内蒙古乌丹一中2018_2019学年高二数学上学期第二次阶段性测试试题理

内蒙古乌丹一中2018-2019学年高二数学上学期第二次阶段性测试试
题理
一、单选题
1．如果一个命题的逆命题是真命题，那么这个命题的否命题是( )
A．真命题 B．假命题
C．无法判断 D．以上都不对
2．设、是椭圆的两个焦点，点为椭圆上的点，且，，则椭圆的短轴长为
A． B．C． D．
3．已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图1和图2所示．为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为( )
A． 100,10 B． 200,10C． 100,20 D． 200,20
4．若，则“”是方程“”表示椭圆的（）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件5．命题“”的否定是（）
A． B．
C． D．
6．为了测试小班教学的实践效果，王老师对A、B两班的学生进行了阶段测试，并将所得成绩统计如图所示；记本次测试中，A、B两班学生的平均成绩分别为，，A、B两班学生成绩的方差分别为，，则观察茎叶图可知
A．＜，＜ B．＞，＜C．＜，＞ D．＞，＞
7．中国有个名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外”.其中的“筹”原意是指《孙子算经》中记载的算筹，古代是用算筹来进行计算，算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算，算筹的摆放形式有纵横两种形式，如下表：
表示一个多位数时，像阿拉伯计数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间，个位，百位，万位用纵式表示，十位，千位，十万位用横式表示，以此类推，例如2268用算筹表示就是=||丄|||.执行如图所示程序框图，若输人的x=1, y = 2,则输出的S用算筹表示为
A． B． C． D．
8．对于下列表格中的五对数据，已求得的线性回归方程为＝，则实数m的值为( )
A． 8 B． 8.2 C． 8.4 D． 8.5
9．在区间上随机取两个数x ，y ，记P 为事件“”的概率，则
A ．
B ．
C ．
D ．
10．若圆
和圆
关于直线
对称，过点
的圆与轴相切，则圆
心的轨迹方程是( )
A ．
B ．
C ．
D ．
11．已知椭圆的左、右焦点分别为，，是椭圆上一点，
是以
为底
边的等腰三角形，且，则该椭圆的离心率的取值范围是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
12．设
是奇函数
的导函数,
,当
时,
则使得
成立的取
值范围是（ ） A ． B ． C ． D ．
二、填空题
13．已知双曲线)0(112
2
22>=--
a a y a x 的离心率为2，则a 的值为 . 14．已知函数在点处的切线方程为，则函数在点处的切
线方程为__________．
15．在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝1，AC ＝2，BC D ，E 分别是AC 1，BB 1的中点，则直线DE 与平面BB 1C 1C 所成角的正弦值为________．
16．设
分别是椭圆
的左、右焦点，为椭圆上任一点，点的坐标为
，则
的最大值为________．
三、解答题 17．已知函数．
（1）求函数的单调区间；
（2）求
在区间
上的最大值和最小值．
18．为了解春季昼夜温差大小与某种子发芽多少之间的关系，现在从4月份的30天中随机挑选了5天进行研究，且分别记录了每天昼夜温差与每天每100颗种子浸泡后的发芽数，得到如下表格：
（1）从这5天中任选2天，记发芽的种子数分别为,m n ，求事件“,m n 均不小于25”的概率；
（2）从这5天中任选2天，若选取的是4月1日与4月30日的两组数据，请根据这5天中
的另三天的数据，求出y 关于x 的线性回归方程ˆˆˆy
bx a =+. （参考公式： ()
12
2
1
ˆn
i i i n i i x y nxy
b
x n x ==-=-∑
∑
， ˆˆˆa
y bx =-） 19．某校从参加考试的学生中抽出60名学生，将其成绩（均为整数）分成六组[40，50），[50，60） ．．．[90，100]后，画出如下部分频率分布直方图.观察图形的信息，回答下列问题： (Ⅰ) 求成绩落在[70，80）上的频率，并补全这个频率分布直方图； (Ⅱ) 估计这次考试的及格率（60分及以上为及格）和平均分；
(Ⅲ) 设学生甲、乙的成绩属于区间[40，50），现从成绩属于该区间的学生中任选两人，求甲、乙中至少有一人被选的概率.
