冀教版初中数学八年级上册《17.2 直角三角形》同步练习卷

冀教新版八年级上学期《17.2 直角三角形》
同步练习卷
一．选择题（共20小题）
1．已知非直角三角形ABC中，∠A＝45°，高BD与CE所在直线交于点H，则∠BHC的度数是（）
A．45°B．45°或135°C．45°或125°D．135°
2．下列说法，正确的是（）
A．等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合
B．与三角形三个顶点距离相等的点是三边垂直平分线的交点
C．三角形一边上的中线将三角形分成周长相等的两个三角形
D．直角三角形中两锐角平分线形成的夹角是135°
3．在△OAB中，∠O＝90°，∠A＝35°，则∠B＝（）
A．35°B．55°C．65°D．145°
4．在一个直角三角形中，有一个锐角等于45°，则另一个锐角的度数是（）A．75°B．60°C．45°D．30°
5．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，CE平分∠ACD交AB于E，则下列结论一定成立的是（）
A．BC＝EC B．EC＝BE C．BC＝BE D．AE＝EC
6．已知∠A，∠B为直角△ABC两锐角，∠B＝54°，则∠A＝（）A．60°B．36°C．56°D．46°
7．直角三角形的一个锐角∠A是另一个锐角∠B的3倍，那么∠B的度数是（）A．22.5°B．45°C．67.5°D．135°
8．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝35°，则∠A＝（）A．45°B．55°C．65°D．75°
9．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝70°，则∠B的度数为（）
10．Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝54°，则∠A的度数是（）A．66°B．36°C．56D．46°
11．把两个同样大小的含45°角的三角尺按如图所示的方式放置，其中一个锐角顶点与另一个的直角顶点重合于点A，且另外三个锐角顶点B，C，D在同一条直线上，若AB＝，则CD的长为（）
A．+1B．C．﹣1D．
12．如图，小聪用下面的方法检测教室的房架是否水平：在等腰直角三角尺斜边中点拴一条线绳，线绳的另一端挂一个铅锤，把这块三角尺的斜边贴在房梁上，结果线绳经过三角尺的直角顶点，小聪由此确信房架是水平的，他判断的依据是（）
A．两点之间，线段最短
B．两点确定一条直线
C．三角形具有稳定性
D．等腰三角形底边上的中线和底边上的高线互相重合
13．如图，直线m∥n，等腰直角三角板ABC的顶点A在直线m上，则∠α等于（）
14．如图，△ABC是腰长为2的等腰直角三角形，△BCD是直角三角形，且∠D＝30°，则两个三角形重叠部分（△OBC）的面积是（）
A．3﹣B．2﹣C．1D．1+
15．等腰直角三角形的底边长为5cm，则它的面积是（）
A．25cm2B．12.5cm2C．10cm2D．6.25cm2 16．如图，一块直尺与缺了一角的等腰直角三角形如图摆放，若∠1＝115°，则下列结论：
①∠2＝60°
②∠2＝∠4
③∠2与∠3互余
④∠2与∠4互补
其中正确的个数是（）
A．4B．3C．2D．1
17．把一块等腰直角三角尺和直尺如图放置，如果∠1＝35°，则∠2的度数为（）
18．在△ABC中，已知∠A、∠B、∠C的度数之比是1：1：2，BC＝4，△ABC 的面积为（）
A．2B．C．4D．8
19．如图，两条直线l1∥l2，Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝BC，顶点A、B分别在l1和l2上，∠1＝20°，则∠2的度数是（）
A．45°B．55°C．65°D．75°
20．如图，等腰直角三角形的顶点A、C分别在直线a、b上，若a∥b，∠1＝30°，则∠2的度数为（）
A．30°B．15°C．10°D．20°
二．填空题（共17小题）
21．△ABC中，AC＝BC，∠C＝90°，在△ABC外有一点P，且P A⊥PB，则∠APC的度数是度．
22．如图，在Rt△ABC中，AB＝BC＝1，∠ABC＝90°，点A，B在数轴上对应的数分别为1，2．以点A为圆心，AC长为半径画弧，交数轴的负半轴于点D，则与点D对应的数是．
23．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝4，D是BC的中点，点E 在BA的延长线上，连接ED，若AE＝2，则DE的长为．
