2018年高考数学人教A版 文科课时跟踪检测6 含解析 精

课时跟踪检测(六)
[高考基础题型得分练]
1．下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是( ) A ．y ＝x ＋sin 2x B ．y ＝x 2－cos x C ．y ＝2x
＋1
2x
D ．y ＝x 2＋sin x
答案：D
解析：A 项，定义域为R ，f (－x )＝－x －sin 2x ＝－f (x )，为奇函数，故不符合题意；B 项，定义域为R ，f (－x )＝x 2－cos x ＝f (x )，为偶函数，故不符合题意；C 项，定义域为R ，f (－x )＝2－x
＋12
－x ＝2x
＋12x
＝f (x )，为偶函数，故不符合题意；D 项，定义域为R ，f (－x )＝x 2－sin x ，－f (x )＝－x 2－sin x ，因为f (－x )≠－f (x )，且f (－x )≠f (x )，故既不是奇函数，也不是偶函数．
2．已知f (x )＝3ax 2＋bx －5a ＋b 是偶函数，且定义域为[6a －1，a ]，则a ＋b ＝( )
A.17 B ．－1 C ．1 D ．7
答案：A
解析：因为偶函数的定义域关于原点对称，所以6a －1＋a ＝0，所以a ＝1
7.又f (x )为偶函数，所以3a (－x )2－bx －5a ＋b ＝3ax 2＋bx －5a ＋b ，解得b ＝0，所以a ＋b ＝17.
3．已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝3x ＋m (m 为常数)，则f (－log 35)的值为( )
A ．4
B ．－4
C ．6
D ．－6
答案：B
解析：由f (x )是定义在R 上的奇函数，得f (0)＝1＋m ＝0，解得m ＝－1，∴f (x )＝3x －1.
∵log 35>log 31＝0，∴f (－log 35)＝－f (log 35)＝－(3log 3
5
－1)＝－4，
故选B.
4．函数f (x )＝lg|sin x |是( ) A ．最小正周期为π的奇函数 B ．最小正周期为2π的奇函数 C ．最小正周期为π的偶函数 D ．最小正周期为2π的偶函数 答案：C
解析：∵f (－x )＝lg|sin(－x )|＝lg|sin x |， ∴函数f (x )为偶函数．
∵f (x ＋π)＝lg|sin(x ＋π)|＝lg|sin x |， ∴函数f (x )的最小正周期为π.
5．[2017·湖北荆州模拟]已知f (x )是定义在R 上的周期为2的奇
函数，当x ∈(0,1)时，f (x )＝3x
－1，则f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
2 0152＝( )
A.3＋1
B.3－1 C ．－3－1 D ．－3＋1
答案：D
解析：因为f (x ＋2)＝f (x )＝－f (－x )， 所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 0152＝f ⎝ ⎛
⎭⎪⎫1 006＋32＝f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫－32
＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝－f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫12. 又当x ∈(0,1)时，f (x )＝3 x －1，
所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝3－1，f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
2 0152＝1－ 3.
6．已知函数f (x )是定义域为R 的偶函数，且f (x ＋1)＝1f (x )，若f (x )
在[－1,0]上是减函数，那么f (x )在[2,3]上是( )
A ．增函数
B ．减函数
C ．先增后减的函数
D ．先减后增的函数
答案：A
解析：由题意知f (x ＋2)＝1
f (x ＋1)＝f (x )，所以f (x )的周期为2.又函
数f (x )是定义域为R 的偶函数，且f (x )在[－1,0]上是减函数，则f (x )在[0,1]上是增函数，所以f (x )在[2,3]上是增函数．
7．已知f (x )在R 上是奇函数，且满足f (x ＋4)＝f (x )，当x ∈(0,2)时，f (x )＝2x 2，则f (2 019)＝( )
A ．－2
B ．2
C ．－98
D ．98
答案：A
解析：∵f (x ＋4)＝f (x )，
∴f (x )是以4为周期的周期函数， ∴f (2 019)＝f (504×4＋3)＝f (3)＝f (－1)．
又f (x )为奇函数，∴f (－1)＝－f (1)＝－2×12＝－2，即f (2 019)＝－2.