20．如图，在直三棱柱
中，平面
平面
，且
.
（1）求证：
；（2）若直线与平面
所成的角为，求锐二面角
的大小.
21．椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>经过点()2,0A -,且离心率为2
.
（Ⅰ）求椭圆E 的方程； （Ⅱ）过点任作一条直线与椭圆C 交于不同的两点,M N .在轴上是否存在点
，
使得
？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由。

22．已知函数. （1）证明：；
（2）若当
时，
，求实数a 的取值范围.
绝密★启用前
2018-2019学年度乌丹一中第二阶段考试
数学理科 未命名
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上
第I 卷（选择题）
请点击修改第I 卷的文字说明
一、单选题
1．如果一个命题的逆命题是真命题，那么这个命题的否命题是( ) A ． 真命题 B ． 假命题 C ． 无法 判断 D ． 以上都不对 【答案】A 【解析】 【分析】
根据一个命题的逆命题与它的否命题是逆否命题，真假性相同，即可得出结论． 【详解】
一个命题的逆命题与这个命题的否命题是逆否命题，
它们的真假性相同，所以逆命题是真命题时，它们的否命题也是真命题． 故选：A ． 【点睛】
本题考查了一个命题的逆命题与它的否命题真假性相同的应用问题，是基础题．
2．设、是椭圆的两个焦点，点为椭圆上的点，且，，则椭圆的
短轴长为
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】A 【解析】 【分析】
根据椭圆的定义，得到，即，再根据，即可求得短轴的长．
【详解】
由题意，椭圆满足，由椭圆的定义可得，解得，又，解得，所以椭圆的短轴长为，故选A．
【点睛】
本题主要考查了椭圆的几何性质，其中熟记椭圆的定义是解答的关键，着重考查了推理与论证能力．
3．已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图1和图2所示．为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为( )
A． 100,10 B． 200,10
C． 100,20 D． 200,20
【答案】D
【解析】
【分析】
读懂条形统计图和扇形统计图，求出样本容量和抽取的高中生近视人数
【详解】
根据题意，总人数为
，
根据分层抽样的定义，则抽取的高中生人数为人
由于其近视率为，所以近视的人数为
故选
【点睛】
本题是以统计学为载体，考查了数据处理的能力，考查了随机抽样，熟练掌握随机抽样的方法是解题的关键，属于基础题。

4．若，则“”是方程“”表示椭圆的（）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
方程表示椭圆，得且，综上所述，“”不能推出
“”表示椭圆，“”表示椭圆能推出“”，“”是方程“”表示椭圆的必要不充分条件，故选B.
5．命题“”的否定是（）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
利用全称命题的否定的规则写出其否定即可.
【详解】
命题的否定为：，，故选D.
【点睛】
全称命题的一般形式是：，，其否定为.存在性命题的一般形式是，
，其否定为.
6．为了测试小班教学的实践效果，王老师对A、B两班的学生进行了阶段测试，并将所得成绩统计如图所示；记本次测试中，A、B两班学生的平均成绩分别为，，A、B两班学生成绩的方差分别为，，则观察茎叶图可知
A．＜，＜ B．＞，＜
C．＜，＞ D．＞，＞
【答案】B
【解析】
【分析】
根据茎叶图中数据的分布可得，班学生的分数多集中在之间，班学生的分数集中在之间，班学生的分数更加集中，班学生的分数更加离散，从而可得结果.
【详解】
班学生的分数多集中在之间，班学生的分数集中在之间，故；相对两个班级的成绩分布来说，班学生的分数更加集中，班学生的分数更加离散，故，故选B. 【点睛】
平均数与方差都是重要的数字特征，是对总体简明的描述，它们所反映的情况有着重要的实际意平均数、中位数、众数描述其集中趋势, 方差和标准差描述其波动大小. 随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水平;方差反映了随机变量稳定于均值的程度, 它们从整体和全局上刻画了随机变量，是生产实际中用于方取舍的重要的理论依据，ᅳ般先比较均值, 若均值相同再用方差来决定.