24．如图，把等腰直角三角尺与直尺重叠，则∠1+∠2＝．
25．将一个等腰直角三角形的直角顶点和一个锐角顶点按如图方式分别放在直线a，b上，若a∥b，∠1＝16°，则∠2的度数为．
26．已知：在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝3，点D，E都在边AB上，
＝6，则线且AD＝BE，过点D作DF⊥AC于点F，连接CD，CE，若S
△CDE 段CF的长为．
27．如图所示的图形由4个等腰直角形组成，其中直角三角形（1）的腰长为1cm，则直角三角形（4）的斜边长为．
28．在直角三角形中，一个锐角为38°，则另一个锐角等于°．29．如图，Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝4，AC＝6，D、E分别是AB、AC边上的动点，且CE＝3BD，则△BDE面积的最大值为．
30．在直角三角形中，一个锐角是另一个锐角的4倍，则较小锐角的度数为度．
31．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，CD是高，图中哪两个锐角一定相等？写出一组：．
32．在直角三角形中，一个锐角比另外一个锐角的3倍还多10°，则这两个角分别为
33．如图△ABC中，点M是BC的中点，∠ACB＝90°，AC＝5，BC＝12，AN 平分∠BAC，AN⊥CN，则MN＝．
34．若直角三角形的两个锐角之差为34°，则此三角形较小锐角的度数为．
35．如图，已知∠AON＝40°，OA＝6，点P是射线ON上一动点，当△AOP为直角三角形时，∠A＝°．
36．直角三角形中两锐角平分线相交所成的角的度数是．
37．如图，在直角三角形ABC中，两锐角平分线AM、BN所夹的钝角∠AOB＝度．
三．解答题（共3小题）
38．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，CD⊥AB于D，P是线段CD上一个动点，以P为直角顶点向下作等腰Rt△BPE，连接AE、DE．（1）∠BAE的度数是否为定值？若是，求出∠BAE的度数；若不是，说明理由．（2）直接写出DE的最小值．
39．（1）如图（1），将两块直角三角尺叠放在一起，并且它们的直角顶点C重合，请比较∠ACE和∠DCB的大小，并说明理由；
（2）如图（2），若是将等腰直角三角尺的直角顶点和另一把直角三角尺的60°角的顶点A重合，将三角板ADE绕点A旋转，旋转过程中三角板ADE的边AD始终在∠BAC的内部，试探索：在旋转过程中，∠CAE与∠BAD的差是否发生变化？若不变，请求出这个差值；若变化，请求出差的变化范围．
40．如图，在△ACB中，∠ACB＝90°，D、E为斜边AB上的两点，且BD＝BC，AE＝AC，求∠DCE的度数．
冀教新版八年级上学期《17.2 直角三角形》2018年同步
练习卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共20小题）
1．已知非直角三角形ABC中，∠A＝45°，高BD与CE所在直线交于点H，则∠BHC的度数是（）
A．45°B．45°或135°C．45°或125°D．135°
【分析】①△ABC是锐角三角形时，先根据高线的定义求出∠ADB＝90°，∠BEC＝90°，然后根据直角三角形两锐角互余求出∠ABD，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式进行计算即可得解；
②△ABC是钝角三角形时，根据直角三角形两锐角互余求出∠BHC＝∠A，从而
得解．
【解答】解：①如图1，△ABC是锐角三角形时，
∵BD、CE是△ABC的高线，
∴∠ADB＝90°，∠BEC＝90°，
在△ABD中，∵∠A＝45°，
∴∠ABD＝90°﹣45°＝45°，
∴∠BHC＝∠ABD+∠BEC＝45°+90°＝135°；
②如图2，△ABC是钝角三角形时，
∵BD、CE是△ABC的高线，
∴∠A+∠ACE＝90°，∠BHC+∠HCD＝90°，
∵∠ACE＝∠HCD（对顶角相等），
∴∠BHC＝∠A＝45°．
综上所述，∠BHC的度数是135°或45°．
故选：B．
【点评】本题主要考查了直角三角形的性质，三角形的内角和定理，三角形的高线，难点在于要分△ABC是锐角三角形与钝角三角形两种情况讨论，作出图形更形象直观．
2．下列说法，正确的是（）
A．等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合
B．与三角形三个顶点距离相等的点是三边垂直平分线的交点
C．三角形一边上的中线将三角形分成周长相等的两个三角形
