第121403号4.4反证法
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3
路边苦李
路人问王戎： 你为什么不去摘李子呢 路人问王戎：“你为什么不去摘李子呢?” 王戎说： 树在道边而多子,此必苦李 此必苦李” 王戎说：“树在道边而多子 此必苦李” 路人摘取一个尝了一下果然是苦李. 路人摘取一个尝了一下果然是苦李 王戎是怎样知道李子是苦的呢?
4
王戎的推理方法是: 王戎的推理方法是:
14
总结回顾: 总结回顾:
反证法的概念; 1、反证法的概念; 2、反证法的一般步骤: 反证法的一般步骤:
假 设 命 题 不 成 立 从假设出发 引 出 矛 盾 假 设 不 成 立 得出结论 求 证 的 命 题 正 确
15
禁止数学家使用反证法, 禁止数学家使用反证法,就象禁止拳 击家使用拳头。 击家使用拳头。
假设李子不苦, 李子不苦, 因树在“ 则因树在“道”边,李子早就
被别人采摘, 被别人采摘, 这与“多子” 这与“多子”产生矛盾. 所以假设不成立,李为苦李. 李为苦李.
5
问题解决： 问题解决
已知：如图，直线a,b被直线c所截， 已知：如图，直线a,b被直线c所截， a,b被直线 ∠1 ≠ ∠2 求证： 求证：a∥b
定理
求证:在同一平面内,如果两条直线都和第三条直线平行, 求证:在同一平面内,如果两条直线都和第三条直线平行, 那么这两条直线也互相平行. 那么这两条直线也互相平行. l (3)能不用反证法证明吗 你是怎样证明的? 能不用反证法证明吗? (3)能不用反证法证明吗?你是怎样证明的? p
已知:如图， 已知:如图，l1∥l2 ,l 2 ∥l 3 2 l2 求证: l1∥l3 求证: 3 证明:作直线l交直线 于点P 交直线l 证明:作直线 交直线 1于点P， l3 ∵l1∥l2 ,l 2∥l 3 直线l必定与直线 ， 相交（在同一平面内， 必定与直线l ∴直线 必定与直线 2，l3相交（在同一平面内， 如果一条直线和两条平行直线中的一条相 那么和另一条直线也相交） 交，那么和另一条直线也相交） ∴∠1 ∠ ∠ （两直线平行，同位角相等） ∴∠ =∠2=∠3（两直线平行，同位角相等） 同位角相等，两直线平行） ∴ l1∥l3 （同位角相等，两直线平行） 12
25
一、提出假设 二、推理论证 三、得出矛盾 四、结论成立
什么时 候运用 反证法 呢？
26
反证法的一般步骤: 反证法的一般步骤
假设
假设命题结 论不成立 与已知条 件矛盾
所证命题 成立
推理得出
与定理，定义， 定理，定义， 公理矛盾 公理矛盾
假设不 成立
27
20
求证：在同一平面内， 求证：在同一平面内，过直线外 的一点， 的一点，只能做一条直线与已知 直线垂直
21
ABC中 >∠B，求证： △ABC中，∠C >∠B，求证： AB>AC
22
求证： 求证：连结直线外一点和直线上 所有各点的线段中， 所有各点的线段中，垂线段最短
23
归纳: 宜用反证法证明的题型 归纳
定理: 在同一平面内, 定理 :在同一平面内,如果一条直线和两 求证: 求证
条平行直线中的一条相交, 条平行直线中的一条相交,那么和另一 条也相交. 条也相交. 在同一平面内， 已知: 如图， ∥ 已知 如图，直线 l1 , l2 , l3 在同一平面内，且 l1 l2 ，
l1
l3与 l1 相交于点 相交于点P.