7．中国有个名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外”.其中的“筹”原意是指《孙子算经》中记载的算筹，古代是用算筹来进行计算，算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算，算筹的摆放形式有纵横两种形式，如下表：
表示一个多位数时，像阿拉伯计数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间，个位，百位，万位用纵式表示，十位，千位，十万位用横式表示，以此类推，例如2268用算筹表示就是=||丄|||.执行如图所示程序框图，若输人的x=1, y = 2,则输出的S用算筹表示为
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
模拟执行程序框图，只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可得到输出的值，再利用表格中的对应关系可得结果.
【详解】
第一次循环，；
第二次循环，
第三次循环，；
第四次循环，，满足，推出循环，输出，
因为对应，故选C.
【点睛】
本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；
(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.
8．对于下列表格中的五对数据，已求得的线性回归方程为＝，则实数m的值为( )
A． 8 B． 8.2 C． 8.4 D． 8.5
【答案】A
【解析】
【分析】
先求平均数得样本点的中心坐标，再根据回归直线必经过样本点的中心求实数m的值.
【详解】
依题意得， ,
回归直线必经过样本点的中心，于是有＝0.8×200－155，由此解得m＝8，选A. 【点睛】
函数关系是一种确定的关系，相关关系是一种非确定的关系.事实上，函数关系是两个非随机变量的关系，而相关关系是非随机变量与随机变量的关系.如果线性相关，则直接根据用公式求，写出回归方程，回归直线方程恒过点.
9．在区间上随机取两个数x，y，记P为事件“”的概率，则
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
由题意结合几何概型计算公式求解满足题意的概率值即可.
【详解】
如图所示，表示的平面区域为，
平面区域内满足的部分为阴影部分的区域，其中，，
结合几何概型计算公式可得满足题意的概率值为.
本题选择D选项.
【点睛】
数形结合为几何概型问题的解决提供了简捷直观的解法．用图解题的关键：用图形准确表示出试验的全部结果所构成的区域，由题意将已知条件转化为事件A满足的不等式，在图形中画出事件A发生的区域，据此求解几何概型即可.
10．若圆和圆关于直线对称，过点的圆与轴相切，则圆心的轨迹方程是( )
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
求出两个圆的圆心坐标，两个半径，利用两个圆关于直线的对称知识，求出a的值，然后求出过点C（﹣a，a）的圆P与y轴相切，就是圆心到C的距离等于圆心到y轴的距离，即可求出圆心P的轨迹方程．
【详解】
圆x2+y2﹣ax+2y+1=0的圆心（），因为圆x2+y2﹣ax+2y+1=0与圆x2+y2=1关于直线
y=x﹣1对称，设圆心（）和（0,0）的中点为（），
所以（）满足直线y=x﹣1方程，解得a=2，
过点C（﹣2，2）的圆P与y轴相切，圆心P的坐标为（x，y）
所以解得：y2+4x﹣4y+8=0，
所以圆心的轨迹方程是y2+4x﹣4y+8=0，
故答案为：C
【点睛】
（1）本题主要考查圆关于直线的对称问题，考查动点的轨迹方程的求法，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2) 求轨迹方程的四种主要方法：①待定系数法：通过对已知条件的分析，发现动点满足某个曲线（圆、圆锥曲线）的定义，然后设出曲线的方程，求出其中的待定系数，从而得到动点的轨迹方程.②代入法：如果点的运动是由于点的运动引起的，可以先用点的坐标表示点的坐标，然后代入点满足的方程，即得动点的轨迹方程.③直接法：直接把已知的方程和条件化简即得动点的轨迹方程.④参数法：动点
的运动主要是由于某个参数的变化引起的，可以选参、设参，然后用这个参数表示动点的坐标，即，再消参.
11．已知椭圆的左、右焦点分别为，，是椭圆上一点，是以为底边的等腰三角形，且，则该椭圆的离心率的取值范围是（）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】试题分析：由题意可得 PF1=F1F2=2c，再由椭圆的定义可得 PF2 =2a﹣2c．设∠PF1F2 =θ，则，故﹣＜cosθ＜，再由余弦定理，求得e的范围．
详解：
由题意可得 PF1=F1F2=2c，再由椭圆的定义可得 PF2 =2a﹣PF1=2a﹣2c．
设∠PF2F1 =θ，则，∴﹣＜cosθ＜．
△PF1F2中，由余弦定理可得 cosθ=，由﹣＜cosθ＜可得e的范围，
故答案为：B.
