高三数学下学期第一次联考试题理扫描

创作；朱本晓 2021届盟校第一次联考理科数学试题〔答案〕
一、选择题 CCDBA BBACB BD. 13．1； 14．6
1-4π；15．3；16．{}1,1-
12.如图．M 是BC 边中点，E 是AC 边中点，∵AB AC ⊥，∴M 是ABC ∆的外心，作
//OM PA ，∵PA ⊥平面ABC ，∴OM ⊥平面ABC ，∴,OM AM OM MD ⊥⊥，
取1
2
OM PA =
，易得OA OP =，∴O 是三棱锥P ABC -的外接球的球心。

E 是AC 中点，那么//ME AB ，1
32
ME AB =
=，∴ME AC ⊥，∵3AD DC =，∴1
24
ED AC =
=，∴22223213MD ME ED =++2PA a =，那么OM a =，2
2
2
2
13OD OM MD a =+=+，又221168522
AM BC =
=+=，∴222225OA OM AM a =+=+，
过D 且与OD 垂直的截面圆半径为r ，那么2223r OA OD -这是最小的截面圆半径，最大的截面圆半径等于球半径OA ，
，πππππ4412)25(222=++=+∴a r OA ππ32)25a (22=+=OA
.
12842ππ==OA S 球
16.111212
1
1=-⇒+=
--+--+n n n n n n n n a a a a a a a a 1112=-⇒+-+n n n n a a a a ，两式相减可得： ()()2121-++-+=+n n n n n n a a a a a a 2-=⇒n n b b ，又由于1321===a a a ，得
24=a 3,221==⇒b b
创作；朱本晓
故：⎩⎨⎧=为偶数
为奇数n n b n
,3,2 17.〔1〕证明：由正弦定理得：cos cos 1A B a b c
+=⇒cos cos 1sin sin sin A B A B C +=……………2分
sin()1
sin sin sin A B A B C
+⇒
=⇒
2sin sin sin C A B =，………………………………4分
2,c ab ⇒=所以,,a c b 成等比数列……………………………………………6分 〔2〕由1)62sin(22cos 2sin 31cos )6sin(4=-⇒=-⇒=-ππC C C C C ,3C π⇒=……8分
由余弦定理得：2222cos c a b ab C =+-，又3=c ，所以
92==c ab ……………………10分
于是得：229()3()27a b ab a b =+-=+-6a b ⇒+=……………………………………11分
所以ABC ∆的周长为9a b c ++=.…………………………………………………………12分
18解：〔1〕依题意可得：2==PC PE ，
分别取线段CE AB ,的中点M O ,，连接POM ∆的三边，
那么AB PO ⊥，CE PM ⊥，而OM 为梯形ABCE 的中位线，
有BC OM //，AB OM AB BC ⊥⇒⊥，……………2分
且O OM PO = ，故：POM AB 平面⊥………………3分
创作；朱本晓 PM AB ⊥⇒，且AB 不与CE 平行，
综上所述，ABCE PM 平面⊥ABCE PCE 平面平面⊥⇒…………5分
〔2〕过点O 作与PM 平行线作z 轴，分别以OM OA ,为y x ,轴建立空间直角坐标系
那么()0,0,1A ，()0,0,1-B ，()0,1,1E ，()
2,2,0P ………………6分 ()
2,2,1--=⇒PA ，()0,0,2=BA ，()0,1,0=AE ………………7分
设向量()PAB z y x n 平面⊥=,, ，那么有⎩⎨
⎧==--0
2022x z y x 令1=y ，得：()
2,1,0-=n
……8分
同理：平面PAE 的法向量(
)
1,0,2=
m
,得3
2,cos -
>=<n m ，…………10分 故：二面角E PA B --的余弦值3
2-………………12分
19．解：〔1〕X 所有可能的取值为0，1，2，3，4，5，6. ………1分
()11101010100P X ==
⨯=
， ()111
1210525
P X ==⨯⨯=， ()11213225551025P X ==⨯+⨯⨯=， ()131211
32210105550
P X ==⨯⨯+⨯⨯=，
()22317425510525P X ==⨯+⨯⨯=， ()236
5251025
P X ==⨯⨯=，
()339
61010100
P X ==⨯=
，………3分〔注：此步骤中，写对任意一个可得1分，全对得2分〕
创作；朱本晓
∴X 的分布列为
……5分
〔2〕选择延保方案一，所需费用1Y 元的分布列为：
1
1分〕
117117697000900011000130001500010720100502525100
EY =
⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=(元). …………8分
选择延保方案二，所需费用2Y 元的分布列为：
2Y 取值全对可得1分〕
267691000011000120001042010025100
EY =
⨯+⨯+⨯=(元). ………………………11分 ∵12EY EY >，∴该选择延保方案二较合算. ……………………12分
20.解：
〔1〕如图三角形中，，所以，
所以，
所以点的轨迹是以，为焦点，长轴为4的椭圆〔不包含实轴的端点〕，………………2分
所以点的轨迹的方程为.………………4分
注：答轨迹为椭圆，但方程错，给3分；不答轨迹，直接写出正确方程，得4分〔
未写出，这次不另外扣分〕.
〔2〕如图，设，，可设直线方程为，那么，………………5分
由可得，，
，………6分
，，，，
，………………8分
创作；朱本晓
创作；朱本晓 因为
………………10分
，所以为定值.………………12分
21解：
〔1〕当0=m 时，()x
x
e xe x
f -=，()x
xe x f ='………………1分
令()0≥'x f 得0≥x 故：()x f 的增区间为[)+∞,0；减区间为(]0,∞-………………3分
所以当x=0时，f(x)的极小值为-1，无极大值。

