2018学年高中数学选修4-5检测：本讲高效整合3 含答案

第三讲 柯西不等式与排序不等式
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的)
1．若a ，b ∈R ，且a 2＋b 2＝10，则a ＋b 的取值范围是( ) A ．[－25，25] B ．[－210，210] C ．[－10，10]
D ．[－5，5]
解析： 由(a 2＋b 2)(1＋1)≥(a ＋b )2， 所以a ＋b ∈[－25，25]，故选A. 答案： A
2．若x 21＋x 22＋…＋x 2n ＝1，y 21＋y 22＋…＋y 2
n ＝1，
则x 1y 1＋x 2y 2＋…＋x n y n 的最大值是( ) A ．2 B ．1 C ．3
D.33
3
解析： 由(x 1y 1＋x 2y 2＋…＋x n y n )2≤(x 21＋x 22＋…＋x 2n )(y 21＋y 22＋…＋y 2
n )＝1，故选B.
答案： B
3．学校要开运动会，需要买价格不同的奖品40件、50件、20件，现在选择商店中单价为5元、3元、2元的奖品，则至少要花( )
A ．300元
B ．360元
C ．320元
D ．340元
解析： 由排序原理知，反序和最小为320，故选C. 答案： C
4．已知a ，b ，c 为非零实数，则(a 2＋b 2＋c 2)⎝⎛⎭⎫1a 2＋1b 2＋1c 2的最小值为( ) A ．7 B ．9 C ．12
D ．18
解析： 由(a 2＋b 2＋c 2)⎝⎛⎭⎫1a 2＋1b 2＋1c 2 ≥⎝⎛⎭⎫a ·1a ＋b ·1b ＋c ·1c 2 ＝(1＋1＋1)2＝9， ∴所求最小值为9，故选B. 答案： B
5．设a ，b ，c ≥0，a 2＋b 2＋c 2＝3，则ab ＋bc ＋ca 的最大值为( ) A ．0 B ．1 C ．3
D.333
解析： 由排序不等式a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ac ， 所以ab ＋bc ＋ca ≤3.故应选C. 答案： C
6．表达式x 1－y 2＋y 1－x 2的最大值是( ) A ．2 B ．1 C. 2
D.32
解析： 因为x 1－y 2＋y 1－x 2≤ (x 2＋1－x 2)(1－y 2＋y 2)＝1，故选B. 答案： B
7．已知不等式(x ＋y )⎝⎛⎭⎫
1x ＋1y ≥a 对任意正实数x ，y 恒成立，则实数a 的最大值为( ) A ．2 B ．4 C. 2
D ．16 解析： 由(x ＋y )⎝⎛⎭
⎫
1x ＋1y ≥(1＋1)2＝4， 因此不等式(x ＋y )(x ＋y )⎝⎛⎭⎫
1x ＋1y ≥a 对任意正实数x ，y 恒成立， 即a ≤4，故应选B. 答案： B
8．设a ，b ，c 为正数，a ＋b ＋4c ＝1，则a ＋b ＋2c 的最大值是( ) A. 5 B. 3 C ．2 3
D.3
2 解析： 1＝a ＋b ＋4c ＝(a )2＋(b )2＋(2c )2 ＝1
3[(a )2＋(b )2＋(2c )2]·(12＋12＋12) ≥(a ＋b ＋2c )2·1
3
，
∴(a ＋b ＋2c )2≤3，即所求为 3. 答案： B
9．若a >b >c >d ，x ＝(a ＋b )(c ＋d )，y ＝(a ＋c )(b ＋d )，
z ＝(a ＋d )(b ＋c )，则x ，y ，z 的大小顺序为( ) A ．x <z <y B ．y <z <x C ．x <y <z
D ．z <y <x
解析： 因a >d 且b >c ， 则(a ＋b )(c ＋d )<(a ＋c )(b ＋d )， 得x <y ，因a >b 且c >d ， 则(a ＋c )(b ＋d )<(a ＋d )(b ＋c )， 得y <z ，故选C. 答案： C
10．若0＜a 1＜a 2,0＜b 1＜b 2且a 1＋a 2＝b 1＋b 2＝1，则下列代数式中值最大的是( ) A ．a 1b 1＋a 2b 2 B ．a 1a 2＋b 1b 2 C ．a 1b 2＋a 2b 1
