高考数学一轮复习 第二章 函数与导数课时训练

第二章 函数与导数
第1课时 函数及其表示
一、 填空题
1. 下列五个对应f ，________是从集合A 到集合B 的函数．(填序号)
① A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫12，1，32，B ＝{－6，－3，1}，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－6，f(1)＝－3，f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫32＝1；
② A ＝{1，2，3}，B ＝{7，8，9}，f(1)＝f(2)＝7，f(3)＝8； ③ A ＝B ＝{1，2，3}，f(x)＝2x －1； ④ A ＝B ＝{x|x ≥－1}，f(x)＝2x ＋1；
⑤ A ＝Z ，B ＝{－1，1}，n 为奇数时，f(n)＝－1，n 为偶数时，f(n)＝1. 答案：①②④⑤
解析：根据函数定义，即看是否是从非空数集A 到非空数集B 的映射．③中集合A 中的元素3在集合B 中无元素与之对应，故不是A 到B 的函数．其他均满足．
2. 设f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x>0，0，x ＝0，－1，x<0，g(x)＝⎩
⎪⎨⎪⎧1，x 为有理数，
0，x 为无理数，则f(g(π))的值为________．
答案：0
解析：根据题设条件，∵ π是无理数，∴ g(π)＝0， ∴ f(g(π))＝f(0)＝0.
3. 已知f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
x 2－1＝2x ＋3，且f(m)＝6，则m ＝________．
答案：－1
4
解析：令2x ＋3＝6，得x ＝32，所以m ＝x 2－1＝12×32－1＝－1
4
.
4. 如果f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫1x ＝x
1－x ，则当x ≠0且x ≠1时，f(x)＝________．
答案：1
x －1
解析：令t ＝1x ，得x ＝1t ，∴ f(t)＝1
t 1－
1t ＝1
t －1
，
∴ f(x)＝1
x －1
.
5. 计算机中常用的十六进制是逢16进1的计数制，采用数字0～9和字母A ～F 共16个计数符号，这些符号与十进制的对应关系如下表：
答案：6E 6. 已知g(x)＝1－2x ，f(g(x))＝1－x 2
x 2(x ≠0)，则f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫12＝__________．
答案：15
解析：令g(x)＝1－2x ＝12，得x ＝1
4
.
∴ f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫12＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫142
⎝ ⎛⎭
⎪⎫142＝15.
7. 函数f(x)对任意x ，y 满足f(x ＋y)＝f(x)＋f(y)，且f(2)＝4，则f(－1)＝____________． 答案：－2
解析：由f(2)＝f(1＋1)＝f(1)＋f(1)＝2f(1)＝4得f(1)＝2，由f(0)＝f(0＋0)＝f(0)＋f(0)＝2f(0)得f(0)＝0，由f(0)＝f(－1＋1)＝f(－1)＋f(1)＝0，得f(－1)＝－f(1)＝－2.
8. 已知函数f(x)＝⎩
⎪⎨⎪⎧－x －1（－1≤x<0），－x ＋1（0<x ≤1），则f(x)－f(－x)>－1的解集为
______________．
答案：⎣⎢
⎡⎭
⎪⎫
－1，－12∪(0，1] 解析：① 当－1≤x<0时，0<－x ≤1，此时f(x)＝－x －1，f(－x)＝－(－x)＋1＝x ＋1，
∴ f(x)－f(－x)>－1化为－2x －2>－1，解得x<－12，则－1≤x<－1
2
.
② 当0<x ≤1时，－1≤－x<0，此时，f(x)＝－x ＋1，
f(－x)＝－(－x)－1＝x －1，∴ f(x)－f(－x)>－1化为－2x ＋2>－1，解得x<3
2，则0<x
≤1.
故所求不等式的解集为⎣
⎢⎡⎭⎪⎫
－1，－12∪(0，1]．
9. 一辆汽车在某段路程中的行驶速度v 与时间t 的关系如图所示，则该汽车在前3 h 行驶的路程为________km.假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段路程前的读数为2 006 km ，那么在t ∈[1，2)时，汽车里程表读数s 与时间t 的函数解析式为____________________．
答案：220 s ＝80t ＋1 976，且t ∈[1，2)
解析：前3 h 行驶的路程为50＋80＋90＝220(km)．
∵ t ∈[1，2)时里程表读数s 是时间t 的一次函数，可设为s ＝80(t －1)＋b ，当t ＝1时，s ＝2 006＋50＝2 056＝b ，
∴ s ＝80(t －1)＋2 056＝80t ＋1 976. 二、 解答题
10. 如图，用长为1的铁丝弯成下部为矩形，上部为半圆形的框架，若半圆半径为x ，求此框架围成的面积y 与x 的函数式y ＝f(x)，并写出它的定义域．
解：设AB ＝2x ，CD ︵
＝πx ，于是AD ＝1－2x －πx 2，
则y ＝2x ·1－2x －πx 2＋πx 22，即y ＝－π＋4
2x 2＋x.
由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＞0，
1－2x －πx 2
＞0，
得0＜x ＜1π＋2，
∴ 函数的定义域为⎝ ⎛
⎭
⎪⎫
0，1π＋2. 11. 已知函数f(x)对一切实数x ，y 均有f(x ＋y)－f(y)＝x(x ＋2y ＋1)成立，且f(1)＝0， (1) 求f(0)的值；
(2) 试确定函数f(x)的解析式．
解：(1) 令x ＝1，y ＝0，得f(1)－f(0)＝2. 又f(1)＝0，故f(0)＝－2.
(2) 令y ＝0，则f(x)－f(0)＝x(x ＋1)，
由(1)知，f(x)＝x(x ＋1)＋f(0)＝x(x ＋1)－2＝x 2＋x －2.
12. 据气象中心观察和预测：发生于M 地的沙尘暴一直向正南方向移动，其移动速度v(km/h)与时间t(h)的函数图象如图所示，过线段OC 上一点T(t ，0)作横轴的垂线l ，梯形OABC 在直线l 左侧部分的面积即为t(h)内沙尘暴所经过的路程s(km)．
(1) 当t ＝4时，求s 的值；
(2) 将s 随t 变化的规律用数学关系式表示出来．
解：(1) 由图象可知，当t ＝4时，v ＝3×4＝12，所以s ＝1
2×4×12＝24.
(2) 当0≤t ≤10时，s ＝12·t ·3t ＝3
2
t 2；
当10＜t ≤20时，s ＝1
2
×10×30＋30(t －10)＝30t －150；
当20＜t ≤35时，s ＝12×10×30＋10×30＋(t －20)×30－1
2×(t －20)×2(t －20)＝－t 2
＋70t －550.
综上可知s ＝⎩⎪⎨⎪
⎧3
2
t 2，t ∈[0，10]，30t －150，t ∈（10，20]，－t 2
＋70t －550，t ∈（20，35].
13. 已知f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ∈[0，1]，
x －3，x ∈（－∞，0）∪（1，＋∞），
若f(f(x))＝1成立，求x 的取
值范围．
解：因为f(f(x))＝1，所以0≤f(x)≤1或f(x)－3＝1.
① 由0≤f(x)≤1，可得0≤x ≤1或⎩
⎪⎨⎪⎧0≤x －3≤1，
x<0或x>1，
所以0≤x≤1或3≤x≤4；
②由f(x)－3＝1，得f(x)＝4，所以x－3＝4，∴x＝7.
综合①②知，x的取值范围是[0，1]∪[3，4]∪{7}．
点评：由于f(x)是分段函数，所以在探求方程f(f(x))＝1的解时，需要根据分段函数中相应的限制定义域进行分类讨论．
第2课时 函数的定义域和值域
一、 填空题 1. 函数f(x)＝
－x 2＋x ＋6
x －1
的定义域是______________．
答案：[－2，1)∪(1，3]
解析：依题意有⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋x ＋6≥0，x －1≠0，解得⎩⎪⎨⎪⎧－2≤x ≤3，
x ≠1，
所以定义域为[－2，1)∪(1，3]．
2. 已知f(x)＝1
x ＋1，则函数f(f(x))的定义域是________． 答案：(－∞，－2)∪(－2，－1)∪(－1，＋∞) 解析：f(f(x))＝1
f （x ）＋1＝
1
1
x ＋1
＋1
，
∴ ⎩
⎪⎨⎪⎧x ＋1≠0，11＋x ＋1≠0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ≠－1，x ≠－2.
