山东省临沂市蒙阴县实验中学2020届高三上学期期末考试数学试题及答案

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蒙阴县实验中学
2019—2020学年度高三上学期期末考试
高三数学试题 2020.1
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合2
{|60}A x x x =+-<，(2,2)B =-，则A C B = ( ) A ．(3,2)-- B ．(3,2]-- C ．(2,3) D ．[2,3)
2．“2a =”是“复数(2)(1)
a i i z i
+-+=（R a ∈）为纯虚数”的( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
3. 6本不同的书摆放在书架的同一层上，要求甲、乙两本书必须摆放在两端，丙、丁两本
书必须相邻，则不同的摆放方法有（ ）种 A 、24 B 、36 C 、48 D 、60 4. 若1,01a c b ><<<，则下列不等式不正确的是（ ） A. 20192019log log a b > B. log log c b a a > C. ()()c
b
c b a c b a ->- D. ()()c
b
a c a a c a ->-
5. 已知ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为,,a b c ，若2c o s c o s c o s ,2b B a C c A b =+=
则ABC ∆面积的最大值是（ ）
A.1 C.2 D.4 6. 在各项不为零的等差数列{}n a 中，2
201720182019220a
a a -+=，数列
{}n b 是等比数列，
且
20182018
b a =，则
()
220172019log b b ⋅的值为（ ） A ．1
B ．2
C ．4
D ．8
7. 已知1
()()2ln (0)f x a x x a x
=--≥在[1,)+∞上为单调递增函数，则a 的取值范围为（ ）
A.[0,)+∞
B.(0,)+∞
C.(1,)+∞
D.[1,)+∞
8.已知双曲线的左、右焦点分别为
，实轴长为4，渐近线方程
为，点N 在圆上，则
的最小值为( )
A.
B. 5
C. 6
D. 7
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。

全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分。

9.下列判断正确的是（ ）
A. 若随机变量ξ服从正态分布N （1，2
σ），P （4ξ≤）=0.79，则P （2ξ≤-）=0.21； B.已知直线l α⊥平面，直线//m β平面，则“//αβ”是“l m ⊥”的必要不充分条件； C.若随机变量ξ服从二项分布：1
~(4,)4
B ξ，则()1E ξ=；
10.关于函数2
()2cos cos(2)12
f x x x π
=-+-的描述正确的是( )
A.其图象可由2y x =的图象向左平移
8
π
个单位得到 B.()f x 在(0,)2π
单调递增 C.()f x 在[0,]π有2个零点
D.()f x 在[,0]2
π
-
的最小值为
11.已知四棱锥P ABCD -，底面ABCD 为矩形，侧面PCD ⊥平面ABCD ，BC =
CD PC PD ===，若点M 为PC 的中点，则下列说法正确的为( )
A. BM ⊥平面PCD
B. PA//平面MBD
C. 四棱锥M ABCD -外接球的表面积为36π
D. 四棱锥M ABCD -的体积为6 12.某市有A ，B ，C ，D 四个景点，一位游客来该市游览，已知该游客游览A 的概率为23
，游览B 、C 和D 的概率都是
1
2
，且该游客是否游览这四个景点相互独立。

用随机变量X 表示该游客游览的景点的个数，下列正确的（ ） A. 游客至多游览一个景点的概率
14 B. 3P X 8
（=2）= C. 1P X 24（=4）= D. 13
(X)6
E =
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．命题“对2
[1,1],310x x x ∀∈-+->”的否定是 _______；
14.在
2n
x
（的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中常数项是
15.已知圆心在直线30x y -=上的圆C 与y 轴的正半轴相切，且截x 轴所得的弦长为则圆C 的方程为 ，则点P （6，5）到圆C 上动点Q 的距离最大值为 .
16.已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱垂直底面，且所有顶点都在同一个球面上，BC =，
12AA =，AC=1，30ABC ︒∠=，则球的表面积为 ；
四、解答题：本题共6小题，共70分。

17题10分其余题目12分，解答应写出文字说
明，证明过程或演算步骤. 17.(10分)
在非直角ABC ∆中，,,a b c 分别是A ，B ，C 的对边，已知4a =，5AB AC =，求：
tan tan (1)
tan tan A A
B C
+的值 (2)BC 边上的中线AD 的长
18.（12分）
已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且23n
n S p m =⋅+，（其中p m 、为常数），又123a a ==. （1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）设3log n n b a =，求数列{}n n a b ⋅的前n 项和n T ．
19.（12分） 如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为梯形，PD ⊥底面ABCD ，AB//CD ，AD ⊥CD ，AD=AB=1，。

