最大值和最小值之和等于( )
A ．4π
3
B ．
8π
3
C ．2π
D ．4π
解析：选C 如图，当x ∈[a 1，b ]时，值域为⎣⎡⎦⎤－1，1
2，且b －a 最大．当x ∈[a 2，b ]时，值域为⎣
⎡⎦⎤－1，1
2，且b －a 最小．
∴最大值与最小值之和为(b －a 1)＋(b －a 2)＝2b －(a 1＋a 2)＝2×π6＋π2＋7π
6＝2π.
4．已知函数f (x )＝2sin ωx (ω>0)在区间⎣⎡⎦⎤
－π3，π4上的最小值是－2，则ω的最小值
等于( )
A ．2
3
B ．32
C ．2
D ．3
解析：选B 由x ∈⎣⎡⎦⎤－
π3，π4，得ωx ∈⎣⎡⎦⎤－π3ω，π4ω，要使函数f (x )在⎣⎡⎦
⎤－π3，π4上取得最小值－2，则－π3ω≤－π2或π4ω≥3π2，得ω≥32，故ω的最小值为3
2
.
5．函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6在区间⎣⎡⎦⎤0，π
2上的值域为________．
解析：由0≤x ≤
π2，得－π6≤2x －π6≤5π6，所以－12≤sin ⎝
⎛⎭⎫2x －π6≤1，即－32≤3sin ⎝
⎛⎭⎫2x －π6≤3，所以f (x )∈⎣⎡⎦⎤－3
2，3. 答案：⎣⎡⎦⎤－3
2，3 6．函数y ＝
2＋cos x
2－cos x
的最大值为________．
解析：由y ＝
2＋cos x 2－cos x ，得y (2－cos x )＝2＋cos x ，即cos x ＝2y －2
y ＋1
(y ≠－1)，因为－1≤cos
x ≤1，所以－1≤2y －2y ＋1≤1，解得1
3≤y ≤3，所以函数y ＝2＋cos x 2－cos x
的最大值为3.
答案：3
7．已知函数f (x )＝cos ⎝
⎛⎭⎫2x －
π6，x ∈⎣
⎡⎦⎤0，π
2，求： (1)f (x )的最大值和最小值； (2)f (x )的单调递减区间．
解：当x ∈⎣
⎡⎦⎤0，π2时，2x －π6∈⎣⎡⎦⎤－π6，5π
6，作出y ＝cos t 的图象，如图所示：
(1)由函数y ＝cos t 的图象知， f (x )＝cos ⎝
⎛⎭⎫2x －
π6∈⎣⎡⎦⎤cos ⎝⎛⎭⎫5π6，cos 0＝⎣⎡⎦
⎤－32，1.
则f (x )的最大值为1，最小值为－
3
2
. (2)由函数y ＝cos t 的图象知，y ＝cos t 在⎣⎡⎦⎤－π6，5π6上的递减区间为⎣⎡⎦⎤0，5π
6.
令0≤2x －π6≤5π6，解得π12≤x ≤π2，故f (x )的单调递减区间为⎣⎡⎦⎤π12，π
2.
8．已知函数f (x )＝sin ⎝
⎛⎭
⎫
2x －
π6. (1)求函数f (x )图象的对称轴方程； (2)解不等式：f ⎝⎛⎭⎫x ＋π12≥3
2.
解：(1)由2x －
π6＝k π＋π
2
(k ∈Z )， 得x ＝k π2＋π
3
(k ∈Z )．
∴函数图象的对称轴方程为x ＝k π2＋π
3(k ∈Z )．
(2)由f ⎝⎛⎭⎫x ＋π12＝sin 2x ≥3
2，
得2k π＋
π3≤2x ≤2k π＋2π
3
，k ∈Z ， 解得k π＋π6≤x ≤k π＋π
3
，k ∈Z ，
故不等式的解集是⎩⎨⎧⎭
⎬⎫x ⎪⎪k π＋π6≤x ≤k π＋π
3，k ∈Z .
C 级——拓展探索性题目应用练
已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω>0，0≤φ≤π)为R 上的偶函数，其图象关于点M ⎝⎛⎭⎫3
4π，0对称，且在区间⎣
⎡⎦⎤0，π
2上是单调函数，求φ和ω的值．
解：由f (x )是偶函数，得sin φ＝±1，∴φ＝k π＋π
2，k ∈Z .
∵0≤φ≤π，∴φ＝π
2
.
由f (x )的图象关于点M ⎝⎛⎭⎫34π，0对称，得f ⎝⎛⎭⎫3π
4＝0. ∵f ⎝⎛⎭⎫3π4＝sin ⎝⎛⎭⎫
3ωπ4＋π2＝cos
3ωπ4，∴cos 3ωπ4＝0. 又∵ω>0，∴3ωπ4＝π2＋k π，k ∈N ，即ω＝23＋4
3k ，k ∈N .
当k ＝0时，ω＝23，此时f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫23x ＋π
2在⎣⎡⎦⎤0，π2上是减函数；
当k ＝1时，ω＝2，此时f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2在⎣⎡⎦⎤0，π
2上是减函数；
当k ≥2时，ω≥
10
3，此时f (x )＝sin ⎝
⎛⎭⎫ωx ＋π2在⎣⎡⎦⎤0，π2上不是单调函数． 综上，ω＝2
3
或ω＝2.
高考数学：试卷答题攻略
一、“六先六后”，因人因卷制宜。