D.12 解析： 利用特值法，令a 1＝0.4，a 2＝0.6，b 1＝0.3，b 2＝0.7计算后作答；或根据排序原理，顺序和最大．
答案： A
11．已知a ，b ，c ，d 均为实数，且a ＋b ＋c ＋d ＝4，a 2＋b 2＋c 2＋d 2＝16
3，则a 的最大
值为( )
A ．16
B ．10
C ．4
D ．2
解析： 构造平面π：x ＋y ＋z ＋(a －4)＝0， 球O ：x 2＋y 2＋z 2＝16
3
－a 2，
则点(b ，c ，d )必为平面π与球O 的公共点， 从而|a －4|3
≤
16
3
－a 2， 即a 2－2a ≤0，解得0≤a ≤2， 故实数a 的最大值是2. 答案： D
12．x ，y ，z 是非负实数，9x 2＋12y 2＋5z 2＝9，则函数u ＝3x ＋6y ＋5z 的最大值是( ) A ．9 B ．10 C ．14
D ．15
解析： u 2＝(3x ＋6y ＋5z )2
≤[(3x )2＋(23y )2＋(5z )2]·[12＋(3)2＋(5)2] ＝9×9＝81，∴u ≤9.
答案： A
二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．请把正确答案填在题中横线上) 13．已知a ，b ，c 都是正数，且4a ＋9b ＋c ＝3，则1a ＋1b ＋1
c 的最小值是________．
解析： 由4a ＋9b ＋c ＝3，∴4a 3＋3b ＋c
3＝1，
∴1a ＋1b ＋1
c
＝43a ＋3b ＋c 3a ＋43a ＋3b ＋c 3b ＋43a ＋3b ＋c 3c
＝43＋3b a ＋c 3a ＋3＋4a 3b ＋c 3b ＋13＋4a 3c ＋3b
c ＝3＋53＋⎝⎛⎭⎫3b a ＋4a 3b ＋⎝⎛⎭⎫c 3a ＋4a 3c ＋⎝⎛⎭⎫
c 3b ＋3b c ≥3＋53＋4＋4
3＋2＝12.
答案： 12
14．已知a ，b 是给定的正数，则a 2sin 2α＋b 2
cos 2α的最小值是________．
解析： a 2sin 2α＋b 2
cos 2α
＝(sin 2
α＋cos 2
α)⎝⎛⎭
⎫a 2
sin 2α＋b 2
cos 2α≥(a ＋b )2. 答案： (a ＋b )2
15．已知点P 是边长为23的等边三角形内一点，它到三边的距离分别为x ，y ，z ，则x ，y ，z 所满足的关系式为________，x 2＋y 2＋z 2的最小值是________．
解析： 利用三角形面积相等，得 12×23(x ＋y ＋z )＝3
4×(23)2， 即x ＋y ＋z ＝3；
由(1＋1＋1)(x 2＋y 2＋z 2)≥(x ＋y ＋z )2＝9， 则x 2＋y 2＋z 2≥3. 答案： x ＋y ＋z ＝3 3
16．若不等式|a －1|≥x ＋2y ＋2z ，对满足x 2＋y 2＋z 2＝1的一切实数x ，y ，z 恒成立，则实数a 的取值范围是________．
解析： 由柯西不等式可得(12＋22＋22)(x 2＋y 2＋z 2)≥(x ＋2y ＋2z )2，所以x ＋2y ＋2z 的最大值为3，故有|a －1|≥3，
∴a ≥4或a ≤－2.
答案：a≥4或a≤－2
三、解答题(本大题共6小题，共74分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(12分)已知a2＋b2＝1，x2＋y2＝1.求证：ax＋by≤1.
证明：∵a2＋b2＝1，x2＋y2＝1.
又由柯西不等式知
∴1＝(a2＋b2)(x2＋y2)≥(ax＋by)2
∴1≥(ax＋by)2，
∴1≥|ax＋by|≥ax＋by，
∴所以不等式得证．
18．(12分)设x2＋2y2＝1，求μ＝x＋2y的最值．
解析：由|x＋2y|＝|1·x＋2·2y|≤1＋2·x2＋2y2＝ 3.