点睛：本题考查椭圆的几何性质及其应用，列出不等式并转化为关于离心率的不等式是解答的关键，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出，代入公式；
②只需要根据一个条件得到关于的齐次式，结合转化为的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以或转化为关于的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得 (的取值范围).
12．设是奇函数的导函数,,当时,则使得成立的取值范围是（）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】分析：由题意，构造新函数，得到函数的单调性与奇偶性，结合
和，即可求解不等式的解集．
详解：由题意，当时，，且，
设，则，
所以函数在区间为单调递增函数，
由因为是奇函数，所以为偶函数，所以函数在区间为单调递减函数，且函数的图象关于轴对称，
又由，所以，
所以不等式的解集为
所以不等式的解集等价于的解集，
所以不等式的解集为，故选C．
点睛：本题主要考查了导数在函数中的应用，以及不等式求解，着重考查了着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，解答中根据题意，构成新函数，利用导数得到函数的单调性与奇偶性是解答的关键．
第II 卷（非选择题）
请点击修改第II 卷的文字说明
二、填空题
13．已知双曲线)0(112
2
22>=--
a a y a x 的离心率为2，则a 的值为.
【解析】
试题分析：由题意得：
e a ⇒=
． 14．已知函数在点处的切线方程为，则函数在点处
的切线方程为__________． 【答案】
【解析】由题意，
∴函数
在点
处的切线方
程为 ，即.
故答案为
.
15．在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝1，AC ＝2，BC D ，E 分别是AC 1，BB 1的中点，则直线DE 与平面BB 1C 1C 所成角的正弦值为________． 【答案】
1
2
【解析】
如图，取AC 的中点F ，连接DF ，BF ，则DF ∥BE ，DF ＝BE ，∴DE ∥BF ，∴BF 与平面BB 1C 1C 所
成角的正弦值为所求．∵AB ＝1，BC AC ＝2，∴AB ⊥BC ，又AB ⊥BB 1，∴AB ⊥平面BB 1C 1C .作GF ∥AB 交BC 于点G ，则GF ⊥平面BB 1C 1C ，∴∠FBG 为直线BF 与平面BB 1C 1C 所成的角．由
条件知BG ＝
12BC GF ＝12AB ＝12，∴tan∠FBG ＝GF BG ∴∠FBG ＝6π，∴sin∠FBG
＝sin
6 ＝12，即直线DE 与平面BB 1C 1C 所成角的正弦值为12
.
16．设
分别是椭圆的左、右焦点，为椭圆上任一点，点的坐标为
，则
的最大值为________．
【答案】15. 【解析】 【分析】
利用椭圆的定义将左焦点问题转化为右焦点问题，然后求解最值即可. 【详解】
由椭圆方程可得：a =5,b =4,c =3.∴F 1(−3,0),F 2(3,0)，如图所示， 由椭圆的定义可得：|PF 1|+|PF 2|=2a =10，
∴|PM |+|PF 1|=|PM |+2a −|PF 2|=10+(|PM |−|PF 2|)⩽10+|MF 2|==15，
则|PM |+|PF 1|的最大值为15. 故答案为：15.