D．直角三角形中两锐角平分线形成的夹角是135°
【分析】由三线合一的条件可知A不正确，由三角形垂直平分线的性质可知B 正确，由三角形的中线可知C错误，根据直角三角形的性质判断D错误，可得出答案．
【解答】解：A、等腰三角形底边上的高、中线、顶角的角平分线互相重合，错误；
B、与三角形三个顶点距离相等的点是三边垂直平分线的交点，正确；
C、三角形一边上的中线将三角形分成面积长相等的两个三角形，错误；
D、直角三角形中两锐角平分线形成的夹角是135°或45°，错误；
故选：B．
【点评】本题主要考查等腰三角形的性质及直角三角形的性质，掌握等腰三角形和直角三角形的性质是解题的关键．
3．在△OAB中，∠O＝90°，∠A＝35°，则∠B＝（）
A．35°B．55°C．65°D．145°
【分析】直接利用三角形的内角和的性质分析得出答案．
【解答】解：∵在△OAB中，∠O＝90°，∠A＝35°，
∴∠B＝90°﹣35°＝55°．
故选：B．
【点评】此题主要考查了直角三角形的性质，正确掌握三角形内角和定理是解题关键．
4．在一个直角三角形中，有一个锐角等于45°，则另一个锐角的度数是（）A．75°B．60°C．45°D．30°
【分析】根据直角三角形两锐角互余即可解决问题；
【解答】解：∵直角三角形两锐角互余，
∴另一个锐角的度数＝90°﹣45°＝45°，
故选：C．
【点评】本题考查直角三角形的性质，记住直角三角形两锐角互余是解题的关键．5．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，CE平分∠ACD交AB于E，则下列结论一定成立的是（）
A．BC＝EC B．EC＝BE C．BC＝BE D．AE＝EC
【分析】根据同角的余角相等可得出∠BCD＝∠A，根据角平分线的定义可得出∠ACE＝∠DCE，再结合∠BEC＝∠A+∠ACE、∠BCE＝∠BCD+∠DCE即可得出∠BEC＝∠BCE，利用等角对等边即可得出BC＝BE，此题得解．
【解答】解：∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，
∴∠ACD+∠BCD＝90°，∠ACD+∠A＝90°，
∴∠BCD＝∠A．
∵CE平分∠ACD，
∴∠ACE＝∠DCE．
又∵∠BEC＝∠A+∠ACE，∠BCE＝∠BCD+∠DCE，
∴∠BEC＝∠BCE，
∴BC＝BE．
【点评】本题考查了直角三角形的性质、三角形外角的性质、余角、角平分线的定义以及等腰三角形的判定，通过角的计算找出∠BEC＝∠BCE是解题的关键．
6．已知∠A，∠B为直角△ABC两锐角，∠B＝54°，则∠A＝（）A．60°B．36°C．56°D．46°
【分析】根据直角三角形中，两个锐角互余计算即可．
【解答】解：∵∠A，∠B为直角△ABC两锐角，
∴∠A＝90°﹣∠B＝36°，
故选：B．
【点评】本题考查的是直角三角形的性质，掌握直角三角形中，两个锐角互余是解题的关键．
7．直角三角形的一个锐角∠A是另一个锐角∠B的3倍，那么∠B的度数是（）A．22.5°B．45°C．67.5°D．135°
【分析】设∠B＝x°，由直角三角形的性质结合条件可得到关于x的方程，可求得答案．
【解答】解：
设∠B＝x°，则∠A＝3x°，
由直角三角形的性质可得∠A+∠B＝90°，
∴x+3x＝90，解得x＝22.5，
∴∠B＝22.5°，
故选：A．
【点评】本题主要考查直角三角形的性质，熟练掌握直角三角形的两锐角互余是解题的关键．
8．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝35°，则∠A＝（）A．45°B．55°C．65°D．75°
【分析】根据直角三角形的性质解答即可．
【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝35°，
∴∠A＝90°﹣35°＝55°，
【点评】此题考查直角三角形的性质，关键是根据直角三角形的两锐角互余．9．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝70°，则∠B的度数为（）A．20°B．30°C．40°D．70°
【分析】由直角三角形的性质可直接求得答案．
【解答】解：
∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，
∴∠A+∠B＝90°，
∴∠B＝90°﹣∠A＝90°﹣70°＝20°，
故选：A．
【点评】本题主要考查直角三角形的性质，熟练掌握直角三角形的两锐角互余是解题的关键．