所以定义域为(－∞，－2)∪(－2，－1)∪(－1，＋∞)．
3. 若函数y ＝f(x)的值域是⎣⎢⎡⎦
⎥⎤12，3，则函数F(x)＝f(x)＋1f （x ）的值域是________．
答案：⎣
⎢⎡⎦⎥⎤2，103
解析：令t ＝f(x)，则t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，3，由F(x)＝t ＋1
t 知，F(x)∈⎣
⎢⎡⎦⎥⎤2，103，所以函数F(x)的值
域为⎣
⎢⎡⎦⎥⎤2，103.
4. 函数y ＝4－3＋2x －x 2的值域是__________________．
答案：[2，4] 解析：y ＝4－－（x －1）2＋4，∵ 0≤－(x －1)2＋4≤4，
∴ 0≤
－（x －1）2＋4≤2，∴ 2≤4－
－（x －1）2＋4≤4，
∴ 所给函数的值域为[2，4]． 5. 函数y ＝
x －x(x ≥1)的值域为________．
答案：(－∞，0]
解析：y ＝－⎝
⎛⎭⎪⎫x －122＋1
4.因为x ≥1，所以y ≤0.
6. 函数y ＝|x|
x
＋x 的值域是____________________．
答案：(－∞，－1)∪(1，＋∞)
解析：由y ＝⎩
⎪⎨⎪⎧x ＋1，x>0，
x －1，x<0可得值域．
7. 若函数y ＝1
2x 2－2x ＋4的定义域、值域都是闭区间[2，2b]，则b ＝________．
答案：2
解析：y ＝12x 2－2x ＋4＝12(x －2)2＋2，显然f(2)＝2，所以f(2b)＝2b ，结合b>1，得b ＝2.
8. 设f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，|x|≥1，
x ，|x|<1，
g(x)是定义在R 上的二次函数，若f(g(x))的值域是[0，＋∞)，
则g(x)的值域是________．
答案：[0，＋∞)
解析：若f(g(x))的值域是[0，＋∞)，则g(x)可取(－∞，－1]∪[0，＋∞)．又g(x)是定义在R 上的二次函数，定义域连续，其值域也是连续的，因此g(x)的值不可能同时取(－∞，－1]和[0，＋∞)．又若g(x)的值域为(－∞，－1]，则f(g(x))的值域为[1，＋∞)，所以g(x)的值域只能为[0，＋∞)．
二、 解答题
9. 求下列函数的值域： (1) y ＝2x －x －1；
(2) y ＝x ＋1－
x －1.
解：(1) 令
x －1＝t ，则t ≥0，且x ＝t 2＋1≥1，所以y ＝2x －x －1＝2t 2－t ＋2＝
2⎝ ⎛⎭⎪⎫t －142＋158.因为t ≥0，所以y ≥15
8，因此所求函数的值域为⎣⎢⎡⎭
⎪⎫158，＋∞.
(2) y ＝x ＋1－
x －1＝
2x ＋1＋
x －1
，不难证明函数在其定义域[1，＋∞)上是减
函数，所以其值域为(0，
2]．
点评：利用代换法求值域时，要关注新代换量的取值范围． 10. 已知函数g(x)＝x ＋1，h(x)＝1x ＋3
(x ∈(－3，a])，其中a 为常数且a>0.令函数
f(x)＝g(x)·h(x)．
(1) 求函数f(x)的解析式，并求其定义域； (2) 当a ＝1
4时，求函数f(x)的值域．
解：(1) f(x)＝
x ＋1
x ＋3
，x ∈[0，a](a>0)．
(2) 当a ＝14时，函数f(x)的定义域为[0，1
4]．
令
x ＋1＝t ，则
x ＝(t －1)2，t ∈[1，32
]， 则f(x)＝F(t)＝t
t 2－2t ＋4
＝
1
t ＋4t －2.
当t ＝4t 时，t ＝±2∉[1，32]．又t ∈[1，32]时，t ＋4t 单调递减，∴F(t)单调递增，F(t)∈[13，
6
13]，即函数f(x)的值域为[13，6
13
]． 11. 函数f(x)＝2x －a
x 的定义域为(0，1](a ∈R )．
(1) 当a ＝－1时，求函数y ＝f(x)的值域；
(2) 若f(x)>5在定义域上恒成立，求a 的取值范围．
解：(1) 当a ＝－1时，∵ x ∈(0，1]，∴ y ＝f(x)＝2x －a x ＝2x ＋1
x ≥2
2x ·1x
＝22，
当且仅当x ＝2
2
时取最小值．∴ 函数y ＝f(x)的值域为[2
2，＋∞)．
(2) 若f(x)>5在定义域(0，1]上恒成立，即2x 2－5x>a 在(0，1]上恒成立．设g(x)＝2x 2－5x ，∵
g(x)＝2x 2－5x ＝2
⎝ ⎛⎭⎪⎫x －542－25
8
，∴ 当x ∈(0，1]时，g(x)∈[－3，0)．而g(x)＝2x 2－5x>a ，∴ 只要a<－3即可，∴ a 的取值范围是(－∞，－3)．
12. 已知二次函数f(x)＝ax 2＋bx(a ，b 是常数，且a ≠0)满足条件：f(2)＝0，且方程f(x)＝x 有等根．
(1) 求f(x)的解析式；
(2) 是否存在实数m ，n(m<n)，使f(x)的定义域和值域分别为[m ，n]和[2m ，2n]？如存在，求出m ，n 的值，如不存在，请说明理由．
解：(1) 由题意⎩⎪⎨⎪⎧f （2）＝0，f （x ）＝x 有等根，即 ⎩
⎪⎨⎪⎧4a ＋2b ＝0，ax 2＋（b －1）x ＝0有等根.
∴⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ＝0，
（b －1）2
＝0，
解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1
2，b ＝1，
∴ f(x)＝－12x 2
＋x.
(2) 假设存在适合题设条件的实数m ，n ， 由(1)知f(x)＝－12x 2＋x ＝－12(x －1)2＋12≤12
，
∴ 2n ≤12，即
n ≤1
4
.
而函数f(x)＝－1
2x 2＋x 图象的对称轴方程为x ＝1，
∴ 函数f(x)＝－1
2
x 2＋x 在[m ，n]上为增函数，
∴ ⎩
⎪⎨⎪⎧f （m ）＝2m ，f （n ）＝2n ，即
⎩⎪⎨⎪
⎧－1
2
m 2＋m ＝2m ，－1
2
n 2
＋n ＝2n ，
解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－2或m ＝0，n ＝－2或n ＝0.又m<n ，
∴ ⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－2，n ＝0，
即存在实数m ＝－2，n ＝0，使函数f(x)的定义域为[－2，0]，值域为[－4，0]．
13. 等腰梯形ABCD 的两底分别为AD ＝2a ，BC ＝a ，∠BAD ＝45°，如图，直线MN ⊥AD 交AD 于点M ，交折线ABCD 于点N ，记AM ＝x ，试将梯形ABCD 位于直线MN 左侧的面积y 表示为x 的函数，
并写出函数的定义域和值域．(用分段函数形式表示)
解：过点B ，C 分别作AD 的垂线，垂足为点H 和点G ，则AH ＝a 2，AG ＝3a
2.