----德国数学家希尔伯特
16
你能用反证法证明以下命题吗？ 能力提升 你能用反证法证明以下命题吗？ 所列举的原结论的反面要全面
如图， 是直角， 如图，在△ABC中,若∠C是直角，那么∠B一 中若 是直角 那么∠ 一 定是锐角. 定是锐角 证明：假设结论不成立 则 证明：假设结论不成立,则∠B是_____或______. 是 直角 或 钝角 直角 ° _____________ 当∠B是_____时，则∠B+ ∠C= 180° 是 时 三角形的三个内角和等于180° ° 这与____________________________矛盾； 矛盾； 这与 三角形的三个内角和等于 矛盾 ∠B+ ∠C＞180° ＞ 当∠B是_____时，则______________° 是 钝角 时 三角形的三个内角和等于180°矛盾； °矛盾 这与____________________________矛盾； 这与 三角形的三个内角和等于 综上所述,假设不成立 综上所述 假设不成立. 假设不成立 ∴∠B一定是锐角 一定是锐角. ∴∠ 一定是锐角
求证: 求证 相交. l3 与 l2 相交
P
l3
l1
l2
10
定理
求证:在同一平面内,如果两条直线都和第三条直线平行, 求证:在同一平面内,如果两条直线都和第三条直线平行, 那么这两条直线也互相平行. 那么这两条直线也互相平行. (1)你会选择哪一种证明方法 你会选择哪一种证明方法? (1)你会选择哪一种证明方法? (2)如果你选择反证法,先怎样假设?结果和什么产生矛盾? (2)如果你选择反证法,先怎样假设?结果和什么产生矛盾? 如果你选择反证法
19
命题： 如果a1,a2,a3,a4,a5都是正数， 命题：“如果a1,a2,a3,a4,a5都是正数， a1,a2,a3,a4,a5都是正数 且a1+a2+a3+a4+a5=1,那么这5个数中至少 a1+a2+a3+a4+a5=1,那么这5 那么这
1 有一个数大于或等于 ”是真命题还是假 5
命题？若是真命题，请写出证明过程； 命题？若是真命题，请写出证明过程；若 是假命题， 是假命题，请举出反例
1
问：
已知：如图，直线a,b被直线c所截， 已知：如图，直线a,b被直线c所截， a,b被直线 ∠1 ≠ ∠2 求证： 求证：a∥b
1 2
c
a b
2
路边苦李
王戎7岁时 与小伙伴们外出游玩 王戎 岁时,与小伙伴们外出游玩 看到路边 岁时 与小伙伴们外出游玩,看到路边 的李树上结满了果子.小伙伴们纷纷去摘取果子 小伙伴们纷纷去摘取果子, 的李树上结满了果子 小伙伴们纷纷去摘取果子 只有王戎站在原地不动. 只有王戎站在原地不动
（1）以否定性判断作为结论的命题； ）以否定性判断作为结论的命题； （2）某些定理的逆命题； ）某些定理的逆命题； 至多” 至少” 不多于” （3）以“至多”、“至少”或“不多于”等形式 ） 陈述的 命题； 命题； （4）关于“唯一性”结论的命题； ）关于“唯一性”结论的命题； （5）解决整除性问题； ）解决整除性问题； （6）一些不等量命题的证明； ）一些不等量命题的证明； （7）有些基本定理或某一知识体系的初始阶段； ）有些基本定理或某一知识体系的初始阶段； （8）涉及各种“无限”结论的命题等等。 24 ）涉及各种“无限”结论的命题等等。
1 2
c
a b
6
7
在证明一个命题时,有时先假设命题 在证明一个命题时,有时先假设命题 的结论不成立,从这样的假设出发 假设出发, 的结论不成立,从这样的假设出发,经过推 理得出和已知条件矛盾,或者与定义,公理, 理得出和已知条件矛盾,或者与定义,公理, 已知条件矛盾 定理等矛盾,从而得出假设命题不成立是 定理等矛盾,从而得出假设命题不成立是 错误的,即所求证的命题正确。 错误的,即所求证的命题正确。这种证明 反证法。 方法叫做反证法 方法叫做反证法。
1
l1
定理:在同一平面内 如果两条直线都 定理 在同一平面内,如果两条直线都 在同一平面内 和第三条直线平行,那么这两条 和第三条直线平行 那么这两条 直线也互相平行. 直线也互相平行 几何语言表示 几何语言表示: 表示 ∵a∥b,b∥c, ∥ ∥ ∴a∥c ∥
13
a b c
用反证法证明（填空） 用反证法证明（填空）:在三角形的内角 至少有一个角大于或等于60 60° 中，至少有一个角大于或等于60°. 已知: 的内角. 已知: ∠A，∠B，∠C是△ABC的内角. ， ， 是 的内角 求证: 求证: ∠A，∠B，∠C中至少有一个角大 于 ， ， 中至少有一个角大 或等于60° 或等于 °. 证明: 假设所求证的结论不成立， 证明: 假设所求证的结论不成立，即 < < < ° ∠A ___ 60° ，∠B ___ 60° ，∠C ___60° ° ° 则∠A+∠B+∠C < 180°. ∠ ∠ ° 三角形三个内角的和等于180 相矛盾. 180° 这与________________________________相矛盾. 三角形三个内角的和等于180° 所以______不成立，所求证的结论成立. 假设 不成立，所求证的结论成立.