10．Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝54°，则∠A的度数是（）A．66°B．36°C．56D．46°
【分析】根据直角三角形的两个锐角互余，即可得出∠A的度数．
【解答】解：∵Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝54°，
∴∠A＝90°﹣∠B＝90°﹣54°＝36°；
故选：B．
【点评】本题考查了直角三角形的性质：直角三角形的两个锐角互余；熟练掌握直角三角形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．
11．把两个同样大小的含45°角的三角尺按如图所示的方式放置，其中一个锐角顶点与另一个的直角顶点重合于点A，且另外三个锐角顶点B，C，D在同一条直线上，若AB＝，则CD的长为（）
A．+1B．C．﹣1D．
【分析】先利用等腰直角三角形的性质求出BC＝2，BF＝AF＝1，再利用勾股定理求出DF，即可得出结论．
【解答】解：如图，过点A作AF⊥BC于F，
在Rt△ABC中，∠B＝45°，
∴BC＝AB＝2，BF＝AF＝AB＝1，
∵两个同样大小的含45°角的三角尺，
∴AD＝BC＝2，
在Rt△ADF中，根据勾股定理得，DF＝＝
∴CD＝BF+DF﹣BC＝1+﹣2＝﹣1，
故选：C．
【点评】此题主要考查了勾股定理，等腰直角三角形的性质，正确作出辅助线是解本题的关键．
12．如图，小聪用下面的方法检测教室的房架是否水平：在等腰直角三角尺斜边中点拴一条线绳，线绳的另一端挂一个铅锤，把这块三角尺的斜边贴在房梁上，结果线绳经过三角尺的直角顶点，小聪由此确信房架是水平的，他判断的依据是（）
A．两点之间，线段最短
B．两点确定一条直线
C．三角形具有稳定性
D．等腰三角形底边上的中线和底边上的高线互相重合
【分析】根据△ABC是个等腰三角形可得AC＝BC，再根据点D是AB的中点，即可得出DC⊥AB，然后即可得出结论．
【解答】解：如图，∵△ABC是个等腰三角形，
∴AC＝BC，
∵点D是AB的中点，
∴AD＝BD，
∴DC⊥AB（等腰三角形的底边上的中线、底边上的高重合），
即房架是水平的．
故选：D．
【点评】此题主要考查学生对等腰三角形的性质的理解和掌握，此题与实际生活联系密切，体现了从数学走向生活的指导思想，从而达到学以致用的目的．13．如图，直线m∥n，等腰直角三角板ABC的顶点A在直线m上，则∠α等于（）
A．42°B．83°C．24°D．30°
【分析】先求出∠1，再根据两直线平行，同位角相等可得∠α＝∠1．
【解答】解：如图，∠1＝180°﹣45°﹣52°＝83°，
∵直线m∥n，
∴∠α＝∠1＝83°．
故选：B．
【点评】本题考查了平行线的性质，平角的定义，要求正确观察图形，熟练掌握平行线的性质．
14．如图，△ABC是腰长为2的等腰直角三角形，△BCD是直角三角形，且∠D＝30°，则两个三角形重叠部分（△OBC）的面积是（）
A．3﹣B．2﹣C．1D．1+
【分析】过O作OE⊥BC于E，设BE＝x，求出OE和DC，根据相似得出比例式求出x，再根据三角形的面积公式求出即可．
【解答】解：
∵在Rt△DCB中，∠DCB＝90°，∠D＝30°，BC＝2，
∴DC＝BC＝2，
过O作OE⊥BC于E，
∵∠ABC＝90°，
∴OE∥AB，
∴∠BOE＝30°，△OEC∽△ABC，
∴设BE＝x，则OE＝BE＝x，＝，
∴＝，
解得：x＝﹣1，
即OE＝x＝3﹣，
∴阴影部分的面积S＝（3﹣）＝3﹣，
故选：A．
【点评】本题考查了解直角三角形、相似三角形的性质和判定等知识点，能求出OE的长是解此题的关键．
15．等腰直角三角形的底边长为5cm，则它的面积是（）
A．25cm2B．12.5cm2C．10cm2D．6.25cm2
【分析】根据等腰直角三角形的“三线合一”的性质解答．
【解答】解：根据题意知，AB＝AC，∠BAC＝90°，AD⊥BC，BC＝5cm．
∴BD是斜边BC上的中线，
∴AD＝BC＝2.5（cm），
＝×5×＝＝6.25（cm2）．
∴S
△ABC
故选：D．
【点评】本题考查了等腰直角三角形的性质．解答该题时，要熟练运用等腰直角三角形三线合一性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
16．如图，一块直尺与缺了一角的等腰直角三角形如图摆放，若∠1＝115°，则下列结论：
①∠2＝60°
②∠2＝∠4
③∠2与∠3互余
④∠2与∠4互补
其中正确的个数是（）
A．4B．3C．2D．1
【分析】过三角板的顶点作平行线，利用平行线的性质和对顶角以及三角形内角和解答即可．
