1.2 媒质分界面条件和边界条件

1.2 媒质分界面衔接条件和边界条件
1.2.1 媒质分界面衔接条件
在求解电磁场问题时，必然要用不同媒质分界面上场矢量的衔接条件，已学过的有 电场： ()012=-⨯E E n
()
σ=-⋅12D D n
磁场： ()
S J H H n =-⨯12
(
)
012=-⋅
B B n
电流场 (恒定电场)： ()
012=-⨯E E n
(
)
012=-⋅J J n
下面进一步分析媒质分界面上场矢量发生突变的一般情况。

1. 面散度场源可能引起场量法向分量的突变
在电场中，存在散度场源)(r b D
==⋅∇ρ。

设电场中两种媒质之间存在一个过渡层，媒质电磁特性参数由1ε、1μ、1γ连续变化为2ε、2μ、2γ，厚度h 很小，取h 为一扁盒圆柱面的高，ρ为过渡层内体自由电荷密度。

图示规定向。

由高斯通量定理
()
⎰⎰∆=⋅⋅∇=∆-⋅=∆⋅+∆⋅=⋅V
S s h dV D s D D n s D s D s d D ρ
121
122
h D D n ρ=-⋅)(12
讨论：
(1) 若ρ为有限值，则当0→h ，即媒质参数
发生跃变时，扁盒内的电荷量q ∆=0→h ρ
()
012=-⋅D D n
⇒ n n D D 12=
(2) 若当0→h 时，q ∆保持定值不变，即0→h ，ρ不断增大，使h ρ保持定值，定义它为面自由电荷密度
)(lim 0
h h ρσ→=
2ε 1ε
上面的边界条件式变为：
)(lim )(lim )(0
12D h h D D n h h
⋅∇==-⋅→→ρ
即D
的法向分量突变，也可用标量电位表示为
()σϕεϕε-=∇-∇⋅1122n
推广到一般矢量场F
中，成为一普遍性边界面衔接条件
()
)(lim )(lim 0
012F h hb F F n h h
⋅∇==-⋅→→ 称上述极限突变值为面散度源，可知“矢量场的面散度源可能引起场的法向分量改变，无散场的法向分量一定连续(如果没有偶极矩)”。

2. 面旋度源可能引起场矢量切向分量的突变
设磁场中两种媒质间存在一过渡层，其厚h 很小。

跨分界面作狭窄矩形闭合曲线l ，
其长边为l ∆，宽边为h ，且n 、 t 和n
'呈右旋关系n n t ⨯'=。

由斯托克斯定理
()
s d r c s d F l d F l S S ⋅=⋅⨯∇=⋅⎰⎰⎰)( 有
1122d l H l H l H l
∆⋅+∆⋅=⋅⎰
()
l
h n r c s r c s
H l t H H S
S
∆'⋅=⋅=
⋅⨯∇=∆⋅-=⎰
⎰
∆∆
)()()(d d 12
h
r c n H H n n H H n n H H t )()()
()()(
⋅'=-⨯⋅'=-⋅⨯'=-⋅121212
0])()([12=--⨯⋅'h r c H H n n
因l 回路的任意性，上式成立，在h →0时，必有
)]([lim )]
([lim )]([lim )(00
012t
D J h H h r c h H H n h h h ∂∂+=⨯∇==-⨯→→→
式中D
以及t D ∂∂ 总是有限的，0→h ，
0→∂∂t D h 。

以两种形式分析： (1) 若J
为有限值，0→J
h
0)(12=-⨯H H n
t t H H 21=
(2) 若0→h 过程中，l 所围面积s ∆中通过的电流总量不变，J h
趋于一定值，电流
ε
n
区压缩成为薄片，定义它为自由面电流密度
)(lim 0
J h J h S
→=
有
S J H H n =-⨯)(12
导致的H
切向分量突变的突变值S J 称为面旋度源。

对任意矢量场F
，可推广得到普遍应用公式：
)]([lim )]([lim )(0
012F h r c h F F n h h
⨯∇==-⨯→→ 可用判断矢量场F
在媒质分界面上的场量切线分量是否突变。

得：“面旋度源可能引起场
矢量切向分量突变，无旋场的切向分量一定连续(如果没有偶极矩存在)” 1.2.2边界条件
上述分析表明：场源的某种分布对不同媒质分界面上场矢量的连续性产生重要的影响，而且场源的分布也是确定域内场量的前提。

根据唯一性定理，场的唯一确定，还有赖于给定场域适合的边界约束条件，而这种条件也等价于一定分布的场源。

下面就对一、二类边界条件分别进行讨论。

1. 第二类边界条件等价于一个单层源
(1) 在电场中，如果媒质分界面上存在有面自由电荷密度，则分界面衔接条件为
σ=-⋅)(12D D n
或
σϕεϕε=∇-∇⋅)(2211n
如果在所求场域1V 边界以外场强均为零(例如导体区域)，即02=∇ϕ
则
σϕεϕε=∂∂=∇⋅n
n 1111
σ-=⋅1D n
如图所示，说明S 面上有负电荷存在。