【点睛】
本题主要考查椭圆的定义与几何性质，等价转化的数学思想，数形结合的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
三、解答题 17．已知函数．
（1）求函数的单调区间；
（2）求
在区间
上的最大值和最小值．
【答案】(1) 的递增区间为，递减区间为．
(2)
最大值
，
最小值
．
【解析】分析：（1）求导数后，由可得增区间，由可得减区间．（2）根据单调性
求出函数的极值和区间的端点值，比较后可得最大值和最小值． 详解：（1）∵，
∴． 由，解得或； 由，解得
，
所以
的递增区间为
，递减区间为
． （2）由（1）知是的极大值点，
是
的极小值点，
所以极大值
，极小值
，
又，
， 所以
最大值
，
最小值
．
点睛：（1）求单调区间时，由可得增区间，由
可得减区间，解题时注意导函数的
符号与单调性的关系．
（2）求函数在闭区间上的最值时，可先求出函数的极值和区间的端点值，通过比较后可得最大值和最小值．
18．为了解春季昼夜温差大小与某种子发芽多少之间的关系，现在从4月份的30天中随机挑选了5天进行研究，且分别记录了每天昼夜温差与每天每100颗种子浸泡后的发芽数，得到如下表格：
（1）从这5天中任选2天，记发芽的种子数分别为,m n ，求事件“,m n 均不小于25”的概率；
（2）从这5天中任选2天，若选取的是4月1日与4月30日的两组数据，请根据这5天中
的另三天的数据，求出y 关于x 的线性回归方程ˆˆˆy
bx a =+.
（参考公式：()
12
2
1
ˆn
i i i n i i x y nxy
b
x n x ==-=-∑∑
，ˆˆˆa
y bx =-） 【答案】（1）
310.（2）5
32
y x =-. 【解析】【试题分析】（1）依据题设条件运用列举法及古典概型的计算公式求解；（2）借助题设条件先求线性回归系数，再求线性回归方程：
（1）所有的基本事件为 (23，25)，(23，30)，(23，26)，(23，16)，(25，30)，(25，26)， (25，16)，(30，26)，(30，16)，(26，16)，共10个．
设“m ，n 均不小于25”为事件A ，则事件A 包含的基本事件为(25，30)，(25，26)，(30， 26)，共3个，
故由古典概型概率公式得()3
10
P A =
. （2）由数据得，另3天的平均数12x =，27y =，3972x y ⋅=，2
3432x =，
3
1
977i i
i x y
==∑，
3
2
1
434i
i x
==∑，
所以97797254344322b -=
=-，5
271232
a =-⨯=
-＝
＝，
所以y 关于x 的线性回归方程为 5
32
y x =
-. 19．某校从参加考试的学生中抽出60名学生，将其成绩（均为整数）分成六组[40，50），[50，60） ．．．[90，100]后，画出如下部分频率分布直方图.观察图形的信息，回答下列问题： (Ⅰ) 求成绩落在[70，80）上的频率，并补全这个频率分布直方图； (Ⅱ) 估计这次考试的及格率（60分及以上为及格）和平均分；
(Ⅲ) 设学生甲、乙的成绩属于区间[40，50），现从成绩属于该区间的学生中任选两人，求甲、乙中至少有一人被选的概率.
【答案】（Ⅰ）见解析;(Ⅱ) 75﹪,71;(Ⅲ)
【解析】试题分析：
(1)首先可求得成绩落在[70，80）上的频率是0．3，然后补全频率分布直方图即可；
(2)结合(1)的结论可得及格率为70%，平均分为71；
(3)利用对立事件公式可得甲、乙中至少有一人被选的概率为 .
试题解析：
（Ⅰ）成绩落在[70，80）上的频率是0．3，频率分布直方图如下图．
(Ⅱ) 估计这次考试的及格率（60分及以上为及格）为1-0．01×10-0．015×10=75﹪平均分：45×0．1+55×0．15+65×0．15+75×0．3+85×0．25+95×0．05=71 (Ⅲ)
20．如图，在直三棱柱中，平面平面，且.
（1）求证：；
（2）若直线与平面所成的角为，求锐二面角的大小.
【答案】（1）见解析；（2）.