当点M 位于点H 及其左侧时，AM ＝MN ＝x ，则面积y ＝S △AMN ＝12x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫0≤x ≤a 2；
当点M 位于点H ，G 之间时，面积y ＝S 梯形MNBA ＝12(AM ＋BN)·MN ＝12⎝ ⎛
⎭⎪⎫x ＋x －a 2·a 2＝
12ax －a 28⎝ ⎛⎭⎪⎫a
2
<x<3a 2；
当点M 位于点G 及其右侧时，面积y ＝S 梯形ABCD －S △MDN ＝a ＋2a 2·a 2－12(2a －x)2＝－
1
2
x 2＋2ax －
5a 24⎝ ⎛⎭
⎪⎫3
2a ≤x ≤2a .
综上所述，y ＝⎩⎪⎨⎪⎧
12x 2⎝
⎛
⎭⎪⎫0≤x ≤a 2，
12ax －a 28⎝ ⎛⎭⎪⎫
a 2
<x<3a 2，－12x 2
＋2ax －54a 2
⎝ ⎛⎭
⎪⎫3a 2≤x ≤2a .
其定义域为[0，2a]，值域为⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
0，34a 2.第3课时 函数的单调性
一、 填空题
1. 下列四个函数中，在(0，＋∞)上为增函数的是______．(填序号) ① f(x)＝3－x ；② f(x)＝x 2－3x ； ③ f(x)＝－1
x ＋1；④ f (x)＝－|x|.
答案：③
解析：分别画出四个函数的图象易知
y ＝x 2－3x
在⎝ ⎛⎭
⎪⎫
32，＋∞上递增，y ＝3－x 在(0，＋∞)上递减，y ＝－|x|在(0，＋∞)上递减，y ＝－1
x ＋1
在(－1，＋∞)上递增． 2. 若函数f(x)＝(k 2－3k ＋2)x ＋b 在R 上是减函数，则实数k 的取值范围为____________．
答案：(1，2)
解析：由题意得k 2－3k ＋2<0，∴ 1<k<2. 3. 函数f(x)＝
x 2－2x －3的单调增区间为________．
答案：[3，＋∞)
解析：∵ t ＝x 2－2x －3≥0，∴ x ≤－1或x ≥3.当x ∈(－∞，－1]时，t 递减，f(x)递减；当x ∈[3，＋∞)时，t 递增，f(x)递增．∴ 当x ∈(－∞，－1]时，f(x)是减函数；当x ∈[3，＋∞)时，f(x)是增函数．
4. 已知函数f(x)是定义在(－2，2)上的减函数．若f(m －1)＞f(2m －1)，则实数m 的取值范围是____________．
答案：0＜m ＜3
2
解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧－2＜m －1＜2，－2＜2m －1＜2，m －1＜2m －1，
解得0＜m ＜32
.
5. 已知y ＝x 2＋2(a －2)x ＋5在区间(4，＋∞)上是增函数，则实数a 的取值范围是____________．
答案：a ≥－2
解析：对称轴为x ＝2－a ，2－a ≤4，a ≥－2.
6. 函数y ＝|1＋2x|＋|2－x|的单调减区间为________．
答案：⎝
⎛⎦⎥⎤－∞，－12
解析：将函数y ＝|1＋2x|＋|2－x|改写成分段函数y ＝⎩⎪
⎨⎪
⎧
－3x ＋1，x ∈⎝
⎛⎦⎥⎤
－∞，－12，
x ＋3，x ∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫－12，2，3x －1，x ∈[2，＋∞）.
画
出函数的图象容易得出其在⎝
⎛⎦⎥⎤
－∞，－12上为单调减函数．
7. 已知函数f(x)＝ax 2－x ＋1在(－∞，2)上是递减的，则a 的取值范围是____________．
答案：⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
0，14
解析：当a ＝0时，f(x)＝－x ＋1在(－∞，2)上是递减的；当a ≠0时，要使f(x)在(－∞，2)上单调递减，则⎩
⎪⎨⎪
⎧a>0，
12a ≥2，
解得0<a ≤1
4.综上，a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦
⎥⎤0，14.
8. 已知f(x)＝x
x －a (x ≠a)，若a>0且f(x)在(1，＋∞)内单调递减，则实数a 的取值范围是________．
答案：(0，1]
解析：任取x 1，x 2∈(1，＋∞)，且x 1<x 2，则f(x 1)－f(x 2)＝x 1x 1－a
－
x 2x 2－a
＝
－a （x 1－x 2）
（x 1－a ）（x 2－a ）
，因为x 1<x 2，且a>0，所以要使f(x 1)－f(x 2)>0，只需(x 1－a)(x 2－a)>0
恒成立．又x ∈(1，＋∞)，所以a ≤1.综上，实数a 的取值范围是0<a ≤1.
9. 已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4x ，x ≥0，
4x －x 2，x ＜0.
若f(2－a 2)＞f(a)，则实数a 的取值范围是
____________．
答案：(－2，1)
解析：由f(x)＝⎩
⎪⎨⎪⎧（x ＋2）2－4，x ≥0，
－（x －2）2
＋4，x ＜0的图象知f(x)在(－∞，＋∞)上是单调递增函数，
由f(2－a 2)＞f(a)得2－a 2＞a ，即a 2＋a －2＜0，解得－2＜a ＜1.
二、 解答题
10. 利用单调性的定义证明函数y ＝x ＋2
x ＋1在(－1，＋∞)上是递减函数．
证明：设x 1>x 2>－1，则x 2－x 1<0， y 1－y 2＝x 1＋2x 1＋1－x 2＋2x 2＋1＝x 2－x 1
（x 1＋1）（x 2＋1），
∵ x 1>x 2>－1，x 1＋1>0，x 2＋1>0，x 2－x 1<0， ∴
x 2－x 1
（x 1＋1）（x 2＋1）
<0，即y 1－y 2<0.∴y 1＜y 2.
∴ y ＝x ＋2x ＋1
在(－1，＋∞)上是递减函数．
11. 讨论函数f(x)＝ax
x 2－1(a>0)在x ∈(－1，1)上的单调性．
解：设－1<x 1<x 2<1， 则f(x 1)－f(x 2)＝ax 1x 21－1－ax 2
x 22－1
＝ax 1x 22－ax 1－ax 2x 21＋ax 2（x 21－1）（x 22－1）＝a （x 2－x 1）（x 1x 2＋1）
（x 21－1）（x 22－1）
. ∵ －1<x 1<x 2<1，
∴ x 2－x 1>0，x 1x 2＋1>0，(x 21－1)(x 22－1)>0.
∵ a>0，∴ f(x 1)－f(x 2)>0，即f(x 1)＞f(x 2)． ∴ 函数f(x)在(－1，1)上为减函数． 12. 已知函数f(x)＝1a －1
x (a>0，x>0)．
(1) 求证：f(x)在(0，＋∞)上是单调递增函数；
(2) 若f(x)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上的值域是⎣⎢⎡⎦
⎥⎤12，2，求a 的值． (1) 证明：设x 2>x 1>0，则x 2－x 1>0，x 1x 2>0.
∵ f(x 2)－f(x 1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1x 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1x 1＝1x 1－1x 2
＝x 2－x 1
x 1x 2>0，∴ f(x 2)>f(x 1)，∴ f(x)在(0，
＋∞)上是单调递增函数．
(2) 解：∵ f(x)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上的值域是⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
12，2，
又f(x)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤
12，2上单调递增，
∴ f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝12
，f(2)＝2，解得a ＝25.
13. 已知函数f(x)对任意的m ，n ∈R ，都有f(m ＋n)＝f(m)＋f(n)－1，并且x>0时，
恒有f(x)>1.