（1）求证：平面PBD ⊥平面PBC ；
（2）设H 为CD 上一点，满足2CH HD =，若直线PC 与平面PBD 求二面角H PB C --的余弦值。

20.（12分）
某企业新研发了一种产品，产品的成本由原料成本及非原料成本组成．每件产品的非原料成
根据以上数据，绘制了散点图．
观察散点图，两个变量不具有线性相关关系，现考虑用反比例函数模型b
y a x
=+
和指数函数模型dx y ce =分别对两个变量的关系进行拟合．已求得用指数函数模型拟合的回归方程为0.296.54x y e -=，ln y 与x 的相关系数10.94r =-．参考数据(其中1i
u x =
)： (1)用反比例函数模型求y 关于x 的回归方程；
(2)用相关系数判断上述两个模型哪一个拟合效果更好(
精确到0.01)，并用其估计产量为10千件时每件产品的非原料成本；
(3)该企业采取订单生产模式(根据订单数量进行生产，即产品全部售出)．根据市场调研数据，若该产品单价定为100元，则签订9千件订单的概率为0.8，签订10千件订单的概率为0.2；若单价定为90元，则签订10千件订单的概率为0.3，签订11千件订单的概率为0.7．已知每件产品的原料成本为10元，根据(2)的结果，企业要想获得更高利润，产品单价应选择100元还是
90元，请说明理由．
参考公式：对于一组数据(u 1，v 1)，(u 2，v 2)，…，(u n ，v n )，其回归直线v u αβ=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为：12
21
n
i i i n
i
i u v
nuv u
nu
β==-=
-∑∑，a v u β=-，相关系数
n
i i
u v
nuv
r -=
∑．
21.(12分)
已知中心在原点的椭圆C 1和抛物线C 2有相同的焦点(1，0)，椭圆C 1过点31,2G ⎛⎫
⎪⎝⎭
，抛物线2
C 的顶点为原点．
(1)求椭圆C 1和抛物线C 2的方程；
(2)设点P 为抛物线C 2准线上的任意一点，过点P 作抛物线C 2的两条切线PA ，PB ，其中A 、B 为切点．
①设直线PA ，PB 的斜率分别为k 1，k 2，求证：k 1k 2为定值；
②若直线AB 交椭圆C 1于C ，D 两点，S △PAB ，S △PCD 分别是△PAB ，△PCD 的面积，试问：
PAB PCD
S
S
是否有最小值?若有，求出最小值；若没有，请说明理由．
22.(12分)
设函数212()ln 2,22
a f x ax x x a R -=
+++∈ （1）当2a =时，求函数()f x 在点(1,(1))f 处的切线方程； （2）2x =是函数()f x 的极值点，求函数()f x 的单调区间； （3）在（2）的条件下，2
1
7
()(ln )4,22
g x x x x =-++-若12[1,),(0,),x x ∀∈+∞∃∈+∞ 使不等式1122
()()m
f x
g x x x -≥+
恒成立，求m 的取值范围。

2019—2020学年度高三上学期期末考试
高三数学试题评分标椎 2020.1
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分
1.B
2.C
3.A
4.D
5.B
6.C
7.D
8.B
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。

全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分。

9.ACD 10.ACD 11.BC 12.ABD
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．2[1,1],310x x x ∃∈-+-≤ 14. 7
(3分) 8 （2分）
18.解：（1）由123a a ==得36p m +=，122()912a a p m +=+=，解得1,3p m ==，
………………………………………………………………………………………………………………….2分
即233n
n S =+，-------------①当2n ≥时，1
1233n n S --=+-------------②
①-②得1
233
n
n n a -=-，即1
3
(2)n n a n -=≥，----------------------------------- 4分
∵ 13a =不满足上式， ∴13,1;3, 2.
n n n a n -=⎧=⎨≥⎩--------------------------------------6分
（2）依题意得31,1;
log 1, 2.n n n b a n n =⎧==⎨-≥⎩
---------------------------------------------------7分
当1n =时，1113T a b ==，
当2n ≥时，n T 2
13131323(1)n n -=⨯+⨯+⨯+
+⨯-
223133131323(2)3(1)n n n T n n -=⨯+⨯+⨯+
+⨯-+⨯-
两式相减得：2
3
1233333(1)n n n T n --=-+++
+-⨯-----------------------------9分
13(31)63(1)31n n n -⨯-=-+-⨯--3(32)15
2
n n --=
3(23)15
4
n n n T -+=
.-------------------------------------------------------------------------------11分 显然当1n =时，13T =符合上式，∴3(23)15
4
n n n T -+=-----------------------------12分
……………………………………………………………………………………………………..4分
…………………….6分
…………………………………………………………………………………………………………..7分
……………….10分
…12分
22.
…………………………………………………………………………………………………………………………………………….8分
……………………………………………………………………………………………………………………………………………10分
………………………………………………………………………………………………………………………………………………12分
6。