课件5：2.4 正态分布

2.4 正态分布
课标解读
1．了解正态分布的意义． 2．能借助正态曲线的图象理解正态 曲线的性质．(重点) 3．了解正态曲线的意义和性质． 4．会利用 φ(x)，F(x)的意义求正态 总体小于 X 的概率．(难点)
知识 正态分布
【问题导思】 函数 f(x)＝ 21πσe－x－2σμ2 2的图象
如图所示．试确定函数 f(x)的解析式．
x＝μ＝20，
1＝ 2πσ 2
1 π，∴σ＝
2.
于是 φμ，σ(x)＝21π·e－(x－420)2， x∈(－∞，＋∞)，总体随机变量的期望是 μ＝20， 方差是 σ2＝( 2)2＝2.
规律方法 1．本题直接根据正态分布曲线的性质解决 μ，σ. 2．正态曲线的图象及性质特点，其具有两大明显特征：
(2)正态分布的记法 期望为 μ，标准差为 σ 的正态分布，通常记作 __N__(μ_，__σ_2)__． (3)正态曲线 正态变量的__概__率__密__度_函__数___的图象叫做正态曲线． (4)标准正态分布 数学期望为__0__，标准差为__1__的正态分布叫做标准正 态分布，记作__N_(_0_,1_)____．
【答案】 0.682 6
4．在某项测量中，测量结果 ξ 服从正态分布 N(1，σ2)(σ ＞0)．若 ξ 在(0,1)内取值的概率为 0.4，求 ξ 在(0,2)内取值的 概率．
【解】 如图所示，易得 P(0＜ξ＜1)＝P(1＜ξ＜2)，故 P(0＜ξ＜2)＝2P(0＜ξ＜1)＝2×0.4＝0.8.
3．正态总体在三个特殊区间内取值的概率值 若 X～N(μ，σ2)，则 P(μ－σ<X<μ＋σ)＝___0_.6_8_3___， P(μ－2σ<X<μ＋2σ)＝___0_._9_5_4 ____， P(μ－3σ<X<μ＋3σ)＝___0_._9_9_7 __. 上述结果可用图表示如下：
4．3σ 原则 由 P(μ－3σ<X<μ＋3σ)＝0.997 知，随机变量 X 在区间(μ －3σ，μ＋3σ)之外取值的概率为 0.3%.于是若 X～N(μ，σ2)， 则随机变量 X 的取值几乎都在__距__X_＝__μ_三__倍__标_准__差__之__内___，即 在区间(μ－3σ，μ＋3σ)内，这就是正态分布的__3_σ_原__则____．
故该市高二男生身高在(174,180]范围内的人数是 3 000×0.477 2≈1 432(人)．
规律方法 1．本题利用转化的思想方法，把普通的区间转化为 3σ
区间，由特殊区间的概率值求出． 2．解答正态分布的实际应用题，其关键是如何转化，
同时应熟练掌握正态分布在(μ－σ，μ＋σ]，(μ－2σ，μ＋2σ]， (μ－3σ，μ＋3σ]三个区间内的概率．
变式训练 某一部件由三个电子元件
按如图所示方式连接而成，元件 1 或元件 2 正常工作， 且元件 3 正常工作，则部件正常工作．设三个电子元件的使 用寿命(单位：小时)均服从正态分布 N(1 000,502)，且各个元 件能否正常工作相互独立，那么该部件的使用寿命超过 1 000
小时的概率为________． 【解析】 设元件 1,2,3 的使用寿命超过 1 000 小时的事件分别
类型1 正态曲线的图象的应用
如图所示是一个正态曲线，试根据该图象写出其正态 分布的概率密度函数的解析式，求出总体随机变量的均值和 方差．
【思路探究】 给出一个正态曲线，就给出了该曲线的
对称轴和最大值，就能求出总体随机变量的均值、标准差以
及解析式． 【自主解答】 从正态曲线可知，该正态曲线关于直线
类型3 正态分布的应用