8．定义在(－1,1)上的函数f (x )＝－5x ＋sin x ，若f (1－a )＋f (1－a 2)>0，则实数a 的取值范围为________．
答案：(1，2)
解析：由题意知，函数f (x )为奇函数，在(－1,1)上单调递减，由
f (1－a )＋f (1－a 2)>0，得
f (1－a )>f (a 2
－1)，∴⎩⎪⎨⎪⎧
－1<1－a <1，－1<a 2－1<1，
1－a <a 2－1，
解得
1<a < 2.
9．定义在R 上的函数f (x )满足f (－x )＝－f (x )，f (x －2)＝f (x ＋2)，且当x ∈(－1,0)时，f (x )＝2x
＋1
5，则f (log 220)＝________.
答案：－1
解析：因为f (－x )＝－f (x )，所以f (x )是奇函数，所以当x ∈(0,1)时，－x ∈(－1,0)，则f (x )＝－f (－x )＝－2－x －1
5.因为f (x －2)＝f (x ＋2)，所以f (x )＝f (x ＋4)，所以f (x )是周期为4的周期函数．而4<log 220<5，所以f (log 220)＝f (log 220－4)＝－2 －(log 220－4)
－15
＝－24
2
log 220
－1
5＝－
1.
10．已知f (x )，g (x )分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，且f (x )
－g (x )＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫12x
，则f (1)，g (0)，g (－1)之间的大小关系是________．
答案：f (1)>g (0)>g (－1)
解析：在f (x )－g (x )＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫12x
中，用－x 替换x ，得f (－x )－g (－x )＝
2x ，
由于f (x )，g (x )分别是定义在R 上的奇函数和偶函数， 所以f (－x )＝－f (x )，g (－x )＝g (x )， 因此得－f (x )－g (x )＝2x .
联立方程组解得f (x )＝2－x －2x 2，g (x )＝－2－x ＋2x
2， 于是f (1)＝－34，g (0)＝－1，g (－1)＝－5
4， 故f (1)>g (0)>g (－1)．
11．若f (x )＝ln(e 3x ＋1)＋ax 是偶函数，则a ＝________. 答案：－3
2
解析：函数f (x )＝ln(e 3x ＋1)＋ax 是偶函数，故f (－x )＝f (x )，
即ln(e －3x ＋1)－ax ＝ln(e 3x ＋1)＋ax ，化简得ln 1＋e
3x
e 3x ＋e
6x ＝2ax ＝ln e 2ax ，
即1＋e 3x
e 3x ＋e 6x ＝e 2ax ，整理得e 3x ＋1＝e 2ax ＋3x (e 3x ＋1)，所以2ax ＋3x ＝0，解得a ＝－3
2.
[冲刺名校能力提升练]
1．[2017·陕西西安模拟]设f (x )是定义在实数集上的函数，且f (2－x )＝f (x )，若当x ≥1时，f (x )＝ln x ，则有( )
A ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13<f (2)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12
B ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12<f (2)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13
C ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫
13<f (2)
D ．f (2)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12<f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
13
答案：C
解析：由f (2－x )＝f (x )可知，函数f (x )的图象关于x ＝1对称，所
以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫53，又当x ≥1时，f (x )＝ln x 单调递增，所以f ⎝ ⎛⎭
⎪
⎫32
<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫53<f (2)，即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12<f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫13<f (2)． 2．已知函数f (x )是R 上的偶函数，g (x )是R 上的奇函数，且g (x )＝f (x －1)，若f (2)＝2，则f (2 014)的值为( )
A ．2
B ．0
C ．－2
D ．±2
答案：A
解析：∵g (－x )＝f (－x －1)，∴－g (x )＝f (x ＋1)．又g (x )＝f (x －1)，∴f (x ＋1)＝－f (x －1)，
∴f (x ＋2)＝－f (x )，f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )， 则f (x )是以4为周期的周期函数， 所以f (2 014)＝f (2)＝2.