【解析】
【详解】
试题分析：（1）证明线线垂直，一般利用线面垂直性质定理进行论证，而题中已知面面垂直平面侧面，因此先根据面面垂直性质定理，将其转化为线面垂直平面，其中为的中点，因而有，再根据直三棱柱性质得底面，因而有，结合线面垂直判定定理得侧面，因此得证（2）求二面角平面角，一般利用
空间向量进行计算，先建立恰当空间直角坐标系，设立各点坐标，可得直线方向向量，列
方程组求平面法向量，由线面角与向量夹角互余关系，结合向量数量积得，易得平面
的一个法向量，根据二面角与法向量夹角相等或互补关系，结合向量数量积得二面角大小
试题解析：（1）证明：如图，取的中点，连接，因，则，由平面
侧面，且平面侧面，得平面，
又平面，所以，因为三棱柱是直三棱柱，则底面，所以
又，从而侧面，又侧面，故
（2）
解法一：连接，由（1）可知平面，则是在平面内的射影
∴即为直线与平面所成的角，则，在等腰直角中，，且点是中点，
∴，且，∴
过点作于点，连，由（1）知平面，则，且，
∴即为二面角的一个平面角，
在直角中：，又，
∴，且二面角为锐二面角，∴，
即二面角的大小为
解法二（向量法）：由（1）知且底面，所以以点为原点，以所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，
如图所示，且设，则，
，设平面的一个法向量，由
得：令，得，则，
设直线与平面所成的角为，则，得，解得，即
又设平面的一个法向量为，同理可得，设锐二面角的大小为，则
，且，得，∴锐二面角的大小为.
考点：线面垂直性质与判定定理，利用空间向量求二面角 【思路点睛】
利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.
21．椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>经过点()2,0A -,
.
（Ⅰ）求椭圆E 的方程； （Ⅱ）过点任作一条直线与椭圆C 交于不同的两点,M N .在轴上是否存在点
，
使得
？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由。

【答案】（I ）22
142
x y +=（II ）存在点()1,0Q ，使得180PQM PQN ∠+∠=. 【解析】试题分析：（1）由椭圆的标准方程和几何性质，即可求解,a b 的值，得到椭圆的标准方程；
（2）若存在点(),0Q m ，由题意，当直线QM 和QN 的斜率存在,分别设为1k ,2k ， 等价于120k k +=，直线l 的斜率存在，故设直线l 的方程为()4y k x =-.
由()
2
2
4{142
y k x x y =-+= ，得()
2222
21163240k x k x k +-+-=，得1212,x x x x +，由120k k +=，
即可求得m 的值。

试题解析：（I ）22
142
x y += （II ）若存在点(),0Q m ，使得180PQM PQN ∠∠+=︒， 则直线QM 和QN 的斜率存在,分别设为1k ,2k . 等价于120k k +=.
依题意，直线l 的斜率存在，故设直线l 的方程为()4y k x =-.
由()
2
2
4{142
y k x x y =-+=，得()2222
21163240k x k x k +-+-=. 因为直线l 与椭圆C 有两个交点，所以0∆>. 即()
()()
2
2
22164213240k k k -+->，解得21
6
k <
. 设()11,M x y ，()22,N x y ,则21221621k x x k +=+，2122
324
21
k x x k -=+， ()()11224,4,y k x y k x =-=-
令12
12120y y k k x m x m
+=
+=--， ()()12210,x m y x m y -+-=
当
时，()()12122480x x m x x m -+++=，
化简得，
()2
81021
m k -=+，
所以1m =. 当0k =时，也成立.
所以存在点()1,0Q ，使得180PQM PQN ∠∠+=.
点睛：本题主要考查了直线与椭圆的位置关系的综合问题，其中解答总涉及到椭圆的几何性质及其应用，直线与椭圆的位置关系的综合应用，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，推理与运算能力，此类问题的解答中，把直线方程代入椭圆的方程，转化为方程的根与
系数的关系及韦达定理的应用是解答的关键。

22．已知函数.
（1）证明：；
（2）若当时，，求实数a的取值范围.
【答案】（1）见解析（2）
【解析】
【分析】
（1）构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出函数在处取得最小值
，从而可得结果；（2）当时，，等价于，利用导数研究函数的单调性，可得在处取得最大值.
【详解】
（1），设，则，
当时，；当时，，
在处取得最小值，
即.
（2）由已知，设，
则，
是增函数，，
当时，；当时，，
在处取得最大值.
【点睛】
本题主要考查利用导数求函数的最值以及不等式恒成立问题，属于难题．不等式恒成立问题常见方法：① 分离参数恒成立(即可)或恒成立（即可）；② 数形结合(图象在上方即可)；③ 讨论最值或恒成立；④ 讨论参数.。