(1) 求证：f(x)在R 上是增函数； (2) 若f(3)＝4，解不等式f(a 2＋a －5)<2. (1) 证明：设x 1，x 2∈R ，且x 1<x 2，∴ x 2－x 1>0. ∵ 当x>0时，f(x)>1， ∴ f(x 2－x 1)>1.
f(x 2)＝f[(x 2－x 1)＋x 1]＝f(x 2－x 1)＋f(x 1)－1， ∴ f(x 2)－f(x 1)＝f(x 2－x 1)－1>0，∴f(x 1)<f(x 2)， ∴ f(x)在R 上为增函数．
(2) 解：∵ m ，n ∈R ，不妨设m ＝n ＝1， ∴ f(1＋1)＝f(1)＋f(1)－1⇒f(2)＝2f(1)－1，
f(3)＝4⇒f(2＋1)＝4⇒f(2)＋f(1)－1＝4⇒3f(1)－2＝4， ∴ f(1)＝2，∴ f(a 2＋a －5)<2＝f(1)． ∵ f(x)在R 上为增函数，
∴ a 2＋a －5<1，解得－3<a<2.第4课时 函数的奇偶性及周期性
一、 填空题
1. 已知奇函数f(x)的定义域为(－2a ，a 2－3)，则a ＝________． 答案：3
解析：(－2a)＋(a 2－3)＝0，且⎩
⎪⎨⎪⎧a 2－3＞0，
－2a ＜0.得a ＝3.
2. 若函数f(x)＝x ＋a
x 2＋bx ＋1在[－1，1]上是奇函数，则f(x)的解析式为______________．
答案：f(x)＝x
x 2＋1
解析：∵ f(－x)＝－f(x)，∴ f(－0)＝－f(0)，f(0)＝0，
∴ a 1＝0，∴ a ＝0，即f(x)＝x x 2＋bx ＋1.∵f(－1)＝－f(1)，即－12－b ＝－12＋b ，∴ b ＝0.∴ f(x)＝x
x 2＋1
.
3. 已知函数f(x)是定义在R 上的奇函数，且当x ≥0时，f(x)＝x 2－2x ，则f(x)的解析式为f(x)＝________．
答案：x(|x|－2)
解析：设x ≤0，则－x ≥0，∵ 当x ≥0时，f(x)＝x 2－2x ，
∴ f(－x)＝(－x)2－2(－x)＝x 2＋2x.又f(x)是奇函数，∴ f(－x)＝－f(x)，∴ f(x)＝－(x 2
＋2x)，∴ f(x)＝⎩
⎪⎨⎪⎧x 2－2x （x ≥0），
－x 2－2x （x<0），即f(x)＝x(|x|－2)(x ∈R )．
4. 设f(x)＝g(x)＋5，g(x)为奇函数，且f(－7)＝－17，则f(7)＝________． 答案：27
解析：由f(－7)＝－17得g(－7)＝－22，根据g(x)为奇函数得g(7)＝22，而f(7)＝g(7)＋5，所以f(7)＝22＋5＝27.
5. 设f(x)是定义在R 上的周期为2的函数，当x ∈[－1，1)时，f(x)＝
⎩⎪⎨⎪⎧－4x 2＋2，－1≤x ＜0，x ，0≤x ＜1，
则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝_______．
答案：1
解析：由题意可知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－4×⎝ ⎛⎭
⎪⎫－122
＋2＝1.
6. 定义在(－1，1)上的奇函数f(x)在整个定义域上都是减函数，若f(1－a)＋f(1－3a)＜0，则实数a 的取值范围是____________．
答案：⎝ ⎛⎭
⎪⎫
0，12
解析：原不等式化为f(1－3a)＜－f(1－a)，∵ f(x)是奇函数，∴ －f(1－a)＝f(a －1)，∴ 原不等式化为f(1－3a)＜f(a －1)．
∵ f(x)是减函数，∴ 1－3a ＞a －1，∴ a ＜1
2 ①.
又f(x)的定义域为(－1，1)，
∴ ⎩⎪⎨⎪⎧－1＜1－a ＜1，－1＜1－3a ＜1，
解得0＜a ＜23 ②.
由①和②得实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭
⎪⎫
0，12.
7. 已知f(x)与g(x)都是定义在R 上的奇函数，若F(x)＝af(x)＋bg(x)＋3，且F(－2)＝5，则F(2)＝______．
答案：1
解析：F(－2)＋F(2)＝a[f(－2)＋f(2)]＋b[g(2)＋g(－2)]＋6＝6，∴ F(2)＝1.
8. 若定义在R 上的偶函数f(x)满足f(x ＋1)＝－f(x)，且在[－1，0]上是增函数，给出下列关于f(x)的判断：
① f(x)是周期函数；
② f(x)的图象关于直线x ＝1对称； ③ f(x)在[0，1]上是增函数； ④ f(x)在[1，2]上是减函数； ⑤ f(2)＝f(0)．
其中正确的是________．(填序号) 答案：①②⑤
解析：∵ f(x ＋1)＝－f(x)，∴ f(x)＝－f(x ＋1)＝f(x ＋1＋1)＝f(x ＋2)，∴ f(x)是周期为2的函数，①正确．
∵ f(x ＋2)＝f(x)＝f(－x)，∴ f(x)＝f(2－x)，∴ y ＝f(x)的图象关于直线x ＝1对称，②正确．
∵ f(x)为偶函数，且在[－1，0]上是增函数，
∴ f(x)在[0，1]上是减函数．又f(x)的对称轴为x ＝1，
∴ f(x)在[1，2]上为增函数，且f(2)＝f(0)，故③④错误，⑤正确．
9. 已知函数f(x)是定义在R 上的奇函数，且当x ≤0时，f(x)＝－x 2－3x ，则不等式f(x －1)＞－x ＋4的解集是__________．
答案：{x|x ＞4}
解析：由题意得f(x)＝⎩
⎪⎨⎪⎧－x 2－3x ，x ≤0，
x 2－3x ，x ＞0，
f(x －1)＝⎩⎪⎨⎪⎧－（x －1）2－3（x －1），x －1≤0，
（x －1）2－3（x －1），x －1＞0，
即f(x －1)＝⎩
⎪⎨⎪⎧－x 2－x ＋2，x ≤1，
x 2－5x ＋4，x ＞1.
所以不等式f(x －1)＞－x ＋4可化为
⎩⎪⎨⎪⎧－x 2－x ＋2＞－x ＋4，x ≤1，或⎩⎪⎨⎪⎧x 2－5x ＋4＞－x ＋4，
x ＞1，
解得x ＞4.
10. 设函数f(x)＝x 3＋2x 2，若函数g(x)的图象与f(x)的图象关于点(2，1)对称，则函数g(x)的解析式为____________________．
答案：g(x)＝x 3－14x 2＋64x －94 解析：设P(x ，y)是f(x)图象上任意一点， ∴ y ＝x 3＋2x 2 ①，
P 关于点(2，1)的对称点为Q(x ′，y ′)，
则 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＋x ′
2
＝2，y ＋y ′2
＝1，即⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝4－x ′，y ＝2－y ′，代入①得2－y ′＝(4－x ′)3
＋2(4－x ′)2
，化简得y ′＝(x ′)
3
－14(x ′)2＋64x ′－94，
即g(x)＝x 3－14x 2＋64x －94. 二、 解答题
11. 已知函数y ＝f(x)的定义域为R ，且对任意a ，b ∈R ，都有f(a ＋b)＝f(a)＋f(b)，且当x>0 时，f(x)<0恒成立，求证：
(1) 函数y ＝f(x)是R 上的减函数； (2) 函数y ＝f(x)是奇函数．
证明：(1) 设x 1>x 2，则x 1－x 2>0，而f(a ＋b)＝f(a)＋f(b)，∴ f(x 1)＝f(x 1－x 2＋x 2)＝f(x 1－x 2)＋f(x 2)<f(x 2)，∴ 函数y ＝f(x)是R 上的减函数．
(2) 由f(a ＋b)＝f(a)＋f(b)得f(x －x)＝f(x)＋f(－x)，即f(x)＋f(－x)＝f(0)，而f(0)＝0，∴ f(－x)＝－f(x)，即函数y ＝f(x)是奇函数．
12. 已知f(x)是定义在[－6，6]上的奇函数，f(x)在[0，3]上是x 的一次函数，在[3，6]上是x 的二次函数，且满足f(x)≤f(5)＝3，f(6)＝2，求f(x)的解析式．
解：∵ 函数f(x)在[3，6]上是x 的二次函数，且满足f(x)≤f(5)＝3，∴当 x ∈[3，6]时可设f(x)＝a(x －5)2＋3.由f(6)＝2得a(6－5)2＋3＝2，解得a ＝－1，∴ 当x ∈[3，6]时，f(x)＝－(x －5)2＋3＝－x 2＋10x －22，∴ f(3)＝－9＋30－22＝－1.∵ f(x)在[0，3]上是x 的一次函数，且据奇函数知f(0)＝0，∴ 当x ∈[0，3]时，可设f(x)＝kx(k 为常数)．由f(3)＝－1得3k ＝－1，∴ k ＝－13，∴ 当x ∈[0，3]时，f(x)＝－1
3x ，∴ f(x)＝
⎩⎪⎨
⎪⎧－1
3x ，x ∈[0，3]，
－（x －5）2
＋3，x ∈（3，6].
