四川师范大学附属中学数学整式的乘法与因式分解专题练习(解析版)

四川师范大学附属中学数学整式的乘法与因式分解专题练习（解析
版）
一、八年级数学整式的乘法与因式分解选择题压轴题（难）
1．把多项式2425m -分解因式正确的是（ ）
A ．(45)(45)m m +-
B ．(25)(25)m m +-
C ．(5)(5)m m -+
D ．(5)(5)m m m -+
【答案】B
【解析】
利用公式法分解因式的要点，根据平方差公式：()()22a b a b a b -=+-，分解因式为：()()()2
22425252525m m m m -=-=+-.
故选B.
2．下列四个多项式，可能是2x 2＋mx －3 (m 是整数)的因式的是
A ．x －2
B ．2x ＋3
C ．x ＋4
D ．2x 2－1
【答案】B
【解析】
【分析】
将原式利用十字相乘分解因式即可得到答案.
【详解】
因为m 是整数，
∴将2x 2＋mx －3分解因式：
2x 2＋mx －3=（x-1）（2x+3）或2x 2＋mx －3=（x+1）（2x-3），
故选：B.
【点睛】
此题考查因式分解，根据二次项和常数项将多项式分解因式是解题的关键.
3．因式分解x 2+mx ﹣12＝（x +p ）（x +q ），其中m 、p 、q 都为整数，则这样的m 的最大值是（ ）
A ．1
B ．4
C ．11
D ．12
【答案】C
【解析】
分析：根据整式的乘法和因式分解的逆运算关系，按多项式乘以多项式法则把式子变形，然后根据p 、q 的关系判断即可.
详解：∵(x ＋p)(x ＋q)= x 2＋（p+q ）x+pq= x 2＋mx －12
∴p+q=m ，pq=-12.
∴pq=1×（-12）=（-1）×12=（-2）×6=2×（-6）=（-3）×4=3×（-4）=-12
∴m=-11或11或4或-4或1或-1.
∴m的最大值为11.
故选C.
点睛：此题主要考查了整式乘法和因式分解的逆运算的关系，关键是根据整式的乘法还原因式分解的关系式，注意分类讨论的作用.
4．若(x+y)2=9，(x-y)2=5，则xy的值为（）
A．-1 B．1 C．-4 D．4
【答案】B
【解析】
试题分析：根据完全平方公式，两数和（或差）的平方，等于两数的平方和，加减两数积的2倍，分别化简可知（x+y）2=x2+2xy+y2=9①，（x﹣y）2= x2-2xy+y2=5②，①-②可得4xy=4，解得xy=1.
故选B
点睛：此题主要考查了完全平方公式的应用，解题关键是抓住公式的特点：两数和（或差）的平方，等于两数的平方和，加减两数积的2倍，然后比较各式的特点，直接进行计算，再两式相减即可求解..
5．把多项式（3a-4b）（7a-8b）+（11a-12b）（8b-7a）分解因式的结果( )
A．8（7a-8b）（a-b）B．2（7a-8b）2
C．8（7a-8b）（b-a）D．-2（7a-8b）
【答案】C
【解析】
把(3a-4b)(7a-8b)+(11a-12b)(8b-7a)运用提取公因式法因式分解即可得(3a-4b)(7a-
8b)+(11a-12b)(8b-7a)
=(7a-8b)(3a-4b-11a+12b)
=(7a-8b)(-8a+8b)
=8(7a-8b)(b-a).
故选C.