例 3 据调查统计，某市高二学生中男生的身高 X(单位：cm) 服从正态分布 N(174,9)．若该市共有高二男生 3 000 人，试 估计该市高二男生身高在(174,180]范围内的人数．
【思路探究】 因为 μ＝174，σ＝3，所以可利用正态分 布的性质可以求解．
【自主解答】 因为身高 X～N(174,9)， 所以 μ＝174，σ＝3，所以 μ－2σ＝174－2×3＝168， μ＋2σ＝174＋2×3＝180， 所以身高在(168,180]范围内的概率为 0.954 4. 又因为 μ＝174. 所以身高在(168,174]和(174,180]范围内的概率相等， 均为 0.477 2，
A．不服从正态分布 B．服从正态分布 C．服从二项分布 D．可能服从正态分布，也可能不服从正态分布
【解析】 由定义可知选 B. 【答案】 B
2．设随机变量 X 的正态密度函数 φμ，σ(x)＝21πe－
x＋432，x∈(－∞，＋∞)，则参数 μ，σ 的值分别是(
)
A．μ＝3，σ＝2 B．μ＝－3，σ＝2
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【思路探究】 解答本题可先求出 X 在(－1,3)内取值的 概率，然后由正态曲线关于 x＝1 对称知，X 在(－1,1)内取值 的概率就等于在(－1,3)内取值的概率的一半．
【自主解答】 由题意得 μ＝1，σ＝2， 所以 P(－1＜X≤3)＝P(1－2＜X≤1＋2)＝0.682 6. 又因为正态曲线关于 x＝1 对称， 所以 P(－1＜X＜1)＝P(1＜X＜3)＝12P(－1＜X＜3)＝ 0.341 3.
规律方法 1．本题利用正态分布曲线的图象和性质以特殊概率的
值进行转化求值． 2．解决正态分布曲线的概率计算问题，首先应理解曲
线的对称性，再者要熟练记住正态变量的取值在区间(μ－σ， μ＋σ)，(μ－2σ，μ＋2σ)，(μ－3σ，μ＋3σ)上的概率值，同时 又要根据已知的正态分布确定所给区间属于上述区间的哪 一个．
2．因为 P(μ－3σ＜X＜μ＋3σ)＝0.997 4，所以 正态总体 X 几乎总取值于区间(μ－3σ，μ＋3σ)之 内，而在此区间以外取值的概率只有 0.0026，这 是一个小概率事件，通常认为这种情况在一次试 验中几乎不可能发生．这是统计中常用的假设检 验基本思想．
当堂检测 1．设随机变量 X～N(μ，62)，线性函数 Y＝a＋bX(b≠0)，则 Y( )
互动探究 本例条件不变，求 P(3＜X≤5)．
【解】 因为 P(3＜X≤5)＝P(－3≤X＜－1)， 所以 P(3＜X≤5) ＝12[P(－3＜X≤5)－P(－1＜X≤3)] ＝12[P(1－4＜X≤1＋4)－P(1－2＜X≤1＋2)] ＝12[P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)－P(μ－σ＜X≤μ＋σ)] ＝12(0.954 4－0.682 6)＝0.135 9.
记为 A，B，C，显然 P(A)＝P(B)＝P(C)＝12，
∴该部件的使用寿命超过 1 000 小时的事件为(A B ＋ A B＋
AB)C，
∴该部件的使用寿命超过 1 000 小时的概率 P＝(12×12＋12×12＋12
×12)×12＝38.
【答案】
3 8
易错易误辨析 忽视数形结合致误 典例 已知 X～N(μ，σ2)，且 P(X＞0)＋P(X≥－4)＝1， 则 μ＝________.
【答案】 －2
P(x≥－4)＝1，又∵P(x＜－4)＋P(x≥－4)＝1， ∴P(x＞0)＝P(x＜－4)，又 0 与－4 关于 x＝－2 对称，
∴曲线关于 x＝－2 对称，即 μ＝－2.