又f(x)是奇函数，∴ f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧（x ＋5）2－3，x ∈[－6，－3），
－1
3x ，x ∈[－3，3]，
－（x －5）2
＋3，x ∈（3，6].
13. 函数f(x)的定义域为D ＝{x|x ≠0}，且满足对于任意x 1，x 2∈D ，都有f(x 1·x 2)＝f(x 1)＋f(x 2)．
(1) 求f(1)的值；
(2) 判断f(x)的奇偶性并证明你的结论；
(3) 如果f(4)＝1，f(3x ＋1)＋f(2x －6)≤3，且f(x)在(0，＋∞)上是增函数，求x 的取值范围．
解：(1) ∵ 对于任意x 1，x 2∈D ，都有f(x 1·x 2)＝f(x 1)＋f(x 2)，∴ 令x 1＝x 2＝1，得f(1)＝2f(1)，∴ f(1)＝0.
(2) f(x)为偶函数．
令x 1＝x 2＝－1，有f(1)＝f(－1)＋f(－1)，
∴ f(－1)＝1
2f(1)＝0.令x 1＝－1，x 2＝x 有f(－x)＝f(－1)＋f(x)，∴ f(－x)＝f(x)，∴ f(x)
为偶函数．
(3) 依题意有f(4×4)＝f(4)＋f(4)＝2，f(16×4)＝f(16)＋f(4)＝3， ∵ f(3x ＋1)＋f(2x －6)≤3， ∴f((3x ＋1)(2x －6))≤f(64)． ∵ f(x)为偶函数，
∴ f(|(3x ＋1)(2x －6)|)≤f(64)．
∵ f(x)在(0，＋∞)上是增函数，f(x)的定义域为D ， ∴ 0<|(3x ＋1)(2x －6)|≤64.
解上式，得3<x ≤5或－73≤x<－13或－1
3
<x<3.
∴ x 的取值范围是{x ⎪⎪⎪－73
≤x<－13或－13<x<3或3<x ≤5}．第5课时 指数、对数运算
一、 填空题
1. 设a ≥0，计算(3
6
a 9)2·(
63
a 9)2的结果是________．
答案：a 2
解析：在底数不小于零的前提下，幂指数与根指数的公因数可以直接约分．
2. 化简3
2－6227
＋
⎝ ⎛⎭
⎪⎫－3232－3
－（102）2－42的结果是________． 答案：9
解析：先将式子中的根式逐个进行化简，然后进行运算即可．原式＝
3
－8
27＋
⎝ ⎛⎭
⎪⎫－1132－3－216＝－23＋11
3＋6＝9.
点评：对多个根式组成的式子进行化简，我们解题的一般原则：先算根号内的，然后进行根式运算；在进行根式运算时，要注意根指数为奇数的情况，如3
a ：若a>0，则
3a>0；
若a<0，则
3
a<0.但对根指数为偶数的根式，如
a ，只有当a ≥0时，a 才有意义．
3. log 29×log 34＝__________． 答案：4
解析：log 29×log 34＝lg 9lg 2×lg 4lg 3＝2lg 3lg 2×2lg 2
lg 3＝4.
4. 方程1＋3－x
1＋3x ＝3的解是________．
答案：x ＝－1
解析：3－x ·3x ＋3－x
1＋3x ＝3－x ＝3，x ＝－1. 5. 若f(10x )＝x ，则f(5)＝________． 答案：lg 5
解析：由题意得10x ＝ 5，故x ＝lg 5，即f(5)＝lg 5.
6. 设f(x)＝4x
4x ＋2，那么f ⎝ ⎛⎭⎪⎫111＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫211＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫311＋…＋f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫1011的值为________．
答案：5
解析：∵ f(x)＝4x
4x ＋2＝1－2
4x ＋2，∴ f(x)＋f(1－x)＝1－2
4x ＋2＋1－2
41－x ＋2＝2－2
4x
＋2
－241－x ＋2＝2－24x ＋2－4x
2＋4x ＝1.∴ f ⎝ ⎛⎭⎪⎫111＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫211＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫311＋…＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1011＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤
f ⎝ ⎛⎭⎪⎫111＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1011＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫211＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫911＋…＋[f ⎝ ⎛⎭⎪⎫511＋f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
611]＝5. 7. 若对数式log (a －2)(5－a)有意义，则实数a 的取值范围是____________． 答案：(2，3)∪(3，5)
解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a －2＞0，a －2≠1，5－a ＞0，即⎩⎪⎨⎪
⎧a ＞2，
a ≠3，a ＜5，∴ 2<a<5且a ≠3.
8. 已知a 23＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫2
32(a ＞0)，则log 23a ＝________．
答案：3
解析：由a 2
3＝4
9得a ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫4932＝[(23)2]32＝(23)3，所以log 23
a ＝3.
9. 若a ＝ln 22，b ＝ln 33，c ＝ln 5
5，则a ，b ，c 的大小顺序是___________.
答案：c<a<b 解析：a ＝ln 2，b ＝ln 3
3，c ＝ln 55，则
55＝
10
52，2＝
10
25，∴
55<
2.
又
2＝
68，
3
3＝
6
9，∴ 33>
2.故c ＜a ＜b.
二、 解答题
10. 已知a ＝27，b ＝52，求
a 3
2
b 2
－9b 43a 32b －2－6a 34b －1
3
＋9b 4
3·b 3
a 34＋3
b 53
的值． 解：由于a 32b －2－6a 3
4b －1
3
＋9b 43＝(a 34b －1－3b 23)2，且a 34<a<b<3b 53，∴ a 34b －1<3b 23，
∴ 原式＝
a 3
2－9b 103
（3b 2
3－a 3
4b －1）2·
b a 3
4＋3b 5
3
＝
（a 3
4＋3b 53）（a 34－3b 53）b （3b 23－a 34b －1）（a 3
4＋3b 5
3）
＝
（a 34－3b 53）b 3b 2
3－a 3
4b －1
＝－b 2＝－50.
11. 已知a ＞1，且a ＋a －1＝3，求下列各式的值． (1) a 1
2－a －1
2；
(2) a －a －1；
(3) （a 12－a －1
2
）（a 2＋a －2－4）
a 4－a －4.
解：(1) (a 12－a －1
2)2＝a ＋a －1－2＝1.
∵ a ＞1，∴ a 12－a －1
2
＝1.
(2) 由a ＋a －1＝3，得a 2＋a －2＋2＝9，即a 2＋a －2＝7， ∴ (a －a －1)2＝a 2＋a －2－2＝5. ∵ a ＞1，∴ a －a －1＝
5.
(3)
（a 1
2－a －1
2
） （a 2＋a －2－4）
a 4－a －4
＝
（a 1
2－a －1
2
）（a 2＋a －2－4）
（a －a －1）（a ＋a －1）（a 2＋a －2）＝1×（7－4）5×3×7
＝535.