考生可依自己的解题习惯和基本功，选择执行“六先六后”的战术原则。

1.先易后难。

2.先熟后生。

3.先同后异。

先做同科同类型的题目。

4.先小后大。

先做信息量少、运算量小的题目，为解决大题赢得时间。

5.先点后面。

高考数学解答题多呈现为多问渐难式的“梯度题”，解答时不必一气审到底，应走一步解决一步，步步为营，由点到面。

6.先高后低。

即在考试的后半段时间，如估计两题都会做，则先做高分题;估计两题都不易，则先就高分题实施“分段得分”。

二、一慢一快，相得益彰，规范书写，确保准确，力争对全。

审题要慢，解答要快。

在以快为上的前提下，要稳扎稳打，步步准确。

假如速度与准确不可兼得的话，就只好舍快求对了。

三、面对难题，以退求进，立足特殊，发散一般，讲究策略，争取得分。

对于一个较一般的问题，若一时不能取得一般思路，可以采取化一般为特殊，化抽象为具体。

对不能全面完成的题目有
两种常用方法：1.缺步解答。

将疑难的问题划分为一个个子问题或一系列的步骤，每进行一步就可得到一步的分数。

2.跳步解答。

若题目有两问，第一问做不上，可以第一问为“已知”，完成第二问。

四、执果索因，逆向思考，正难则反，回避结论的肯定与否定。

对一个问题正面思考受阻时，就逆推，直接证有困难就反证。

对探索性问题，不必追求结论的“是”与“否”、“有”与“无”，可以一开始，就综合所有条件，进行严格的推理与讨论，则步骤所至，结论自明。

理综求准求稳求规范第一：认真审题。

审题要仔细，关键字眼不可疏忽。

不要以为是“容易题”“陈题”就一眼带过，要注意“陈题”中可能有“新意”。

也不要一眼看上去认为是“新题、难题”就畏难而放弃，要知道“难题”也可能只难在一点，“新题”只新在一处。

第二：先易后难。

试卷到手后，迅速浏览一遍所有试题，本着“先易后难”的原则，确定科学的答题顺序，尽量减少答题过程中的学科转换次数。

高考试题的组卷原则是同类题尽量按由易到难排列，建议大家由前向后顺序答题，遇难题千万不要纠缠。

第三：选择题求稳定。

做选择题时要心态平和，速度不能太快。

生物、化学选择题只有一个选项，不要选多个答案;对于没有把握的题，先确定该题所考查的内容，联想平时所学的知识和方法选择;若还不能作出正确选择，也应猜测一个答案，不要空题。

物理题为不定项选择，在没有把握的情况下，确定一个答案后，就不要再猜其他答案，否则一个正确，一个错误，结果还是零分。

选择题做完后，建议大家立即涂卡，以免留下后患。

第四：客观题求规范。

①用学科专业术语表达。

物理、化学和生物都有各自的学科语言，要用本学科的专业术语和规范的表达方式来组织答案，不能用自造的词语来组织答案。

②叙述过程中思路要清晰，逻辑关系要严密，表述要准确，努力达到言简意赅，切中要点和关键。

③既要规范书写又要做到文笔流畅，不写病句和错别字，特别是专业名词和概念。

④遇到难题，先放下，等做完容易的题后，再解决，尽量回忆本题所考知识与我们平时所学哪部分知识相近、平时老师是怎样处理这类问题的。

⑤尽量不要空题，不会做的，按步骤尽量去解答，努力抓分。

记住：关键时候“滥竽”也是可以“充数”的。