当且仅当x
1＝2y
2
，即x＝y＝±
3
3时取等号．
所以，当x＝y＝
3
3时，μmax＝ 3.
当x＝y＝－
3
3时，μmin＝－ 3.
19．(12分)设a≥b＞0，求证：3a3＋2b3≥3a2b＋2ab2.
证明：∵a≥b＞0，
∴a≥a≥a≥b≥b＞0，a2≥a2≥a2≥b2≥b2＞0，
由顺序和≥乱序和，得
a3＋a3＋a3＋b3＋b3≥a2b＋a2b＋a2a＋ab2＋ab2.
又a2b＋a2b＋a2a＋ab2＋ab2≥3a2b＋2ab2.
则3a3＋2b3≥3a2b＋2ab2.
20．(12分)已知x，y，z∈R，且x＋y＋z＝3，求x2＋y2＋z2的最小值．解析：方法一：注意到x，y，z∈R，且x＋y＋z＝3为定值，
利用柯西不等式得到(x2＋y2＋z2)(12＋12＋12)≥(x·1＋y·1＋z·1)2＝9，
从而x2＋y2＋z2≥3，当且仅当x＝y＝z＝1时取“＝”号，
所以x2＋y2＋z2的最小值为3.
方法二：可考虑利用基本不等式“a2＋b2≥2ab”进行求解，
由x2＋y2＋z2＝(x＋y＋z)2－(2xy＋2xz＋2yz)
≥9－(x2＋y2＋x2＋z2＋y2＋z2)，
从而求得x2＋y2＋z2≥3，当且仅当x＝y＝z＝1时取“＝”号，
所以x2＋y2＋z2的最小值为3.
21．(12分)设a ，b ，c 为正数，且不全相等，求证： 2a ＋b ＋2b ＋c ＋2c ＋a ＞9a ＋b ＋c
. 证明： 构造两组数a ＋b ，b ＋c ，c ＋a ； 1a ＋b ，1b ＋c ，1
c ＋a
，则由柯西不等式得 (a ＋b ＋b ＋c ＋c ＋a )⎝⎛⎭⎫1a ＋b ＋1b ＋c ＋1
c ＋a ≥(1＋1＋1)2，
①
即2(a ＋b ＋c )⎝⎛⎭⎫1a ＋b ＋1b ＋c ＋1c ＋a ≥9. 于是2a ＋b ＋2b ＋c ＋2c ＋a ≥9
a ＋
b ＋
c .
于是2a ＋b ＋2b ＋c ＋2c ＋a ≥9a ＋b ＋c .
由柯西不等式知， ①中有等号成立⇔
a ＋
b 1a ＋b ＝b ＋
c 1b ＋c ＝c ＋a
1c ＋a
⇔a ＋b ＝b ＋c ＝c ＋a ⇔a ＝b ＝c .
因题设a ，b ，c 不全相等，故①中等号不成立，于是
2a ＋b ＋2b ＋c ＋2c ＋a ＞9
a ＋
b ＋c
. 22．(14分)设x 1，x 2，…，x n ∈R ＋，且x 1＋x 2＋…＋x n ＝1，求证：x 211＋x 1＋x 221＋x 2＋…＋
x 2n
1＋x n
≥1
n ＋1
. 证明： 因为x 1＋x 2＋…＋x n ＝1， 所以n ＋1＝(1＋x 1)＋(1＋x 2)＋…＋(1＋x n )． 又⎝⎛⎭
⎫x 2
11＋x 1＋x 2
21＋x 2＋……＋x 2
n
1＋x n (n ＋1) ＝⎝⎛⎭⎫x 2
11＋x 1＋x 2
21＋x 2＋…＋x 2
n
1＋x n [(1＋x 1)＋(1＋x 2)＋…＋(1＋x n )] ≥(x 1＋x 2＋…＋x n )2＝1，
所以x 211＋x 1＋x 22
1＋x 2＋…＋x 2
n 1＋x n ≥1n ＋1
.。