6．计算，得（）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
直接提取公因式（-3）m-1，进而分解因式即可．
【详解】
（-3）m+2×（-3）m-1
=（-3）m-1（-3+2）
=-（-3）m-1．
【点睛】
此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确分解因式是解题关键．
7．如图所示的是用4个全等的小长方形与1个小正方形密铺而成的正方形图案，已知该图案的面积为144，小正方形的面积为4，若分别用x 、y （x y >）表示小长方形的长和宽，则下列关系式中错误的是（ ）
A ．22100x y +=
B ．2x y -=
C ．12x y +=
D ．35xy =
【答案】A
【解析】
【分析】 由正方形的面积公式可求x +y =12，x ﹣y =2，可求x =7，y =5，即可求解．
【详解】
由题意可得：（x +y ）2=144，（x ﹣y ）2=4，∴x +y =12，x ﹣y =2，故B 、C 选项不符合题意；∴x =7，y =5，∴xy =35，故D 选项不符合题意；∴x 2+y 2=84≠100，故选项A 符合题意． 故选A ．
【点睛】
本题考查了完全平方公式的几何背景，解答本题需结合图形，利用等式的变形来解决问题．
8．如图将4个长、宽分别均为a ，b 的长方形，摆成了一个大的正方形，利用面积的不同表示方法写出一个代数恒等式是（ ）
A ．a 2+2ab+b 2=（a+b ）2
B ．a 2﹣2ab+b 2=（a ﹣b ）2
C ．4ab=（a+b ）2﹣（a ﹣b ）2
D ．（a+b ）（a ﹣b ）=a 2﹣b 2
【解析】
【分析】
根据图形的组成以及正方形和长方形的面积公式，知：大正方形的面积﹣小正方形的面积=4个矩形的面积．
【详解】
∵大正方形的面积﹣小正方形的面积=4个矩形的面积，
∴（a+b ）2﹣（a ﹣b ）2=4ab ，即4ab=（a+b ）2﹣（a ﹣b ）2．
故选C ．
9．下列从左到右的变形，是因式分解的是( )
A ．()()23x 3x 9x -+=-
B ．()()()()y 1y 33y y 1+-=-+
C ．()2
4yz 2y z z 2y 2z zy z -+=-+ D ．228x 8x 22(2x 1)-+-=-- 【答案】D
【解析】
【分析】
把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，结合选项进行判断即可．
【详解】
根据因式分解的定义得：从左边到右边的变形，是因式分解的是
228x 8x 22(2x 1)-+-=--.其他不是因式分解:A,C 右边不是积的形式，B 左边不是多项式.
故选D.
【点睛】
本题考查了因式分解的意义，注意因式分解后左边和右边是相等的，不能凭空想象右边的式子．
10．下面四个代数式中，不能表示图中阴影部分面积的是（ ）
A ．()()322x x x ++-
B ．25x x +
C ．()232x x ++
D ．()36x x ++
【答案】B
【解析】
【分析】
依题意可得S S S =-阴影大矩形小矩形、S S S =+阴影正方形小矩形、S S S =+阴影小矩形小矩形，分别可列式，列出可得答案.
【详解】
解：依图可得，阴影部分的面积可以有三种表示方式：
()()322S S x x x -=++-大矩形小矩形；
()232S S x x +=++正方形小矩形；
()36S S x x +=++小矩形小矩形.
故选：B.
【点睛】
本题考查多项式乘以多项式及整式的加减，关键是熟练掌握图形面积的求法，还有本题中利用割补法来求阴影部分的面积，这是一种在初中阶段求面积常用的方法，需要熟练掌握.
二、八年级数学整式的乘法与因式分解填空题压轴题（难）
11．如图，有一张边长为x 的正方形ABCD 纸板，在它的一个角上切去一个边长为y 的正方形AEFG ，剩下图形的面积是32，过点F 作FH ⊥DC ，垂足为H.将长方形GFHD 切下，与长方形EBCH 重新拼成一个长方形，若拼成的长方形的较长的一边长为8，则正方形ABCD 的面积是____.
【答案】36.
【解析】
【分析】
根据题意列出22
32,8x y x y -=+=，求出x-y=4，解方程组得到x 的值即可得到答案.
【详解】
由题意得： 2232,8x y x y -=+= ∵22
()()x y x y x y -=+-，
∴x -y=4， 解方程组48x y x y -=⎧⎨+=⎩，得62x y =⎧⎨=⎩
， ∴正方形ABCD 面积为236x =，
故填：36.
【点睛】
此题考查平方差公式的运用，根据题意求得x-y=4是解题的关键，由此解方程组即可.