12. 设x>1，y>1，且2log x y －2log y x ＋3＝0，求T ＝x 2－4y 2的最小值．
解：因为x>1，y>1，所以log x y>0.令t ＝log x y ，则log y x ＝1t .所以原式可化为2t －2t ＋
3＝0，解得t ＝12或t ＝－2(舍去)，即log x y ＝1
2，所以y ＝
x.所以T ＝x 2－4y 2＝x 2－4x ＝
(x －2)2－4，由于x>1，所以当x ＝2，y ＝
2时，T 取最小值，最小值为－4.
13. 设log a C ，log b C 是方程x 2－3x ＋1＝0的两根，求log a b
C 的值．
解：依题意，得⎩
⎪⎨⎪⎧log a C ＋log b C ＝3，
log a C ×log b C ＝1，
从而⎩
⎪⎨⎪
⎧1
log C a ＋1
log C b ＝3，1log C a ×1log C b
＝1.即⎩⎪⎨⎪⎧log C a ＋log C b ＝3，
log C a ×log C b ＝1.
所以(log C a －log C b)2＝(log C a ＋log C b)2－4log C a ×log C b ＝32－4＝5，所以 log C a －
log C b ＝±
5.又log a b C ＝1
log C
a b
＝1
log C a －log C b ＝±55，所以log a b C 的值为±5
5
.
点评：本题将对数运算、换底公式、根与系数的关系综合于一起，是对学生数学运算能力、应用能力的综合考查．如何利用对数的运算性质，在已知条件和待求的式子间建立联系
是解决本题的关键．第6课时 指 数 函 数
一、 填空题 1. 函数f(x)＝
2x －4的定义域为__________．
答案：[2，＋∞)
解析：由2x －4≥0，得x ≥2.
2. 函数y ＝3－|x －2|的单调递增区间是__________． 答案：(－∞，2]
解析：y ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫13|x －2|
，t ＝|x －2|的单调减区间(－∞，2]就是所给函数的单调增区间．
3. 函数y ＝e x －1
e x ＋1的值域是________．
答案：(－1，1)
解析：y ＝e x －1e x ＋1，则e x ＝1＋y
1－y
>0，则－1<y<1.
4. 若指数函数y ＝a x 在[－1，1]上的最大值与最小值的差是1，则底数a ＝____________． 答案：
5±12
解析：若0＜a ＜1，则a －1－a ＝1，即
a 2＋a －1＝0，解得
a ＝
－1＋
52
或a ＝
－1－5
2
(舍去)；若a ＞1，则
a －a －1＝1，即a 2－a －1＝0，解得
a ＝1＋52或a ＝1－5
2
(舍去)．
综上，a ＝
5±12
.
5. 要使g(x)＝3x ＋1＋t 的图象不经过第二象限，则实数t 的取值范围是_________． 答案：t ≤－3
解析：要使g(x)＝3x ＋1＋t 的图象不经过第二象限，只要g(0)＝31＋t ≤0，即t ≤－3. 6. 函数y ＝3x 与y ＝－3－x 的图象关于__________对称． 答案：原点
解析：由y ＝－3－x 得－y ＝3－x ，(x ，y)→(－x ，－y)，即关于原点对称．
7. 若关于x 的方程⎝ ⎛⎭
⎪⎫34x ＝3a ＋2
5－a 有负根，则实数a 的取值范围是________．
答案：⎝ ⎛⎭
⎪⎫34，5
解析：函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫34x 的定义域为R ，由于方程⎝ ⎛⎭
⎪⎫34x ＝3a ＋25－a 有负根，所以应有3a ＋2
5－a >1，
解得3
4
<a<5.
8. 已知函数y ＝a 2x ＋2a x －1(a ＞0且a ≠1)在区间[－1，1]上的最大值是14，则a ＝__________．
答案：3或1
3
解析：设t ＝a x ，t ∈(0，＋∞)，则y ＝t 2＋2t －1＝(t ＋1)2－2＝f(t)，对称轴方程为t ＝－1.
当0＜a ＜1时，∵ －1≤x ≤1，∴ a ≤t ≤1
a ，此时，y 关于t 单调递增，∴ y max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝1a
2
＋2a －1＝14，即1a 2＋2a －15＝0，∴ a ＝13或a ＝－1
5
(舍去)； 当a ＞1时，∵ －1≤x ≤1，∴ 1
a ≤t ≤a ，此时，y 关于t 单调递增，∴ y max ＝f(a)＝a 2＋
2a －1＝14，即a 2＋2a －15＝0，
∴ a ＝3或a ＝－5(舍去)． 综上，a ＝3或a ＝1
3
.
9. 设函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －1，x ＜1，
2x ， x ≥1.
则满足f(f(a))＝2f(a)时a 的取值范围是____________．
答案：⎣⎢⎡⎭
⎪⎫23，＋∞
解析：由f(f(a))＝2f(a)可知f(a)≥1，则⎩⎪⎨⎪⎧a ≥1，2a ≥1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＜1，
3a －1≥1，
解得a ≥23.
二、 解答题
10. 求函数y ＝4x －2·2x ＋5，x ∈[0，2]的最大值和最小值．
解：令t ＝2x ，则t ∈[1，4]．y ＝t 2－2t ＋5，t ∈[1，4]．∵ y ＝t 2－2t ＋5在区间t ∈[1，4]上是单调递增函数，∴ t ＝1即x ＝0时，y 有最小值4，t ＝4即x ＝2时，y 有最大值13.
11. 已知f(x)＝x ⎝
⎛⎭⎪⎫
12x
－1＋12(x ≠0)． (1) 判断f(x)的奇偶性； (2) 求证：f(x)>0.
(1) 解：∵f(x)＝x ⎝ ⎛⎭
⎪⎫12x －1＋12＝x 2·2x ＋1
2x －1， f(－x)＝－x 2·2－x ＋12－x －1＝x 2·2x ＋1
2x －1＝f(x)，
∴ f(x)为偶函数．
(2) 证明：f(x)＝x 2·2x ＋1
2x －1，当x>0时，2x －1>0，即f(x)>0；当x<0时，2x －1<0，
即f(x)>0，∴ f(x)>0.
12. 已知9x －10·3x ＋9≤0，求函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14x －1－4·⎝ ⎛⎭
⎪⎫12x
＋2的最大值和最小值．
解：由9x －10·3x ＋9≤0得(3x －1)(3x －9)≤0， 解得1≤3x ≤9，∴ 0≤x ≤2.
令⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＝t ，则1
4≤t ≤1，y ＝4t 2－4t ＋2＝4⎝ ⎛⎭
⎪⎫t －122＋1，
当t ＝1
2时，y min ＝1，此时，x ＝1；
当t ＝1时，y max ＝2，此时，x ＝0.
13. 已知函数f(x)＝2x (x ∈R )，且f(x)＝g(x)＋h(x)，其中g(x)为奇函数，h(x)为偶函数． (1) 求g(x)，h(x)的解析式；
(2) 若不等式2a ·g(x)＋h(2x)≥0对任意x ∈[1，2]恒成立，求实数a 的取值范围．
解：(1) 由⎩⎪⎨⎪⎧f （x ）＝g （x ）＋h （x ）＝2x ，f （－x ）＝g （－x ）＋h （－x ）＝2－x
，
得⎩⎪⎨⎪⎧g （x ）＋h （x ）＝2x ，－g （x ）＋h （x ）＝2－x
，
解得g(x)＝12(2x －2－x )，h(x)＝1
2
(2x ＋2－x )．
(2) 由2a ·g(x)＋h(2x)≥0，得a(2x －2－x )＋1
2
(22x ＋2－2x )≥0对任意x ∈[1，2]恒成立．令
t ＝2x －2－x ，由于
t 在x ∈[1，2]上单调递增，所以
t ＝2x －2－x ∈
⎣⎢⎡⎦⎥⎤
32，154.因为22x ＋2－2x ＝(2x －2－x )2＋2＝t 2＋2，所以a ≥－t 2＋22t ＝－12⎝ ⎛⎭⎪⎫
t ＋2t 在t ∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤32，154上恒成立．设φ(t)＝－
12⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋2t ，t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，154，由φ′(t)＝－12⎝ ⎛
⎭⎪⎫1－2t 2＝2－t 22t 2<0，知φ(t)在t ∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤32，154上为单调减函
数，所以[φ(t)]max ＝φ⎝ ⎛⎭
⎪⎫32＝－1712，所以a ≥－17
12.