【解答】解：因为∠1＝115°，
所以∠4＝180°﹣115°＝65°，
由对顶角性质得∠3+∠1+45°＝180°，
所以∠3＝20°；
过E作EF∥CD∥AB，则∠FEH＝∠3＝20°，
所以∠GEF＝70°＝∠2，即①、②错误，
所以∠2+∠3＝90°，∠2+∠4＝135°，即③正确，④错误．
故选：D．
【点评】此题考查平行线的性质，关键是利用平行线的性质和对顶角以及三角形内角和解答．
17．把一块等腰直角三角尺和直尺如图放置，如果∠1＝35°，则∠2的度数为（）
A．35°B．10°C．20°D．15°
【分析】由平分线及等腰直角三角形的性质，可得出∠1＝∠3、∠2＝∠4、∠3+∠4＝45°，进而即可求出∠2的度数．
【解答】解：∵∠1＝∠3，∠2＝∠4，∠3+∠4＝45°，
∴∠2＝45°﹣∠1＝10°．
故选：B．
【点评】本题考查了等腰直角三角形以及平行线的性质，利用“两直线平行，同位角相等”找出∠1＝∠3、∠2＝∠4是解题的关键．
18．在△ABC中，已知∠A、∠B、∠C的度数之比是1：1：2，BC＝4，△ABC 的面积为（）
A．2B．C．4D．8
【分析】依据∠A、∠B、∠C的度数之比是1：1：2，即可得到∠A＝∠B＝45°，∠C＝90°，再根据BC＝AC＝4，即可得出S
＝×4×4＝8．
△ABC
【解答】解：∵∠A、∠B、∠C的度数之比是1：1：2，
∴∠A＝∠B＝45°，∠C＝90°，
∴BC＝AC＝4，
＝×4×4＝8，
∴S
△ABC
故选：D．
【点评】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，等腰直角三角形是一种特殊的三角形，具有所有三角形的性质，还具备等腰三角形和直角三角形的所有性质．
19．如图，两条直线l1∥l2，Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝BC，顶点A、B分别在l1和l2上，∠1＝20°，则∠2的度数是（）
A．45°B．55°C．65°D．75°
【分析】根据平行线的性质和等腰直角三角形的性质解答即可．
【解答】解：∵l1∥l2，
∴∠1+∠CAB＝∠2，
∵Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝BC，
∴∠CAB＝45°，
∴∠2＝20°+45°＝65°，
故选：C．
【点评】本题考查的是等腰直角三角形，根据平行线的性质和等腰直角三角形的性质解答是解答此题的关键．
20．如图，等腰直角三角形的顶点A、C分别在直线a、b上，若a∥b，∠1＝30°，则∠2的度数为（）
A．30°B．15°C．10°D．20°
【分析】由等腰直角三角形的性质和平行线的性质求出∠ACD＝60°，即可得出∠2的度数．
【解答】解：如图所示：
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠BAC＝90°，∠ACB＝45°，
∴∠1+∠BAC＝30°+90°＝120°，
∵a∥b，
∴∠ACD＝180°﹣120°＝60°，
∴∠2＝∠ACD﹣∠ACB＝60°﹣45°＝15°；
故选：B．
【点评】本题考查了平行线的性质、等腰直角三角形的性质；熟练掌握等腰直角三角形的性质，由平行线的性质求出∠ACD的度数是解决问题的关键．二．填空题（共17小题）
21．△ABC中，AC＝BC，∠C＝90°，在△ABC外有一点P，且P A⊥PB，则∠
APC的度数是45或135度．
【分析】根据等腰直角三角形的性质和三角形内角解答即可．
【解答】解：如图所示：
如图1：
∵△ABC中，AC＝BC，∠C＝90°，P A⊥PB，
∴四边形APBC是正方形，
∴∠APC＝45°，
如图2：
∵△ABC中，AC＝BC，∠C＝90°，P A⊥PB，
∴∠APC＝45°+90°＝135°，
故答案为：45或135．
【点评】此题考查等腰直角三角形，关键是根据两种情况解答．
22．如图，在Rt△ABC中，AB＝BC＝1，∠ABC＝90°，点A，B在数轴上对应的数分别为1，2．以点A为圆心，AC长为半径画弧，交数轴的负半轴于点D，则与点D对应的数是﹣．
【分析】直接根据勾股定理，结合数轴即可得出结论．
【解答】解：∵在Rt△ABC中，BC＝1，AB＝1，
∴AC＝．
∵以A为圆心，以AC为半径画弧，交数轴的负半轴于点D，
∴AD＝AC＝，
∴点D表示的实数是﹣．
故答案为：﹣．
【点评】本题考查的是实数与数轴以及复杂作图，熟知实数与数轴上各点是一一对应关系是解答此题的关键．
23．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝4，D是BC的中点，点E 在BA的延长线上，连接ED，若AE＝2，则DE的长为2．
