2021-2022学年浙江省丽水市城中学高二数学理上学期期末试卷含解析

2021-2022学年浙江省丽水市城中学高二数学理上学期期末试卷含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 已知抛物线，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A,B两点，若线段AB的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程是
A. B. C. D.
参考答案：
B
2. “”是“”的 ( )
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．非充分非必要条件
参考答案：
A
略
3. 连掷两次骰子，它们的点数都是4的概率是（）
A、1/6
B、1/4
C、
1/16 D、1/36
参考答案：
D
略
4. 已知数列…是这个数列的第（）
A.10项
B.11项
C.12项
D.21项参考答案：
B
5. 向量a＝(2x，1，3)，b＝(1,－2y，9)，若a与b共线，则()
参考答案：
C
6. 下面几种推理是类比推理的是（）
.两条直线平行，同旁内角互补，如果∠和∠是两条平行直线的同旁内角，则
∠+∠=1800
.由平面三角形的性质，推测空间四边形的性质
.某校高二级有20个班，1班有51位团员，2班有53位团员，3班有52位团员，由此可以推测各班都超过50位团员.
.一切偶数都能被2整除，是偶数，所以能被2整除.
参考答案：
B
7. 抛物线的准线方程是，则的值为（）
A．B．C．8 D．
参考答案：
A
8. 等差数列{a n}中，a7+a9=16，a4=1，则a12=( )
A．15 B．30 C．31 D．64
参考答案：
A
【考点】等差数列的性质．
【专题】计算题；等差数列与等比数列．
【分析】由a7+a9=16可得 2a1+14d=16，再由a4=1=a1+3d，解方程求得a1和公差d的值，从而求得a12的值．
【解答】解：设公差等于d，由a7+a9=16可得 2a1+14d=16，即 a1+7d=8．
再由a4=1=a1+3d，可得 a1=﹣，d=．
故 a12 =a1+11d=﹣+=15，
故选：A．
【点评】本题主要考查等差数列的等差数列的通项公式的应用，求出首项和公差d的值，是解题的关键，属于基础题．
9. 用系统抽样法从160名学生中抽取容量为20的样本，将160名学生从1﹣﹣160编号，按编号顺序平均分成20组（1﹣﹣8号，9﹣﹣16号，…，153﹣﹣160号）．若第16组应抽出的号码为126，则第一组中用抽签方法确定的号码是（）
A．4 B．5 C．6 D．7
参考答案：
C
考点：系统抽样方法．
专题：计算题．
分析：按照此题的抽样规则我们可以得到抽出的这20个数成等差数列，a1=x，a16=126，d=8（d是公差）
解答：解：设在第一组中抽取的号码是x（1≤x≤8）
由题意可得分段间隔是8
又∵第16组应抽出的号码为126
∴x+15×8=126
∴解得x=6
∴第一组中用抽签方法确定的号码是6．
点评：系统抽样形象地讲是等距抽样，系统抽样适用于总体中的个体数较多的情况，系统抽样属于等可能抽样．
10. 在等比数列{an}中，，，，则公比q为（）
A．2 B．3 C．4 D．8参考答案：
C
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 在各项均为正数的等比数列{a n}中，若2a4+a3﹣2a2﹣a1=8，则2a5+a4的最小值为．
参考答案：
12
【考点】等比数列的通项公式．
【分析】2a4+a3﹣2a2﹣a1=8，公比q＞0，a1＞0．可得：a1=＞0，可得q＞1．则
2a5+a4===，设=x∈（0，1），则y=x﹣x3，利用导数研究其单调性极值与最值即可得出．
【解答】解：∵2a4+a3﹣2a2﹣a1=8，公比q＞0，a1＞0．
∴a1（2q3+q2﹣2q﹣1）=8，
∴a1=＞0，可得q＞1．
则2a5+a4===，
设=x∈（0，1），则y=x﹣x3，
由y′=1﹣3x2=0，解得x=．
可得x=时，y取得最大值，y max=．
∴2a5+a4的最大值为=12．
故答案为：12．
12. 已知流程图如右图所示，该程序运行后，为使输出的值为，则循环体的判断框内①处应
填。

参考答案：
3 13. 首项为
的等差数列从第10项起开始为正数，则公差
的取值范围是______________.
参考答案：
略
14. 若不等式
对任意的实数恒成立，则实数的取值范围
是。