第7课时 对 数 函 数
一、 填空题
1. 在下列四个图象中，能够表示函数y ＝a x 与y ＝－log a x(a>0，a ≠1)在同一坐标系中的图象的是________．(填序号)
答案：①
解析：将y ＝－log a x(a>0，a ≠1)首先改为y ＝log 1a
x(a>0，a ≠1)，结合函数的定义域首先排除②，当a>1时，0<1
a
<1，函数y ＝a x 单调递增，y ＝log 1a x 单调递减，①中图象正
确，③中图象错误，当0<a<1时，1
a
>1，函数y ＝a x 单调递减，y ＝log 1a x 单调递增，④中
图象错误．
2. 函数y ＝ln(x 2－x －2)的定义域是________． 答案：(－∞，－1)∪(2，＋∞)
解析：由x 2－x －2＞0，解得x ＞2或x<－1. 3. 函数f(x)＝log 2(－x 2＋2
2)的值域为________．
答案：⎝
⎛⎦⎥⎤－∞，32
解析：由－x 2＋22≤2
2，得f(x)≤log 22
2＝3
2，函数f(x)的值域为⎝
⎛⎦⎥⎤－∞，32.
4. 函数f(x)＝1－2log 6x 的定义域为__________．
答案：(0，
6]
解析：由1－2log 6x ≥0，得log 6x ≤1
2
，即0＜x ≤
6，故所求的定义域为(0，
6]．
5. 函数y ＝ln(1－x)的图象大致为________．(填序号)
答案：③
解析：由1－x>0，知x<1，排除①②；设t ＝1－x(x<1)，因为t ＝1－x 为减函数，而y ＝ln t 为增函数，所以y ＝ln(1－x)为减函数，故选③.
6. 已知函数y ＝log 12
(x 2－2kx ＋k)的值域为R ，则实数k 的取值范围是____________．
答案：(－∞，0]∪[1，＋∞)
解析：要想满足题意，则t ＝x 2－2kx ＋k 要能取到所有正实数，抛物线要与坐标轴有交点，所以Δ＝4k 2－4k ≥0，解得k ≥1或k ≤0.
7. 已知3是不等式log a (1＋x)＞log a (2x ＋3)的一个解，则此不等式的解集为____________．
答案：{x|x ＞－1}
解析：将x ＝3代入不等式log a (1＋x)＞log a (2x ＋3)，得log a 4＞log a 9，则0<a<1. 可得⎩⎪⎨⎪
⎧1＋x ＞0，2x ＋3＞0，1＋x ＜2x ＋3，解得x ＞－1.
则不等式的解集为{x|x ＞－1}．
8. 设f(x)＝lg ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
21－x ＋a 是奇函数，且在x ＝0处有意义，则使f(x)＜0的x 的取值范围是________．
答案：(－1，0)
解析：∵ f(x)为奇函数，且在x ＝处有意义，∴ f(0)＝0，解得a ＝－1. ∴ f(x)＝lg 1＋x 1－x .令f(x)<0，则0<1＋x
1－x <1，
∴ x ∈(－1，0)．
9. 若函数y ＝log 2(x 2－ax －a)在区间(－∞，1－3)上是减函数，则实数a 的取值范围
是________．
答案：[2－2
3，2]
解析：令u ＝g(x)＝x 2－ax －a ，∵ 函数y ＝log 2u 在区间(－∞，1－3)上为单调增函
数，∴ u ＝g(x)＝x 2－ax －a 在区间(－∞，1－
3)上是单调减函数，且满足u>0，∴
⎩⎪⎨⎪⎧a 2≥1
－3，g （1－
3）≥0，
解得2－23≤a ≤2.
二、 解答题
10. 已知函数f(x)＝log 12
(x 2－2ax ＋3)．
(1) 若函数f(x)的定义域为(－∞，1)∪(3，＋∞)，求实数a 的值； (2) 若函数f(x)的定义域为R ，值域为(－∞，－1]，求实数a 的值； (3) 若函数f(x)在(－∞，1]上为单调增函数，求实数a 的取值范围．
解：(1) 由x 2－2ax ＋3>0的解集为(－∞，1)∪(3，＋∞)，得2a ＝1＋3，所以a ＝2，即实数a 的值为2.
(2) 因为f(x)的定义域为R ，所以y ＝x 2－2ax ＋3＞0在R 上恒成立．由Δ＜0，得－3
＜a ＜
3，又f(x)的值域为(－∞，－1]，则f(x)max ＝－1，所以y ＝x 2－2ax ＋3的最小值为
y min ＝2，由y ＝x 2－2ax ＋3＝(x －a)2＋3－a 2，得3－a 2＝2，所以a 2＝1，所以a ＝±1.
(3) f(x)在(－∞，1]上为单调增函数，则y ＝x 2－2ax ＋3在(－∞，1]上为单调减函数，且y>0，
所以⎩⎪⎨⎪⎧a ≥1，1－2a ＋3>0，即⎩
⎪⎨⎪⎧a ≥1，
a<2，即1≤a<2.
所以实数a 的取值范围是[1，2)．
11. 已知f(x)＝log a x(a>0且a ≠1)．如果对于任意的x ∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
13，2都有|f(x)|≤1成立，试
求a 的取值范围．
解：因为f(x)＝log a x ，所以y ＝|f(x)|的图象如图．
由图知，要使x ∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
13，2时恒有|f(x)|≤1，
只需⎪⎪⎪⎪
⎪⎪f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13≤1，即－1≤log a 1
3≤1，
即
log a a －1≤log a
1
3
≤log a a. 当a>1时，得a －1≤
1
3
≤a ，即a ≥3； 当0<a<1时，得a －1≥
13≥a ，即0<a ≤13
.
综上所述，a 的取值范围是⎝ ⎛⎦
⎥⎤
0，13∪[3，＋∞)．
12. 已知f(x)＝2＋log 3x ，x ∈[1，9]，求y ＝f 2(x)＋f(x 2)的最大值及y 取最大值时x 的值．
解：∵ f(x)＝2＋log 3x ，
∴ y ＝f 2(x)＋f(x 2)＝(2＋log 3x)2＋2＋log 3x 2＝(log 3x)2＋6log 3x ＋6＝(log 3x ＋3)2－3. ∵ 函数f(x)的定义域为[1，9]，
∴ 要使函数y ＝f 2(x)＋f(x 2)有意义，必须使⎩
⎪⎨⎪⎧1≤x 2≤9，
1≤x ≤9，
∴ 1≤x ≤3，∴ 0≤log 3x ≤1， ∴ 6≤(log 3x ＋3)2－3≤13.
当log 3x ＝1，即x ＝3时，y max ＝13.
∴ 当x ＝3时，函数y ＝f 2(x)＋f(x 2)取最大值13.
13. 已知函数f(x)＝log a (x ＋1)－log a (1－x)，a>0且a ≠1. (1) 求f(x)的定义域；
(2) 判断f(x)的奇偶性并予以证明； (3) 若a>1，求使f(x)>0的x 的解集．
解：(1) f(x)＝log a (x ＋1)－log a (1－x)，则⎩
⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，
1－x>0，解得－1<x<1.故所求函数f(x)的
定义域为{x|－1<x<1}．
(2)由(1)知f(x)的定义域为{x|－1<x<1}，且f(－x)＝log a (－x ＋1)－log a (1＋x)＝－[log a (x ＋1)－log a (1－x)]＝－f(x)，故f(x)为奇函数．
(3) 因为当a>1时，f(x)在定义域{x|－1<x<1}内是增函数，所以f(x)>0，即x ＋1
1－x >1，
解得0<x<1.