【分析】过点E作EF⊥BC于F，根据已知条件得到△BEF是等腰直角三角形，求得BE＝AB+AE＝6，根据勾股定理得到BF＝EF＝3，求得DF＝BF﹣BD ＝，根据勾股定理即可得到结论．
【解答】解：过点E作EF⊥BC于F，
∴∠BFE＝90°，
∵∠BAC＝90°，AB＝AC＝4，
∴∠B＝∠C＝45°，BC＝4，
∴△BEF是等腰直角三角形，
∵BE＝AB+AE＝6，
∴BF＝EF＝3，
∵D是BC的中点，
∴BD＝2，
∴DF＝BF﹣BD＝，
∴DE＝＝＝2．
故答案为：2．
【点评】本题考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理，正确的作出辅助线构造
等腰直角三角形是解题的关键．
24．如图，把等腰直角三角尺与直尺重叠，则∠1+∠2＝90°．
【分析】如图，延长GF交CD于H．由题意∠3+∠4＝90°，只要证明∠1＝∠4，∠2＝∠3即可解决问题；
【解答】解：如图，延长GF交CD于H．
∵AB∥CD，
∴∠2＝∠3，
∵∠EFG＝∠EFH＝90°，
∴∠3+∠4＝90°，
∵∠1＝∠4，∠3＝∠2，
∴∠1+∠2＝90°，
故答案为90°．
【点评】本题考查平行线的性质、三角形内角和定理、直角三角形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
25．将一个等腰直角三角形的直角顶点和一个锐角顶点按如图方式分别放在直线a，b上，若a∥b，∠1＝16°，则∠2的度数为29°．
【分析】过B作BD∥a，依据a∥b，可得BD∥b，进而得出∠1＝∠ABD＝16°，依据∠ABC＝45°，即可得到∠DBC＝29°＝∠2．
【解答】解：如图，过B作BD∥a，
∵a∥b，
∴BD∥b，
∴∠1＝∠ABD＝16°，
又∵∠ABC＝45°，
∴∠DBC＝29°＝∠2，
故答案为：29°．
【点评】本题考查了平行线的性质、等腰直角三角形的性质的运用；熟练掌握等腰直角三角形的性质是解决问题的关键．
26．已知：在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝3，点D，E都在边AB上，
＝6，则线且AD＝BE，过点D作DF⊥AC于点F，连接CD，CE，若S
△CDE 段CF的长为或．
【分析】分两种情况：①如图1，过C作CG⊥AB于G，先根据三角形面积计算DE的长为4，可得AD的长，根据△AFD是等腰直角三角形，计算AF的长，从而得CF的长．
②如图2，同理可得DE的长，计算BD的长，根据△BDH是等腰直角三角形可
得CF的长．
【解答】解：分两种情况：
①如图1，∵∠ACB＝90°，AC＝BC＝3，
∴AB＝6，∠A＝∠B＝45°，
过C作CG⊥AB于G，
∴AG＝BG，
∴CG＝AB＝3，
∵S
＝＝6，
△CDE
×3＝6，
DE＝4，
∴AD＝BE＝＝1，
∵DF⊥AC，
∴△AFD是等腰直角三角形，
∴AF＝＝，
∴CF＝3﹣＝．
②如图2，过C作CG⊥AB于G，过D作DH⊥BC于H，∵AD＝BE，
∴BD＝AE，
同理得：DE＝4，BD＝1，
Rt△BDH中，∠B＝45°，
∴△BDH是等腰直角三角形，
∴DH＝CF＝，
综上，CF的长是：或．
故答案为：或．
【点评】本题考查了等腰直角三角形的性质和判定、勾股定理，解答此题的关键是运用等腰直角三角形的判定，本题容易丢解，要注意AD＝BE时，D、E有两个位置．
27．如图所示的图形由4个等腰直角形组成，其中直角三角形（1）的腰长为1cm，则直角三角形（4）的斜边长为4．
【分析】根据等腰直角三角形的斜边等于直角边的倍结合图形，即可求出直角三角形④的斜边长．
【解答】解：∵4个三角形均为等腰直角三角形，
∴直角三角形④的斜边长＝1××××＝4．
故答案为：4．
【点评】本题考查了等腰直角三角形，牢记等腰直角三角形的斜边等于直角边的倍是解题的关键．
28．在直角三角形中，一个锐角为38°，则另一个锐角等于52°．
【分析】根据直角三角形两锐角互余即可求解．
【解答】解：在直角三角形中，一个锐角为38°，则另一个锐角等于90°﹣38°＝52°．
故答案为52．
【点评】本题考查了直角三角形的性质，掌握在直角三角形中，两个锐角互余是解题的关键．
29．如图，Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝4，AC＝6，D、E分别是AB、AC边
上的动点，且CE＝3BD，则△BDE面积的最大值为．
【分析】设BD＝x，则EC＝3x，AE＝6﹣3x，利用三角形的面积公式，构建二次函数，利用二次函数的性质解决问题即可；