所以这样的第二类边界条件，就相当于在场域边界上有一层自由电荷。

也即是说第二类边界条件等价于面自由电荷密
度。

(2) 在磁场计算中，若存在磁化体，由Maxwell 方程组计算磁化体产生的磁场
2
2
)(M H B o
+=μ
0=⋅∇'B
m o M H M H ρμ=⋅∇'-=⋅∇'⇒
=+⋅∇'
)(
式中：m ρ是假想的体磁荷密度，用它来等效地反映媒质磁化的影响，要确定H
，还必
须计算它的旋度。

在磁化体中一般没有自由电流
0==⨯∇'J H
由此引入标量确位m ϕ：m H ϕ-∇=
，有
m m m M H ρϕϕ=⋅∇'-=-∇=∇⋅-∇=⋅∇' 2
由上可知：磁化体中的m ϕ满足标量泊松方程，其体磁荷密度为M m
⋅-∇=ρ。

对于
均匀磁化体：0=⋅∇'M
，上式成为拉普拉期方程。

若按(1)中方法分析，可以从磁荷体密度m ρ中求出媒质分界面上的面磁荷密度m σ，它也是一种面散度源。

如图中两媒质分界面上，正法线方向n
从
21μμ→，设有一媒质过渡层，高为h ，跨分界面作
一扁圆柱面S ，h 为高，由B 的连续性原理，有
)(121
122=∆-⋅=∆⋅+∆⋅=⋅⎰s B B n S B S B s d B S
又
⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅=-⋅1122
12M B M B n H H n o o μμ)(
()
)(11212M M n B B n o
-⋅--⋅=μ
[]
m h h M h H h M M n σ=⋅∇'-=⋅∇'=-⋅-=→→)(lim )(lim )(0
012
如果02=H
，即在∞=μ的铁质内，有
m n
m m n H n σϕϕ-=∂∂=∇⋅=-⋅
)(1
可见：磁化体表面的第二类非齐次边界条件与磁荷面密度等价。

n
2. 第一类边界条件等价于一个双层源
在静电场中，一个电偶极子(其偶极矩d q p
=)在p 点产生的电位
r e p r
qd o r o '⋅='='πεπεθ
ϕ44cos 2
现在要分析边界两侧有相同分布的正、负电荷层的情况，其间距离极小为d ，称为偶
层，设面电荷密度为σ±，则面电偶极矩密度(层强) d
στ=，它的正方向由负电荷指向正电荷。

取边界面上正法向单位矢量n 与τ 的正方向一致，则偶层元ds τ
在P 点产生的电位
ds r ds r
ds r r e ds d o o o o r 2
222cos 41)cos(41cos 414θτπεθπτπεθτπεπετϕ-='--='=⋅= 式中2
cos r ds θ是面元ds 对于场点所张的立体角
Ωd 。

如果场点到面元ds 的矢径r
与ds 的正法
向矢量n e
的夹角为锐角， Ωd 为正，为钝角则
为负。

于是整个偶层在P 点产生的电位为
⎰⎰ΩΩ-='-=d ds r
o S o τπεθτπεϕ41cos 412 若层强是常数，则
Ω-=Ω-=⎰Ωo
o d πετ
πετϕ44 如果偶层分布在一个闭合面S 上，S 面内任
意一点的电位为
o
o ετππετϕ-=⋅=-44 在S 闭面外任一点的电位
0=+ϕ
以上两式表明：ϕ=定值的第一类边界条件，等价于面偶极矩分布的双层源。

应注意：①偶层的每一个面上n
o ∂∂ϕ
ε都发生突变(突变量为σ)，两次突变等值异号。

从偶层一侧到另一侧，n D 保持不变，但双层源两侧有电位差
o ετ
ϕϕ=--+
说明双层源引起了电位的突变。

② 偶层的存在，如果层强不均匀，还可能引起t E 不连续。

P
分析图示偶层两侧对应点的电位差：1、2两点之间电位差为
o ετϕϕ1
21=-
4、3两点之间的电位差为
o
ετ
ϕϕ234=-
21ττ≠，则3421ϕϕϕϕ-≠-即
3241ϕϕϕϕ-≠-
-+=∆-≠∆-=
t t E l
l E 3
241ϕϕϕϕ 可见由于层强的不均匀导致电偶层两侧E
的切向分量不相等。

这也说明：在没有偶层分
布的无旋场中，才有场矢量的切向分量连续。

由以上的分析，可以归纳为：
1. 在无偶层源存在的情况下，媒质分界面上矢量场遵循的分界面衔接条件 ())(lim 0
12F h F F n h
⨯∇=-⨯→
()
)(lim 0
12F h F F n h
⋅∇=-⋅→
2. 第一类边界条件可等效为双层源，第二类边界条件可等效为单层源。

3. 分析场的问题，无论场域内、分界面或场域的边界上，都是场与源(等效源)的问题，仍然是由源和媒质分布决定场的分布，反映Helmholtz 定理的正确性。

4. 提供了一个按等效源处理边界条件、分界面衔接条件的方法。

1
-
t R τ
2
3
4
+
t R +
–。