8
说出下列结论的反面 1. d是正数 是正数 2. a不大于b a不大于 不大于b 1.d不是正数 不是正数 是负数或零(d≤0) 即：d是负数或零 是负数或零 2.a大于 即:a> b 大于b即 大于
想一想
1.“至少有一个”的含义是什么？ 至少有一个”的含义是什么？ 至少有一个 2.“至少有一个”的反面是什么？一个也没有 至少有一个”的反面是什么？ 至少有一个 9
l１ 已知:如图， 已知:如图，l1∥l2 ,l 2 ∥l 3 l２ p 求证： 求证： l１∥l３ l３ 证明：假设l 不平行l 相交，设交点为p. 证明：假设 １不平行 ３，则l１与l３相交，设交点为 则过点p就有两条直线 就有两条直线l ∵l１∥l２ , l２∥l３, 则过点 就有两条直线 １、 l３都与 ２平行 都与l 这与“经过直线外一点， 这与“经过直线外一点，有且只有一条直线 平行于已知直线”矛盾． 平行于已知直线”矛盾． 所以假设不成立，所求证的结论成立， 假设不成立 所以假设不成立，所求证的结论成立， 11 即 l１ ∥ l３
17Leabharlann m为整数，m2为偶数,求证：m为偶 为整数， 为偶数,求证： 数
18
用反证法证题时,应注意的事项 用反证法证题时 应注意的事项 :
（1）周密考察原命题结论的否定事项 ） （2）推理过程必须完整 （3）在推理过程中，要充分使用 在推理过程中， 已知条件，否则推不出矛盾， 已知条件，否则推不出矛盾，或者 不能断定推出的结果是错误的。 不能断定推出的结果是错误的。
用反证法证题时,应注意的事项 用反证法证题时 应注意的事项 :
（1）周密考察原命题结论的否定事项， ）周密考察原命题结论的否定事项， 防止否定不当或有所遗漏； 防止否定不当或有所遗漏； （2）推理过程必须完整，否则不能说 ）推理过程必须完整， 明命题的真伪性； 明命题的真伪性； （3）在推理过程中，要充分使用已知条 ）在推理过程中， 件，否则推不出矛盾，或者不能断 否则推不出矛盾， 定推出的结果是错误的。 定推出的结果是错误的。
路边苦李
路人问王戎： 你为什么不去摘李子呢 路人问王戎：“你为什么不去摘李子呢?” 王戎说： 树在道边而多子,此必苦李 此必苦李” 王戎说：“树在道边而多子 此必苦李” 路人摘取一个尝了一下果然是苦李. 路人摘取一个尝了一下果然是苦李 王戎是怎样知道李子是苦的呢?
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王戎的推理方法是: 王戎的推理方法是:
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总结回顾: 总结回顾:
反证法的概念; 1、反证法的概念; 2、反证法的一般步骤: 反证法的一般步骤:
假 设 命 题 不 成 立 从假设出发 引 出 矛 盾 假 设 不 成 立 得出结论 求 证 的 命 题 正 确
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禁止数学家使用反证法, 禁止数学家使用反证法,就象禁止拳 击家使用拳头。 击家使用拳头。
假设李子不苦, 李子不苦, 因树在“ 则因树在“道”边,李子早就
被别人采摘, 被别人采摘, 这与“多子” 这与“多子”产生矛盾. 所以假设不成立,李为苦李. 李为苦李.