参考答案：
15. 已知 a ，b ，c 是两两不等的实数，点 P （b ，b+c ），点Q （a ，c+a ），则直线 PQ 的倾斜角为 ．
参考答案：
45°
【考点】直线的倾斜角．
【分析】由经过两点直线的斜率公式，得PQ 的斜率为﹣1，再根据斜率k 与倾斜角α的关系，得tan α=1，结合直线倾斜角的取值范围即可得到直线PQ 的倾斜角．
【解答】解：∵点P （b ，b+c ），点Q （a ，c+a ），∴直线PQ 的斜率为k==1
设直线的倾斜角为α，则tan α=1 ∵α∈[0，π）， ∴α=45°， 故答案是：45°．
16. 椭圆的焦点为，点P 在椭圆上，若，则 ；的大小
为 .
参考答案：
解析： ∵
，
∴，
∴，
又
，∴
， （第13题解答图）
又由余弦定理，得，
∴
，故应填
.
17. 用数学归纳法证明：“
”，在验证
成立时，左边计
算所得的结果是 ▲
参考答案：
用数学归纳法证明“， (
)”时，在验证成立时，将
代入，
左边以1即开始，以结束，所以左边应该是
.
三、 解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. （本小题满分12分）已知函数是定义在上的偶函数，当时，
（1）求时，的解析式；
（2）求的值域。

参考答案：
（1）令，则所以
因为为偶函数，所以
所以时， ----------------6分
（2）时，
时，
因为，所以；；
即
为偶函数，所以时
综上：的值域为 ------------------6分
19. 如图，三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都是2， AA1⊥平面ABC，D，E分别是AC，CC1的中点．
（1）求证：AE⊥平面A1BD．
（2）求二面角D-BA1-A的余弦值．（3）求点B1到平面A1BD的距离．
参考答案：
见解析．
（）证明：∵平面，平面，
∴，
∵是等边三角形，
∴，又，
∴平面，
以为原点建立空间直角坐标系如图所示：
则，，，，，∴，，，
∴，，
∴，，
又，
∴平面．
（），，
设平面的法向量为，
则，
∴，
令得，
又为平面的法向量，
∴二面角的余弦值为，
．
（），
，
，
∴直线与平面所成角的正弦值为，
∴点到平面的距离为．
20. （13分）如图，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，AB=PA=2BC=2，M为PB的中点．
（Ⅰ）求证：AM⊥平面PBC；
（Ⅱ）求二面角A﹣PC﹣B的余弦值．
参考答案：
【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定．
【分析】（Ⅰ）推导出PA⊥BC，BC⊥AB，从而AM⊥BC，再求出AM⊥PB，由此能证明AM⊥平面PBC．
（Ⅱ）在平面ABC内，作Az∥BC，则AP，AB，Az两两互相垂直，建立空间直角坐标系A﹣xyz．利用向量法能求出二面角A﹣PC﹣B的余弦值．
【解答】（本小题满分13分）
证明：（Ⅰ）因为PA⊥平面ABC，BC?平面ABC，所以PA⊥BC．
因为BC⊥AB，PA∩AB=A，
所以BC⊥平面PAB．…（2分）
所以AM⊥BC．…（3分）因为PA=AB，M为PB的中点，
所以AM⊥PB．…（4分）
所以AM⊥平面PBC．…
解：（Ⅱ）如图，在平面ABC内，作Az∥BC，则AP，AB，Az两两互相垂直，
建立空间直角坐标系A﹣xyz．
则A（0，0，0），P（2，0，0），B（0，2，0），C（0，2，1），M（1，1，0）．=（2，0，0），=（0，2，1），=（1，1，0）．…（8分）
设平面APC的法向量为=（x，y，z），
则，令y=1，得=（0，1，﹣2）．…（10分）
由（Ⅰ）可知=（1，1，0）为平面BPC的法向量，
设二面角A﹣PC﹣B的平面角为α，
则cosα===．…（12分）
所以二面角A﹣PC﹣B的余弦值为．…（13分）
【点评】本题考查线面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．
21. 设是平面上的两个向量，若向量与互相垂直.
(Ⅰ）求实数的值；
(Ⅱ）若，且，求的值.
参考答案：
（Ⅰ）由题设可得即
代入坐标可得.
.
(Ⅱ）由（1）知，
.
.
22. （本小题满分14分）在中，已知，是边上的一点，，
，，求的长.
参考答案：
解：在中，，，，
由余弦定理得=,
，
…………………7分
在中，, , ，
由正弦定理得,
. …Ks5u………14分略。