【正解】 ∵P(x＞0)＋P(x≥－4)＝1， 又∵P(x＜－4)＋P(x≥－4)＝1， ∴P(x＞0)＝P(x＜－4)，又 0 与－4 关于 x＝－2 对称， ∴曲线关于 x＝－2 对称，即 μ＝－2.
【错解】 ∵P(x＞0)＋P(x≥－4)＝1， ∴图像关于 x＝－4 对称，∴μ＝－4. 【答案】 －4
【错因分析】 正态分布曲线的对称轴应为 x＝－2，忽 视了数形结合．
【防范措施】 求解此类问题的关键是先对题设信息适 当分析，再借助正态分布曲线的对称性解题，求解时，为增 加解题的直观性，可画草图辅助求解．
A．μ1＜μ2 B．曲线 C1 与 x 轴相交 C．σ1＞σ2 D．曲线 C1、C2 分别与 x 轴所夹的面积相等
【解析】 由正态曲线的特点易知：μ1＞μ2，σ1＜σ2，曲 线 C1，C2 分别与 x 轴所夹面积相等，故选 D.
【答案】 D
类型2 正态分布下的概率计算
例 2 在某项测量中，测量结果服从正态分布 N(1,4)， 求正态总体 X 在(－1,1)内取值的概率．
【提示】 由图可知，该曲线关于直线 x＝72 对称，最
大值为 1 10
，由函数式可知，函数图象的对称轴为 2π
x＝μ，
∴μ＝72，且
1＝ 2πσ 10
12π，∴σ＝10.
∴f(x)＝10 1 2πe－(x2－0072)2(x∈R)．
1．正态曲线与正态分布 (1)正态变量的概率密度函数 正态变量概率密度曲线的函数表达式为 f(x)＝ 21π·σe－x－2σμ2 2，(x∈R)． 其中 μ，σ 是参数，且 σ＞0，－∞＜μ＜＋∞，μ 和 σ 分 别为正态变量的__期_望____和__标__准__差____．
C．μ＝3，σ＝ 2 D．μ＝－3，σ＝ 2
【解析】 把正态曲线化成标准形式为
φμ，σ(x)＝
1 2π
2e－[x－2((－2)32)]2，显然 μ＝－3，σ＝
2.
【答案】 D
3．正态分布总体 N(2σ，σ2)在区间(σ，3σ)内取值的概率 为________．
【解析】 在 N(2σ，σ2)中，μ＝2σ，P(σ＜X＜3σ)＝P(2σ －σ＜X＜2σ＋σ)＝P(μ－σ＜X＜μ＋σ)＝P(μ－σ＜X≤μ＋σ)＝ 0.682 6.
(1)对称轴方程 x＝μ；(2)最值σ 12π.这两点把握好了，参数 μ， σ 便确定了，代入 φμ，σ(x)中便可求出相应的解析式．
变式训练
如图，曲线 C1：f(x)＝ 21πσ1e－x－2σμ2112(x∈R)，曲线 C2：
φ(x)＝ 21πσ2e－x－2σμ2222(x∈R)，则(
)
A．μ1＜μ2 B．曲线 C1 与 x 轴相交
2．正态曲线的特点 (1)曲线在__x_轴__的上方，并且关于直线___x_＝__μ___对称． (2)曲线在__x_＝_μ___时处于最高点，并由此处向左右两边 延伸时，曲线逐渐降低，呈现“_中_间__高__，__两__边__低__”的形状． (3)曲线的形状由参数 σ 确定，__σ_越__大___，曲线越“矮 胖”，__σ_越_小___，曲线越“高瘦”．
课堂小结 1.在正态分布 N(μ，σ2)中，参数 μ 是反映随 机变量取值的平均水平的特征数，即总体随机变 量的均值，它可以用样本的均值去估计，其取值 是任意的实数．参数 σ 是反映随机变量总体波动 大小的特征数，即总体随机变量的标准差，它可 以用样本的标准差去估计，其取值范围是正数， 即 σ＞0.