12．因式分解:225101a a -+=______________
【答案】()2
51a -
【解析】
根据完全平方公式()2222a ab b a b ±+=±进行因式分解为：225101a a -+=()2
51a -. 故答案为：()251a -.
13．将4个数a ，b ，c ，d 排列成2行、2列，两边各加一条竖直线记成a b c d ，定义a b
ad bc c d =-，上述记号就叫做2阶行列式.若11
611x x x x --=-+，则x=_________.
【答案】4
【解析】
【分析】
根据题目中所给的新定义运算方法可得方程 (x-1)（x+1）- (x-1）2=6，解方程求得x 即可.
【详解】
由题意可得，
(x-1)（x+1）- (x-1）2=6，
解得x=4.
故答案为：4.
【点睛】
本题考查了新定义运算，根据新定义运算的运算方法列出方程是解本题的关键．
14．如果9x 2-axy+4y 2是完全平方式，则a 的值是____.
【答案】±12
【解析】
【分析】
根据完全平方式得出-axy=±2×3x2y ，求出即可.
【详解】
解：9x 2-axy+4y 2=（3x±2y ）2
即-axy=±2×3x2y
所以a=±
12 【点睛】
本题考查了完全平方式，能熟记完全平方公式的特点是解此题的关键，注意：完全平方式有两个a 2-2ab+b 2和a 2+2ab+62是本题的易错点.
15．设2m ＝5，82n ＝10，则62
m n -＝________． 【答案】12
【解析】试题分析：将62
m n - 变形为228m n ÷ ，然后结合同底数幂的除法的概念和运算法则进行求解即可．
本题解析： 6621222285102m n m n m n -=÷=÷=÷= 故答案为： 12
. 点睛：本题主要考查了同底数幂的除法法则的逆用,同底数幂的除法法则：同底数幂相乘,底数不变,指数相减.即m n m n a a a +÷= (m,n 是正整数).
16．若m+
1m =3，则m 2+21m =_____． 【答案】7
【解析】
分析：把已知等式两边平方，利用完全平方公式化简，即可求出答案．
详解：把m+
1m =3两边平方得：（m+1m ）2=m 2+21m +2=9， 则m 2+2
1m =7， 故答案为：7
点睛：此题考查了分式的混合运算，以及完全平方公式，熟练掌握运算法则及公式是解本题的关键．
17．若x ﹣1x
=2，则x 2+21x 的值是______． 【答案】6
【解析】
根据完全平方公式，可知（x ﹣
1x ）2= x 2-2+21x =4，移项整理可得x 2+21x
=6. 故答案为6.
点睛：此题主要考查了整式的乘法，解题关键是利用完全平方公式进行变形，然后化简整理即可求解，注意整体思想的应用，比较简单，是常考题.
18．计算：))201820192的结果是_____.
2
【解析】
【分析】
逆用积的乘方运算法则以及平方差公式即可求得答案.
【详解】
))20182019
2
=)))
2018201822⨯⨯
=)))
201822⎡⎤⎣⎦⨯⨯
=(5-4)2018×)2
=，
【点睛】
本题考查了积的乘方的逆用，平方差公式，熟练掌握相关的运算法则是解题的关键.
19．因式分解：a 3﹣2a 2b+ab 2=_____．
【答案】a （a ﹣b ）2．
【解析】
【分析】先提公因式a ，然后再利用完全平方公式进行分解即可．
【详解】原式=a （a 2﹣2ab+b 2）
=a （a ﹣b ）2，
故答案为a （a ﹣b ）2．
【点睛】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
20．若21x x +=，则433331x x x +++的值为_____．
【答案】4
【解析】
【分析】
把所求多项式进行变形，代入已知条件，即可得出答案．
【详解】
∵21x x +=，
∴()
43222233313313313()1314x x x x
x x x x x x x +++=+++=++=++=+=； 故答案为：4．
【点睛】
本题考查了因式分解的应用；把所求多项式进行灵活变形是解题的关键．。