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问题解决： 问题解决
已知：如图，直线a,b被直线c所截， 已知：如图，直线a,b被直线c所截， a,b被直线 ∠1 ≠ ∠2 求证： 求证：a∥b
定理
求证:在同一平面内,如果两条直线都和第三条直线平行, 求证:在同一平面内,如果两条直线都和第三条直线平行, 那么这两条直线也互相平行. 那么这两条直线也互相平行. l (3)能不用反证法证明吗 你是怎样证明的? 能不用反证法证明吗? (3)能不用反证法证明吗?你是怎样证明的? p
已知:如图， 已知:如图，l1∥l2 ,l 2 ∥l 3 2 l2 求证: l1∥l3 求证: 3 证明:作直线l交直线 于点P 交直线l 证明:作直线 交直线 1于点P， l3 ∵l1∥l2 ,l 2∥l 3 直线l必定与直线 ， 相交（在同一平面内， 必定与直线l ∴直线 必定与直线 2，l3相交（在同一平面内， 如果一条直线和两条平行直线中的一条相 那么和另一条直线也相交） 交，那么和另一条直线也相交） ∴∠1 ∠ ∠ （两直线平行，同位角相等） ∴∠ =∠2=∠3（两直线平行，同位角相等） 同位角相等，两直线平行） ∴ l1∥l3 （同位角相等，两直线平行） 12
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一、提出假设 二、推理论证 三、得出矛盾 四、结论成立
什么时 候运用 反证法 呢？
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反证法的一般步骤: 反证法的一般步骤
假设
假设命题结 论不成立 与已知条 件矛盾
所证命题 成立
推理得出
与定理，定义， 定理，定义， 公理矛盾 公理矛盾
假设不 成立
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求证：在同一平面内， 求证：在同一平面内，过直线外 的一点， 的一点，只能做一条直线与已知 直线垂直
21
ABC中 >∠B，求证： △ABC中，∠C >∠B，求证： AB>AC
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求证： 求证：连结直线外一点和直线上 所有各点的线段中， 所有各点的线段中，垂线段最短
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归纳: 宜用反证法证明的题型 归纳
定理: 在同一平面内, 定理 :在同一平面内,如果一条直线和两 求证: 求证
条平行直线中的一条相交, 条平行直线中的一条相交,那么和另一 条也相交. 条也相交. 在同一平面内， 已知: 如图， ∥ 已知 如图，直线 l1 , l2 , l3 在同一平面内，且 l1 l2 ，
l1
l3与 l1 相交于点 相交于点P.
----德国数学家希尔伯特
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你能用反证法证明以下命题吗？ 能力提升 你能用反证法证明以下命题吗？ 所列举的原结论的反面要全面
如图， 是直角， 如图，在△ABC中,若∠C是直角，那么∠B一 中若 是直角 那么∠ 一 定是锐角. 定是锐角 证明：假设结论不成立 则 证明：假设结论不成立,则∠B是_____或______. 是 直角 或 钝角 直角 ° _____________ 当∠B是_____时，则∠B+ ∠C= 180° 是 时 三角形的三个内角和等于180° ° 这与____________________________矛盾； 矛盾； 这与 三角形的三个内角和等于 矛盾 ∠B+ ∠C＞180° ＞ 当∠B是_____时，则______________° 是 钝角 时 三角形的三个内角和等于180°矛盾； °矛盾 这与____________________________矛盾； 这与 三角形的三个内角和等于 综上所述,假设不成立 综上所述 假设不成立. 假设不成立 ∴∠B一定是锐角 一定是锐角. ∴∠ 一定是锐角
求证: 求证 相交. l3 与 l2 相交
P
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定理
求证:在同一平面内,如果两条直线都和第三条直线平行, 求证:在同一平面内,如果两条直线都和第三条直线平行, 那么这两条直线也互相平行. 那么这两条直线也互相平行. (1)你会选择哪一种证明方法 你会选择哪一种证明方法? (1)你会选择哪一种证明方法? (2)如果你选择反证法,先怎样假设?结果和什么产生矛盾? (2)如果你选择反证法,先怎样假设?结果和什么产生矛盾? 如果你选择反证法
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命题： 如果a1,a2,a3,a4,a5都是正数， 命题：“如果a1,a2,a3,a4,a5都是正数， a1,a2,a3,a4,a5都是正数 且a1+a2+a3+a4+a5=1,那么这5个数中至少 a1+a2+a3+a4+a5=1,那么这5 那么这
1 有一个数大于或等于 ”是真命题还是假 5
命题？若是真命题，请写出证明过程； 命题？若是真命题，请写出证明过程；若 是假命题， 是假命题，请举出反例
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问：
已知：如图，直线a,b被直线c所截， 已知：如图，直线a,b被直线c所截， a,b被直线 ∠1 ≠ ∠2 求证： 求证：a∥b