【解答】解：设BD＝x，则EC＝3x，AE＝6﹣3x，
∵∠A＝90°，
∴EA⊥BD，
∴S
＝•x（6﹣3x）＝﹣x2+3x，
△DEB
∵a＝﹣＜0，
∴当x＝1时，S最大值＝＝，
故答案为．
【点评】本题考查直角三角形的性质、三角形的面积等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
30．在直角三角形中，一个锐角是另一个锐角的4倍，则较小锐角的度数为18度．
【分析】设较小锐角为x度．根据直角三角形两锐角互余，构建方程即可解决问题；
【解答】解：设较小锐角为x度．
由题意：4x+x＝90，
解得x＝18，
故答案为18．
【点评】本题考查直角三角形的性质，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．
31．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，CD是高，图中哪两个锐角一定相等？写出一组：∠B＝∠ACD．
【分析】根据同角的余角相等可以求出∠B＝∠ACD，∠A＝∠BCD．
【解答】解：∵CD是AB边上的高，
∴∠ADC＝∠BDC＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠A+∠B＝90°，∠A+∠ACD＝90°，
∴∠B＝∠ACD，
同理∠A＝∠BCD，
故答案为∠B＝∠ACD．
【点评】本题考查了直角三角形的性质，利用直角三角形以及高的定义是解题关键，又利用了余角的性质．
32．在直角三角形中，一个锐角比另外一个锐角的3倍还多10°，则这两个角分别为20°、70°
【分析】设最小的锐角为x°，则另一个锐角为（3x+10）°，根据两个锐角和等于90°，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：设最小的锐角为x°，则另一个锐角为（3x+10）°，
根据题意得：x+3x+10＝90，
解得：x＝20，
∴3x+10＝70．
故答案为：20°、70°．
【点评】本题考查了直角三角形的性质以及解一元一次方程，利用直角三角形中两个锐角和等于90°，列出关于x的一元一次方程是解题的关键．
33．如图△ABC中，点M是BC的中点，∠ACB＝90°，AC＝5，BC＝12，AN 平分∠BAC，AN⊥CN，则MN＝4．
【分析】依据AN平分∠BAC，AN⊥CN，即可得到CN＝DN，即N是CD的中点，再根据点M是BC的中点，即可得出MN是△BCD的中位线，依据MN ＝BD＝（AB﹣AD）进行计算即可．
【解答】解：如图所示，延长CN，交AB于点D，
∵∠ACB＝90°，AC＝5，BC＝12，
∴AB＝13，
∵AN平分∠BAC，AN⊥CN，
∴∠ACD＝∠ADC，
∴AC＝AD＝5，
∴CN＝DN，即N是CD的中点，
又∵点M是BC的中点，
∴MN是△BCD的中位线，
∴MN＝BD＝（AB﹣AD）＝（13﹣5）＝4，
故答案为：4．
【点评】本题主要考查了三角形中位线定理的运用，解决问题的关键是作辅助线构造等腰三角形ACD，利用三角形中位线定理得到MN的长．
34．若直角三角形的两个锐角之差为34°，则此三角形较小锐角的度数为28°．
【分析】根据直角三角形中两锐角和为90°，再根据两个锐角之差为34°，设其中一个角为x，则另一个为90°﹣x，即可求出最小的锐角度数．
【解答】解：∵两个锐角和是90°，
∴设一个锐角为x，则另一个锐角为90°﹣x，
∵一个直角三角形两个锐角的差为34°，
得：90°﹣x﹣x＝34°，
得：x＝28°，
∴较小的锐角的度数是28°．
故答案为：28°．
【点评】本题考查了直角三角形的性质，两锐角和为90°，关键是根据两锐角的关系设出未知数，列出方程．
35．如图，已知∠AON＝40°，OA＝6，点P是射线ON上一动点，当△AOP为直角三角形时，∠A＝50或90°．
【分析】分别从若AP⊥ON与若P A⊥OA去分析求解，根据三角函数的性质，即可求得答案．
【解答】解：当AP⊥ON时，∠APO＝90°，则∠A＝50°，
当P A⊥OA时，∠A＝90°，
即当△AOP为直角三角形时，∠A＝50或90°．
故答案为：50或90．
【点评】此题考查了直角三角形的性质，注意掌握数形结合思想与分类讨论思想的应用．
36．直角三角形中两锐角平分线相交所成的角的度数是45°或135°．【分析】作出图形，根据直角三角形两锐角互余求出∠ABC+∠BAC＝90°，再根据角平分线的定义可得∠OAB+∠OBA＝（∠ABC+∠BAC），然后利用三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠AOE，即为两角平分线的夹角．