所以使f(x)>0的x 的解集是{x|0<x<1}．第8课时 二次函数与幂函数
一、 填空题
1. 函数y ＝x 2＋bx ＋c(x ∈[0，＋∞))是单调函数，则b 的取值范围是____________． 答案：[0，＋∞)
解析：考虑对称轴和区间端点，结合二次函数图象易得－b
2
≤0，故b ≥0.
2. 若函数f(x)是幂函数，且满足f （4）
f （2）＝3，则f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫12的值为________．
答案：1
3
解析：依题意设f(x)＝x α(α∈R )，则有4α
2
α＝3，即2α＝3，得α＝log 23，则f(x)＝xlog 23，
于是f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫12log 23＝2－log 23＝2log 213＝13.
3. 已知n ∈{－1，0，1，2，3}，若⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n >⎝ ⎛⎭
⎪⎫－15n
，则n 的值为________．
答案：－1或2
解析：可以逐一进行检验，也可利用幂函数的单调性求解．
4. 已知函数f(x)＝ax 2＋(1－3a)x ＋a 在区间[1，＋∞)上单调递增，则实数a 的取值范围是________．
答案：[0，1]
解析：若a ＝0，则f(x)＝x ，满足题意；若a ≠0，则a ＞0且－1－3a
2a ≤1，解得0＜a ≤
1，所以0≤a ≤1.
5. 已知a ＝x α，b ＝x α
2，c ＝x 1
α，x ∈(0，1)，α∈(0，1)，则a ，b ，c 的大小顺序是__________．
答案：c<a<b
解析：∵ α∈(0，1)，∴ 1
α>α>α
2
.又∵ x ∈(0，1)，∴ x 1α<x α<x α
2，即c<a<b.
6. 若函数y ＝x 2－3x －4
的定义域为[0，m]，值域为⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
－254，－4，则m 的取值范围
是________．
答案：⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
32，3
解析：因为函数
y ＝x 2－3x －4
即y ＝(x －32)2－254，其图象的对称轴为直线x ＝32
，其最小值为－25
4，并且当x ＝0及x ＝3时，y ＝－4，若定义域为[0，m]，值域为⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－254，－4，
则3
2
≤m ≤3. 7. 已知幂函数f(x)＝xm 2－2m －2(m ∈N )为奇函数且在区间(0，＋∞)上是单调减函数，则m ＝________．
答案：1
解析：由幂函数f(x)＝xm 2－2m －2在区间(0，＋∞)上是单调减函数，得m 2－2m －2<0，又m ∈N ，故m ＝0，m ＝1，m ＝2，当m ＝0和2时，f(x)＝x －2为偶函数，当m ＝1时，f(x)＝x －3为奇函数，故m ＝1.
8. 设函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－2， x ＞0，x 2＋bx ＋c ，x ≤0.
若f(－4)＝f(0)，f(－2)＝0，则关于x 的不等式
f(x)≤1的解集为____________．
答案：{x|－3≤x ≤－1或x>0}
解析：由f(－4)＝f(0)，得b ＝4.又f(－2)＝0，可得c ＝4，∴ ⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，x 2＋4x ＋4≤1或⎩
⎪⎨
⎪⎧x ＞0，
－2≤1，可得－3≤x ≤－1或x>0.
9. 如图，已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a ，b ，c 为实数，a ≠0)的图象过点C(t ，2)，且与x 轴交于A ，B 两点．若AC ⊥BC ，则a ＝________．
答案：－1
2
解析：设y ＝a(x －x 1)(x －x 2)，由图象过点C(t ，2)可得a(t －x 1)(t －x 2)＝2.又AC ⊥BC ，
利用斜率关系得2t －x 1·2t －x 2＝－1，所以a ＝－1
2
.
二、 解答题
10. 已知函数h(x)＝(m 2－5m ＋1)x m ＋1为幂函数，且为奇函数． (1)求m 的值；
(2)求函数g(x)＝h(x)＋1－2h （x ）在x ∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
0，12上的值域．
解：(1)∵ 函数h(x)＝(m 2－5m ＋1)x m ＋1为幂函数， ∴m 2－5m ＋1＝1，解得m ＝0或5. ∵函数h(x)为奇函数，∴m ＝0.
(2)由(1)可知h(x)＝x ，∴ g(x)＝x ＋1－2x ，x ∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
0，12.
令
1－2x ＝t ，则t ∈[0，1]，g(x)＝f(t)＝－12t 2＋t ＋1
2，可求得其值域为⎣⎢⎡⎦
⎥⎤12，1.从而函数g(x)在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12上的值域为⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
12，1.
11. 已知关于x 的函数y ＝(m ＋6)x 2＋2(m －1)x ＋m ＋1的图象与x 轴总有交点． (1) 求m 的取值范围；
(2) 若函数图象与x 轴的两个交点的横坐标的倒数和等于－4，求m 的值．
解：(1) 当m ＋6＝0，即m ＝－6时，函数y ＝－14x －5与x 轴有一个交点；当m ＋6≠0，即m ≠－6
时，有Δ＝4(m －1)2－4(m ＋6)(m ＋1)＝4(－9m －5)≥0，解得
m ≤－5
9
，
即当m ≤－5
9
且m ≠－6时，函数图象与x 轴有一个或两个交点．
综上可知，当m ≤－5
9
时，此函数的图象与x 轴总有交点．
(2) 设x 1，x 2是方程(m ＋6)x 2＋2(m －1)x ＋m ＋1＝0的两个根，则x 1＋x 2＝－2（m －1）m ＋6，x 1x 2＝m ＋1m ＋6.∵ 1x 1＋1x 2＝－4，即x 1＋x 2x 1x 2＝－4，∴ －2（m －1）
m ＋1＝－4，解得
m ＝－3.当m ＝－3时，m ＋6≠0，Δ>0，符合题意，∴ m 的值是－3.
12. 已知函数f(x)＝ax －32x 2的最大值不大于16，又当x ∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤14，12时，f(x)≥1
8，求实数a 的值．
解：f(x)＝－32⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a 32＋16a 2，f(x)max ＝16a 2≤16
，得－1≤a ≤1，函数f(x)的对称轴是直线
x ＝a 3.当－1≤a<34时，f(x)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，12上单调递减，而f(x)≥1
8，即f(x)min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝a 2－38≥18
，即a ≥1，与－1≤a<34矛盾，即不存在；当34≤a ≤1时，14≤a 3≤13，且13<14＋
1
22＝3
8，即f(x)min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪
⎫12＝a
2－38≥18，即a ≥1，又3
4≤a ≤1，故a ＝1.综上，a ＝1. 13. 设f(x)＝－1
4x 2＋x ＋2k ⎝
⎛⎭⎪⎫k ∈R ，k ≤32，是否存在实数m ，n(m<n)，使得当x ∈[m ，
n]时，f(x)的值域恰好为[2m ，2n]？若存在，求出m ，n 的值，若不存在，请说明理由．
解：f(x)＝－1
4
(x －2)2＋2k ＋1，当x ∈R 时，f(x)max ＝2k ＋1，从而2n ≤2k ＋1≤4，故
n ≤2.f(x)在[m ，n]上单调递增，从而⎩⎪⎨⎪⎧f （m ）＝2m ，f （n ）＝2n ，即⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋4m －8k ＝0，
n 2
＋4n －8k ＝0.
显然m ，n 是
关于t 的方程t 2＋4t －8k ＝0的两个根．Δ＝16＋32k ，
(1) 当Δ<0，即k<－1
2
时，方程无实根；
(2) 当Δ＝0，即k ＝－1
2
时，方程有两个相等实根，即m ＝n 与m<n 矛盾；
(3) 当Δ>0，即32≥k>－12时，方程有两个不等实根，且⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－2－21＋2k ，
n ＝－2＋21＋2k.
综上，当k ≤－12时，不存在这样的m ，n ；当32≥k>－1
2
时，方程有两不等实根，
且⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－2－21＋2k ，
n ＝－2＋21＋2k.。