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a b
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路边苦李
王戎7岁时 与小伙伴们外出游玩 王戎 岁时,与小伙伴们外出游玩 看到路边 岁时 与小伙伴们外出游玩,看到路边 的李树上结满了果子.小伙伴们纷纷去摘取果子 小伙伴们纷纷去摘取果子, 的李树上结满了果子 小伙伴们纷纷去摘取果子 只有王戎站在原地不动. 只有王戎站在原地不动
（1）以否定性判断作为结论的命题； ）以否定性判断作为结论的命题； （2）某些定理的逆命题； ）某些定理的逆命题； 至多” 至少” 不多于” （3）以“至多”、“至少”或“不多于”等形式 ） 陈述的 命题； 命题； （4）关于“唯一性”结论的命题； ）关于“唯一性”结论的命题； （5）解决整除性问题； ）解决整除性问题； （6）一些不等量命题的证明； ）一些不等量命题的证明； （7）有些基本定理或某一知识体系的初始阶段； ）有些基本定理或某一知识体系的初始阶段； （8）涉及各种“无限”结论的命题等等。 24 ）涉及各种“无限”结论的命题等等。
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在证明一个命题时,有时先假设命题 在证明一个命题时,有时先假设命题 的结论不成立,从这样的假设出发 假设出发, 的结论不成立,从这样的假设出发,经过推 理得出和已知条件矛盾,或者与定义,公理, 理得出和已知条件矛盾,或者与定义,公理, 已知条件矛盾 定理等矛盾,从而得出假设命题不成立是 定理等矛盾,从而得出假设命题不成立是 错误的,即所求证的命题正确。 错误的,即所求证的命题正确。这种证明 反证法。 方法叫做反证法 方法叫做反证法。
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定理:在同一平面内 如果两条直线都 定理 在同一平面内,如果两条直线都 在同一平面内 和第三条直线平行,那么这两条 和第三条直线平行 那么这两条 直线也互相平行. 直线也互相平行 几何语言表示 几何语言表示: 表示 ∵a∥b,b∥c, ∥ ∥ ∴a∥c ∥
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a b c
用反证法证明（填空） 用反证法证明（填空）:在三角形的内角 至少有一个角大于或等于60 60° 中，至少有一个角大于或等于60°. 已知: 的内角. 已知: ∠A，∠B，∠C是△ABC的内角. ， ， 是 的内角 求证: 求证: ∠A，∠B，∠C中至少有一个角大 于 ， ， 中至少有一个角大 或等于60° 或等于 °. 证明: 假设所求证的结论不成立， 证明: 假设所求证的结论不成立，即 < < < ° ∠A ___ 60° ，∠B ___ 60° ，∠C ___60° ° ° 则∠A+∠B+∠C < 180°. ∠ ∠ ° 三角形三个内角的和等于180 相矛盾. 180° 这与________________________________相矛盾. 三角形三个内角的和等于180° 所以______不成立，所求证的结论成立. 假设 不成立，所求证的结论成立.
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说出下列结论的反面 1. d是正数 是正数 2. a不大于b a不大于 不大于b 1.d不是正数 不是正数 是负数或零(d≤0) 即：d是负数或零 是负数或零 2.a大于 即:a> b 大于b即 大于
想一想
1.“至少有一个”的含义是什么？ 至少有一个”的含义是什么？ 至少有一个 2.“至少有一个”的反面是什么？一个也没有 至少有一个”的反面是什么？ 至少有一个 9
l１ 已知:如图， 已知:如图，l1∥l2 ,l 2 ∥l 3 l２ p 求证： 求证： l１∥l３ l３ 证明：假设l 不平行l 相交，设交点为p. 证明：假设 １不平行 ３，则l１与l３相交，设交点为 则过点p就有两条直线 就有两条直线l ∵l１∥l２ , l２∥l３, 则过点 就有两条直线 １、 l３都与 ２平行 都与l 这与“经过直线外一点， 这与“经过直线外一点，有且只有一条直线 平行于已知直线”矛盾． 平行于已知直线”矛盾． 所以假设不成立，所求证的结论成立， 假设不成立 所以假设不成立，所求证的结论成立， 11 即 l１ ∥ l３
17Leabharlann m为整数，m2为偶数,求证：m为偶 为整数， 为偶数,求证： 数
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用反证法证题时,应注意的事项 用反证法证题时 应注意的事项 :
（1）周密考察原命题结论的否定事项 ） （2）推理过程必须完整 （3）在推理过程中，要充分使用 在推理过程中， 已知条件，否则推不出矛盾， 已知条件，否则推不出矛盾，或者 不能断定推出的结果是错误的。 不能断定推出的结果是错误的。
用反证法证题时,应注意的事项 用反证法证题时 应注意的事项 :
（1）周密考察原命题结论的否定事项， ）周密考察原命题结论的否定事项， 防止否定不当或有所遗漏； 防止否定不当或有所遗漏； （2）推理过程必须完整，否则不能说 ）推理过程必须完整， 明命题的真伪性； 明命题的真伪性； （3）在推理过程中，要充分使用已知条 ）在推理过程中， 件，否则推不出矛盾，或者不能断 否则推不出矛盾， 定推出的结果是错误的。 定推出的结果是错误的。