高中数学第一章计数原理2排列导学案北师大版选修2_31130324

§ 排列
自主整理
.一般地，从个不同的元素中取出（≤）个元素，按照排成一列，叫作从个不同的元素中任取个元素的一个排列.我们把有关求问题叫作排列问题.
.我们把，叫作从个不同元素中取出个元素的排列数，记作.
.排列数式的展开式为：，规定.当时，.
的阶乘的展开式为：，规定，利用阶乘表示排列数的展开式为：.
高手笔记
排列数公式（）…（）的特点是：从自然数开始，后一个因数比前一个因数小，最后一个因数是，共个因数相乘.当时，排列数公式为！.
名师解惑
.如何理解排列的定义？
剖析：排列的定义包含两个方面的含义：一是“取出元素”,二是“按照一定顺序排列”.因此，当两个排列的元素完全相同，并且元素的排列顺序也完全相同时，它们才是同一个排列，元素完全不同，或元素部分相同，或元素完全相同而顺序不同的排列，都不是同一个排列.
定义中规定给出的个元素各不相同，并且只研究被取出的元素也各不相同的情况，也就是说，如果某个元素已被取出，则这个元素就不能再取了,否则就变成了取出两个相同元素.
定义中的“一定顺序”是与位置有关的问题，对有些具体情况，如取出数字，，组成三位数，就与位置有关，因和是不同的三位数；但如取出数字，，，考虑它们的和，则与位置无关. .正确区分排列与排列数两个定义
剖析：“排列”与“排列数”是两个不同的定义.一个排列是指从个不同元素中，任取个元素，按照一定顺序排成一列的一种具体排法，它是具体的形式，而不是数；而排列数是指从个不同元素中取出个元素的所有排列的个数，即排列共有多少种形式，它是一个数，如从中任取两个元素的排列有以下种：，每一种都是一个排列，而数字就是排列数.
.在解答有关排列问题的应用题时应注意什么？
剖析：（）注意排列的有序性，分清全排列与选排列，防止重复与遗漏；
（）对受条件限制的位置与元素应首先排列，并适当选用直接法或排除法（间接法）；
（）同一个问题，有时从位置出发较为方便，有时从元素出发较为方便，应注意灵活运用；（）从位置出发的“填空法”及对不相邻问题采用的“插空法”，是解答排列应用题中常用的有效方法，应注意培养运用这些方法的意识，同时要注意方法的积累;
（）要通过解答排列应用题，深化对分类加法计数原理和分步乘法计数原理的认识，培养“全局分类”和“局部分步”的意识，并在具体操作中确保：①分类要使得各类的并集等于全集，任意两类的交集等于空集，这样才能“不重不漏”；②分步要使得各步具有连续性和独立性，保证“不重不漏”.
.排列问题的常见类型和解题策略是什么？
剖析：排列中具有典型意义的两类问题是“排数”问题和“排队”问题，大部分排列问题都可以转化为这两类问题.对有约束条件的排列问题，应注意以下类型：
①某些元素不能排在或必须排在某一位置；
②某些元素要求连排（即必须相邻）；
③某些元素要求分离（即不能相邻）.
其基本解法是：有特殊元素或特殊位置，通常先排特殊元素或特殊位置，称为优先处理元素（位置）法（即优先法
．．．）;某些元素要求必须相邻时，可以先将这些元素看作一个元素，与
其他元素排列后，再考虑相邻元素的内部排序，称这种方法为“捆绑法
．．．”；某些元素不相邻
排列时，可选排其他元素，再将这些不相邻元素插入空档，称这种方法为“插空法
．．．”.对于较复杂的排列问题常常通过试验、简化等手段使问题直观化，从而寻求解题途径.常用思维形式有直接和间接、逆向思维等.
讲练互动
【例】计算下列各式的值：
（）;
（）
分析：利用排列数的展开式求解.
解：（）.
（）由,解之得≤≤∈,
∴.∴原式× .
绿色通道:使用排列数公式时，注意∈，≤等限制条件.
变式训练
.证明：
证明：左式·右边.∴等式成立.
【例】名班委中有、、三人，有种不同的职务，现对名班委进行职务具体分工.
（）若正、副班长两职只能由这三人中选两人担任，有多少种分工方案？
（）若正、副班长两职至少要选这三人中的人担任，有多少种分工方案？
分析：显然这是一道排列应用题，问题（）可分两步进行，优先安排受限制的正、副班长，然后再排其余名班委职务.问题（）的反面情形比较简单，可采用排除法求解.
解：（）先安排正、副班长有种方法，再安排其余职务有种方法，依分步乘法计数原理，共有种分工方案.
（）人的任意分工方案有种，、、三人中无一人任正、副班长的分工方案有种，因此、、三人中至少有人任正、副班长的方案有种.
绿色通道:排列问题的实质是每一个元素有一个特定的位置，并非一定要排成“一行”.“间接法”实际上是分类加法计数原理的变式应用，在处理“至多”或“至少”等问题时非常有效.当然问题（）亦可以逐一分类，算式为种.
变式训练
.用，，，排成四位数：。