3．[2016·广东惠州三调]如图，偶函数f (x )的图象如字母M ，奇函数g (x )的图象如字母N ，若方程f (g (x ))＝0，g (f (x ))＝0的实根个数分别为m ，n ，则m ＋n ＝( )
A ．18
B ．16
C ．14
D ．12
答案：A
解析：由题中图象知，f (x )＝0有3个根0，a ，b ，a ∈(－2，－1)，b ∈(1,2)，g (x )＝0有3个根0，c ，d ，c ∈(－1,0)，d ∈(0,1)，由f (g (x ))＝0，得g (x )＝0或a ，b ，由图象可知g (x )所对每一个值都能有3个
根，因而m＝9；由g(f(x))＝0，知f(x)＝0或c，d，由图象可以看出0时对应有3个根，d时有4个，c时只有2个，加在一起也是9个，即n＝9，∴m＋n＝9＋9＝18，故选A.
4．[2017·内蒙古包头模拟]若关于x的函数f(x)＝tx2＋2x＋t2＋sin x
x2＋t
(t＞0)的最大值为M，最小值为N，且M＋N＝4，则实数t的值为________．
答案：2
解析：由题意，f(x)＝tx2＋2x＋t2＋sin x
x2＋t
＝
t＋2x＋sin x
x2＋t
，显然函数g(x)＝
2x＋sin x
x2＋t
是奇函数，
∵函数f(x)最大值为M，最小值为N，且M＋N＝4，
∴M－t＝－(N－t)，即2t＝M＋N＝4，∴t＝2.
5．设f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函数，f(x＋2)＝－f(x)，当0≤x≤1时，f(x)＝x.
(1)求f(π)的值；
(2)当－4≤x≤4时，求f(x)的图象与x轴所围成图形的面积．
解：(1)由f(x＋2)＝－f(x)，得
f(x＋4)＝f((x＋2)＋2)＝－f(x＋2)＝f(x)，
∴f(x)是以4为周期的周期函数．
∴f(π)＝f(－1×4＋π)＝f(π－4)＝－f(4－π)＝－(4－π)＝π－4.
(2)由f(x)是奇函数与f(x＋2)＝－f(x)，
得f((x－1)＋2)＝－f(x－1)＝f(－(x－1))，
即f(1＋x)＝f(1－x)．
从而可知函数y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称．
又当0≤x ≤1时，f (x )＝x ，且f (x )的图象关于原点成中心对称，则f (x )的图象如图所示．
设当－4≤x ≤4时，f (x )的图象与x 轴围成的图形面积为S ，则S
＝4S △OAB ＝4×⎝ ⎛⎭
⎪⎫12×2×1＝4. 6．设函数f (x )是定义在R 上的奇函数，对任意实数x 有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫
32＋x ＝－f ⎝
⎛⎭
⎪⎫
32－x 成立． (1)证明y ＝f (x )是周期函数，并指出其周期； (2)若f (1)＝2，求f (2)＋f (3)的值；
(3)若g (x )＝x 2＋ax ＋3，且y ＝|f (x )|·g (x )是偶函数，求实数a 的值．
解：(1)由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋x ＝－f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
32－x ，且f (－x )＝－f (x )，
知f (3＋x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋x ＝－f ⎝
⎛⎭⎪⎫
32－⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋x ＝－f (－x )＝f (x )，所以y ＝f (x )是周期函数，且T ＝3是其一个周期．
(2)因为f (x )为定义在R 上的奇函数，所以f (0)＝0，且f (－1)＝－f (1)＝－2，又T ＝3是y ＝f (x )的一个周期，所以f (2)＋f (3)＝f (－1)＋f (0)＝－2＋0＝－2.
(3)因为y ＝|f (x )|·g (x )是偶函数， 且|f (－x )|＝|－f (x )|＝|f (x )|，
所以|f(x)|为偶函数．
故g(x)＝x2＋ax＋3为偶函数，即g(－x)＝g(x)恒成立，于是(－x)2＋a(－x)＋3＝x2＋ax＋3恒成立．于是2ax＝0恒成立，所以a＝0.。