【解答】解：如图，∠ABC+∠BAC＝90°，
∵AD、BE分别是∠BAC和∠ABC的角平分线，
∴∠OAB+∠OBA＝（∠ABC+∠BAC）＝45°，
∴∠AOE＝∠OAB+∠OBA＝45°，
∴∠AOB＝135°
∴两锐角的平分线的夹角是45°或135°，
故答案为：45°或135°
【点评】本题考查了直角三角形两锐角互余的性质，角平分线的定义，整体思想的利用是解题的关键．
37．如图，在直角三角形ABC中，两锐角平分线AM、BN所夹的钝角∠AOB＝135度．
【分析】根据三角形内角与外角的定义即可解答．
【解答】解：∵△ABC是直角三角形，
∴∠BAC+∠ABC＝90°，
又∵AM，BN为∠BAC，∠ABC的角平分线，
∴∠CAM+∠NBC＝45°，
∴∠AOB＝180°﹣（∠CAM+∠NBC）＝135°，
∴∠AOB＝135°．
故答案为：135
【点评】本题考查的是角平分线的定义，三角形内角和定理．三角形内角和等于180°．
三．解答题（共3小题）
38．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，CD⊥AB于D，P是线段CD上一个动点，以P为直角顶点向下作等腰Rt△BPE，连接AE、DE．
（1）∠BAE的度数是否为定值？若是，求出∠BAE的度数；若不是，说明理由．（2）直接写出DE的最小值．
【分析】（1）根据相似三角形的性质得到，且∠CBP＝∠ABE，∠BCP＝∠BAE，
根据等腰直角三角形的性质即可得到结论．
（2）当DE⊥AE时，DE的有最小值，根据等腰直角三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：（1）∠BAE的度数为定值，
∵△ABC和△EBP均为等腰直角三角形，
∴△ABC∽△EBP，且∠ABC＝∠EBP＝45°，
∴，且∠CBP＝∠ABE，
∴△CBP∽△ABE，
∴∠BCP＝∠BAE，
∵CA＝CB，∠ACB＝90°，CD⊥AB，
∴∠BCP＝45°，
∴∠BAE＝∠BCP＝45°；
（2）当DE⊥AE时，DE的有最小值，
∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，
∴AD＝AB＝2，
∵∠DAE＝45°，
∴△ADE是等腰直角三角形，
∴DE＝2，
∴DE的最小值是2．
【点评】本题考查了等腰直角三角形的性质，相似三角形的性质，熟练掌握等腰
直角三角形的性质是解题的关键．
39．（1）如图（1），将两块直角三角尺叠放在一起，并且它们的直角顶点C重合，请比较∠ACE和∠DCB的大小，并说明理由；
（2）如图（2），若是将等腰直角三角尺的直角顶点和另一把直角三角尺的60°角的顶点A重合，将三角板ADE绕点A旋转，旋转过程中三角板ADE的边AD始终在∠BAC的内部，试探索：在旋转过程中，∠CAE与∠BAD的差是否发生变化？若不变，请求出这个差值；若变化，请求出差的变化范围．
【分析】（1）结论：∠ACE＝∠DCB．根据角的和差定义证明即可；
（2）∠CAE与∠BAD的差为30°不变．理由角的和差定义计算即可；
【解答】解：（1）结论：∠ACE＝∠DCB
理由如下：∵∠ACD＝∠ECB＝90°
∴∠∠ACE＝∠ACD﹣∠ECD＝∠ECB﹣∠ECD＝∠DCB，
即∠ACE＝∠DCB
（2）结论：∠CAE﹣∠BAD＝30°
理由：∵∠CAE﹣∠BAD＝∠DAE﹣∠BAC＝90°﹣60＝30°，
∴∠CAE与∠BAD的差为30°不变．
【点评】本题考查旋转变换，角的和差定义等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
40．如图，在△ACB中，∠ACB＝90°，D、E为斜边AB上的两点，且BD＝BC，AE＝AC，求∠DCE的度数．
【分析】利用等边对等角找到∠CDE、∠CED和∠ECD之间的关系，再利用∠ACB＝90°和三角形内角和可得到关于∠ECD的方程，求得即可．
【解答】解：∵BD＝BC，AE＝AC，
∴∠BCD＝∠BDC，∠AEC＝∠ACE，
即∠BCE+∠DCE＝∠BDC，∠ACD+∠DCE＝∠DCE，
∵∠DCE+∠BDC+∠AEC＝180°，
∴∠BCE+∠DCE+∠ACD+∠DCE+∠DCE＝180°，
又∠ACB＝90°，
∴∠BCE+∠DCE+∠ACD＝90°，
∴2∠DCE＝180°﹣90°，
∴∠DCE＝45°，
【点评】本题主要考查等腰三角形的性质，掌握等边对等角是解题的关键，注意三角形内角和这一隐含条件的应用．。