…………4分
〔2〕方程()()()
01=--=mx e x x f x
等价于1=x 或者mx e x
=…………5分
记函数()x e x g x =，()()2
1x
e x x g x
-='()x g ⇒在()()1,0,0,∞-上递减，()+∞,1上递增 且当0=x ，mx e x
≠，故：要使()x f 存在三零点，
那么需e m >，方程mx e x
=在区间()1,0和()+∞,1内各有一根，…………6分
满足11
mx e
x =①，33mx e x =②，且32110x x x <=<<
设1
3
x x t =
，那么联立方程①②，得：.t 12ln 2131
3
13e x x t t x x e x x ≤<∴≤-=⇒==
-，…………7分
创作；朱本晓
代入13tx x =，得：()1
ln ,1ln 1ln 311-⋅=
-=
⇒-=t t
t x t t x x t t
()()23111
ln 1e t t t t x x ≤<-+=
+⇒…………8分
记函数()x x x x h ln 11⋅-+=，()()()()
2
221ln 211ln 211---=--+-+='x x x
x x x x x x x x h …………10分 对于x x x y ln 212
--=，当1=x 时，0=y
且0ln 222≥--='x x y 恒成立，故：当2
1e x ≤<时，()0>'x h ，()x h 单增
所以当2
e t =时，31x x +获得最大值()
1
1
222-+e e …………12分
22.【解】〔1〕222
241:131x k k C y k k ⎧=⎪
⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，平方后得221169x y +=，…………2分
又26
3(3,3]1
y k =-+∈-+，C 的普通方程为221(3)169x y y +
=≠-．…………3分
cos()4
π
ρθ+=cos sin 6ρθρθ-=，…………4分
将cos ,sin x y ρθρθ==代入即可得到:6l x y -=．…………5分
〔2〕将曲线C 化成参数方程形式为4cos 3sin x y α
α
=⎧⎨
=⎩〔α为参数〕，…………6分
那么d 3
tan 4
ϕ=
，…………8分
d ≤≤
10分
创作；朱本晓
23.证明：
（1）22
a b +表示点P 〔a,b 〕到原点O 的间隔 的平方，而原点到直线23a b +=的间隔
为
35d =
=
，
∴
2229
5a b d +≥=
；…………5分
〔2〕∵0,0a b >>
，∴32a b =+≥9
08
ab <≤
，…………6分 33222
2
4(4)[(2)4](94)94()a b ab ab a b ab a b ab ab ab ab ab +=+=+-=-=-
2
981
4()8
16
ab =--+
，…………8分 易知98ab =
时，29814()816ab --+获得最大值8116．∴3381416
a b ab +≤． (10)
分
励志赠言经典语录精选句；挥动**，放飞梦想。

厚积薄发，一鸣惊人。

关于努力学习的语录。

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贵在坚持、难在坚持、成在坚持。

功崇惟志，业广为勤。

耕耘今天，收获明天。

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敢闯敢拼，**协力，争创佳绩。

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奋勇冲击，永争第一。

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放心去飞，勇敢去追，追一切我们为完成的梦。

翻手为云，覆手为雨。

二人同心，其利断金。

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不敢高声语，恐惊读书人。

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博学强识，时不我待，黑发勤学，自首不悔。

播下希望，充满**，勇往直前，永不言败。

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百尺高梧，撑得起一轮月色;数椽矮屋，锁不住五夜书声。

创作；朱本晓。